Paljud inimesed arvavad nii eksponentsiaalne ebavõrdsus See on midagi nii keerulist ja arusaamatut. Ja et nende lahendamise õppimine on peaaegu suur kunst, millest saavad aru vaid valitud...

Täielik jama! Eksponentsiaalne ebavõrdsus on lihtne. Ja neid on alati lihtne lahendada. No peaaegu alati. :)

Täna analüüsime seda teemat laiemalt. See õppetund on väga kasulik neile, kes alles hakkavad sellest koolimatemaatika osast aru saama. Alustame sellest lihtsaid ülesandeid ja liikuda edasi keerulisemate küsimuste juurde. Täna nokitsemist ei toimu, kuid sellest, mida hakkate lugema, piisab, et lahendada enamik ebavõrdsusi kõikvõimalike kontrollide ja kontrollide osas. iseseisev töö. Ja sellel ka teie eksamil.

Nagu alati, alustame määratlusega. Eksponentsiaalne ebavõrdsus on igasugune võrratus, mis sisaldab eksponentsiaalset funktsiooni. Teisisõnu, selle saab alati taandada vormi ebavõrdsusele

\[((a)^(x)) \gt b\]

Kus $b$ roll võib olla tavaline number või võib-olla midagi karmimat. Näited? Jah palun:

\[\begin(joona) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ nelik ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\lõpp(joonda)\]

Ma arvan, et tähendus on selge: on eksponentsiaalne funktsioon $((a)^(x))$, seda võrreldakse millegagi ja seejärel palutakse leida $x$. Eriti kliinilistel juhtudel võivad nad muutuja $x$ asemel panna mingi funktsiooni $f\left(x \right)$ ja sellega ebavõrdsust veidi keerulisemaks muuta. :)

Muidugi võib mõnel juhul ebavõrdsus tunduda tõsisem. Näiteks:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Või isegi see:

Üldiselt võib selliste ebavõrduste keerukus olla väga erinev, kuid lõpuks taanduvad need ikkagi lihtsale konstruktsioonile $((a)^(x)) \gt b$. Ja me saame sellise kujundusega kuidagi hakkama (eriti kliinilistel juhtudel, kui midagi pähe ei tule, aitavad meid logaritmid). Seetõttu õpime nüüd, kuidas selliseid lihtsaid konstruktsioone lahendada.

Lihtsaimate eksponentsiaalvõrratuste lahendus

Vaatame midagi väga lihtsat. Näiteks siin on see:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Ilmselgelt saab parempoolse arvu ümber kirjutada kahe astmena: $4=((2)^(2))$. Seega kirjutatakse algne ebavõrdsus ümber väga mugaval kujul:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Ja nüüd sügelevad käed kraadide alustes seisvaid kahekesi "välja kriipsutada", et saada vastus $x \gt 2$. Kuid enne kui midagi maha kriipsutame, meenutagem kahe võimeid:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Nagu näete, mida suurem arv eksponendis, seda suurem on väljundarv. "Aitäh, Cap!" hüüatab üks õpilastest. Kas see juhtub teisiti? Kahjuks juhtub. Näiteks:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ parem))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Ka siin on kõik loogiline: mida suurem aste, seda rohkem korrutatakse arv 0,5 iseendaga (st jagatakse pooleks). Seega saadud numbrijada väheneb ning erinevus esimese ja teise jada vahel on ainult baasis:

• Kui astme $a \gt 1$ alus, siis eksponent $n$ kasvades kasvab ka arv $((a)^(n))$;
• Ja vastupidi, kui $0 \lt a \lt 1$, siis eksponendi $n$ kasvades arv $((a)^(n))$ väheneb.

Neid fakte kokku võttes saame kõige olulisema väite, millel põhineb kogu eksponentsiaalvõrratuste lahendus:

Kui $a \gt 1$, siis võrratus $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ võrdub võrratusega $x \gt n$. Kui $0 \lt a \lt 1$, siis on võrratus $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ võrdne võrratusega $x \lt n$.

Teisisõnu, kui alus on suurem kui üks, võite selle lihtsalt eemaldada - ebavõrdsuse märk ei muutu. Ja kui alus on väiksem kui üks, siis saab selle ka eemaldada, kuid ebavõrdsuse märki tuleb ka muuta.

Pange tähele, et me pole kaalunud valikuid $a=1$ ja $a\le 0$. Sest nendel juhtudel on ebakindlus. Oletame, kuidas lahendada ebavõrdsus kujul $((1)^(x)) \gt 3$? Üks igale võimule annab jälle ühe – me ei saa kunagi kolme või enamat. Need. lahendusi pole.

Negatiivsete alustega on see veelgi huvitavam. Mõelge näiteks järgmisele ebavõrdsusele:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

Esmapilgul on kõik lihtne:

eks? Kuid mitte! Lahenduse vales veendumiseks piisab, kui asendada paar paaris ja paar paaritut numbrit $x$ asemel. Vaata:

\[\begin(joona) & x=4\Paremnool ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Paremnool ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Paremnool ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Paremnool ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(joonda)\]

Nagu näete, on märgid vahelduvad. Aga ikka on murdosa kraadid ja muu tina. Kuidas saaks näiteks lugeda $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (miinus kaks tõstetakse seitsme juureni)? Pole võimalik!

Seetõttu eeldame täpsuse huvides, et kõigis eksponentsiaalvõrratustes (ja muide ka võrrandites) $1\ne a \gt 0$. Ja siis lahendatakse kõik väga lihtsalt:

\[((a)^ (x)) \gt ((a)^ (n))\Paremnool \vasak[ \begin (joonda) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\lõpp(joonda) \paremale.\]

Üldiselt pidage veel kord meeles peamist reeglit: kui eksponentsiaalvõrrandi alus on suurem kui üks, saate selle lihtsalt eemaldada; ja kui alus on väiksem kui üks, saab selle ka eemaldada, kuid see muudab ebavõrdsuse märki.

Lahendusnäited

Niisiis, kaaluge mõnda lihtsat eksponentsiaalset ebavõrdsust:

\[\begin(joona) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\lõpp(joonda)\]

Esmane ülesanne on kõigil juhtudel sama: taandada võrratused lihtsaimale kujule $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Seda teeme nüüd iga ebavõrdsusega ja samal ajal kordame astmete omadusi ja eksponentsiaalfunktsiooni. Nii et lähme!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Mida siin teha saab? Noh, vasakul on meil juba demonstratiivne väljend – midagi pole vaja muuta. Kuid paremal on mingi jama: murd ja isegi juur nimetajas!

Kuid pidage meeles murdude ja astmetega töötamise reegleid:

\[\begin(joona) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\lõpp(joonda)\]

Mida see tähendab? Esiteks saame murdosast kergesti lahti, muutes selle negatiivseks eksponendiks. Ja teiseks, kuna nimetaja on juur, siis oleks tore muuta see astmeks – seekord murdeksponentiga.

Rakendame neid toiminguid järjestikku ebavõrdsuse paremale poolele ja vaatame, mis juhtub:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \parem))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ärge unustage, et kraadi tõstmisel astmeni liidetakse nende kraadide eksponendid. Ja üldiselt on eksponentsiaalvõrrandite ja ebavõrdsustega töötamisel tingimata vaja teada vähemalt lihtsamaid reegleid võimsustega töötamiseks:

\[\begin(joona) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\lõpp(joonda)\]

Tegelikult rakendasime just viimast reeglit. Seetõttu kirjutatakse meie algne ebavõrdsus ümber järgmiselt:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Paremnool ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Nüüd vabaneme aluses olevast kahest. Kuna 2 > 1, jääb ebavõrdsuse märk samaks:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Paremnool x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(joonda)\]

See on kogu lahendus! Peamine raskus ei seisne sugugi eksponentsiaalses funktsioonis, vaid algse avaldise pädevas teisendamises: peate selle hoolikalt ja võimalikult kiiresti viima lihtsaimale kujule.

Mõelge teisele ebavõrdsusele:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Hästi hästi. Siin ootame kümnendmurde. Nagu ma olen korduvalt öelnud, tuleks mistahes võimsusega väljendites vabaneda kümnendmurdudest – sageli on see ainus viis kiiret ja lihtsat lahendust näha. Siin on see, millest me lahti saame:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ paremal))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Paremnool ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\lõpp(joonda)\]

Meie ees on jällegi kõige lihtsam võrratus ja isegi alusega 1/10, s.o. vähem kui üks. Noh, eemaldame alused, muutes samaaegselt märgi "vähem" asemel "suuremaks" ja saame:

\[\begin(joonda) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\lõpp(joonda)\]

Saime lõpliku vastuse: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Pange tähele, et vastus on täpselt komplekt ja mitte mingil juhul vormi $x \lt -1$ konstruktsioon. Sest formaalselt pole selline konstruktsioon üldse hulk, vaid ebavõrdsus muutuja $x$ suhtes. Jah, see on väga lihtne, kuid see pole vastus!

Oluline märkus. Seda ebavõrdsust saab lahendada muul viisil - taandades mõlemad osad võimsuseks, mille baas on suurem kui üks. Vaata:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Paremnool ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Paremnool ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Pärast sellist teisendust saame jälle eksponentsiaalse ebavõrdsuse, kuid alusega 10 > 1. Ja see tähendab, et võite kümne lihtsalt maha kriipsutada - ebavõrdsuse märk ei muutu. Saame:

\[\begin(joonda) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\lõpp(joonda)\]

Nagu näete, on vastus täpselt sama. Ühtlasi säästsime end vajadusest sildi vahetada ja üldiselt mingeid reegleid seal meeles pidada. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Siiski ärge laske sellel end hirmutada. Mis iganes näitajates ka poleks, jääb ebavõrdsuse lahendamise tehnoloogia ise samaks. Seetõttu märgime kõigepealt, et 16 = 2 4 . Kirjutame algse ebavõrdsuse ümber, võttes arvesse seda asjaolu:

\[\begin(joona) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(joonda)\]

Hurraa! Saime tavalise ruutvõrratuse! Märk pole kuskil muutunud, kuna alus on kahekordne - number, mis on suurem kui üks.

Funktsiooni nullid arvureal

Korraldame funktsiooni $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ märgid - ilmselgelt on selle graafik parabool harudega ülespoole, seega on plussid ” külgedel. Meid huvitab piirkond, kus funktsioon on väiksem kui null, st. $x\in \left(2;5 \right)$ on vastus algsele probleemile.

Lõpuks kaaluge teist ebavõrdsust:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Jällegi näeme eksponentsiaalfunktsiooni, mille baasis on kümnendmurd. Teisendame selle murru tavaliseks murruks:

\[\begin(joona) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Paremnool \\ & \Paremnool ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\vasak(((5)^(-1)) \parem))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(joonda)\]

Sel juhul kasutasime ära varem tehtud märkust - vähendasime oma edasise otsuse lihtsustamiseks baasi numbrini 5\u003e 1. Teeme sama parema küljega:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ parem))^(2))=((5)^(-1\cpunkt 2))=((5)^(-2))\]

Kirjutame ümber esialgse ebavõrdsuse, võttes arvesse mõlemat teisendust:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Paremnool ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \parem)))\ge ((5)^(-2))\]

Mõlema külje alused on samad ja suuremad kui üks. Paremal ja vasakul pole muid termineid, nii et "kriipsutame" viise läbi ja saame väga lihtsa väljendi:

\[\begin(joona) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(joonda)\]

See on koht, kus peate olema ettevaatlik. Paljudele õpilastele meeldib lihtsalt välja võtta Ruutjuur mõlemad võrratuse osad ja kirjutage midagi sellist nagu $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Seda ei tohiks kunagi teha, kuna täpse ruudu juur on moodul ja mitte mingil juhul algne muutuja:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]

Moodulitega töötamine pole aga just kõige meeldivam kogemus, eks? Nii et me ei tööta. Selle asemel liigutame kõik terminid lihtsalt vasakule ja lahendame tavalise ebavõrdsuse intervallmeetodi abil:

$\begin(joonda) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(joonda)$

Jällegi märgime saadud punktid numbrireale ja vaatame märke:

Pange tähele: punktid on varjutatud.

Kuna lahendasime mitteranget ebavõrdsust, on kõik graafiku punktid varjutatud. Seetõttu on vastus järgmine: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ei ole intervall, vaid segment.

Üldiselt tahaksin märkida, et eksponentsiaalses ebavõrdsuses pole midagi keerulist. Kõigi täna tehtud teisenduste tähendus taandub lihtsale algoritmile:

• Leidke alus, milleni vähendame kõik kraadid;
• Tehke ettevaatlikult teisendusi, et saada ebavõrdsus kujul $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Muidugi võivad muutujate $x$ ja $n$ asemel olla palju keerulisemad funktsioonid, kuid see ei muuda tähendust;
• Kriipsuta läbi kraadide alused. Sel juhul võib ebavõrdsuse märk muutuda, kui baas $a \lt 1$.

Tegelikult on see universaalne algoritm kõigi selliste ebavõrdsuste lahendamiseks. Ja kõik muu, mis teile sel teemal räägitakse, on vaid konkreetsed nipid ja nipid ümberkujundamise lihtsustamiseks ja kiirendamiseks. Siin on üks neist nippidest, millest me nüüd räägime. :)

ratsionaliseerimise meetod

Mõelge veel ühele ebavõrdsuse partiile:

\[\begin(joona) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \parem))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(joonda)\]

No mis on neis nii erilist? Need on ka kerged. Kuigi, lõpetage! Kas pi on tõstetud astmeni? Mis jama?

Ja kuidas tõsta arvu $2\sqrt(3)-3$ astmeni? Või $3-2\sqrt(2)$? Ülesannete koostajad jõid enne tööle istumist ilmselgelt liiga palju "Viirpuu". :)

Tegelikult pole neil ülesannetel midagi halba. Tuletan meelde: eksponentsiaalfunktsioon on avaldis kujul $((a)^(x))$, kus baas $a$ on mis tahes positiivne arv, välja arvatud üks. Arv π on positiivne – me juba teame seda. Arvud $2\sqrt(3)-3$ ja $3-2\sqrt(2)$ on samuti positiivsed – seda on lihtne näha, kui võrrelda neid nulliga.

Selgub, et kõik need "kohutav" ebavõrdsused ei erine ülalpool käsitletud lihtsatest? Ja nad teevad seda samamoodi? Jah, täiesti õige. Nende näitel võtan aga ühe nipi, mis säästab palju iseseisva töö ja eksamite aega. Räägime ratsionaliseerimismeetodist. Nii et tähelepanu:

Igasugune eksponentsiaalne ebavõrdsus kujul $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ on samaväärne ebavõrdsusega $\left(xn \right)\cdot \left(a-1 \ paremal) \gt 0 $.

See on kogu meetod :) Kas sa arvasid, et järgmine mäng tuleb? Ei midagi sellist! Kuid see lihtne fakt, mis on kirjutatud sõna otseses mõttes ühele reale, lihtsustab meie tööd oluliselt. Vaata:

\[\begin(maatriks) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(maatriks)\]

Siin pole enam eksponentsiaalseid funktsioone! Ja te ei pea meeles pidama, kas märk muutub või mitte. Aga on uus probleem: mida teha kuradi kordajaga \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Me ei tea, mis on pi täpne väärtus. Siiski näib kapten vihjavat ilmselgele:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\umbes 3,14... \gt 3\Paremnool \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Üldiselt π täpne väärtus meid eriti ei häiri – meie jaoks on oluline vaid mõista, et igal juhul $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. on positiivne konstant ja sellega saame jagada ebavõrdsuse mõlemad pooled:

\[\begin(joona) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(joonda)\]

Nagu näete, pidime teatud hetkel jagama miinus ühega ja ebavõrdsuse märk muutus. Lõpus laiendasin ruuttrinoomi vastavalt Vieta teoreemile - on ilmne, et juured on võrdsed $((x)_(1))=5$ ja $((x)_(2))=- 1 $. Seejärel lahendatakse kõik klassikalise intervallimeetodi abil:

Lahendame ebavõrdsuse intervallide meetodil

Kõik punktid on läbi löödud, kuna algne ebavõrdsus on range. Meid huvitab negatiivsete väärtustega ala, seega vastus on $x\in \left(-1;5 \right)$. See on lahendus. :)

Liigume edasi järgmise ülesande juurde:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Siin on kõik lihtne, sest paremal on üksus. Ja me peame meeles, et ühik on mis tahes arv, mis on tõstetud nulli astmeni. Isegi kui see arv on irratsionaalne avaldis, seistes vasakul allosas:

\[\begin(joona) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \paremal))^(0)); \\\lõpp(joonda)\]

Nii et ratsionaliseerime:

\[\begin(joona) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(joonda)\ ]

Jääb vaid märkidega tegeleda. Kordaja $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ei sisalda muutujat $x$ – see on lihtsalt konstant ja me peame välja mõtlema selle märgi. Selleks pange tähele järgmist.

\[\begin(maatriks) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(maatriks)\]

Selgub, et teine ​​tegur pole lihtsalt konstant, vaid negatiivne konstant! Ja sellega jagades muutub algse ebavõrdsuse märk vastupidiseks:

\[\begin(joona) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(joonda)\]

Nüüd muutub kõik üsna ilmseks. Parempoolse ruudukujulise trinoomi juured on $((x)_(1))=0$ ja $((x)_(2))=2$. Märgime need arvureale ja vaatame funktsiooni $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ märke:

Juhtum, kui meid huvitavad külgmised intervallid

Oleme huvitatud plussmärgiga tähistatud intervallidest. Jääb vaid vastus kirja panna:

Liigume edasi järgmise näite juurde:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ paremal))^(16-x))\]

Noh, siin on kõik üsna ilmne: alused on sama arvu astmed. Seetõttu kirjutan kõik lühidalt:

\[\begin(maatriks) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(maatriks)\]

\[\begin(joona) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \parem))) \gt ((3)^(-2\cdot \ vasak(16-x\parem))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(joonda)\]

Nagu näete, tuli transformatsioonide käigus korrutada negatiivne arv, seega on ebavõrdsuse märk muutunud. Päris lõpus rakendasin taas Vieta teoreemi, et faktoriseerida ruuttrinoomi. Tulemuseks on vastus järgmine: $x\in \left(-8;4 \right)$ - soovijad saavad selles veenduda joonistades arvujoone, märkides punkte ja lugedes märke. Vahepeal liigume oma "komplektist" viimase ebavõrdsuse juurde:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Nagu näete, on alus jällegi irratsionaalne arv ja ühik on jälle paremal. Seetõttu kirjutame oma eksponentsiaalse ebavõrdsuse ümber järgmiselt:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \) paremal))^(0))\]

Ratsionaliseerime:

\[\begin(joona) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(joonda)\ ]

Siiski on üsna ilmne, et $1-\sqrt(2) \lt 0$, kuna $\sqrt(2)\ca 1,4... \gt 1$. Seetõttu on teine ​​tegur jällegi negatiivne konstant, millega saab jagada mõlemad ebavõrdsuse osad:

\[\begin(maatriks) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(maatriks)\]

\[\begin(joonda) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(joonda)\]

Vaheta teise baasi vastu

Omaette probleem eksponentsiaalse ebavõrdsuse lahendamisel on “õige” aluse otsimine. Kahjuks pole ülesande esmapilgul kaugeltki alati ilmne, mida võtta aluseks ja mida teha selle aluse astmena.

Kuid ärge muretsege: siin pole maagiat ja "salajast" tehnoloogiat. Matemaatikas saab praktikas hõlpsasti arendada mis tahes oskusi, mida ei saa algoritmiseerida. Kuid selleks peate lahendama erineva keerukusega probleeme. Näiteks on need:

\[\begin(joona) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(joonda)\]

Raske? Hirmutav? Jah, see on lihtsam kui kana asfaldil! Proovime. Esimene ebavõrdsus:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Noh, ma arvan, et siin on kõik selge:

Kirjutame algse ebavõrdsuse ümber, taandades kõik baasiks "kaks":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Paremnool \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Jah, jah, sa said õigesti aru: ma lihtsalt rakendasin ülalkirjeldatud ratsionaliseerimismeetodit. Nüüd peame hoolikalt töötama: saime murd-ratsionaalse ebavõrdsuse (see on selline, mille nimetajas on muutuja), nii et enne millegi nulliga võrdsustamist peate kõik taandama ühisele nimetajale ja vabanema konstantsest tegurist. .

\[\begin(joona) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(joonda)\]

Nüüd kasutame standardset intervalli meetodit. Lugeja nullid: $x=\pm 4$. Nimetaja läheb nulli ainult siis, kui $x=0$. Kokku on kolm punkti, mis tuleks numbrireale märkida (kõik punktid on välja löödud, sest ebavõrdsuse märk on range). Saame:

Keerulisem juhtum: kolm juurt

Nagu võite arvata, tähistab viirutamine intervalle, mille järel vasakpoolne avaldis võtab negatiivseid väärtusi. Seetõttu läheb lõplikus vastuses korraga kaks intervalli:

Intervallide lõppu vastuses ei arvestata, kuna algne ebavõrdsus oli range. Selle vastuse edasist kinnitamist pole vaja. Sellega seoses on eksponentsiaalsed võrratused palju lihtsamad kui logaritmilised: pole DPV-d, puuduvad piirangud jne.

Liigume edasi järgmise ülesande juurde:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Ka siin pole probleeme, kuna me juba teame, et $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, seega saab kogu ebavõrdsuse ümber kirjutada nii:

\[\begin(joona) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Paremnool ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2\right)\right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(joonda)\]

Pange tähele: kolmandas reas otsustasin mitte raisata aega pisiasjadele ja jagada kõik kohe (−2-ga). Minul läks esimesse sulgu (nüüd on plussid igal pool) ja kahekordistati konstantse kordajaga. See on täpselt see, mida peaksite tegema tegelike arvutuste tegemisel sõltumatute ja kontrolli töö- pole vaja iga tegevust ja transformatsiooni otse maalida.

Järgmisena tuleb mängu tuttav intervallide meetod. Lugeja nullid: aga neid pole. Sest diskriminant on negatiivne. Nimetaja seatakse omakorda nulliks ainult siis, kui $x=0$ – täpselt nagu eelmisel korral. Noh, on selge, et murdosa võtab positiivsed väärtused väärtusest $x=0$ paremale ja negatiivsed vasakule. Kuna meid huvitavad ainult negatiivsed väärtused, on lõplik vastus $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Ja mida tuleks teha eksponentsiaalvõrratuste kümnendmurdudega? See on õige: vabanege neist, muutes need tavalisteks. Siin me tõlgime:

\[\begin(joona) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Paremnool ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Paremnool ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\) frac(25)(4) \parem))^(x)). \\\lõpp(joonda)\]

Noh, mida me saime eksponentsiaalfunktsioonide alustest? Ja me saime kaks vastastikku vastastikust arvu:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Paremnool ((\left(\frac(25)(4) \) parem))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \parem))^(x))=((\ vasak(\frac(4)(25) \parem))^(-x))\]

Seega saab esialgse ebavõrdsuse ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25)) \paremal))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\lõpp(joonda)\]

Muidugi, kui korrutada võimsusi sama baasiga, siis nende näitajad liidetakse, mis juhtus teisel real. Lisaks oleme esindanud parempoolset üksust, ka võimuna baasis 4/25. Jääb üle vaid ratsionaliseerida:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Paremnool \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Pange tähele, et $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, st. teine ​​tegur on negatiivne konstant ja sellega jagades muutub ebavõrdsuse märk:

\[\begin(joona) & x+1-0\le 0\Paremnool x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(joonda)\]

Lõpuks viimane ebavõrdsus praegusest "komplektist":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Põhimõtteliselt on ka siin lahenduse idee selge: kõik ebavõrdsuse moodustavad eksponentsiaalsed funktsioonid tuleb taandada baasile "3". Aga selleks tuleb veidi juurte ja kraadidega nokitseda:

\[\begin(joona) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\lõpp(joonda)\]

Arvestades neid fakte, saab esialgse ebavõrdsuse ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \parem)^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\lõpp(joonda)\]

Pöörake tähelepanu arvutuste 2. ja 3. reale: enne kui midagi ebavõrdsusega teete, viige see kindlasti vormile, millest me rääkisime tunni alguses: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Niikaua kui teil on vasakpoolsed või parempoolsed vasakpoolsed kordajad, lisakonstandid jne, ei saa teha mingit ratsionaliseerimist ja aluse "läbikriipsutamist".! Selle lihtsa fakti valesti mõistmise tõttu on lugematu arv ülesandeid valesti tehtud. Ma ise jälgin seda probleemi pidevalt oma õpilastega, kui me alles hakkame analüüsima demonstratiivseid ja logaritmilised võrratused.

Aga tagasi meie ülesande juurde. Proovime seekord ilma ratsionaliseerimiseta hakkama saada. Tuletame meelde: astme alus on suurem kui üks, nii et kolmikud saab lihtsalt läbi kriipsutada - ebavõrdsuse märk ei muutu. Saame:

\[\begin(joonda) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(joonda)\]

See on kõik. Lõplik vastus: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Stabiilse avaldise esiletõstmine ja muutuja asendamine

Kokkuvõtteks teen ettepaneku lahendada veel neli eksponentsiaalset ebavõrdsust, mis on ettevalmistamata õpilaste jaoks juba üsna keerulised. Nendega toimetulemiseks peate meeles pidama kraadidega töötamise reegleid. Eelkõige ühiste tegurite sulgudest välja jätmine.

Kuid kõige tähtsam on õppida mõistma: mida täpselt saab sulgudes panna. Sellist avaldist nimetatakse stabiilseks – seda saab tähistada uue muutujaga ja seeläbi vabaneda eksponentsiaalfunktsioonist. Niisiis, vaatame ülesandeid:

\[\begin(joona) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(joonda)\]

Alustame kõige esimesest reast. Kirjutame selle ebavõrdsuse eraldi:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Pange tähele, et $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, nii et parem pool saab kirjuta ümber:

Pange tähele, et võrratuses pole muid eksponentsiaalseid funktsioone peale $((5)^(x+1))$. Ja üldiselt muutujat $x$ ei esine kusagil mujal, seega võtame kasutusele uue muutuja: $((5)^(x+1))=t$. Saame järgmise konstruktsiooni:

\[\begin(joonda) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(joonda)\]

Pöördume tagasi algse muutuja juurde ($t=((5)^(x+1))$) ja samal ajal peame meeles, et 1=5 0 . Meil on:

\[\begin(joonda) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\lõpp(joonda)\]

See on kogu lahendus! Vastus: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Liigume edasi teise ebavõrdsuse juurde:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Siin on kõik endine. Pange tähele, et $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Seejärel saab vasaku poole ümber kirjutada:

\[\begin(joona) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \parem. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Paremnool ((3)^(x))\ge 9\Paremnool ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Paremnool x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\lõpp(joonda)\]

Umbes nii peate koostama otsuse tegeliku kontrolli ja iseseisva töö kohta.

Noh, proovime midagi raskemat. Näiteks siin on ebavõrdsus:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Milles siin probleem on? Esiteks on vasakpoolsete eksponentsiaalfunktsioonide alused erinevad: 5 ja 25. Kuid 25 \u003d 5 2, seega saab esimese liikme teisendada:

\[\begin(joona) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(joonda )\]

Nagu näete, viisime alguses kõik samale alusele ja siis märkasime, et esimene liige taandatakse kergesti teiseks - piisab lihtsalt eksponendi laiendamisest. Nüüd saame julgelt kasutusele võtta uue muutuja: $((5)^(2x+2))=t$ ja kogu ebavõrdsus kirjutatakse ümber järgmiselt:

\[\begin(joonda) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(joonda)\]

Jällegi, pole probleemi! Lõplik vastus: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Liikudes edasi tänase õppetunni lõpliku ebavõrdsuse juurde:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Esimene asi, mida tuleb märkida, on loomulikult koma esimese astme põhjas. Sellest on vaja lahti saada ja samal ajal viia kõik eksponentsiaalsed funktsioonid samale alusele - arv "2":

\[\begin(joona) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Paremnool ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Paremnool ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \parem))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(joonda)\]

Suurepärane, oleme astunud esimese sammu – kõik on viinud samale vundamendile. Nüüd peame esile tõstma määrake väljend. Pange tähele, et $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Kui võtta kasutusele uus muutuja $((2)^(4x+6))=t$, siis saab algse võrratuse ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\lõpp(joonda)\]

Loomulikult võib tekkida küsimus: kuidas saime teada, et 256 = 2 8 ? Kahjuks on siin vaja lihtsalt teada kahe astmeid (ja samal ajal kolme ja viie astmeid). Noh, või jagage 256 2-ga (võite jagada, kuna 256 on paarisarv), kuni saame tulemuse. See näeb välja umbes selline:

\[\begin(joona) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(joonda )\]

Sama on kolmega (numbrid 9, 27, 81 ja 243 on selle võimsused) ja seitsmega (numbrid 49 ja 343 oleks samuti tore meeles pidada). Noh, neil viiel on ka "ilusad" kraadid, mida peate teadma:

\[\begin(joonda) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\lõpp(joonda)\]

Muidugi saab soovi korral kõik need numbrid oma mõtetes taastada, lihtsalt ükshaaval korrutades. Kui aga lahendada tuleb mitu eksponentsiaalset võrratust ja iga järgmine on eelmisest keerulisem, siis viimane asi, millele tahad mõelda, on seal mõne arvu astmed. Ja selles mõttes on need probleemid keerulisemad kui "klassikalised" ebavõrdsused, mida lahendatakse intervallmeetodiga.

Loodan, et see õppetund aitas teil seda teemat omandada. Kui midagi pole selge, küsige kommentaarides. Ja kohtumiseni järgmistes õpetustes. :)

Matemaatikaõpetaja vastastikuse mõistmise memorandum - 2. keskkool, Stepnoe Trufjakova Galina Ivanovna veebisait

slaid 2

Tunni kokkuvõte

Teema "Eksponeerivad ebavõrdsused" on matemaatikas kõige olulisem teema. S. M. Nikolsky õpiku järgi õpitakse seda 10. klassis ja selle õppimiseks planeerimisel on ette nähtud 2 tundi: 1 tund - Lihtsamad eksponentsiaalvõrratused; 1 tund – ebavõrdsused, mis taandatakse tundmatu lihtsaimale asendusele. Selle aja jooksul on vaja õpilastele tutvustada uut ja väga mahukat materjali, õpetada lahendama kõikvõimalikke eksponentsiaalseid ebavõrdsusi ning neid oskusi ja oskusi hästi arendada.Seetõttu uute teadmiste kujundamise tunnid loengute vormis infot kasutades ja sidetehnoloogia võimaldavad neid probleeme kiiresti ja väga edukalt lahendada.

slaid 3

slaid 4

Albert Einstein

«Pean oma aega jagama poliitika ning võrrandite ja ebavõrdsuse lahendamise vahel. Võrratuste ja võrratuste lahendamine on minu meelest aga palju olulisem, sest poliitika eksisteerib ainult selleks hetkeks ning võrrandid ja ebavõrdsused on olemas igavesti.

slaid 5

Tunni struktuur

Aja organiseerimine Eesmärkide ja eesmärkide seadmine Loenguplaan Õpilaste teadmiste aktualiseerimine eelnevalt õpitud materjali kordamise näol Uute teadmiste tutvustamine Teadmiste kinnistamine intervjuu vormis Tunni kokkuvõtte tegemine Kodutöö

slaid 6

Aja organiseerimine

Õpilaste tervitamine Märkige tunnist puuduvate õpilaste nimed tunnipäevikusse

Slaid 7

Eesmärkide ja eesmärkide seadmine

Teatage õpilastele tunni alguses selle eesmärgid ja eesmärgid Tutvustage õpilastele loenguplaani ja kirjutage see vihikusse

Slaid 8

Tunni eesmärgid

Haridus Eksponentsiaalse ebavõrdsuse mõiste kujunemine Õpilaste tutvustamine eksponentsiaalse ebavõrdsuse tüüpidega Oskuste ja võimete kujundamine eksponentsiaalse ebavõrdsuse lahendamiseks

Slaid 9

Haridus Töökuskasvatus Iseseisvuse kasvatamine eesmärgi saavutamisel Arvutusoskuste kujunemine Esteetiliste oskuste kujundamine arvestuse tegemisel

Slaid 10

Arendamine Vaimse tegevuse arendamine Loomingulise initsiatiivi arendamine Kognitiivse tegevuse arendamine Kõne ja mälu arendamine

slaid 11

Tunni eesmärgid

Korrake eksponentsiaalfunktsiooni omadusi Korrake ruut- ja murdratsionaalvõrratuste lahendamise reegleid. Töötage välja algoritm kõige lihtsamate eksponentsiaalvõrratuste lahendamiseks Õpetage õpilasi eristama eksponentsiaalvõrratuse liike Õpetage õpilasi lahendama eksponentsiaalvõrratusi

slaid 12

Tunni tüüp

Õppetund uute teadmiste kujundamisel

slaid 13

Tunni tüüp

Tund – loeng

Slaid 14

Õppemeetodid

Selgitav-illustreeriv heuristiline otsing Probleemne

slaid 15

Õppetehnoloogia

Probleemipõhisel õppel põhinev info- ja kommunikatsioonitehnoloogia

slaid 16

Loengu kava

Eksponentfunktsiooni omaduste kordumine Lihtsamad eksponentsiaalvõrratused Kõige lihtsamateks taanduvad eksponentsiaalvõrratused Ruutvõrratusteks taanduvad eksponentsiaalvõrratused Esimese astme homogeensed eksponentsiaalvõrratused Teise astme homogeensed eksponentsiaalvõrratused rekventsiaalvõrratused, mis taanduvad Eksponentsiaalne mittestandardne ebavõrdsus

Slaid 17

Varem õpitud materjali kordamine

Lahendage tahvlil ja vihikutes: a) ruutvõrratused: x² - 2x - 1≥0 x² - 2x - 3 ≤0 b) murdratsionaalne võrratus: (x - 5) \ (x - 2) ≤ 0

Slaid 18

Eksponentfunktsiooni omaduste kordamine

Slaid 19

monotoonselt kahanev R-l X-telg on horisontaalne asümptoot, mis monotoonselt suureneb punktis R 8. x ja y mis tahes tegelike väärtuste korral; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asümptoot 6. Äärmused 5. Monotoonsus 4. Tasasus, veidrus 3. Funktsiooni väärtuste võrdlemise intervallid ühtsusega 2. Funktsiooni väärtuste vahemik Eksponentfunktsioon ei ole äärmusi Funktsioon ei ole paaris ega paaritu (üldfunktsioon).

Slaid 20

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Ülesanne number 1 Leia funktsiooni domeen

slaid 21

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusviisid Ülesanne number 2 Määrake väärtused

slaid 22

Eksponentvõrratused, nende tüübid ja lahendusmeetodid Ülesanne № 3 Määrake funktsiooni tüüp kasvav kahanev kasvav kahanev

slaid 23

Uute teadmiste tutvustamine

slaid 24

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Lihtsaimate eksponentsiaalvõrratuste MÄÄRATLUS: Olgu a antud positiivne arv, mis ei võrdu ühega, ja b antud reaalarv. Siis võrratused ax>b (ax≥b) ja ax

Slaid 25

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Tundmatu x-iga võrratuse lahendiks on arv x0, selle võrratusesse asendamisel saadakse tõeline arvuline võrratus.

slaid 26

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid MIDA TÄHENDAB ebavõrdsuse lahendamine? Ebavõrdsuse lahendamine tähendab leida kõik selle lahendused või näidata, et neid pole.

Slaid 27

Vaatleme funktsiooni y=ax, a>0, a≠1 ja sirge y=b graafiku suhtelist asukohta Eksponentvõrratused, nende liigid ja yxyxy=b, b 0 y=b, b> lahendamise meetodid 0 0 1 0 1 x0 x0

Slaid 28

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid asub allpool kõverat y=ax, nii et võrratused ax>b(ax≥b) kehtivad xR korral ja võrratused ax

Slaid 29

JÄRELDUS №2: y x№0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Kui a>1 ja b > 0, siis iga x1 x0- joone all y=b. 1 Kui b> 0, sirge y = b lõikab funktsiooni y= ax graafikut ühes punktis, mille abstsiss on x0 = logab

slaid 30

KOKKUVÕTE №2: yx 0 x0 x1 y=b, b>0 1 Eksponentvõrratused, nende tüübid ja iga x2 0 lahendusmeetodid, sirge y = b lõikab funktsiooni y= ax graafikut ühes punktis, mille abstsiss on x0 = logab x2

Slaid 31

Lihtsamad eksponentsiaalvõrratused Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid

slaid 32

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Näide nr 1.1 Vastus: suurenemine kogu definitsioonipiirkonna ulatuses, Lahendus:

Slaid 33

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Näide nr 1.2 Lahendus: Vastus: väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses,

slaid 34

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Näide nr 1.3 Lahendus: Vastus: suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses,

Slaid 35

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste tüübid ja nende lahendamise meetodid

slaid 36

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Näide nr 1.4 Lahendus: suurenemine kogu definitsioonipiirkonna ulatuses, Vastus:

Slaid 37

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid

Slaid 38

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste tüübid ja nende lahendamise meetodid 2) Ruutvõrratusteks taanduvad eksponentsiaalvõrratused

Slaid 39

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste tüübid ja nende lahendamise meetodid 3) Esimese ja teise astme homogeensed eksponentsiaalvõrratused. Esimese astme homogeensed eksponentsiaalvõrratused Näide nr 1 suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses Vastus: Lahendus:

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste tüübid ja nende lahendamise meetodid 4) Eksponentvõrratused, mis taanduvad ratsionaalseteks ebavõrdsusteks

slaid 43

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste tüübid ja nende lahendamise meetodid 5) Eksponentsiaalsed mittestandardsed võrratused Näide Lahendus: Lahendame hulga iga väite eraldi. Ebavõrdsus võrdub koondväärtusega

Slaid 44

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste tüübid ja nende lahendamise meetodid ei ole võrrandi lahendus. Niisiis,

Slaid 45

Teadmiste kinnistamine

Milliseid ebavõrdsusi nimetatakse eksponentsiaalseteks? Millal on eksponentsiaalsel ebavõrdsusel lahendus x mis tahes väärtusele? Millal pole eksponentsiaalsel ebavõrdsusel lahendusi? Milliseid ebavõrdsuse tüüpe te selles õppetükis õppisite? Kuidas lahendatakse lihtsaid ebavõrdsusi? Kuidas lahendatakse ebavõrdsused ruudukujulisteks? Kuidas lahendatakse homogeensed võrratused? Kuidas lahendatakse ebavõrdsused ratsionaalseteks?

Slaid 46

Tunni kokkuvõte

Uurige, mida õpilased selles tunnis õppisid. Andke õpilastele tunnis tehtud töö eest hindeid koos üksikasjalike kommentaaridega

Slaid 47

Kodutöö

Õpik 10. klassile "Algebra ja analüüsi algus" autor S.M. Nikolsky Tutvuda lõikudega 6.4 ja 6.6, nr 6.31-6.35 ja nr 6.45-6.50 lahendada

Slaid 48

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid

Algebra ja algus matemaatiline analüüs. 10. klass. Õpik. Nikolsky S.M. ja jne.

Põhi- ja profiilitasemed

8. väljaanne - M.: Valgustus, 2009. - 430 lk.

Õpik vastab osariigi standardi föderaalsetele komponentidele Üldharidus matemaatikas ja sisaldab materjali nii põhi- kui profiili tase. Selle kallal saate töötada olenemata sellest, milliseid õpikuid õpilased eelmistel aastatel õppisid.

Õpik on suunatud üliõpilaste ettevalmistamisele ülikoolidesse sisseastumiseks.

Vorming: djvu

Suurus: 15,2 MB

Vaata, lae alla:drive.google ; Rghost

Vorming: pdf

Suurus: 42,3 MB

Vaata, lae alla:drive.google ; Rghost

Märge: PDF-is on kvaliteet parem, peaaegu täiuslik. Valmistatud samast skaneeringust, 150 dpi, värviline. Kuid DJVU-s osutub see veidi halvemaks. See on üks juhtum, kus suurus loeb.

SISUKORD
I PEATÜKK. JUURED, VÕIMUSED, LOGARIITID
§ 1. Reaalarvud 3
1.1. Reaalarvu 3 mõiste
1.2. Numbrite komplektid. Reaalarvude omadused. ... 10
1,3*. Matemaatilise induktsiooni meetod 16
1.4. Permutatsioonid 22
1.5. Majutus 25
1.6. Kombinatsioonid 27
1,7*. Arvuliste võrratuste tõestus 30
1,8*. Täisarvude jaguvus 35
1,9*. Võrdlused moodul m 38
1.10*. Probleemid tundmatute täisarvudega 40
§ 2. Ratsionaalvõrrandid ja võrratused 44
2.1. Ratsionaalsed väljendid 44
2.2. Newtoni binoomvalemid, astmete summad ja erinevused. . 48
2.3*. Polünoomide jagamine jäägiga. Eukleidese algoritm... 53
2,4*. Bezouti teoreem 57
2,5*. Polünoomijuur 60
2.6. Ratsionaalvõrrandid 65
2.7. Ratsionaalvõrrandisüsteemid 70
2.8. Intervallide meetod võrratuste lahendamiseks 75
2.9. Ratsionaalne ebavõrdsus 79
2.10. Mitterange ebavõrdsus 84
2.11. Ratsionaalse ebavõrdsuse süsteemid 88
§ 3. Astmejuur n 93
3.1. Funktsiooni mõiste ja selle graafik 93
3.2. Funktsioon y \u003d x "96
3.3. Kraadijuure mõiste n 100
3.4. Paaris ja paaritu astme juured 102
3.5. Aritmeetiline juur 106
3.6. L 111 astme juurte omadused
3,7*. Funktsioon y \u003d nx (x\u003e 0) 114
3,8*. Funktsioon y = nVx 117
3,9*. n juur naturaalarv 119
§ 4. Positiivse arvu 122 aste
4.1. Kraad c ratsionaalne näitaja 122
4.2. Võimsuse omadused ratsionaalse astendajaga 125
4.3. Jada piiri mõiste 131
4.4*. Piiravad omadused 134
4.5. Lõpmatult väheneb geomeetriline progressioon. . . 137
4.6. Number e 140
4.7. Kraadi mõiste irratsionaalse astendajaga .... 142
4.8. eksponentsiaalfunktsioon 144
§ 5. Logaritmid 148
5.1. Logaritmi mõiste 148
5.2. Logaritmide omadused 151
5.3. Logaritmiline funktsioon 155
5.4*. Kümnendlogaritmid 157
5.5*. Toitefunktsioonid 159
§ 6. Demonstratiivsed ja logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused. . 164
6.1. Kõige lihtsamad eksponentsiaalvõrrandid 164
6.2. Lihtsaim logaritmvõrrand 166
6.3. Võrrandid vähendati kõige lihtsama, muutes tundmatut 169
6.4. Lihtsamad eksponentsiaalsed võrratused 173
6.5. Lihtsamad logaritmilised võrratused 178
6.6. Tundmatu lihtsaimaks asenduseks taandatav ebavõrdsus 182
Ajalooline teave 187
II PEATÜKK. TRIGONOMEETRILINE VALEM. TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID
§ 7. Nurga siinus ja koosinus 193
7.1. Nurga mõiste 193
7.2. Nurga radiaanmõõt 200
7.3. Nurga 203 siinuse ja koosinuse määramine
7.4. Sin a ja cos a 211 põhivalemid
7.5. Arcsine 216
7.6. Kaarkoosinus 221
7,7*. Näiteid arkosiini ja arkosiini kasutamisest .... 225
7,8*. Arcsine ja Arccosine 231 valemid
§ 8. Nurga puutuja ja kootangens 233
8.1. Nurga puutuja ja kotangensi määramine 233
8.2. Põhivalemid tg a ja ctg a 239 jaoks
8.3. Arktangent 243
8.4*. Kaare puutuja 246
8,5*. Näited kaartangensi ja kaartangensi kasutamisest. . 249
8.6*. Kaartangensi ja kaartangensi valemid 255
§ 9. Liitmisvalemid 258
9.1. Kahe nurga 258 summa erinevuse koosinus ja koosinus
9.2. Täiendavate nurkade valemid 262
9.3. Siinus summast ja siinus kahe nurga erinevusest 264
9.4. Siinuste ja koosinuste summa ja vahe 266
9.5. Topelt- ja poolnurkade valemid 268
9,6*. Siinuse ja koosinuse korrutis 273
9,7*. Puutujate valemid 275
§ 10. Trigonomeetrilised funktsioonid numbriline argument 280
10.1. Funktsioon y \u003d sin x 281
10.2. Funktsioon y \u003d cos x 285
10.3. Funktsioon y = tg * 288
10.4. Funktsioon y = ctg x 292
§ 11. Trigonomeetrilised võrrandid ja võrratused 295
11.1. Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid 295
11.2. Võrrandid lihtsaimaks taandades tundmatu asendamisega 299
11.3. Põhilise kohaldamine trigonomeetrilised valemid võrrandite 303 lahendamiseks
11.4. Homogeensed võrrandid 307
11,5*. Lihtsamad võrratused siinuse ja koosinuse jaoks .... 310
11,6*. Lihtsamad võrratused puutuja ja kotangensi jaoks. . . 315
11,7*. Ebavõrdsuse taandamine tundmatu lihtsaimale asendusele 319
11,8*. Abinurga 322 sissejuhatus
11,9*. Tundmatu asendamine t \u003d sin x + cos x 327
Ajalooline teave 330
III PEATÜKK. TÕENÄOSUSTEOORIA ELEMENDID
§ 12. Sündmuse tõenäosus 333
12.1. Sündmuse tõenäosuse mõiste 333
12.2. Sündmuse tõenäosuste omadused 338
§ 13*. Sagedus. Tingimuslik tõenäosus 342
13.1*. Suhteline sündmuste sagedus 342
13.2*. Tingimuslik tõenäosus. Sõltumatud üritused 344
§ neliteist*. Oodatud väärtus. Suurte arvude seadus 348
14.1*. Matemaatiline ootus 348
14.2*. Raske kogemus 353
14.3*. Bernoulli valem. Suurte arvude seadus 355
Ajalooline teave 359
LÄBIVAATAMINE 362
Indeks 407
Vastused 410

Teema 6. Eksponent- ja logaritmvõrrandid ja võrratused (11 tundi)
Tunni teema. Ebavõrdsused, mis taandatakse kõige lihtsamaks, asendades tundmatu.
Tunni eesmärk: Kujundada eksponentsiaalsete ja logaritmiliste võrratuste lahendamise oskusi, taandades kõige lihtsamatele, asendades tundmatut.
Ülesanded:
Hariduslik: korrake ja kinnistage teadmisi teemal "lihtsamate eksponentsiaal- ja logaritmivõrratuste lahendamine", õppige lahendama logaritmilisi ja eksponentsiaalseid võrratusi asendusmeetodil.
Arendab: kujundada õpilase oskust eristada kahte tüüpi ebavõrdsust ja määrata nende lahendamise viise (loogiline ja intuitiivne mõtlemine, hinnangute põhjendamine, liigitamine, võrdlemine), kujundada enesekontrolli ja enesekontrolli oskusi, liikumisvõimet. vastavalt etteantud algoritmile hinda ja paranda tulemust.
Hariduslik: jätkata õpilastes selliste omaduste kujundamist nagu: oskus üksteist kuulata; vastastikuse kontrolli ja enesehindamise oskus.
Tunni tüüp: kombineeritud.
Õpik Algebra 10. klass S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Ševkin
Tundide ajal
Aja organiseerimine.
Kodutööde kontrollimine.
Algteadmiste uuendamine.
Eesmine:
1. Milliseid võrratusi nimetatakse lihtsaimateks eksponentsiaalvõrratusteks?
2. Selgitage, mida tähendab kõige lihtsamate eksponentsiaalvõrratuste lahendamine.
3. Milliseid võrratusi nimetatakse lihtsaimateks logaritmilisteks võrratusteks?
4. Selgitage, mida tähendab kõige lihtsamate logaritmiliste võrratuste lahendamine.
Märkusega tahvlile (igaüks 1 õpilane):
Lahenda ebavõrdsused
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Uue materjali selgitus ja selle järkjärguline kinnistamine.
1.1. Uue materjali selgitus.
1. Lahendage ebavõrdsus:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, siis
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Meid huvitab märk „−−.“ Siis saame
Vastus:x∈(1;2)
2. Lahenda ebavõrdsus

1.2. Samm-sammult tugevdamine.
nr 6.49(a, c).
nr 6.52(e).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Vastus: -∞; 1∪54; + ∞v) (13) 5x2-4x-3> 95x2-4x-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Vastus: -15; 1e) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Vastus: -2;-1∪3;42,1. Uue materjali selgitus.
3. Lahenda ebavõrdsus

Siis on 1 võrratus kõigi x jaoks mõistlik ja teine

2.2. Samm-sammult tugevdamine.
Lahenda ebavõrdsus #6.56(c)
3.1. Uue materjali selgitus.
4. Lahenda ebavõrdsus

3.2. Samm-sammult tugevdamine.
Lahenda ebavõrdsus #6.60(a)
Õppetunni kokkuvõte.
Peegeldus.
Kodutöö.
P. 6.6
Nr 6.49 (b, d)
Nr 6.52 (a, b)
Nr 6.56 (e)
Nr 6.60 (b)

Lisatud failid