Tõstmine keeruliseks võimsuseks. Kompleksarvude tõstmine astmeni

21.05.2020

Alustame oma lemmikväljakuga.

Näide 9

Kompleksarvu kvadratuur

Siin saab minna kahel viisil, esimene võimalus on kirjutada aste ümber tegurite korrutisena ja korrutada arvud vastavalt polünoomide korrutusreeglile.

Teine võimalus on kasutada tuntud kooli lühendatud korrutamisvalemit:

Kompleksarvu jaoks on lihtne tuletada oma lühendatud korrutusvalem:

Sarnase valemi saab tuletada nii vahe ruudu kui ka summa kuubi ja vahe kuubi jaoks. Kuid need valemid on keerukamate analüüsiprobleemide jaoks asjakohasemad. Mis siis, kui kompleksarvu on vaja tõsta näiteks 5., 10. või 100. astmeni? On selge, et algebralises vormis on sellist trikki peaaegu võimatu teha, tõesti, mõelge, kuidas lahendate sellise näite nagu?

Ja siin tuleb appi kompleksarvu trigonomeetriline vorm ja nn De Moivre'i valem: Kui kompleksarv on esitatud trigonomeetrilisel kujul, siis selle tõstmisel loomuliku astmeni kehtib valem:

Lihtsalt häbiks.

Näide 10

Kui on antud kompleksarv, leidke.

Mida tuleks teha? Kõigepealt peate seda numbrit esitama trigonomeetrilisel kujul. Vilunud lugejad märkavad, et oleme seda juba näites 8 teinud:

Seejärel vastavalt De Moivre'i valemile:

Jumal hoidku, pole vaja arvestada kalkulaatoriga, kuid enamikul juhtudel tuleks nurka lihtsustada. Kuidas lihtsustada? Piltlikult öeldes tuleb vabaneda lisapööretest. Üks pööre on radiaan ehk 360 kraadi. Uurige, kui palju pöördeid meil argumendis on. Mugavuse huvides muudame murdosa õigeks:, misjärel on selgelt näha, et saate vähendada ühe pöörde:. Loodan, et kõik saavad aru, et see on sama nurk.

Seega oleks lõplik vastus:

Astendamisprobleemi omaette versioon on puhtalt imaginaarsete arvude astendamine.

Näide 12

Tõsta kompleksarvud astmeteks

Ka siin on kõik lihtne, peamine on meeles pidada kuulsat võrdsust.

Kui kujuteldav ühik tõsta ühtlase astmeni, on lahendustehnika järgmine:

Kui kujuteldav ühik tõstetakse paaritu astmeni, siis "kinnitame" ühe "ja", saades paarisastme:

Kui on miinus (või mis tahes tegelik koefitsient), tuleb see kõigepealt eraldada:

Kompleksarvudest juurte eraldamine. Keeruliste juurtega ruutvõrrand

Vaatleme näidet:

Kas juurt ei saa välja tõmmata? Kui me räägime reaalarvude osas on see tõesti võimatu. Kompleksarvudes saate juure eraldada - saate! Täpsemalt, kaks juur:

Kas leitud juured on tõesti võrrandi lahendus? Kontrollime:

Mida oli vaja kontrollida.

Sageli kasutatakse lühendatud tähistust, mõlemad juured kirjutatakse ühele reale "üks kamm" alla:.

Neid juuri nimetatakse ka konjugeerida kompleksseid juuri.

Kuidas ekstraheerida ruutjuured negatiivsetest arvudest saavad vist kõik aru: ,,, jne. Kõikidel juhtudel selgub kaks konjugeerida kompleksseid juuri.

Näide 13

Lahenda ruutvõrrand

Arvutame diskriminandi:

Diskriminant on negatiivne ja võrrandil pole reaalarvudes lahendust. Kuid juure võib võtta kompleksarvudes!

Tuntud koolkonna valemite järgi saame kaks juurt: - konjugeeritud kompleksjuured

Seega on võrrandil kaks konjugeeritud kompleksjuurt:,

Nüüd saate lahendada mis tahes ruutvõrrandi!

Ja üldiselt on igal võrrandil "n-nda" astme polünoomiga täpselt juured, millest mõned võivad olla keerulised.

Lihtne näide tee-seda-ise lahendusest:

Näide 14

Leidke võrrandi juured ja faktoristage ruutbinoom.

Faktoriseerimine toimub jällegi kooli standardvalemi järgi.