Praktična primjena teorijske mehanike. Teorijska mehanika za inženjere i istraživače

13.05.2020

Unutar bilo kojeg tečaj Studij fizike počinje mehanikom. Ne iz teorijske, ne iz primijenjene i ne računske, već iz dobre stare klasične mehanike. Ova mehanika se također naziva Newtonovom mehanikom. Prema legendi, znanstvenik je šetao vrtom, vidio kako jabuka pada, a upravo ga je taj fenomen potaknuo da otkrije zakon gravitacija. Naravno, zakon je oduvijek postojao, a Newton mu je samo dao oblik razumljiv ljudima, ali njegova je zasluga neprocjenjiva. U ovom članku nećemo što detaljnije opisivati zakone Newtonove mehanike, već ćemo iznijeti osnove, osnovna znanja, definicije i formule koje vam uvijek mogu igrati na ruku.

Mehanika je grana fizike, znanost koja proučava kretanje materijalnih tijela i međudjelovanja među njima.

Sama riječ je grčkog porijekla i prevodi se kao "umjetnost građenja strojeva". Ali prije izgradnje strojeva, još nam je dug put, pa krenimo stopama naših predaka, pa ćemo proučavati kretanje kamenja bačenog pod kutom prema horizontu i jabuka koje padaju na glave s visine h.

Zašto studij fizike počinje s mehanikom? Jer potpuno je prirodno, a ne krenuti iz termodinamičke ravnoteže?!

Mehanika je jedna od najstarijih znanosti, a povijesno je proučavanje fizike počelo upravo s temeljima mehanike. Smješteni u okvire vremena i prostora, ljudi, zapravo, nisu mogli krenuti od nečega drugog, koliko god željeli. Pokretna tijela su prva stvar na koju obraćamo pažnju.

Što je kretanje?

Mehaničko gibanje je promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo tijekom vremena.

Nakon ove definicije sasvim prirodno dolazimo do koncepta referentnog okvira. Promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo. Ključne riječi ovdje: jedni prema drugima . Uostalom, putnik u automobilu se kreće u odnosu na osobu koja stoji uz cestu određenom brzinom, i odmara se u odnosu na svog susjeda na obližnjem sjedištu i kreće se nekom drugom brzinom u odnosu na putnika u automobilu koji prestiže ih.

Zato nam je potrebno, kako bismo normalno mjerili parametre pokretnih objekata i ne bismo se zbunili referentni sustav - kruto međusobno povezano referentno tijelo, koordinatni sustav i sat. Na primjer, Zemlja se kreće oko Sunca u heliocentričnom referentnom okviru. U svakodnevnom životu gotovo sva naša mjerenja provodimo u geocentričnom referentnom sustavu povezanom sa Zemljom. Zemlja je referentno tijelo u odnosu na koje se kreću automobili, avioni, ljudi, životinje.

Mehanika, kao znanost, ima svoju zadaću. Zadaća mehanike je u svakom trenutku znati položaj tijela u prostoru. Drugim riječima, mehanika gradi matematički opis gibanja i pronalazi veze između njih fizičke veličine karakterizirajući ga.

Da bismo krenuli dalje, potreban nam je pojam “ materijalna točka ". Kažu da je fizika egzaktna znanost, ali fizičari znaju koliko je aproksimacija i pretpostavki potrebno napraviti da bi se složili upravo oko ove točnosti. Nitko nikada nije vidio materijalnu točku ili nanjušio idealan plin, ali oni postoje! S njima je jednostavno puno lakše živjeti.

Materijalna točka je tijelo čija se veličina i oblik mogu zanemariti u kontekstu ovog problema.

Odjeljci klasične mehanike

Mehanika se sastoji od nekoliko dijelova

Kinematika
Dinamika
Statika

Kinematika s fizičke točke gledišta, proučava točno kako se tijelo kreće. Drugim riječima, ovaj odjeljak obrađuje kvantitativne karakteristike pokret. Pronađi brzinu, put - tipični zadaci kinematike

Dinamika rješava pitanje zašto se kreće na način na koji se kreće. To jest, razmatra sile koje djeluju na tijelo.

Statika proučava ravnotežu tijela pod djelovanjem sila, odnosno odgovara na pitanje: zašto uopće ne pada?

Granice primjenjivosti klasične mehanike

Klasična mehanika više ne tvrdi da je znanost koja sve objašnjava (početkom prošlog stoljeća sve je bilo potpuno drugačije), i ima jasan opseg primjenjivosti. Općenito, zakoni klasične mehanike vrijede za svijet koji nam je poznat po veličini (makrosvijet). Oni prestaju djelovati u slučaju svijeta čestica, kada klasičnu mehaniku zamijeni kvantna mehanika. Također, klasična mehanika je neprimjenjiva u slučajevima kada se kretanje tijela događa brzinom bliskom brzini svjetlosti. U takvim slučajevima dolazi do izražaja relativistički učinak. Grubo govoreći, u okviru kvantne i relativističke mehanike – klasične mehanike, ovaj poseban slučaj kada su dimenzije tijela velike, a brzina mala.

Općenito govoreći, kvantni i relativistički efekti nikada ne nestaju; oni se također događaju tijekom uobičajenog gibanja makroskopskih tijela brzinom mnogo manjom od brzine svjetlosti. Druga je stvar što je djelovanje tih učinaka toliko malo da ne ide dalje od najtočnijih mjerenja. Klasična mehanika tako nikada neće izgubiti svoju temeljnu važnost.

Nastavit ćemo učiti fizičke temelje mehanike u sljedećim člancima. Za bolje razumijevanje mehanike, uvijek se možete obratiti naši autori, koji su pojedinačno rasvijetlili tamnu točku najtežeg zadatka.

Teorijska mehanika- Ovo je grana mehanike, koja postavlja osnovne zakone mehaničkog gibanja i mehaničke interakcije materijalnih tijela.

Teorijska mehanika je znanost u kojoj se proučavaju gibanja tijela tijekom vremena (mehanička kretanja). Služi kao osnova za druge dijelove mehanike (teorija elastičnosti, otpora materijala, teorija plastičnosti, teorija mehanizama i strojeva, hidroaerodinamika) i mnoge tehničke discipline.

mehaničko kretanje- ovo je promjena tijekom vremena u relativnom položaju materijalnih tijela u prostoru.

Mehanička interakcija- to je takva interakcija, uslijed koje se mijenja mehanički pokret ili se mijenja relativni položaj dijelova tijela.

Statika krutog tijela

Statika- Ovo je grana teorijske mehanike, koja se bavi problemima ravnoteže čvrstih tijela i pretvorbe jednog sustava sila u drugi, njemu ekvivalentan.

Osnovni pojmovi i zakoni statike

Apsolutno kruto tijelo(čvrsto tijelo, tijelo) je materijalno tijelo, udaljenost između bilo koje točke u kojem se ne mijenja.
Materijalna točka je tijelo čije se dimenzije, prema uvjetima problema, mogu zanemariti.
labavo tijelo je tijelo, na čije se kretanje ne nameću ograničenja.
Neslobodno (vezano) tijelo je tijelo čije je kretanje ograničeno.
Veze- to su tijela koja sprječavaju kretanje predmeta koji se razmatra (tijela ili sustava tijela).
Komunikacijska reakcija je sila koja karakterizira djelovanje veze na kruto tijelo. Ako silu kojom kruto tijelo djeluje na vezu smatramo djelovanjem, tada je reakcija veze protudjelovanje. U tom slučaju se sila - djelovanje primjenjuje na spoj, a reakcija veze primjenjuje se na čvrsto tijelo.
mehanički sustav je skup međusobno povezanih tijela ili materijalnih točaka.
Čvrsto može se smatrati mehaničkim sustavom čiji se položaji i udaljenost između točaka ne mijenjaju.
Vlast je vektorska veličina koja karakterizira mehaničko djelovanje jednog materijalnog tijela na drugo.
Silu kao vektor karakterizira točka primjene, smjer djelovanja i apsolutna vrijednost. Jedinica mjere za modul sile je Newton.
linija sile je ravna linija duž koje je usmjeren vektor sile.
Koncentrirana snaga je sila primijenjena u jednoj točki.
Raspodijeljene sile (raspodijeljeno opterećenje)- to su sile koje djeluju na sve točke volumena, površine ili duljine tijela.
Raspodijeljeno opterećenje zadano je silom koja djeluje po jedinici volumena (površina, duljina).
Dimenzija raspoređenog opterećenja je N / m 3 (N / m 2, N / m).
Vanjska sila je sila koja djeluje iz tijela koje ne pripada razmatranom mehaničkom sustavu.
unutarnja snaga je sila koja djeluje na materijalnu točku mehanički sustav sa strane druge materijalne točke koja pripada sustavu koji se razmatra.
Sustav sile je ukupnost sila koje djeluju na mehanički sustav.
Ravni sustav sila je sustav sila čije linije djelovanja leže u istoj ravnini.
Prostorni sustav snaga je sustav sila čije linije djelovanja ne leže u istoj ravnini.
Sustav konvergentnih sila je sustav sila čije se linije djelovanja sijeku u jednoj točki.
Samovoljni sustav sila je sustav sila čije se linije djelovanja ne sijeku u jednoj točki.
Ekvivalentni sustavi sila- to su sustavi sila čija zamjena jedne za druge ne mijenja mehaničko stanje tijela.
Prihvaćena oznaka: .
Ravnoteža Stanje u kojem tijelo miruje ili se giba jednoliko pravocrtno pod djelovanjem sila.
Uravnotežen sustav snaga- to je sustav sila koji, kada se primijeni na slobodno čvrsto tijelo, ne mijenja svoje mehaničko stanje (ne izbalansira ga).
.
rezultantna sila je sila čije je djelovanje na tijelo ekvivalentno djelovanju sustava sila.
.
Trenutak snage je vrijednost koja karakterizira sposobnost rotacije sile.
Moćni par je sustav dviju paralelnih jednakih po apsolutnoj vrijednosti suprotno usmjerenih sila.
Prihvaćena oznaka: .
Pod djelovanjem nekoliko sila, tijelo će izvršiti rotacijsko gibanje.
Projekcija sile na os- ovo je segment zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu os.
Projekcija je pozitivna ako se smjer segmenta poklapa s pozitivnim smjerom osi.
Projekcija sile na ravninu je vektor na ravnini zatvorenoj između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu ravninu.
Zakon 1 (zakon inercije). Izolirana materijalna točka miruje ili se giba jednoliko i pravocrtno.
Jednoliko i pravocrtno gibanje materijalne točke je gibanje po inerciji. Stanje ravnoteže materijalne točke i krutog tijela shvaća se ne samo kao stanje mirovanja, već i kao kretanje po inerciji. Za kruto tijelo postoje različite vrste inercijskog gibanja, na primjer jednolika rotacija krutog tijela oko fiksna osovina.
Zakon 2. Kruto tijelo je u ravnoteži pod djelovanjem dviju sila samo ako su te sile jednake po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž zajedničke crte djelovanja.
Ove dvije sile nazivaju se uravnoteženim.
Općenito, za sile se kaže da su uravnotežene ako kruto tijelo na koje se te sile primjenjuju miruje.
Zakon 3. Bez narušavanja stanja (riječ "stanje" ovdje znači stanje gibanja ili mirovanja) krutog tijela, može se dodati i odbaciti sile ravnoteže.
Posljedica. Bez narušavanja stanja krutog tijela, sila se može prenijeti duž njegove linije djelovanja na bilo koju točku tijela.
Dva sustava sila nazivaju se ekvivalentnima ako se jedan od njih može zamijeniti drugim bez narušavanja stanja krutog tijela.
Zakon 4. Rezultanta dviju sila primijenjenih u jednoj točki primjenjuje se u istoj točki, jednaka je po apsolutnoj vrijednosti dijagonali paralelograma izgrađenog na tim silama i usmjerena je duž ove
dijagonale.
Modul rezultante je:
Zakon 5 (zakon jednakosti djelovanja i reakcije). Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž jedne ravne crte.
Treba imati na umu da akcijski- sila primijenjena na tijelo B, i oporba- sila primijenjena na tijelo A, nisu uravnoteženi, budući da su vezani za različita tijela.
Zakon 6 (zakon otvrdnjavanja). Ravnoteža nečvrstog tijela se ne narušava kada se skrutne.
Ne treba zaboraviti da su uvjeti ravnoteže, koji su nužni i dovoljni za kruto tijelo, nužni, ali nedostatni za odgovarajuće nekruto tijelo.
Zakon 7 (zakon oslobađanja od obveznica). Neslobodno čvrsto tijelo može se smatrati slobodnim ako je psihički oslobođeno veza, zamjenjujući djelovanje veza odgovarajućim reakcijama veza.

Veze i njihove reakcije

Glatka površina ograničava kretanje duž normale na površinu potpore. Reakcija je usmjerena okomito na površinu.
Zglobni pokretni oslonac ograničava kretanje tijela duž normale na referentnu ravninu. Reakcija je usmjerena duž normale na površinu potpore.
Zglobni fiksni oslonac suprotstavlja se svakom kretanju u ravnini okomitoj na os rotacije.
Zglobna bestežinska šipka suprotstavlja se kretanju tijela duž linije štapa. Reakcija će biti usmjerena duž linije štapa.
Slijepi prekid suprotstavlja se svakom kretanju i rotaciji u ravnini. Njegovo djelovanje može se zamijeniti silom predstavljenom u obliku dvije komponente i parom sila s momentom.

Kinematika

Kinematika- grana teorijske mehanike koja se bavi općom geometrijska svojstva mehaničko kretanje kao proces koji se odvija u prostoru i vremenu. Pokretni objekti smatraju se geometrijskim točkama ili geometrijskim tijelima.

Osnovni pojmovi kinematike

Zakon gibanja točke (tijela) je ovisnost položaja točke (tijela) u prostoru o vremenu.
Putanja točke je mjesto položaja točke u prostoru tijekom njezina kretanja.
Brzina točke (tijela).- ovo je karakteristika promjene u vremenu položaja točke (tijela) u prostoru.
Točkasto (tjelesno) ubrzanje- ovo je karakteristika promjene u vremenu brzine točke (tijela).

Određivanje kinematičkih karakteristika točke

Putanja točke
U vektorskom referentnom sustavu putanja se opisuje izrazom: .
U koordinatnom referentnom sustavu putanja je određena prema zakonu gibanja točke i opisana je izrazima z = f(x,y) u svemiru, ili y = f(x)- u avionu.
V prirodni sustav referentna putanja je unaprijed određena.
Određivanje brzine točke u vektorskom koordinatnom sustavu
Kod zadavanja kretanja točke u vektorskom koordinatnom sustavu, omjer kretanja i vremenskog intervala naziva se prosječna vrijednost brzine u tom vremenskom intervalu: .
Uzimajući vremenski interval kao beskonačno malu vrijednost, dobivamo vrijednost brzine u danom trenutku (trenutna vrijednost brzine): .
Vektor Prosječna brzina je usmjeren duž vektora u smjeru kretanja točke, vektor trenutne brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke.
Zaključak: brzina točke je vektorska veličina jednaka derivaciji zakona gibanja s obzirom na vrijeme.
Svojstvo derivata: vremenski derivat bilo koje vrijednosti određuje brzinu promjene ove vrijednosti.
Određivanje brzine točke u koordinatnom referentnom sustavu
Brzina promjene koordinata točke:
.
Modul pune brzine točke s pravokutnim koordinatnim sustavom bit će jednak:
.
Smjer vektora brzine određen je kosinusima kutova upravljanja:
,
gdje su kutovi između vektora brzine i koordinatnih osi.
Određivanje brzine točke u prirodnom referentnom sustavu
Brzina točke u prirodnom referentnom sustavu definirana je kao derivacija zakona gibanja točke: .
Prema prethodnim zaključcima, vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke i u osi je određen samo jednom projekcijom.

Kinematika krutog tijela

U kinematici krutih tijela rješavaju se dva glavna problema:
1) zadatak kretanja i određivanje kinematičkih karakteristika tijela u cjelini;
2) određivanje kinematičkih karakteristika točaka tijela.
Translacijsko gibanje krutog tijela
Translacijsko gibanje je gibanje u kojem ravna crta povučena kroz dvije točke tijela ostaje paralelna svom izvornom položaju.
Teorema: u translacijskom gibanju sve se točke tijela kreću istim putanjama i u svakom trenutku imaju iste brzine i ubrzanja po veličini i smjeru.
Zaključak: kretanje naprijed krutog tijela određena je kretanjem bilo koje njegove točke, pa se stoga zadatak i proučavanje njegovog kretanja svodi na kinematiku točke.
Rotacijsko gibanje krutog tijela oko fiksne osi
Rotacijsko gibanje krutog tijela oko fiksne osi je gibanje krutog tijela u kojem dvije točke koje pripadaju tijelu ostaju nepomične tijekom cijelog vremena kretanja.
Položaj tijela određen je kutom rotacije. Mjerna jedinica za kut je radijani. (Radijan je središnji kut kružnice čija je duljina luka jednaka polumjeru, puni kut kružnice sadrži 2π radijan.)
Zakon rotacijskog gibanja tijela oko fiksne osi.
Kutna brzina i kutno ubrzanje tijela odredit će se metodom diferencijacije:
— kutna brzina, rad/s;
— kutno ubrzanje, rad/s².
Ako tijelo presiječemo ravninom okomitom na os, izaberemo točku na osi rotacije S i proizvoljna točka M, zatim točka Mće opisati oko točke S krug radijusa R. Tijekom dt postoji elementarna rotacija kroz kut , dok je točka M kretat će se duž putanje na udaljenosti .
Modul linearne brzine:
.
točkasto ubrzanje M s poznatom putanjom određena je njegovim komponentama:
,
gdje .
Kao rezultat, dobivamo formule
tangencijalno ubrzanje: ;
normalno ubrzanje: .

Dinamika

Dinamika je grana teorijske mehanike koja se bavi mehaničko kretanje materijalna tijela, ovisno o uzrocima koji ih uzrokuju.

Osnovni pojmovi dinamike

inercija je svojstvo materijalnih tijela da održavaju stanje mirovanja ili uniforme pravolinijsko gibanje sve dok vanjske sile ne promijene ovo stanje.
Težina je kvantitativna mjera tromosti tijela. Jedinica mase je kilogram (kg).
Materijalna točka je tijelo s masom, čije se dimenzije zanemaruju u rješavanju ovog problema.
Središte mase mehaničkog sustava — geometrijska točka, čije su koordinate određene formulama:

gdje m k , x k , y k , z k- masa i koordinate k- ta točka mehaničkog sustava, m je masa sustava.
U jednoličnom polju gravitacije položaj težišta poklapa se s položajem težišta.
Moment tromosti materijalnog tijela oko osi je kvantitativna mjera inercije tijekom rotacijskog gibanja.
Trenutak tromosti materijalne točke oko osi jednak je umnošku mase točke i kvadrata udaljenosti točke od osi:
.
Moment tromosti sustava (tijela) oko osi jednak je aritmetički zbroj momenti inercije svih točaka:
Sila tromosti materijalne točke vektorska je veličina jednaka apsolutnoj vrijednosti umnošku mase točke i modula akceleracije i usmjerena suprotno vektoru ubrzanja:
Sila tromosti materijalnog tijela je vektorska veličina jednaka apsolutnoj vrijednosti umnošku mase tijela i modula akceleracije središta mase tijela i usmjerena suprotno vektoru ubrzanja središta mase: ,
gdje je akceleracija centra mase tijela.
Impuls elementarne sile je vektorska veličina, jednak proizvodu vektor sile za beskonačno mali vremenski interval dt:
.
Ukupni impuls sile za Δt jednak je integralu elementarnih impulsa:
.
Elementarni rad sile je skalar dA, jednako skalaru

Aizenberg T.B., Voronkov I.M., Osetsky V.M. Vodič za rješavanje problema u teorijskoj mehanici (6. izdanje). M.: postdiplomske studije, 1968 (djvu)
Aizerman M.A. Klasična mehanika (2. izd.). Moskva: Nauka, 1980 (djvu)
Aleshkevich V.A., Dedenko L.G., Karavaev V.A. Mehanika krutog tijela. Predavanja. Moskva: Fakultet fizike, Moskovsko državno sveučilište, 1997 (djvu)
Amelkin N.I. Kinematika i dinamika krutog tijela, Moskovski institut za fiziku i tehnologiju, 2000. (pdf)
Appel P. Teorijska mehanika. Svezak 1. Statistika. Dinamika točaka. Moskva: Fizmatlit, 1960 (djvu)
Appel P. Teorijska mehanika. Svezak 2. Dinamika sustava. Analitička mehanika. Moskva: Fizmatlit, 1960 (djvu)
Arnold V.I. Mali nazivnici i problemi stabilnosti gibanja u klasičnoj i nebeskoj mehanici. Napredak u matematičkim znanostima vol. XVIII, br. 6 (114), str. 91-192, 1963. (djvu)
Arnold V.I., Kozlov V.V., Neishtadt A.I. Matematički aspekti klasične i nebeske mehanike. M.: VINITI, 1985 (djvu)
Barinova M.F., Golubeva O.V. Zadaci i vježbe iz klasične mehanike. M.: Više. škola, 1980. (djvu)
Bat M.I., Dzhanelidze G.Yu., Kelzon A.S. Teorijska mehanika u primjerima i zadacima. Svezak 1: Statika i kinematika (5. izdanje). Moskva: Nauka, 1967 (djvu)
Bat M.I., Dzhanelidze G.Yu., Kelzon A.S. Teorijska mehanika u primjerima i zadacima. Svezak 2: Dynamics (3. izdanje). Moskva: Nauka, 1966 (djvu)
Bat M.I., Dzhanelidze G.Yu., Kelzon A.S. Teorijska mehanika u primjerima i zadacima. Svezak 3: Posebna poglavlja mehanike. Moskva: Nauka, 1973 (djvu)
Bekshaev S.Ya., Fomin V.M. Osnove teorije oscilacija. Odesa: OGASA, 2013. (pdf)
Belenky I.M. Uvod u analitičku mehaniku. M.: Više. škola, 1964. (djvu)
Berezkin E.N. Tečaj teorijske mehanike (2. izd.). M.: Ed. Moskovsko državno sveučilište, 1974. (djvu)
Berezkin E.N. Teorijska mehanika. Smjernice (3. izd.). M.: Ed. Moskovsko državno sveučilište, 1970. (djvu)
Berezkin E.N. Rješavanje zadataka iz teorijske mehanike, dio 1. M.: Izd. Moskovsko državno sveučilište, 1973. (djvu)
Berezkin E.N. Rješavanje problema u teorijskoj mehanici, dio 2. M.: Izd. Moskovsko državno sveučilište, 1974. (djvu)
Berezova O.A., Drushlyak G.E., Solodovnikov R.V. Teorijska mehanika. Zbirka zadataka. Kijev: Škola Vishcha, 1980. (djvu)
Biderman V.L. Teorija mehaničke vibracije. M.: Više. škola, 1980. (djvu)
Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A., Samoilenko A.M. Metoda ubrzane konvergencije u nelinearnoj mehanici. Kijev: Nauk. misao, 1969. (djvu)
Bražničenko N.A., Kan V.L. i dr. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike (2. izdanje). Moskva: Viša škola, 1967 (djvu)
Butenin N.V. Uvod u analitičku mehaniku. Moskva: Nauka, 1971 (djvu)
Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Kolegij teorijske mehanike. Svezak 1. Statika i kinematika (3. izdanje). M.: Nauka, 1979 (djvu)
Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Kolegij teorijske mehanike. Svezak 2. Dinamika (2. izdanje). M.: Nauka, 1979 (djvu)
Buchholz N.N. Osnovni kolegij teorijske mehanike. 1. svezak: Kinematika, statika, dinamika materijalne točke (6. izdanje). Moskva: Nauka, 1965 (djvu)
Buchholz N.N. Osnovni kolegij teorijske mehanike. Svezak 2: Dinamika sustava materijalnih točaka (4. izdanje). Moskva: Nauka, 1966 (djvu)
Buchholz N.N., Voronkov I.M., Minakov A.P. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike (3. izdanje). M.-L.: GITTL, 1949. (djvu)
Vallee Poussin C.-J. Predavanja o teorijskoj mehanici, svezak 1. M.: GIIL, 1948 (djvu)
Vallee Poussin C.-J. Predavanja o teorijskoj mehanici, svezak 2. M.: GIIL, 1949 (djvu)
Webster A.G. Mehanika materijalnih točaka čvrstih, elastičnih i tekućih tijela (predavanja iz matematičke fizike). L.-M.: GTTI, 1933. (djvu)
Veretennikov V.G., Sinitsyn V.A. Metoda varijabilnog djelovanja (2. izdanje). Moskva: Fizmatlit, 2005 (djvu)
Veselovsky I.N. Dinamika. M.-L.: GITTL, 1941. (djvu)
Veselovsky I.N. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike. M.: GITTL, 1955. (djvu)
Wittenburg J. Dinamika sustava čvrstih tijela. M.: Mir, 1980 (djvu)
Voronkov I.M. Tečaj teorijske mehanike (11. izdanje). Moskva: Nauka, 1964 (djvu)
Ganiev R.F., Kononenko V.O. Oscilacije krutih tijela. M.: Nauka, 1976 (djvu)
Gantmakher F.R. Predavanja iz analitičke mehanike. M.: Nauka, 1966 (2. izdanje) (djvu)
Gernet M.M. Kolegij teorijske mehanike. M.: Vyssh.shkola (3. izdanje), 1973. (djvu)
Geronimus Ya.L. Teorijska mehanika (eseji o glavnim odredbama). Moskva: Nauka, 1973 (djvu)
Hertz G. Principi mehanike izloženi u novoj vezi. Moskva: Akademija nauka SSSR-a, 1959 (djvu)
Goldstein G. Klasična mehanika. Moskva: Gostekhizdat, 1957 (djvu)
Golubeva O.V. Teorijska mehanika. M.: Više. škola, 1968. (djvu)
Dimentberg F.M. Vijčani račun i njegova primjena u mehanici. Moskva: Nauka, 1965 (djvu)
Dobronravov V.V. Osnove analitičke mehanike. Moskva: Viša škola, 1976 (djvu)
Zhirnov N.I. Klasična mehanika. M.: Prosvjeta, 1980. (djvu)
Žukovsky N.E. Teorijska mehanika (2. izdanje). M.-L.: GITTL, 1952. (djvu)
Zhuravlev V.F. Osnove mehanike. Metodički aspekti. Moskva: Institut za probleme u mehanici RAS (preprint N 251), 1985 (djvu)
Zhuravlev V.F. Osnove teorijske mehanike (2. izdanje). M.: Fizmatlit, 2001 (djvu)
Žuravlev V.F., Klimov D.M. Primijenjene metode u teoriji oscilacija. Moskva: Nauka, 1988 (djvu)
Zubov V.I., Ermolin V.S. i dr. Dinamika slobodnog krutog tijela i definicija njegove orijentacije u prostoru. L.: Lenjingradsko državno sveučilište, 1968 (djvu)
Zubov V.G. Mehanika. Serija "Principi fizike". Moskva: Nauka, 1978 (djvu)
Povijest mehanike žiroskopskih sustava. Moskva: Nauka, 1975 (djvu)
Ishlinsky A.Yu. (ur.). Teorijska mehanika. Slovne oznake veličina. Problem. 96. M: Znanost, 1980 (djvu)
Ishlinsky A.Yu., Borzov V.I., Stepanenko N.P. Zbirka zadataka i vježbi iz teorije žiroskopa. M.: Izdavačka kuća Moskovskog državnog sveučilišta, 1979 (djvu)
Kabalsky M.M., Krivoshey V.D., Savitsky N.I., Čajkovski G.N. Tipični zadaci o teorijskoj mehanici i metodama za njihovo rješavanje. Kijev: GITL Ukrajinske SSR, 1956. (djvu)
Kilchevsky N.A. Teorijski tečaj mehanike, v.1: kinematika, statika, dinamika točke, (2. izd.), M.: Nauka, 1977 (djvu)
Kilchevsky N.A. Kolegij teorijske mehanike, v.2: dinamika sustava, analitička mehanika, elementi teorije potencijala, mehanika kontinuum, Specijalna i opća relativnost, Moskva: Nauka, 1977 (djvu)
Kirpičev V.L. Razgovori o mehanici. M.-L.: GITTL, 1950. (djvu)
Klimov D.M. (ur.). Problemi mehanike: sub. članaka. Uz 90. obljetnicu rođenja A. Yu. Ishlinskyja. Moskva: Fizmatlit, 2003 (djvu)
Kozlov V.V. Metode kvalitativne analize u dinamici krutog tijela (2. izd.). Iževsk: Istraživački centar "Regularna i kaotična dinamika", 2000. (djvu)
Kozlov V.V. Simetrije, topologija i rezonancije u Hamiltonovoj mehanici. Iževsk: Izdavačka kuća Udmurtske države. sveučilište, 1995. (djvu)
Kosmodemyansky A.A. Kolegij teorijske mehanike. Dio I. M.: Prosvjeta, 1965. (djvu)
Kosmodemyansky A.A. Kolegij teorijske mehanike. Dio II. M.: Prosvjeta, 1966. (djvu)
Kotkin G.L., Serbo V.G. Zbirka zadataka iz klasične mehanike (2. izd.). Moskva: Nauka, 1977 (djvu)
Kragelsky I.V., Shchedrov V.S. Razvoj nauke o trenju. Suho trenje. M.: AN SSSR, 1956 (djvu)
Lagrange J. Analitička mehanika, svezak 1. M.-L.: GITTL, 1950. (djvu)
Lagrange J. Analitička mehanika, svezak 2. M.-L.: GITTL, 1950. (djvu)
Lamb G. Teorijska mehanika. Svezak 2. Dinamika. M.-L.: GTTI, 1935. (djvu)
Lamb G. Teorijska mehanika. Svezak 3. Teža pitanja. M.-L.: ONTI, 1936. (djvu)
Levi-Civita T., Amaldi U. Tečaj teorijske mehanike. Svezak 1, dio 1: Kinematika, principi mehanike. M.-L.: NKTL SSSR, 1935. (djvu)
Levi-Civita T., Amaldi U. Tečaj teorijske mehanike. Svezak 1, dio 2: Kinematika, principi mehanike, statika. M .: Od-u stranim. Književnost, 1952. (djvu)
Levi-Civita T., Amaldi U. Tečaj teorijske mehanike. Svezak 2, dio 1: Dinamika sustava s konačnim brojem stupnjeva slobode. M .: Od-u stranim. Književnost, 1951. (djvu)
Levi-Civita T., Amaldi U. Tečaj teorijske mehanike. Svezak 2, dio 2: Dinamika sustava s konačnim brojem stupnjeva slobode. M .: Od-u stranim. Književnost, 1951. (djvu)
Leach J.W. Klasična mehanika. M.: Strani. književnost, 1961. (djvu)
Lunts Ya.L. Uvod u teoriju žiroskopa. M.: Nauka, 1972 (djvu)
Lurie A.I. Analitička mehanika. M.: GIFML, 1961. (djvu)
Lyapunov A.M. Opći zadatak o stabilnosti kretanja. M.-L.: GITTL, 1950. (djvu)
Markeev A.P. Dinamika tijela u dodiru s čvrstom površinom. M.: Nauka, 1992 (djvu)
Markeev A.P. Teorijska mehanika, 2. izdanje. Iževsk: RHD, 1999 (djvu)
Martynyuk A.A. Stabilnost kretanja složenih sustava. Kijev: Nauk. dumka, 1975. (djvu)
Merkin D.R. Uvod u mehaniku savitljive niti. Moskva: Nauka, 1980 (djvu)
Mehanika u SSSR-u već 50 godina. Svezak 1. Opća i primijenjena mehanika. Moskva: Nauka, 1968 (djvu)
Metelitsin I.I. Teorija žiroskopa. Teorija stabilnosti. Odabrani radovi. Moskva: Nauka, 1977 (djvu)
Meshchersky I.V. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike (34. izdanje). Moskva: Nauka, 1975 (djvu)
Misyurev M.A. Metode rješavanja zadataka iz teorijske mehanike. Moskva: Viša škola, 1963 (djvu)
Moiseev N.N. Asimptotske metode nelinearne mehanike. Moskva: Nauka, 1969 (djvu)
Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Dinamika neholonomskih sustava. Moskva: Nauka, 1967 (djvu)
Nekrasov A.I. Kolegij teorijske mehanike. Svezak 1. Statika i kinematika (6. izd.) M.: GITTL, 1956. (djvu)
Nekrasov A.I. Kolegij teorijske mehanike. Svezak 2. Dinamika (2. izd.) M.: GITTL, 1953. (djvu)
Nikolaj E.L. Žiroskop i neke njegove tehničke primjene u javnom izlaganju. M.-L.: GITTL, 1947. (djvu)
Nikolaj E.L. Teorija žiroskopa. L.-M.: GITTL, 1948. (djvu)
Nikolaj E.L. Teorijska mehanika. Dio I. Statika. Kinematika (dvadeseto izdanje). M.: GIFML, 1962 (djvu)
Nikolaj E.L. Teorijska mehanika. Dio II. Dinamika (trinaesto izdanje). M.: GIFML, 1958 (djvu)
Novoselov V.S. Varijabilne metode u mehanici. L .: Izdavačka kuća Lenjingradskog državnog sveučilišta, 1966 (djvu)
Olkhovski I.I. Kolegij teorijske mehanike za fizičare. Moskva: Moskovsko državno sveučilište, 1978 (djvu)
Olkhovski I.I., Pavlenko Yu.G., Kuzmenkov L.S. Problemi teorijske mehanike za fizičare. Moskva: Moskovsko državno sveučilište, 1977 (djvu)
Pars L.A. Analitička dinamika. Moskva: Nauka, 1971 (djvu)
Perelman Ya.I. Zabavna mehanika (4. izdanje). M.-L.: ONTI, 1937. (djvu)
Plank M. Uvod u teorijsku fiziku. Prvi dio. Opća mehanika (2. izdanje). M.-L.: GTTI, 1932. (djvu)
Polak L.S. (ur.) Varijacijska načela mehanike. Zbornik članaka klasika znanosti. Moskva: Fizmatgiz, 1959 (djvu)
Poincare A. Predavanja o nebeskoj mehanici. Moskva: Nauka, 1965 (djvu)
Poincare A. Nova mehanika. Evolucija zakona. M.: Suvremena pitanja: 1913 (djvu)
Rose N.V. (ur.) Teorijska mehanika. Dio 1. Mehanika materijalne točke. L.-M.: GTTI, 1932. (djvu)
Rose N.V. (ur.) Teorijska mehanika. Dio 2. Mehanika materijalni sustav i čvrsto tijelo. L.-M.: GTTI, 1933. (djvu)
Rosenblat G.M. Suho trenje u problemima i rješenjima. M.-Izhevsk: RHD, 2009. (pdf)
Rubanovski V.N., Samsonov V.A. Stabilnost stacionarnih gibanja u primjerima i zadacima. M.-Izhevsk: RHD, 2003 (pdf)
Samsonov V.A. Bilješke s predavanja iz mehanike. Moskva: Moskovsko državno sveučilište, 2015 (pdf)
Šećer N.F. Kolegij teorijske mehanike. M.: Više. škola, 1964. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 1. M.: Vyssh. škola, 1968. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 2. M.: Vyssh. škola, 1971. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 3. M.: Vyssh. škola, 1972. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 4. M.: Vyssh. škola, 1974. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 5. M.: Vyssh. škola, 1975. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 6. M.: Vyssh. škola, 1976. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 7. M.: Vyssh. škola, 1976. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 8. M.: Vyssh. škola, 1977. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 9. M.: Vyssh. škola, 1979. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 10. M.: Vyssh. škola, 1980. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 11. M.: Vyssh. škola, 1981. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 12. M.: Vyssh. škola, 1982. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 13. M.: Vyssh. škola, 1983. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 14. M.: Vyssh. škola, 1983. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 15. M.: Vyssh. škola, 1984. (djvu)
Zbornik znanstvenih i metodičkih članaka o teorijskoj mehanici. Broj 16. M.: Vyssh. škola, 1986

Kao dio svakog nastavnog plana i programa, studij fizike počinje s mehanikom. Ne iz teorijske, ne iz primijenjene i ne računske, već iz dobre stare klasične mehanike. Ova mehanika se također naziva Newtonovom mehanikom. Prema legendi, znanstvenik je šetao vrtom, vidio kako jabuka pada, a upravo ga je taj fenomen potaknuo da otkrije zakon univerzalne gravitacije. Naravno, zakon je oduvijek postojao, a Newton mu je samo dao oblik razumljiv ljudima, ali njegova je zasluga neprocjenjiva. U ovom članku nećemo što detaljnije opisivati zakone Newtonove mehanike, već ćemo iznijeti osnove, osnovna znanja, definicije i formule koje vam uvijek mogu igrati na ruku.

Mehanika je grana fizike, znanost koja proučava kretanje materijalnih tijela i međudjelovanja među njima.

Zašto studij fizike počinje s mehanikom? Jer potpuno je prirodno, a ne krenuti iz termodinamičke ravnoteže?!

Što je kretanje?

Mehaničko gibanje je promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo tijekom vremena.

Mehanika, kao znanost, ima svoju zadaću. Zadaća mehanike je u svakom trenutku znati položaj tijela u prostoru. Drugim riječima, mehanika konstruira matematički opis gibanja i pronalazi veze između fizičkih veličina koje ga karakteriziraju.

Materijalna točka je tijelo čija se veličina i oblik mogu zanemariti u kontekstu ovog problema.

Odjeljci klasične mehanike

Mehanika se sastoji od nekoliko dijelova

Kinematika
Dinamika
Statika

Kinematika s fizičke točke gledišta, proučava točno kako se tijelo kreće. Drugim riječima, ovaj dio se bavi kvantitativnim karakteristikama kretanja. Pronađi brzinu, put - tipični zadaci kinematike

Dinamika rješava pitanje zašto se kreće na način na koji se kreće. To jest, razmatra sile koje djeluju na tijelo.

Statika proučava ravnotežu tijela pod djelovanjem sila, odnosno odgovara na pitanje: zašto uopće ne pada?

Granice primjenjivosti klasične mehanike

Klasična mehanika više ne tvrdi da je znanost koja sve objašnjava (početkom prošlog stoljeća sve je bilo potpuno drugačije), i ima jasan opseg primjenjivosti. Općenito, zakoni klasične mehanike vrijede za svijet koji nam je poznat po veličini (makrosvijet). Oni prestaju djelovati u slučaju svijeta čestica, kada klasičnu mehaniku zamijeni kvantna mehanika. Također, klasična mehanika je neprimjenjiva u slučajevima kada se kretanje tijela događa brzinom bliskom brzini svjetlosti. U takvim slučajevima dolazi do izražaja relativistički učinak. Grubo rečeno, u okviru kvantne i relativističke mehanike – klasične mehanike, ovo je poseban slučaj kada su dimenzije tijela velike, a brzina mala.

Nastavit ćemo proučavati fizičke temelje mehanike u budućim člancima. Za bolje razumijevanje mehanike, uvijek se možete obratiti naši autori, koji su pojedinačno rasvijetlili tamnu točku najtežeg zadatka.

Statika je grana teorijske mehanike koja proučava uvjete ravnoteže materijalnih tijela pod djelovanjem sila, kao i metode pretvaranja sila u ekvivalentne sustave.

Pod stanjem ravnoteže, u statici, podrazumijeva se stanje u kojem svi dijelovi mehaničkog sustava miruju u odnosu na neki inercijski koordinatni sustav. Jedan od osnovnih objekata statike su sile i točke njihove primjene.

Sila koja djeluje na materijalnu točku s vektorom radijusa iz drugih točaka je mjera utjecaja drugih točaka na razmatranu točku, zbog čega ona dobiva ubrzanje u odnosu na inercijski referentni okvir. Vrijednost snagu određuje se formulom:
,
gdje je m masa točke – vrijednost koja ovisi o svojstvima same točke. Ova formula se zove drugi Newtonov zakon.

Primjena statike u dinamici

Važna značajka jednadžbi gibanja apsolutno krutog tijela je da se sile mogu pretvoriti u ekvivalentne sustave. Takvom transformacijom jednadžbe gibanja zadržavaju svoj oblik, ali se sustav sila koje djeluju na tijelo može preobraziti u jednostavniji sustav. Dakle, točka primjene sile može se pomicati duž linije njezina djelovanja; sile se mogu proširiti prema pravilu paralelograma; sile primijenjene u jednoj točki mogu se zamijeniti njihovim geometrijskim zbrojem.

Primjer takvih transformacija je gravitacija. Djeluje na sve točke krutog tijela. Ali zakon gibanja tijela neće se promijeniti ako se sila gravitacije raspoređena na sve točke zamijeni jednim vektorom primijenjenim u središtu mase tijela.

Ispada da ako glavnom sustavu sila koje djeluju na tijelo dodamo ekvivalentni sustav u kojem su smjerovi sila obrnuti, tada će tijelo pod djelovanjem tih sustava biti u ravnoteži. Dakle, zadatak određivanja ekvivalentnih sustava sila svodi se na problem ravnoteže, odnosno na problem statike.

Glavni zadatak statike je uspostavljanje zakona za transformaciju sustava sila u ekvivalentne sustave. Dakle, metode statike koriste se ne samo u proučavanju tijela u ravnoteži, već i u dinamici krutog tijela, u transformaciji sila u jednostavnije ekvivalentne sustave.

Statika materijalne točke

Razmotrimo materijalnu točku koja je u ravnoteži. I neka na njega djeluje n sila, k = 1, 2, ..., n.

Ako je materijalna točka u ravnoteži, tada je vektorski zbroj sila koje djeluju na nju jednak nuli:
(1) .

U ravnoteži, geometrijski zbroj sila koje djeluju na točku je nula.

Geometrijska interpretacija. Ako se početak drugog vektora stavi na kraj prvog vektora, a početak trećeg na kraj drugog vektora, pa se taj proces nastavi, tada će kraj posljednjeg, n-tog vektora kombinirati s početkom prvog vektora. Odnosno, dobivamo zatvoreni geometrijski lik čije su duljine stranica jednake modulima vektora. Ako svi vektori leže u istoj ravnini, tada dobivamo zatvoreni poligon.

Često je prikladno odabrati pravokutni koordinatni sustav Oxyz. Tada su zbroji projekcija svih vektora sila na koordinatne osi jednaki nuli:

Ako odaberemo bilo koji smjer definiran nekim vektorom , tada je zbroj projekcija vektora sile na ovaj smjer jednak nuli:
.
Jednadžbu (1) množimo skalarno vektorom:
.
Ovdje je skalarni proizvod vektora i .
Imajte na umu da je projekcija vektora na smjer vektora određena formulom:
.

Statika krutog tijela

Moment sile oko točke

Određivanje momenta sile

Trenutak sile, primijenjen na tijelo u točki A, u odnosu na fiksno središte O, naziva se vektor jednak vektorskom umnošku vektora i:
(2) .

Geometrijska interpretacija

Moment sile jednak je umnošku sile F i kraka OH.

Neka se vektori i nalaze u ravnini lika. Prema imovini vektorski proizvod, vektor je okomit na vektore i , to jest, okomit je na ravninu lika. Njegov smjer određuje se pravilom desnog vijka. Na slici je vektor trenutka usmjeren prema nama. Apsolutna vrijednost trenutka:
.
Jer, onda
(3) .

Koristeći geometriju, može se dati drugačija interpretacija momenta sile. Da biste to učinili, povucite ravnu liniju AH kroz vektor sile . Iz središta O ispuštamo okomitu OH na ovu liniju. Duljina ove okomice naziva se rame snage. Zatim
(4) .
Budući da su , formule (3) i (4) su ekvivalentne.

Na ovaj način, apsolutna vrijednost momenta sile u odnosu na središte O je proizvod sile na ramenu ova sila u odnosu na odabrano središte O .

Prilikom izračunavanja momenta, često je prikladno rastaviti silu na dvije komponente:
,
gdje . Sila prolazi točkom O. Stoga je njegov zamah jednak nuli. Zatim
.
Apsolutna vrijednost trenutka:
.

Komponente momenta u pravokutnim koordinatama

Ako odaberemo pravokutni koordinatni sustav Oxyz sa središtem u točki O, tada će moment sile imati sljedeće komponente:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Ovdje su koordinate točke A u odabranom koordinatnom sustavu:
.
Komponente su vrijednosti momenta sile oko osi, respektivno.

Svojstva momenta sile oko centra

Moment oko središta O, od sile koja prolazi kroz ovo središte, jednak je nuli.

Ako se točka primjene sile pomakne duž linije koja prolazi kroz vektor sile, tada se trenutak, tijekom takvog kretanja, neće promijeniti.

Moment iz vektorskog zbroja sila primijenjenih na jednu točku tijela jednak je vektorskom zbroju momenata svake od sila primijenjenih na istu točku:
.

Isto vrijedi i za sile čije se produžne linije sijeku u jednoj točki.

Ako je vektorski zbroj sila nula:
,
tada zbroj momenata ovih sila ne ovisi o položaju središta u odnosu na koje se momenti računaju:
.

Moćni par

Moćni par su dvije sile, jednake po apsolutnoj vrijednosti i suprotnih smjerova, primijenjene na različite točke tijelo.

Par sila karakterizira trenutak kada stvaraju. Budući da je vektorski zbroj sila uključenih u par jednak nuli, moment koji par stvara ne ovisi o točki u odnosu na koju se moment izračunava. Sa stajališta statičke ravnoteže, priroda sila u paru je irelevantna. Par sila koristi se za označavanje da moment sila djeluje na tijelo, koji ima određenu vrijednost.

Moment sile oko date osi

Često postoje slučajevi kada ne trebamo znati sve komponente momenta sile oko odabrane točke, već samo trebamo znati moment sile oko odabrane osi.

Moment sile oko osi koja prolazi kroz točku O je projekcija vektora momenta sile, oko točke O, na smjer osi.

Svojstva momenta sile oko osi

Moment oko osi od sile koja prolazi kroz ovu os jednak je nuli.

Trenutak oko osi od sile paralelne ovoj osi jednak je nuli.

Proračun momenta sile oko osi

Neka na tijelo u točki A djeluje sila. Nađimo moment ove sile u odnosu na os O′O′′.

Izgradimo pravokutni koordinatni sustav. Neka se os Oz poklapa s O′O′′ . Iz točke A spuštamo okomicu OH na O′O′′ . Kroz točke O i A povučemo os Ox. Povlačimo os Oy okomitu na Ox i Oz. Razlažemo silu na komponente duž osi koordinatnog sustava:
.
Sila prelazi os O′O′′. Stoga je njegov zamah jednak nuli. Sila je paralelna s O′O′′ osi. Stoga je i njegov moment jednak nuli. Formulom (5.3) nalazimo:
.

Imajte na umu da je komponenta usmjerena tangencijalno na kružnicu čije je središte točka O. Smjer vektora određen je pravilom desnog vijka.

Uvjeti ravnoteže za kruto tijelo

U ravnoteži, vektorski zbroj svih sila koje djeluju na tijelo jednak je nuli, a vektorski zbroj momenata tih sila u odnosu na proizvoljno fiksno središte jednak je nuli:
(6.1) ;
(6.2) .

Naglašavamo da se središte O , u odnosu na koje se računaju momenti sila, može birati proizvoljno. Točka O može ili pripadati tijelu ili biti izvan njega. Obično se bira središte O kako bi se izračuni olakšali.

Uvjeti ravnoteže mogu se formulirati i na drugi način.

U ravnoteži, zbroj projekcija sila na bilo koji smjer dat proizvoljnim vektorom jednak je nuli:
.
Zbroj momenata sila oko proizvoljne osi O′O′′ također je jednak nuli:
.

Ponekad su ti uvjeti prikladniji. Postoje slučajevi kada se, odabirom osi, izračuni mogu pojednostaviti.

Težište tijela

Razmotrite jedan od najvažnije sile- gravitacija. Ovdje se sile ne primjenjuju na određenim točkama tijela, već se kontinuirano raspoređuju po njegovom volumenu. Za svaki dio tijela s beskonačno malim volumenom ∆V, djeluje gravitacijska sila. Ovdje je ρ gustoća tvari tijela, akceleracija slobodnog pada.

Neka je masa beskonačno malog dijela tijela. I neka točka A k definira položaj ovog presjeka. Nađimo veličine koje se odnose na silu gravitacije, a koje su uključene u jednadžbe ravnoteže (6).

Nađimo zbroj sila gravitacije koje čine svi dijelovi tijela:
,
gdje je masa tijela. Dakle, zbroj sila gravitacije pojedinih beskonačno malih dijelova tijela može se zamijeniti jednim gravitacijskim vektorom cijelog tijela:
.

Nađimo zbroj momenata sila gravitacije u odnosu na odabrano središte O na proizvoljan način:

.
Ovdje smo uveli točku C koja se zove centar gravitacije tijelo. Položaj težišta, u koordinatnom sustavu sa središtem u točki O, određuje se formulom:
(7) .

Dakle, pri određivanju statičke ravnoteže, zbroj sila gravitacije pojedinih dijelova tijela može se zamijeniti rezultantom
,
primijenjeno na središte mase tijela C , čiji je položaj određen formulom (7).

Položaj težišta za razne geometrijski oblici možete pronaći u relevantnim vodičima. Ako tijelo ima os ili ravninu simetrije, tada se težište nalazi na ovoj osi ili ravnini. Dakle, težišta kugle, kruga ili kruga nalaze se u središtima krugova ovih figura. Centri gravitacije kuboidan, pravokutnik ili kvadrat također se nalaze u njihovim središtima - na sjecištima dijagonala.

Ravnomjerno (A) i linearno (B) raspoređeno opterećenje.

Postoje i slučajevi slični sili gravitacije, kada se sile ne primjenjuju na određene točke tijela, već se kontinuirano raspoređuju po njegovoj površini ili volumenu. Takve sile se nazivaju raspoređene snage ili .

(Slika A). Također, kao iu slučaju gravitacije, može se zamijeniti rezultantnom silom veličine, primijenjenom na težište dijagrama. Budući da je dijagram na slici A pravokutnik, težište dijagrama je u njegovom središtu - točki C: | AC| = | CB |.

(slika B). Također se može zamijeniti rezultantom. Vrijednost rezultanta jednaka je površini dijagrama:
.
Točka primjene je u težištu parcele. Težište trokuta, visine h, udaljeno je od baze. dakle .

Sile trenja

Trenje klizanja. Neka tijelo bude na ravnoj površini. I neka je sila okomita na površinu kojom površina djeluje na tijelo (tlačna sila). Tada je sila trenja klizanja paralelna s površinom i usmjerena u stranu, sprječavajući kretanje tijela. Njegova najveća vrijednost je:
,
gdje je f koeficijent trenja. Koeficijent trenja je bezdimenzionalna veličina.

trenje kotrljanja. Neka se zaobljeno tijelo kotrlja ili se može kotrljati po površini. I neka je sila pritiska okomita na površinu kojom površina djeluje na tijelo. Tada na tijelo, u mjestu dodira s površinom, djeluje moment sila trenja koji onemogućuje kretanje tijela. Najveća vrijednost momenta trenja je:
,
gdje je δ koeficijent trenja kotrljanja. Ima dimenziju dužine.

Reference:
S. M. Targ, Kratki tečaj Teorijska mehanika, Viša škola, 2010. (monografija).