Matematički model obrnutog njihala. Obrnuto njihalo

14.02.2021

Obrnuto njihalo je njihalo koje ima središte mase iznad svoje uporišne točke, učvršćeno na kraju krute šipke. Često je uporište pričvršćeno na kolica koja se mogu kretati vodoravno. Dok normalno njihalo stalno visi prema dolje, inverzno njihalo je inherentno nestabilno i mora biti stalno u ravnoteži kako bi ostalo uspravno, bilo primjenom zakretnog momenta na točku zakretanja ili pomicanjem točke okretanja vodoravno, kao dio sustava povratnih informacija. Najjednostavnija demonstracija bila bi balansirati olovku na kraju prsta.

Pregled

Obrnuto njihalo je klasičan problem u dinamici i teoriji upravljanja i široko se koristi kao mjerilo za testiranje algoritama upravljanja (PID regulatori, neuronske mreže, neizrazito upravljanje, itd.).

Problem inverznog njihala povezan je s navođenjem projektila, budući da se motor projektila nalazi ispod centra gravitacije, što uzrokuje nestabilnost. Isti problem riješen je, na primjer, u segwayu, samobalansirajućem transportnom uređaju.

Drugi način stabilizacije inverznog njihala je brzo zamahivanje baze u okomitoj ravnini. U ovom slučaju, možete bez Povratne informacije. Ako su oscilacije dovoljno jake (u smislu ubrzanja i amplitude), tada se inverzno njihalo može stabilizirati. Ako pokretna točka oscilira u skladu s jednostavnim harmonijskim titranjima, tada se gibanje njihala opisuje Mathieuovom funkcijom.

Jednadžbe gibanja

S fiksnom točkom oslonca

Jednadžba gibanja slična je ravnom njihalu osim što se predznak kutnog položaja mjeri iz vertikalnog položaja nestabilne ravnoteže:

texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = 0

Kada se prevede, imat će isti predznak kutnog ubrzanja:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ddot \theta = (g \over \ell) \sin \theta

Dakle, obrnuto njihalo će ubrzati iz vertikalne nestabilne ravnoteže u suprotnom smjeru, a ubrzanje će biti obrnuto proporcionalno duljini. Visoko njihalo pada sporije od kratkog.

Njihalo na kolicima

Jednadžbe gibanja mogu se izvesti pomoću Lagrangeovih jednadžbi. Ovo je slika iznad, gdje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \theta(t) duljina kuta njihala Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Za pomoć pri postavljanju pogledajte matematiku/README.): l u odnosu na vertikalu i djelujuću silu gravitacije i vanjske sile Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Za pomoć pri postavljanju pogledajte math/README.): F u smjeru Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc . Hajdemo definirati Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): x(t) položaj kolica. Lagrangeov Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Za pomoć pri postavljanju pogledajte matematiku/README.): L = T - V sustavi:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri podešavanju.): L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\theta

gdje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc je brzina kolica, i Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc - brzina materijalne točke Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Za pomoć pri postavljanju pogledajte matematiku/README.): m . Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v_1 i Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v_2 može se izraziti kroz Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): x i Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \theta brzinom pisanja kao prve derivacije pozicije.

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v_1^2=\dot x^2 Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x- \ell\sin\theta\right))\right)^2 + \ lijevo((\frac(d)(dt))(\left(\ell\cos\theta \right))\desno)^2

Pojednostavljivanje izraza Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v_2 vodi do:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Lagrangijan je sada definiran formulom:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\ theta + \frac(1)(2) m \ell^2 \dot \theta^2-mg \ell\cos \theta

i jednadžbe gibanja:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial(L) \preko \djelomično x) = F Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial (L) )\preko\djelomično\theta) = 0

Zamjena Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Za pomoć pri postavljanju pogledajte matematiku/README.): L u ove izraze uz naknadno pojednostavljenje dovodi do jednadžbi koje opisuju gibanje obrnutog njihala:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \lijevo (M + m \desno) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta

Ove jednadžbe su nelinearne, ali budući da je cilj upravljačkog sustava zadržati njihalo okomito, jednadžbe se mogu linearizirati uzimanjem Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \theta \približno 0 .

Njihalo s oscilirajućom bazom

Jednadžba gibanja takvog njihala povezana je s oscilirajućom bazom bez mase i dobiva se na isti način kao i za njihalo na kolicima. Položaj materijalne točke određuje se formulom:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)

a brzina se nalazi kroz prvu derivaciju položaja:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2. Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta .

Ova jednadžba nema elementarno rješenje u zatvorenom obliku, ali se može proučavati u više smjerova. Bliska je Mathieuovoj jednadžbi, na primjer, kada je amplituda titranja mala. Analiza pokazuje da visak ostaje uspravno kada se brzo ljulja. Prvi grafikon to pokazuje sa polaganim osciliranjem Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc , njihalo brzo pada nakon što napusti stabilan okomit položaj.
Ako Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): y brzo oscilira, njihalo može biti stabilno oko okomitog položaja. Drugi grafikon pokazuje da, nakon napuštanja stabilnog okomitog položaja, njihalo sada počinje ljuljati oko okomitog položaja ( Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Za pomoć pri postavljanju pogledajte math/README.): \theta = 0) Odstupanje od okomitog položaja ostaje malo, a njihalo ne pada.

Primjena

Primjer je balansiranje ljudi i predmeta, kao što su akrobacije ili vožnja jednociklom. I također segway - električni samobalansirajući skuter s dva kotača.

Obrnuto njihalo bilo je središnja komponenta u razvoju nekoliko ranih seizmografa.

vidi također

Linkovi

D. Liberzon Prebacivanje u sustavima i upravljanje(2003 Springer) str. 89ff

Daljnje čitanje

Franklin; et al. (2005.). Povratna kontrola dinamičkih sustava, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Napišite recenziju na članak "Obrnuto njihalo"

Linkovi

Ulomak koji opisuje obrnuto njihalo

S njima je prognana i sestra njihova djeda Aleksandra Obolenskaja (kasnije Aleksis Obolenski), kao i Vasilij i Ana Serjogin, koji su dobrovoljno otišli, koji su slijedili djeda po vlastitom izboru, budući da je Vasilij Nikandrovič dugi niz godina bio djedov odvjetnik u svim njegovim poslovima i jedan od njegovih najbližih prijatelja.

Aleksandra (Alexis) Obolenskaya Vasily i Anna Seryogin

Vjerojatno je čovjek morao biti istinski PRIJATELJ da bi smogao u sebi snagu za takav izbor i otišao u vlastitu volju kamo su išli, kao što idu samo u svoju smrt. I ova "smrt", nažalost, tada se zvala Sibir ...
Uvijek sam bio jako tužan i povrijeđen zbog naše, tako ponosne, ali tako nemilosrdno zgažene boljševičkim čizmama, prekrasnim Sibirom!... I nema riječi koliko patnje, bola, života i suza ovaj ponosni, ali iscrpljen do krajnjih granica, apsorbirana zemlja... Je li to zato što je nekoć bila srce naše pradomovine, "dalekovidni revolucionari" odlučili ocrniti i uništiti ovu zemlju, birajući je za svoje đavolske svrhe?... Uostalom, za mnoge ljude, čak i Sibir je nakon mnogo godina i dalje ostao "prokleta" zemlja, u kojoj je nečiji umro otac, nečiji brat, netko pa sin... ili možda čak i nečija cijela obitelj.
Moja baka, koju ja, na svoju veliku žalost, nikad nisam poznavao, tada je bila trudna s mojim ocem i jako je teško podnosila put. Ali, naravno, nije trebalo čekati pomoć niotkuda... Tako je mlada princeza Elena, umjesto tihog šuštanja knjiga u obiteljskoj knjižnici ili uobičajenih zvukova klavira, kada je svirala svoja omiljena djela, ovaj put slušala samo zlokobni zvuk kotača, koji su, kao prijeteći, odbrojavali preostale sate njezina života, tako krhki i pretvorili se u pravu noćnu moru... Sjedila je na nekim vrećama na prljavom prozoru kočije i zureći u posljednje jadne tragove "civilizacije" koja joj je tako dobro poznata i poznata ide sve dalje i dalje...
Djedova sestra, Aleksandra, uz pomoć prijatelja uspjela je pobjeći na jednoj od stanica. Prema zajedničkom dogovoru, trebala je stići (ako bude imala sreće) u Francusku, gdje je trenutno živjela cijela njena obitelj. Istina, nitko od prisutnih nije mogao zamisliti kako bi to mogla učiniti, ali kako im je to bila jedina, premda mala, ali svakako posljednja nada, preveliki je luksuz to odbiti za njihovu potpuno bezizlaznu situaciju. U tom trenutku u Francuskoj je bio i Aleksandrin suprug Dmitrij, uz čiju su se pomoć već odande nadali da će pokušati pomoći djedovoj obitelji da se izvuče iz one noćne more u koju ih je život tako nemilosrdno bacio, s podlom ruke brutaliziranih ljudi...
Po dolasku u Kurgan smjestili su ih u hladan podrum, bez objašnjenja i bez odgovora na pitanja. Dva dana kasnije, neki ljudi su došli po djeda i izjavili da su ga navodno došli “otpratiti” na drugo “odredište”... Odveli su ga kao kriminalca, ne dajući mu ništa da ponese sa sobom i ne udostojeći se objasniti gdje i koliko dugo ga uzimaju. Djeda više nitko nije vidio. Nakon nekog vremena nepoznati vojnik donio je djedove osobne stvari baki u prljavoj vreći ugljena ... ne objašnjavajući ništa i ne ostavljajući nadu da će ga vidjeti živog. Time su prestale sve informacije o djedovoj sudbini, kao da je nestao s lica zemlje bez ikakvih tragova i dokaza...
Napaćeno, izmučeno srce jadne princeze Elene nije htjelo prihvatiti tako užasan gubitak i doslovno je bombardirala lokalnog stožernog časnika zahtjevima da razjasni okolnosti smrti njenog voljenog Nikolaja. No, "crveni" časnici bili su slijepi i gluhi na zahtjeve usamljene žene, kako su je zvali - "od plemića", koja je za njih bila samo jedna od tisuća i tisuća bezimenih "numeriranih" jedinica koje nisu ništa značile u njihov hladni i okrutni svijet... Bio je to pravi pakao iz kojeg nije bilo povratka u onaj poznati i ljubazni svijet u kojem je njen dom, njezini prijatelji i sve ono na što je odmalena bila navikla i što je ona voljela toliko i iskreno.. I nije bilo nikoga tko bi mogao pomoći ili čak dao i najmanju nadu da će preživjeti.
Seryoginovi su pokušavali zadržati duševnu prisutnost za njih trojicu i na bilo koji način razveseliti princezu Elenu, ali ona je ulazila sve dublje i dublje u gotovo potpuni stupor, a ponekad je sjedila danima u ravnodušno smrznutom stanju, gotovo ne reagirajući na pokušaje njezinih prijatelja da joj spasu srce i um od konačne depresije. Postojale su samo dvije stvari koje su je nakratko vratile stvarnom svijetu- ako je netko počeo pričati o njezinom nerođenom djetetu, ili ako su se pojavili, makar i najmanji, novi detalji o navodnoj smrti njenog voljenog Nikolaja. Očajnički je željela znati (dok je još bila živa) što se zapravo dogodilo i gdje je njezin muž, ili barem gdje je njegovo tijelo pokopano (ili napušteno).
Nažalost, gotovo da nema podataka o životu ove dvije hrabre i bistre osobe, Elene i Nikolaja de Rohan-Hesse-Obolenskog, ali čak i onih nekoliko redaka iz dva preostala Elenina pisma njezinoj snahi Aleksandri , koji je nekako preživio u Aleksandrinom obiteljskom arhivu u Francuskoj pokazuju koliko je princeza duboko i nježno voljela svog nestalog muža. Sačuvalo se tek nekoliko rukom ispisanih listova, od kojih se neki redovi, nažalost, uopće ne mogu razaznati. Ali i ono što je postignuto vrišti od duboke boli o velikoj ljudskoj nesreći koju, a da je nije doživio, nije lako razumjeti i nemoguće prihvatiti.

12. travnja 1927. godine Iz pisma princeze Elene Aleksandri (Alix) Obolenskoj:
“Danas sam jako umoran. Iz Sinyachikhe se vratila potpuno slomljena. Vagoni su krcati ljudima, bilo bi šteta i stoku u njima voziti………………………….. Stali smo u šumi – tamo je tako ukusno mirisalo na gljive i jagode… Teško je povjerovati da su ti nesretnici tamo ubijeni! Jadna Ellochka (što znači velika vojvotkinja Elizaveta Fedorovna, koja je bila rodbina mog djeda u lozi Hesse) ubijena je ovdje u blizini, u ovom strašnom staroselimskom rudniku ... kakav užas! Moja duša to ne može prihvatiti. Sjetite se, rekli smo: “Neka zemlja padne”?.. Veliki Bože, kako takva zemlja može biti dolje?!..
Oh, Alix, draga moja Alix! Kako se naviknuti na takav užas? ...................... ..................... Tako sam umorna od prosjačenja i ponižavajući se... Sve će biti potpuno beskorisno ako Čeka ne pristane poslati zahtjev u Alapaevsk.................. Nikad neću znati gdje da ga tražim , i nikad neću saznati što su mu učinili. Ne prođe ni sat, a da ne pomislim na tako mi poznato lice... Kakav je užas zamisliti da leži u nekoj napuštenoj jami ili na dnu rudnika!.. Kako možeš izdržati ovu svakodnevnu noćnu moru, znajući da ga već nikad neću vidjeti?!.. Kao što ga moj jadni Vasilek (ime koje je dobio moj otac pri rođenju) nikada neće vidjeti... Gdje je granica okrutnosti? A zašto sebe nazivaju ljudima?

Postojao je još jedan, neobičan pristup opisu skijaške tehnike, također NIJE povezan s pokretima u sustavu šarki koji odgovaraju dijelovima skijaševa tijela. Temelji se na modelu obrnutog njihala, koji se također naziva "obrnuto njihalo" ili "Whitneyevo njihalo".
Ovo je vrlo zanimljiv objekt. teorijske mehanike, Whitneyjev problem je izvorno formuliran na sljedeći način: pretpostavimo da je na kolica postavljeno obrnuto materijalno njihalo, kolica se kreću pravocrtno, ali NE jednoliko. Potrebno je pronaći početni položaj njihala, takav da NEĆE pasti na kolica, ako je unaprijed poznata ovisnost brzine o vremenu, uz kontinuitet njegove 2. derivacije.

Whitneyev problem još uvijek zanima matematičare, ali mnogo je važniji inverzni problem: dinamička kontrola kretanja kolica, tako da njihalo zadržava zadani početni položaj, ili oscilira oko njega. Ovaj zadatak je važan za robotiku, navigaciju, automatizaciju tvornice, orijentaciju letjelica, ostvaruje se i tijekom normalnog hodanja.
Ali problem se može generalizirati: na njihalo s 2 stupnja slobode, čiji se oslonac kreće već po proizvoljnoj, krivolinijskoj putanji, s promjenjivom brzinom, ali i pod uvjetom kontinuiteta 2 derivacije. Najjednostavniji primjer generaliziranog inverznog njihala: stavimo dugu šipku na dlan i držimo je u nestabilnom položaju, pomičući ruku po proizvoljnoj putanji.
Ako dalje generaliziramo, onda možemo napraviti njihalo promjenjive duljine: u ovom slučaju, njegova će se prirodna frekvencija promijeniti, zadatak postaje mnogo teži. Ovo je već opći model nestabilne ravnoteže mehanički sustav, kao što je čovjek na užetu. Ali ovaj se problem može formulirati i drugačije: osigurati ravnotežu njihala, s neravnomjernim kretanjem oslonca duž zadane krivuljaste putanje, aktivnom promjenom nagiba i duljine njihala. Vidimo: u ovoj formulaciji problem je u potpunosti usklađen s kretanjem skijaša duž staze!
Ispostavilo se da je još 1973. godine poljski matematičar Janusz Moravsky opisao mehaniku skijaša pomoću inverznog njihala, ali je to djelo bilo zaboravljeno 40 godina.

Model J. Moravskog nije bio savršen: nije uzeo u obzir bočno klizanje oslonca njihala, što je bilo neophodno u skijaškoj tehnici ranih 1970-ih. Ali moderni sportaši visoka razina, tehnika više nije povezana s proklizavanjem, a model više odgovara stvarnosti.
Nove studije inverznog njihala započele su rješenjem uskog, praktični zadatak: pojednostaviti eksperimente na proučavanju skijaške opreme. Obično je za proučavanje kretanja skijaša potrebno kontinuirano fiksirati njegov položaj, a brojne sile koje djeluju na skije, a i na samog skijaša, zahtijevaju složenu opremu i dugu pripremu eksperimenata.

Godine 2013. Matthias Gilgien, poznati stručnjak za skijašku mehaniku, dokazao je da ako je poznata putanja središta mase u odnosu na površinu snijega, onda se putanja skija može izračunati iz modela generaliziranog inverznog njihala, a također i sve aktivne snage tijekom spuštanja. Kao rezultat toga, sva složena mjerna oprema može se zamijeniti konvencionalnim GPS navigatorom!
Pokus je izveden geodetskim navigatorom koji radi po metodi diferencijalne navigacije, s točnošću određivanja koordinata: 1 cm u horizontalnoj ravnini i 2 cm u vertikalnoj. Također smo koristili detaljni 3D model terena dobiven geodetskim skenerom. Sada, za neka područja SAD-a i Europe, u javnoj domeni, postoje satelitske 3D karte slične točnosti, njihova pokrivenost se ubrzano povećava.

Uzimajući u obzir mikroreljef koji se kontinuirano mijenja na padini, točnost visine je 10-20 cm, one. red veličine niže od točnosti navigacije. Navigatorska antena bila je na kacigi skijaša, položaj CM-a izračunao je na temelju prethodnih rezultata Robert Reid, koji je otkrio da kod sportaša na nacionalnoj razini CM ne odstupa daleko od ravne linije koja prolazi sredinom vrata i sredine razmaka između skija. I skijaš pri okretanju pokušava držati glavu uspravno, sredina vrata je otprilike ispod antene. Udaljenost "površina-CM" je uvijek približno 0,45-0,5 udaljenosti "površina-glava", ponekad CM može odstupiti od ovog položaja, ali uzimajući u obzir točnost prikaza površine, pogreške u izračunavanju položaja CM nisu značajni, jaka odstupanja se javljaju samo kod grubih pogrešaka uz gubitak ravnoteže.

Ako je skijaš opisan modelom generaliziranog inverznog njihala, promjenjive duljine, zatim iz poznate putanje i brzine CM-a u odnosu na podlogu, moguće je izračunati kutove njegovog odstupanja od okomitog položaja , tako da visak ne padne. Također možete dobiti putanju potpore: točke na sredini udaljenosti između skijaških nosača. A iz položaja CM-a u odnosu na oslonac moguće je postići centriranje skijaša u uzdužnom smjeru, te nagib prema središtu zavoja, iako položaj dijelova tijela i relativno opterećenje skije se ne mogu izračunati.
Paralelno s GPS mjerenjima, u kontrolno područje ugrađena je i konvencionalna oprema koja se koristi u proučavanju skijaške opreme MOCAP metodama na temelju modela šarke, uz proračun dinamike dijelova tijela dugo provjerenim metodama. . Zatim su uspoređeni prikupljeni podaci o kretanju CM-a: pokazali su se vrlo bliski, jaka odstupanja postoje samo u dijelovima između zavoja, u kojima se duljina njihala naglo mijenja tijekom istovara.

No zadatak se nije svodio na izgradnju novog modela CM pokreta neovisno o položaju skijaša: ovo nikome ne treba! Praktična svrha: na temelju modela inverznog njihala dobiti vanjske sile koje djeluju na skijaša i skije: površinsku reakciju, otpor snijega i aerodinamički otpor. Dr. M. Gilgien i njegovi suradnici izveli su jednadžbe za sve sile i usporedili ih s vrijednostima izračunatim iz dinamike dijelova tijela. Na grafu površinske reakcije uzet kao primjer: plava krivulja prikazuje silu izračunatu iz inverznog modela njihala, crvena krivulja iz modela zglobnog sustava kao referencu.

Švicarski znanstvenik Rolf Adelsberger izveo je sličan eksperiment, ali i mjerio deformacije skija tijekom spuštanja, koristeći senzore zalijepljene na skije. Rezultati mjerenja su odgovarali silama, koje su također izračunate na temelju GPS podataka, prema metodi M. Gilgiena, što dokazuje ispravnost metode.

Slovenski matematičar Bojan Nemec također je sa slovenskim timom proučavao model inverznog klatna, ali je skijašu postavio antenu oko vrata kako bi najbolja aproksimacija CM pozicije. Dobio je jednadžbu prostornog kuta nagiba: ovisno o trenutnim ubrzanjima i duljini njihala.

Vidimo: jednadžba je puno kompliciranija od jednostavnih formula kutova o kojima se stalno raspravlja na skijaškim stranicama! Ali ova je jednadžba dobivena na temelju eksperimentalnih podataka, i točnije odgovara stvarnim procesima koji se događaju tijekom spuštanja. Dobivena je i korekcija za točno određivanje položaja CM-a, ali se pokazalo da on nije jako velik, te se uklapa u točnost površinskih mjerenja, kako je M. Gilgien ranije sugerirao.

Profesor B. Nemets također je uočio jaka odstupanja u područjima istovara, te sugerirao da je pogreška povezana s linearnim zakonom promjene duljine njihala. Ako uvedemo uzdužnu elastičnost, tada će se duljina mijenjati nelinearno, a pogreške će se naglo smanjiti. Ali u isto vrijeme, njihalo će dobiti novi stupanj slobode: duljina će težiti harmonijskim oscilacijama, što zahtijeva potpunu preradu modela, B. Nemets planira to učiniti u sljedećim radovima. Glavni problem: uvođenje koeficijenta elastičnosti o kojem ovisi prirodna frekvencija uzdužnih vibracija, jer je moguće da i vrijednost koeficijenta nije konstantna.

U ovom slučaju moguće je dobiti novi učinak: ako oslonac njihala vibrira u okomitom smjeru, s visokom frekvencijom i malom amplitudom, tada se javlja dodatna sila koja drži njihalo u okomitoj ravnoteži: ovaj fenomen je otkrio P. Kapitsa, te odredila minimalnu frekvenciju titranja i njihovu graničnu amplitudu. Kao odgovor na jedan udar na elastičnu površinu, dolazi do prigušenih oscilacija, stoga će inverzno njihalo postavljeno na elastični oslonac također biti u ravnoteži, ali vrlo kratko vrijeme nakon udara: sve dok se oscilacije ne priguše. Sličan fenomen je moguć sa nagla promjena opterećenje na skije, ali njihova uzdužna elastičnost ovisi o količini savijanja, zadatak postaje još složeniji.

Ali proračun snaga također nije bio krajnji cilj: dr. M. Gilgien dobio je opterećenja na koljenima skijaša, što može dovesti do ozljeda zglobova. Njegova metoda omogućuje dobivanje procjene rute, u smislu sigurnosti, samo na temelju GPS podataka tijekom kontrolnih prolaza.
Drugi smjer je, kao i uvijek, stvoriti alat za trenere koji kontinuirano prikazuje dinamiku skijaša, koja je skrivena od izravnog promatranja: ravnotežni uvjeti, djelujuća ubrzanja i sile. Ova metoda ne zahtijeva složenu, skupu opremu, jer je čak i vrlo skup GPS prijamnik nekoliko puta jeftiniji od MOCAP sustava, odnosno inercijalnih senzora, i puno lakši za korištenje.

Vidimo: stara ideja, da se tehnika skijanja opiše bez obzira na pokrete skijaša, još uvijek nije zaboravljena, unatoč pojavi novih tehnologija. Moguće je da smo se rano oprostili od slatkih kuglastih konja.

Sretno i balans!

DOI: 10.14529/mmph170306

STABILIZACIJA OBRATNOG NJIHALA NA VOZILU NA DVORA KOTAČA

U I. Ryazhskikh1, M.E. Semenov2, A.G. Rukavitsyn3, O.I. Kanischev4, A.A. Demchuk4, P.A. Melešenko3

1 država Voronjež Tehničko sveučilište, Voronjež, Ruska Federacija

2 Državno sveučilište za arhitekturu i građevinarstvo Voronjež, Voronjež, Ruska Federacija

3 Voronjež Državno sveučilište, Voronjež, Ruska Federacija

4 Vojska obrazovni i znanstveni centar Zračne snage " Zrakoplovna akademija nazvan po profesoru N.E. Žukovski i Yu.A. Gagarin, Voronjež, Ruska Federacija

e-pošta: [e-mail zaštićen]

Razmatra se mehanički sustav koji se sastoji od kolica na dva kotača, na čijoj osi se nalazi inverzno njihalo. Zadatak je formiranje takvog upravljačkog djelovanja, formiranog po principu povratne sprege, koje bi, s jedne strane, dalo zadani zakon gibanja mehaničkog sredstva, a s druge strane stabiliziralo nestabilan položaj njihala. .

Ključne riječi: mehanički sustav; vozilo na dva kotača; obrnuto njihalo; igra; stabilizacija; kontrolirati.

Uvod

Sposobnost upravljanja nestabilnim tehnički sustavi teoretski se razmatra već duže vrijeme, ali se praktičan značaj takvog upravljanja jasno očitovao tek nedavno. Pokazalo se da nestabilni kontrolni objekti s odgovarajućom kontrolom imaju niz "korisnih" kvaliteta. Primjeri takvih objekata su svemirski brod u fazi polijetanja, fuzijski reaktor i mnogi drugi. Istodobno, ako sustav automatskog upravljanja zakaže, nestabilan objekt može predstavljati značajnu prijetnju, opasnost za ljude i okoliš. Kao katastrofalan primjer rezultata onemogućavanja automatskog upravljanja može se navesti nesreća u nuklearnoj elektrani Černobil. Kako upravljački sustavi postaju pouzdaniji, sve širi raspon tehnički nestabilnih objekata u nedostatku kontrole se stavlja u praksu. Jedan od naj jednostavni primjeri nestabilni objekti je klasično inverzno njihalo. S jedne strane, problem njegove stabilizacije je relativno jednostavan i jasan, s druge strane može naći praktičnu primjenu u izradi modela dvonožnih bića, kao i antropomorfnih uređaja (roboti, cyber itd.) koji se kreću na dva nosača. . V posljednjih godina pojavili su se radovi posvećeni problemima stabilizacije inverznog njihala povezanog s vozilom na dva kotača u pokretu. Ove studije imaju potencijalnu primjenu u mnogim područjima, kao što su transport i istraživanje, zbog kompaktnog dizajna, jednostavnosti rada, velike manevarske sposobnosti i niske potrošnje goriva takvih uređaja. Međutim, problem koji se razmatra još je daleko od konačnog rješenja. Poznato je da mnogi tradicionalni tehnički uređaji imaju i stabilna i nestabilna stanja i načine rada. Tipičan primjer je Segway, koji je izumio Dean Kamen, električni samobalansirajući skuter s dva kotača smještena s obje strane vozača. Dva kotača skutera su usklađena. Segway se automatski balansira kada se promijeni položaj tijela vozača; u tu svrhu koristi se sustav stabilizacije indikatora: signali iz žiroskopskih i tekućih senzora nagiba dovode se do mikroprocesora koji generiraju električne signale koji djeluju na motore i kontroliraju njihovo kretanje. Svaki kotač Segwaya pokreće vlastiti električni motor, koji reagira na promjene u ravnoteži automobila. Kada se jahačevo tijelo nagne naprijed, segway se počinje kotrljati prema naprijed, dok se kut nagiba tijela vozača povećava, brzina segwaya se povećava. Kada je tijelo nagnuto unatrag, samo-

kat usporava, staje ili se kotrlja unatrag. Taksiranje u prvom modelu događa se uz pomoć zakretne ručke, u novim modelima - zamahom stupca lijevo-desno. Problemi upravljanja oscilatornim mehaničkim sustavima od velikog su teorijskog interesa i velike su praktične važnosti.

Poznato je da tijekom rada mehaničkih sustava zbog starenja i trošenja dijelova neizbježno nastaju zazori i zastoji, stoga je za opisivanje dinamike takvih sustava potrebno uzeti u obzir utjecaj histereznih učinaka. Matematički modeli takvih nelinearnosti, u skladu s klasičnim konceptima, svode se na operatore, koji se smatraju transformatorima na odgovarajućim funkcijskim prostorima. Dinamika takvih pretvarača opisuje se odnosima "ulaz-stanje" i "stanje-izlaz".

Formulacija problema

U ovom radu razmatramo mehanički sustav koji se sastoji od kolica na dva kotača, na čijoj se osi nalazi obrnuto njihalo. Zadatak je oblikovati takvo upravljačko djelovanje koje bi, s jedne strane, osiguralo zadani zakon gibanja mehaničkog sredstva, a s druge strane stabiliziralo nestabilan položaj njihala. U ovom slučaju uzimaju se u obzir svojstva histereze u upravljačkoj petlji ispitivanog sustava. U nastavku se nalazi grafički prikaz elemenata proučavanog mehaničkog sustava – vozila na dva kotača na koje je pričvršćeno njihalo za vožnju unazad.

Riža. 1. Osnovni strukturni elementi smatra mehaničkim uređajem

ovdje / 1 / I feili / Fr I

" 1 " \ 1 \ 1 i R J

HR! / / / / /jedan / / /

Riža. 2. Lijevi i desni kotači mehaničkog uređaja s kontrolom momenta

Parametri i varijable koji opisuju sustav koji se razmatra: j - kut rotacije vozila; D je udaljenost između dva kotača duž središta osovine; R je polumjer kotača; Jj - moment tromosti; Tw je razlika između momenta lijevog i desnog kotača; v-

uzdužna brzina vozila; c - kut odstupanja njihala od okomitog položaja; m je masa obrnutog njihala; l je udaljenost između težišta tijela i

osovina kotača; Ti - zbroj zakretnih momenta lijevog i desnog kotača; x - kretanje vozila u smjeru uzdužne brzine; M je masa šasije; M* - masa kotača; I - povratno rješenje.

Dinamika sustava

Dinamika sustava opisana je sljedećim jednadžbama:

n = - + - Tn, W u á WR n

u = - - ml C0S u Tn,

gdje je T* = Tb - TJ; Tp \u003d Tb + Tch; Mx \u003d M + m + 2 (M * + ^ *); 1v \u003d t / 2 + 1C; 0. \u003d Mx1v-t2 / 2 co2 v;

<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)

Model koji opisuje dinamiku promjena parametara sustava može se predstaviti kao dva nezavisna podsustava. Prvi podsustav sastoji se od jedne jednadžbe - p-podsustava,

određivanje kutnih kretanja vozila:

Jednadžba (5) se može prepisati kao sustav dviju jednadžbi:

gdje je e1 = P-Py, e2 = (P-(Ra.

Drugi podsustav, koji opisuje radijalna kretanja vozila, kao i oscilacije njihala instaliranog na njemu, sastoji se od dvije jednadžbe - (y, v) -podsustava:

U =-[ Jqml in2 sin in - m2l2 g sin in cos in] + Jq Tu W in S J WR u

u =- - ml C ° * u Tv W WR

Sustav (7) prikladno je predstavljen kao sustav jednadžbi prvog reda:

¿4 = TG" [ Jqml(qd + e6)2 sin(e5 + qd) - m¿l2g sin(e5 + qd) cos(e5 + qd)] + TShT v- Xd,

¿6 =~^- ^^^ +c)

gdje je W0 = MxJq- P121 2cos2(qd + e5), e3 = X - Xd , ¿4 = v - vd , ¿5 =q-qd, ¿6 =q-qd

Razmotrimo podsustav (6) koji će biti kontroliran principom povratne sprege. Da bismo to učinili, uvodimo novu varijablu i definiramo preklopnu površinu u faznom prostoru sustava kao ^ = 0 .

5 = unutra! + s1e1, (9)

gdje je c pozitivan parametar. To izravno proizlazi iz definicije:

■I \u003d e + c1 e1 -plač + c1 e1. (10)

Da bismo stabilizirali rotacijsko gibanje, definiramo kontrolni moment na sljedeći način:

T# P - ^ v1 - -MgP(51) - k2 (11)

gdje su pozitivno specificirani parametri.

Slično ćemo izgraditi i upravljanje drugog podsustava (8) kojim ćemo također upravljati po principu povratne sprege. Da bismo to učinili, uvodimo novu varijablu i definiramo preklopnu površinu u faznom prostoru sustava kao ■2 = 0 .

■2 = vz + S2vz, (12)

gdje je c2 tada pozitivan parametar

1 . 2 2 2

■2 \u003d e3 + c2 e3 \u003d (s + b6) ^5 + ve) - m 1 § ^5 + s1)C08 (e5 + ba)] +

7^T - + c2 e

Da bismo stabilizirali radijalno gibanje, definiramo kontrolni moment:

tt "2/2 ^ k T \u003d - Km / (wi + eb) r ^ m (eb + wi) + n ^ + wi) +kA ^], (14)

gdje su k3, k4 pozitivno zadani parametri.

Kako bismo istovremeno kontrolirali oba podsustava sustava, uvodimo dodatnu kontrolnu akciju:

\u003d § Xapv - [va + c3 (v-vy) - k588n (^3) - kb 53], (15)

gdje je § ubrzanje slobodnog

Slapovi; c3, k5, kb - pozitivni parametri; 53 - sklopna površina, određena omjerom:

53 = e6 + c3e5.

Formulirajmo glavne rezultate rada koji se sastoje u temeljnoj mogućnosti stabilizacije oba podsustava, pod pretpostavkama o upravljanju, u blizini nulte ravnotežnog položaja.

Teorem 1. Sustav (6) s upravljačkim djelovanjem (11) apsolutno je asimptotski stabilan:

Nsh || e11|® 0,

Nsh || e2 ||® 0. t®¥u 2

Dokaz: funkciju Ljapunova definiramo kao

gdje je a = Dj 2 RJp.

Očito je onda funkcija V > 0

V = W1 Si = Si. (osamnaest)

Zamjenom (14) u V dobivamo

V = -(£ Sgn(S1) + k2(S1))S1. (devetnaest)

Očito je da V1

Teorem 2. Razmotrimo podsustav (8) s upravljačkim djelovanjem (14). Pod postavljenim pretpostavkama ovaj je sustav apsolutno asimptotski stabilan, tj. u svim početnim uvjetima vrijede sljedeće relacije:

lim ||e3 ||® 0,

t®¥ (20) lim 11 e41|® o.

Dokaz: Ljapunovljevu funkciju za sustav (8) definiramo pomoću relacije

gdje je b =Wo R!Je .

Očito, funkcija V2 > 0, i

V2 = M S2 = S2, budući da postoje mrtve zone u odnosu na regulacijsko djelovanje. Donesimo Kratki opis pretvornika histereze koji će se koristiti u budućnosti - zazor, na temelju interpretacije operatera. Izlaz pretvarača - zazor na monotonim ulazima opisan je relacijom:

x(t0) za one t za koje je x(t0) - h< u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) >x(t0), (24)

u(t) + h za one t za koje je u(t)< x(t0) - h,

što je ilustrirano na sl. 3.

Koristeći identitet polugrupe, djelovanje operatora se proširuje na sve monotone ulaze po komadima:

G x(t) = G [ G x(t1), h]x(t) (25)

a uz pomoć posebne granične konstrukcije na svim kontinuiranim. Budući da izlaz ovog operatora nije diferenciran, u nastavku se koristi aproksimacija zazora Bowk-Ven modelom. Ovaj dobro poznati polufizički model široko se koristi za fenomenološki opis histereznih učinaka. Popularnost modela Bowk-Vienna

je poznat po svojoj sposobnosti analitičkog hvatanja različitih oblika histereznih ciklusa. Formalni opis modela svodi se na sustav sljedećih jednadžbi:

Fbw (x, ^ = ax() + (1 -a)Dkz(t), = D"1(AX -p\x \\z \n-1 z-yx | z |n). (26)

Fbw(x,t) se tretira kao izlaz histereznog pretvarača, a x(t) kao ulaz. Ovdje je n > 1,

D > 0 k > 0 i 0<а< 1.

Riža. 3. Dinamika korespondencije ulazno-izlaznih zazora

Razmotrimo generalizaciju sustava (6) i (8), u kojima se upravljačko djelovanje dovodi na ulaz histereznog pretvarača, a izlaz je upravljačko djelovanje na sustav:

Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), z = D_1(Ax-b\x || z \n-1 z - gx | z\n).

¿4 = W-J mlQd + eb)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed) cos(e5 + 0d)] +

¿b = W -Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t),

^ z = D_1(A x-b\x\\z\n-1 z-gx \ z\n).

Kao i prije, u sustavu koji se razmatra glavni je problem bila stabilizacija, odnosno asimptotičko ponašanje njegovih faznih varijabli. Ispod su grafikoni za iste fizičke parametre sustava sa i bez zazora. Ovaj sustav je istražen numeričkim eksperimentima. Ovaj problem je riješen u programskom okruženju Wolfram Mathematica.

Vrijednosti konstanti i početni uvjeti su dati u nastavku:

m = 3; M=5; mw = 1; D=1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5;

Jv = 1,5; j(0) = 0; x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = )