Parima ruutkeskmise lähenduse polünoom. Kursusetöö numbrilised meetodid tüüpiliste matemaatikaülesannete lahendamiseks
Klõpsates nupul "Laadi arhiiv alla", laadite vajaliku faili tasuta alla.
Enne selle faili allalaadimist pidage meeles neid häid esseesid, kontrolltöid, kursusetöid, teesid, artiklid ja muud dokumendid, mis asuvad teie arvutis taotlemata. See on teie töö, see peaks osalema ühiskonna arengus ja tooma inimestele. Otsige üles need tööd ja saatke need teadmistebaasi.
Oleme teile väga tänulikud meie ja kõik üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös.
Dokumendiga arhiivi allalaadimiseks sisestage allolevale väljale viiekohaline number ja klõpsake nuppu "Laadi arhiiv alla"
Sarnased dokumendid
Lineaarsüsteemide lahendus algebralised võrrandid lihtne iteratsioonimeetod. Funktsiooni polünoomne interpoleerimine Newtoni meetodil jagatud erinevustega. Funktsiooni juur-keskmine-ruutlähendus. Funktsioonide arvuline integreerimine Gaussi meetodil.
kursusetöö, lisatud 14.04.2009
Numbrilised meetodid on algoritmide kogum, mis võimaldab saada ligikaudse (numbrilise) lahenduse matemaatika ülesandeid. Kahte tüüpi vead, mis tekivad probleemide lahendamisel. Funktsiooni nullpunktide leidmine. pooljagamise meetod. akordi meetod.
loengute kursus, lisatud 03.06.2009
Määratud integraali mõiste, selle geomeetriline tunne. Arvulised meetodid kindlate integraalide arvutamiseks. Ristkülikute ja trapetside valemid. Mathcad paketi rakendamine integraalide arvutamiseks, arvutustulemuste kontrollimine Mathcadi abil.
kursusetöö, lisatud 11.03.2013
Numbrilised meetodid süsteemide lahendamiseks lineaarvõrrandid: Gaussi, lihtne iteratsioon, Seidel. Funktsioonide lähendamise ja interpoleerimise meetodid: ebakindlad koefitsiendid, vähimruudud. Mittelineaarvõrrandite lahendused ja kindlate integraalide arvutamine.
kursusetöö, lisatud 27.04.2011
Interpolatsioonivea hindamise meetodid. Interpoleerimine algebraliste polünoomide järgi. Parima keskmise ruudu lähendusega algebraliste polünoomide konstrueerimine. Numbrilised meetodid Cauchy probleemi lahendamiseks tavaliseks diferentsiaalvõrrandid.
laboritööd, lisatud 14.08.2010
Mittelineaarsete võrrandite lahendamine puutujameetodil (Newton), selle protsessi tunnused ja etapid. Funktsioonide interpolatsiooni mehhanism ja numbriline integreerimine. Esimest järku tavaliste diferentsiaalvõrrandite ligikaudne lahendamine Euleri meetodil.
kursusetöö, lisatud 16.12.2015
Numbrilised meetodid tingimusteta ekstreemumi leidmiseks. Tingimusteta minimeerimise probleemid. Funktsiooni miinimumi arvutamine koordinaatide laskumise meetodil. Lineaarse programmeerimise ülesannete lahendamine graafiliste ja simpleksmeetoditega. MathCAD programmiga töötamine.
kursusetöö, lisatud 30.04.2011
Sageli interpoleeritud funktsiooni väärtused u, u2 , ..., yn on katsest määratud mõningate vigadega, mistõttu on ebamõistlik kasutada interpolatsioonisõlmedes täpset lähendust. Sel juhul on loomulikum lähendada funktsiooni mitte punktide, vaid järgi keskmine, st ühes L p normidest.
Ruum 1 p - funktsioonide kogum d(x), segmendil määratletud [a, b] ja modulo integreeritav p-nda kraad, kui norm on määratletud
Sellise normi lähenemist nimetatakse konvergentsiks keskmine. Ruumi 1,2 nimetatakse Hilberti ruumiks ja konvergentsi selles nimetatakse rms.
Olgu antud mingist lineaarsest normruumist funktsioon Ax) ja funktsioonide hulk φ(x). Interpoleerimise, lähendamise ja lähendamise probleemi kontekstis saab sõnastada järgmised kaks ülesannet.
Esimene ülesanne on ligikaudne väärtus etteantud täpsusega, st vastavalt etteantule e leida selline φ(x), et võrratus |[Ax) - φ(x)|| G..
Teine ülesanne on otsing parim lähendus st funktsiooni φ*(x) otsimine, mis rahuldab seost:
Defineerime ilma tõestuseta piisava tingimuse parima lähenduse olemasoluks. Selleks valime funktsioonide lineaarruumis avaldisega parametriseeritud hulga
kus funktsioonide hulk φ[(x), ..., φn(x) on lineaarselt sõltumatu.
Võib näidata, et igas lineaarse lähendusega (2.16) normruumis eksisteerib parim lähendus, kuigi see on ainulaadne igas lineaarruumis.
Vaatleme reaalsete ruudukujuliste integreeritavate funktsioonide Hilberti ruumi LzCp), mille kaal p(x) > 0 punktil [ , kus skalaarkorrutis ( g,h) kindlaks määratud millegi poolt
valem: 
Asendades lineaarse kombinatsiooni (2.16) parima lähenduse tingimusega, leiame
Koefitsientide tuletised (D, k= 1, ..., П, saame lineaarvõrrandisüsteemi
Võrrandisüsteemi (2.17) determinanti nimetatakse Grami determinandiks. Grami determinant on nullist erinev, kuna eeldatakse, et funktsioonide süsteem φ[(x), ..., φn(x) on lineaarselt sõltumatu.
Seega on parim lähendus olemas ja ainulaadne. Selle saamiseks on vaja lahendada võrrandisüsteem (2.17). Kui funktsioonide süsteem φ1(x), ..., φn(x) on ortogonaliseeritud, st (φ/, φ,) = sy, kus SCH,ij = 1, ..., P, siis võrrandisüsteemi saab lahendada kujul:
Vastavalt (2.18) leitud koefitsiendid Q, ..., th lk nimetatakse üldistatud Fourier' rea koefitsientideks.
Kui funktsioonide hulk φ t (X), ..., φ "(x), ... moodustab tervikliku süsteemi, siis Parsevali võrdsuse alusel 
Π jaoks -» veanormiga väheneb lõputult. See tähendab, et parim lähendus koondub efektiivväärtuse väärtuseks Dx) mis tahes etteantud täpsusega.
Märgime, et parima lähenduse kordajate otsimine võrrandisüsteemi (2.17) lahendamisega on praktiliselt teostamatu, kuna Grami maatriksi järjekorra kasvades kipub selle determinant kiiresti nulli ja maatriks muutub halvasti tingituks. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine sellise maatriksiga toob kaasa olulise täpsuse vähenemise. Vaatame üle.
Olgu funktsioonide süsteemiks φ„ i =1, ..., П valitud kraadid, st φ* = X 1", 1 = 1, ..., P, siis, eeldades segmenti ligikaudse segmendina, leiame Grami maatriksi
Vormi (2.19) Grami maatriksit nimetatakse ka Hilberti maatriksiks. See on klassikaline näide nn halvasti konditsioneeritud maatriksist.
MATLAB-i abil arvutame mõne esimese väärtuse jaoks Hilberti maatriksi determinandi kujul (2.19) P. Nimekiri 2.5 näitab vastava programmi koodi.
Nimekiri 23
% Arvutage Hilberti maatriksite determinant % tühjendage tööruum Puhasta kõik;
%vali Hilberti maatriksi järjekorra % maksimaalne väärtus ptah = 6;
looge tsükkel Hilberti maatriksite genereerimiseks ja nende determinantide arvutamiseks
kui n = 1: nmax d(n)=det(hi I b(n)); lõpp
Näitab Hilberti maatriksite determinantide väärtusi
f o g ta t lühike ots
Pärast loendi 2.5 koodi väljatöötamist peaksid käsuaknas MATLAB ilmuma Hilberti maatriksi määravad väärtused esimese kuue maatriksi jaoks. Allolevas tabelis on näidatud maatriksi järjekordade (n) ja nende determinantide (d) vastavad arvväärtused. Tabelis on selgelt näha, kui kiiresti kipub Hilberti maatriksi determinant järjestuse kasvades nulli minema ning alates järjekorrast 5 ja 6 muutub lubamatult väikeseks.
Hilberti maatriksite determinandi väärtuste tabel
Funktsioonide süsteemi φ, i = 1, ..., П numbriline ortogonaliseerimine toob kaasa ka märgatava täpsuse kaotuse, seega, et võtta arvesse suur number laiendusterminites (2.16), on vaja kas ortogonaliseerimine läbi viia analüütiliselt, s.t täpselt, või kasutada valmis ortogonaalfunktsioonide süsteemi.
Kui interpoleerimisel kasutatakse põhifunktsioonide süsteemina tavaliselt kraadi, siis aproksimeerimisel valitakse baasfunktsioonideks keskmiselt polünoomid, mis on antud kaaluga ortogonaalsed. Levinuimad neist on Jacobi polünoomid, mille erijuhuks on Legendre ja Chebyshev polünoomid. Kasutatakse ka polünoome Lagsrr ja Hermite. Lisateavet nende polünoomide kohta leiate näiteks lisast Ortogonaalsed polünoomid raamatuid.
3. Funktsiooni RMS lähendus
3.1 Probleemi kirjeldus
Töötage välja algoritmskeem ja kirjutage Turbo Pascal 7.0-s programm, mis teostab sõlmedes antud funktsiooni ruutkeskmise lähenduse.
3.2 Ülesande matemaatiline sõnastamine
Olgu siis hulk funktsioone, mis kuuluvad lineaarne ruum funktsioonid. Interpoleeritud ja interpoleerivate funktsioonide keskmise läheduse all peame silmas integraali hindamise tulemust
, (3.1)
kus on kaalufunktsioon.
Seda lähendust nimetatakse ruutkeskmiseks.
3.3 Ülesande lahendamise olemasolevate numbriliste meetodite ülevaade
Ruutkeskmise lähenduse probleem kerkib üles paljudes rakendusuuringute valdkondades, näiteks eksperimentaalsete andmete statistilisel töötlemisel regressioonanalüüsi abil, mudeli parameetrite hindamisel, filtreerimisprobleemides jne.
Kui aproksimeeritud funktsiooni f(x i), i=1..m, seadmise määramatuse tase on katseandmete töötlemisele omaselt piisavalt suur, ei ole mõtet nõuda interpolatsioonitingimuste täitmist; pealegi on funktsiooni f(x i) määramise punktide arv sageli üsna suur. Kõik see muudab interpolatsiooni kasutamise vähetõotavaks probleemi halva tingimuslikkuse tõttu. kõrge mõõde ja interpolatsiooniprotsessi lähenemise probleemid
Üks lihtsamaid ja seetõttu laiemalt kasutatavaid lähendusfunktsioone on algebraline polünoom
Ruutkeskmise lähendamise meetod annab polünoomi Pn(x) konstrueerimise, mis põhineb väärtuse minimeerimisel
Vaadeldav lähendusmeetod minimeerib ligikaudse polünoomi ruutkeskmise kõrvalekalde aproksimeeritud funktsioonist, kuid ei garanteeri oluliste lokaalsete vigade eest. Selle võimaluse vältimiseks kasutatakse parima ühtlase lähendusega polünoome.
parameetrite ruumis a 0 , a 1 ,...,a n. Funktsiooni D(a) minimeerimise probleemi lahendamiseks on erinevaid lähenemisviise. Lihtsaim neist toob kaasa lahendamise vajaduse tavaline süsteem lineaarsed algebralised võrrandid
Kuid isegi n > 5 korral osutub sellise süsteemi maatriks nii halvasti tingituks, et punktist (3.4) saadud a j väärtustest on P n (x) arvutamisel vähe kasu. Seega, kui on vaja konstrueerida parima keskmise ruutlähendusega polünoomid, siis rohkem kõrged kraadid kasutatakse muid algoritme, näiteks ainsuse väärtuse dekomponeerimise meetodit.
3.4 Numbriline meetod ülesande lahendamiseks
Võib kaaluda kahte probleemi:
1 - vali funktsioon, et ebavõrdsus oleks täidetud
2 - leida parim lähendus, s.t. selline funktsioon, et seos
. (3.6)
Laiendame funktsiooni lineaarselt sõltumatute funktsioonide süsteemiga:
. (3.7)
Tulevikus kasutame tähise lühendamiseks funktsioonide ruumis skalaarkorrutise määratlust:
.
Asendades (3.7) tingimusega (3.6), saame
Seda avaldist eristades ja tuletised nulliga võrdsutades saame
. (3.8)
Selle süsteemi determinant on funktsioonide Grami determinant. Nende tõttu lineaarne iseseisvus see determinant ei ole võrdne nulliga. Järelikult võib süsteemist (3.8) leida koefitsiendid, mis defineerivad funktsiooni vastavalt (3.6) ja minimeerivad vea integraali 
. Seega on olemas parim ruutkeskmise lähendus ja see on ainulaadne.
Ortonormaalse funktsioonisüsteemi kasutamisel lihtsustab süsteem (3.8):
,
need. on Fourier' koefitsiendid ja parim lähendus on Fourier' jada, mis on lõppenud mõne terminiga.
On tõestatud, et igas lineaarselt normitud ruumis vormi (3.4) lineaarse lähenduse korral eksisteerib parim lähendus, kuigi see ei pruugi olla unikaalne.
Juhtudel, kui funktsioonid ei ole ortogonaalsed, väheneb Grami determinant, lähenedes nullile. Seejärel muutub süsteem halvaks ja selle lahendus annab suure vea. Tavaliselt ei võeta sellises olukorras kokku (3.7) rohkem kui viis-kuus terminit.
Kõige sagedamini kasutatavad polünoomid on Legendre, Chebyshev, Laguerre, Hermite, antud kaaluga ortogonaalsed.
Kaaluge erijuhtum kui on vaja leida tabelis antud funktsiooni parim lähendus. Lõplikul punktide hulgal defineeritud reaalfunktsioonide korral määratakse skalaarkorrutis valemiga
, (3.9)
kus on määratud sõlmede arv.
Parima ruutkeskmise lähenduse tingimus on kirjutatud järgmiselt:
. (3.10)
Eeldusel , kus , ja asendades selle polünoomi (3.10), jõuame süsteemi (3.8), milles skalaarkorrutised arvutatakse vastavalt (3.9). Kirjeldatud lähendusprotseduuri nimetatakse vähimruutude meetodiks.
Kõige levinum vähimruutude meetodi variant vastab funktsioonide astmetüübi korrale, s.o. 
ja .
Seejärel võtab võrrandisüsteem (3.8) kuju
, , (3.11)
Vormi rohkem kõrge tase abstraktsioone ja üldistusi kui see, millele traditsiooniline õpetus on orienteeritud." Järelikult ei suuda traditsioonilised õppevormid tõsta matemaatilist mõtlemist. nooremad koolilapsed kõrgemale tasemele. Kuidas ebatraditsiooniline haridus selle probleemi lahendab? Milliseid matemaatilise mõtlemise omadusi lahendus arendab mittestandardsed ülesanded? Sisse-...
võrk, mis on ehitatud erinevate topoloogiate alusel. Tarkvara jaoks mõeldud rakendussüsteemid ametialane tegevus haldur, sisaldab: · süsteemitarkvara; rakendusprogrammide põhipaketid; · arvutite võrgutoe vahendid kohalikes ja globaalsetes võrkudes; rakenduste programmeerimissüsteemid; testtarkvara. ...
LABORITÖÖD
TABELFUNKTSIOONIDE RMS-I LIKENDAMINE VAIMSEMRUUTUSE MEETODIL
Sihtmärk: Õpilaste tutvustamine interpoleerimise ja tabelina antud funktsioonide lähendamise põhimeetoditega. Omandatud teadmiste praktikas kinnistamine selliste funktsioonide lähendamise valdkonnas.
Ülesanne: Õpetage õpilasi praktilise rakendamise omandas teoreetilised teadmised katse tulemuste polünoomide abil silumise ülesannete lahendamisel nii selliste ülesannete algoritmiseerimisel kui ka nende programmeerimisel.
TEOREETILISED SÄTTED
Interpolatsioon ja lähendamine
Praktikas tekib sageli olukord, kui teatud funktsiooni f(x) on toodud selle väärtuste tabelina üksikutes punktides X = x 0 , x 1 , … , x n [a, b], näiteks seadme diskreetsed näidud ajas ja sa peaksid funktsiooni arvutama f(x) mõnes vahepealses punktis. Selle probleemi saab ligikaudu lahendada funktsiooni asendamisega f(x) on lihtsam pidev funktsioon F(x). Selleks on kaks peamist viisi. interpoleerimine Ja ligikaudne.
olemus interpoleerimine– sellise kergesti arvutatava funktsiooni konstrueerimisel F(x), mis kattub funktsiooniga f(x) punktides X = x 0 , x 1 , … , x n. Teisisõnu funktsiooni graafik F(x) lennukis Ohu peavad punktid läbima X = x 0 , x 1 , … , x n, milles funktsioon on määratud f(x). Samas punktid X = x 0 , x 1 , … , x n nimetatakse interpolatsioonisõlmedeks ja funktsiooniks F(x) - interpolatsioon. Enamasti valitakse interpolatsioonifunktsiooniks polünoomid. Seega on lineaarne interpoleerimine sama lihtne kui jadaühendus punktid ( x 0 , f(x 0)), (x 1 , f(x 1)), … ,
(x n, f(x n)) sirgjooneliste lõikude kaupa, s.o. ehituses n esimese astme polünoomid. Funktsiooni väärtus f(x) punktis X*, kus X* (x i,x i +1), i = 0, 1, … , n– 1, arvutatakse sel juhul üsna lihtsalt:
f(x*) = f(x i) + 
· ( X*–x i).
Ruutinterpolatsioon seisneb interpolatsioonisõlmede järjestikuste kolmikute ühendamises paraboolidega. Kuupinterpolatsioon - neljakordsed - kuupparaboolid jne. Astme interpolatsioonipolünoomid ( n– 1) kõiki interpolatsioonisõlmi läbivad sujuvad funktsioonid. Funktsiooni ühendamisele lisatingimuste seadmisel F(x)punktides ( x 1 , f(x 1)), (x 2 , f(x 2)), … , (x n -1 , f(x n-1)) saame nn. splaini interpolatsioon. Interpolatsioonipolünoomide konstrueerimiseks on välja töötatud palju meetodeid: Newton, Stirling, Lagrange jne.
Paljudel juhtudel on funktsiooni väärtused sees n+ 1 sõlme, interpolatsioonipolünoomi asemel on mugav leida astmepolünoomi m<n, mis lähendaks (ligikaudne) vaadeldavat funktsiooni hästi. Samas ka funktsioonide kokkulangevuse nõue f(x) Ja F(x) punktides ( x 0 , f(x 0)), (x 1 , f(x 1)), … , (x n, f(x n)) asendatakse nõudega minimeerida funktsioonide väärtuste koguhälvet f(x) Ja F(x) punktides X = x 0 , x 1 , … , x n.
Üks peamisi ehitusviise ligikaudne polünoom on vähimruutude meetod, mis eeldab, et funktsiooni väärtuste ja sõlmede lähendava funktsiooni väärtuste ruutude hälvete summa peaks olema minimaalne. Miks ruudud? Kuna funktsioonide endi väärtuste hälbed võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed ning nende summa ei anna õiget ettekujutust funktsioonide erinevusest, kompenseerides positiivseid ja negatiivseid väärtusi. Võite võtta kõrvalekalde mooduleid, kuid nende hälvete positiivsete ruutudega on mugavam töötada.
Tabelina määratletud funktsioonide ruutkeskmine lähendus
(vähima ruudu meetod)
Lase sisse sõlmed x 0 , x 1 , … , x n meil on väärtused juures 0 , juures 1 , … , kell n funktsioonid f(x). Polünoomide hulgas m aste ( m<n)
Pm(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a m x m(1)
leidke see, mis annab avaldisele miinimumi
S= 
.(2)
Tundmatud on polünoomi (1) koefitsiendid. Summa (2) on nende koefitsientide ruutvorm. Lisaks näitab valem (2), et funktsioon S = S(a 0 , a 1 , … , olen) ei saa võtta negatiivseid väärtusi. Seega funktsiooni miinimum S on olemas.
Funktsiooni ekstreemumile vajalike tingimuste rakendamine S = S(a 0 , a 1 , … , olen), saame koefitsientide määramiseks lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi a 0 , a 1 , … , olen:
, (k = 0, 1, 2, … , m)(3)
Eeldusel koos p = 
, dp = 
, kirjutame süsteemi (3) maatriksi kujul
FROMa = d , (4)
FROM = 
on süsteemi maatriks, aga
= {a 0 , a 1 , … , olen} T on tundmatute vektor, d
= {d 0 , d 1 , … , d m} T on süsteemi parempoolsete osade vektor.
Kui sõlmede hulgas x 0 , x 1 , … , x n ei sobi ja m ≤ n, siis on süsteemil (4) ainulaadne lahendus a 0 = ,a 1 = , … , olen= . Siis polünoom
= + x + x 2 + … + x m
on ainus astme polünoom m, millel on minimaalne ruuthälve S* = S min.
Funktsiooni ruutkeskmise lähenduse viga iseloomustab väärtus δ
= 
.
Funktsiooni kõige lihtsam ja enimkasutatav lähendamise tüüp (juurkeskmine-ruutlähendus) on lineaarne. Ligikaudsed andmed ( x i, y i) teostatakse lineaarfunktsiooni abil y(X)= kirves+b. Koordinaatide tasapinnal ( x, y) lineaarfunktsiooni kujutatakse teadaolevalt sirgjoonega.
Näide. Silu punktide süsteem sirgeks y= kirves+b.
| X | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| juures | 0 | 2 | 3 | 3,5 | 3 | 4,5 |
Töölehe koostamine:
| tööleht: nr. | x i | y i | x i 2 | x i y i | kirves i + b | kirves i + b–y i | (kirves i + b–y i) 2 |
| 1 | –1 | 0 | 1 | 0 | 0,81 | 0,81 | 0,6561 |
| 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 1,55 | –0,45 | 0,2025 |
| 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 2,29 | –0,71 | 0,5041 |
| 4 | 2 | 3,5 | 4 | 7 | 3,03 | –0,47 | 0,2209 |
| 5 | 3 | 3 | 9 | 9 | 3,77 | 0,77 | 0,5929 |
| 6 | 4 | 4,5 | 16 | 18 | 4,51 | 0,01 | 0,001 |
| 9 | 16 | 31 | 37 |
Süsteem a ja b määramiseks on järgmine:
Lahendame koos
Crameri valemid:
Δ = 
= 105, Δ1 = 
= 78, A2 = 
= 163,
a = = = 0,74, b = = = 1,55.
Soovitud võrrand y= 0,74x + 1,55.
Altmani diskreetsete funktsioonide silumiseks ja seeläbi järjepidevuse idee juurutamiseks teooriasse kasutati ruutkeskmise integraali lähendamist erineva astme polünoomi järgi.
On teada, et võrdsel kaugusel asuvate sõlmede interpolatsioonipolünoomide jada ei pruugi funktsioonile läheneda, isegi kui funktsioon on lõpmatult diferentseeruv. Lähendatud funktsiooni jaoks on sobiva sõlmede paigutuse abil võimalik polünoomi astet vähendada. . Altmani funktsioonide struktuur on selline, et funktsiooni lähendust on mugavam kasutada mitte interpolatsiooni abil, vaid konstrueerides normaliseeritud lineaarruumis parima ruutkeskmise lähenduse. Parima lähenduse koostamisel arvestage põhimõisteid ja teavet. Lähendamis- ja optimeerimisprobleemid püstitatakse lineaarsetes normruumides.
Meetrilised ja lineaarsed normruumid
Matemaatika kõige laiemate mõistete hulka kuuluvad "komplekt" ja "kaardistamine". Mõisteid "hulk", "kogum", "kogu", "perekond", "süsteem", "klass" peetakse mitteranges hulgateoorias sünonüümideks.
Mõiste "operaator" on identne terminiga "kaardistamine". Mõisted "operatsioon", "funktsioon", "funktsionaalne", "meede" on mõiste "kaardistamine" erijuhud.
Mõisted "struktuur", "ruum" on matemaatiliste teooriate aksiomaatilises konstrueerimises samuti omandanud põhimõttelise tähenduse. Matemaatilised struktuurid hõlmavad hulgateoreetilisi struktuure (järjestatud ja osaliselt järjestatud hulgad); abstraktsed algebralised struktuurid (poolrühmad, rühmad, rõngad, jaotusrõngad, väljad, algebrad, võred); diferentsiaalstruktuurid (välimised diferentsiaalvormid, kiuruumid) , , , , , , .
Struktuuri all mõistetakse lõplikku hulka, mis koosneb kandja (põhihulga), arvvälja (abihulga) ja kandja elementidel ning välja numbritel defineeritud vastendusest. Kui kandjaks võtta kompleksarvude hulk, siis mängib see nii põhi- kui ka abihulka rolli. Mõiste "struktuur" on identne mõistega "ruum".
Tühiku määratlemiseks on kõigepealt vaja defineerida kandekomplekt selle elementide (punktidega), mida tähistatakse ladina ja kreeka tähtedega
Kandjana võivad toimida reaalsete (või komplekssete) elementide komplektid: numbrid; vektorid, ; Maatriksid, ; Jadad, ; Funktsioonid
Kandeelementidena võivad toimida ka hulgad: reaaltelg, tasapind, kolmemõõtmeline (ja mitmemõõtmeline) ruum, permutatsioonid, liikumised; abstraktsed komplektid.
Definitsioon. Meetriline ruum on struktuur, mis moodustab kolmiku, kus vastendus on mittenegatiivne reaalfunktsioon kahest argumendist mis tahes x ja y jaoks M-st ja rahuldab kolme aksioomi.
- 1 - mittenegatiivsus; , kell.
- 2- - sümmeetria;
- 3- - refleksiivsuse aksioom.
kus on elementide vahelised kaugused.
Meetrilises ruumis määratakse meetrika ja moodustatakse tugihulga kahe elemendi läheduse mõiste.
Definitsioon. Reaalne lineaarne (vektor)ruum on struktuur, kus kaardistamine on sinna kuuluvate elementide liitmise aditiivne operatsioon ja kaardistamine arvu korrutamise operatsioon elemendiga.
Tehe tähendab, et mis tahes kahe elemendi puhul on kolmas element üheselt defineeritud, mida nimetatakse nende summaks ja mida tähistatakse ja järgmised aksioomid kehtivad.
kommutatiivne omadus.
Assotsiatiivne omadus.
B-s on spetsiaalne element, mida tähistatakse sellisega, et see kehtib mis tahes jaoks.
mis tahes eksisteerib, selline.
Elementi nimetatakse vastandlikuks ja seda tähistatakse.
Tehe tähendab, et mis tahes elemendi ja arvu jaoks määratakse element, tähistatakse ja aksioomid on täidetud:
Lineaarruumi elementi (punkte) nimetatakse ka vektoriks. Aksioomid 1–4 määratlevad rühma (lisand), mida nimetatakse mooduliks ja mis esindab struktuuri.
Kui tehte struktuuris ei allu ühelegi aksioomile, siis nimetatakse sellist struktuuri grupoidiks. See struktuur on äärmiselt halb; see ei sisalda mingit assotsiatiivsuse aksioomi, siis nimetatakse struktuuri monoidiks (poolrühmaks).
Struktuuris seatakse kaardistuse ja aksioomide 1-8 abil lineaarsuse omadus.
Niisiis, lineaarruum on rühmamoodul, mille struktuuri on lisatud veel üks toiming - tugielementide korrutamine arvuga 4 aksioomiga. Kui tehte asemel koos veel ühe 4 aksioomiga elementide korrutamise rühmaoperatsiooniga postuleerida distributiivsuse aksioom, siis tekib struktuur, mida nimetatakse väljaks.
Definitsioon. Lineaarne normruum on struktuur, mille kaardistamine vastab järgmistele aksioomidele:
- 1. Ja siis ja ainult siis, millal.
- 2. , .
- 3. , .
Ja nii vaid 11 aksioomiga.
Näiteks kui reaalarvude välja struktuuri lisada moodul, millel on kõik kolm normiomadust, kus on reaalarvud, siis reaalarvude väljast saab normruum
Normi sisseviimiseks on kaks levinumat viisi: kas homogeenselt kumera funktsionaali , intervallvormi selgesõnaline määramine või skalaarkorrutise , määramine.
Olgu, siis saab funktsionaalse vormi väärtust muutes määrata lõpmatul hulgal viisil:
- 1. , .
- 2. , .
………………..
…………….
Teine levinud viis ülesande vastuvõtmiseks on see, et ruumi struktuuri sisestatakse teine vastendus (kahe argumendi funktsioon, mida tavaliselt tähistatakse ja nimetatakse skalaarkorrutiseks).
Definitsioon. Eukleidiline ruum on struktuur, milles skalaarkorrutis sisaldab normi ja vastab aksioomidele:
- 4. , ja siis ja ainult siis
Eukleidilises ruumis genereeritakse norm valemiga
Skalaarkorrutise omadustest 1–4 tuleneb, et kõik normi aksioomid on täidetud. Kui skalaarkorrutis on vormis, arvutatakse norm valemiga
Ruuminormi ei saa määrata skalaarkorrutise , abil.
Ruumides, kus on skalaarkorrutis, ilmnevad sellised omadused, mis lineaarsetes normruumides puuduvad (elementide ortogonaalsus, rööpküliku võrdsus, Pythagorase teoreem, Apolloniuse identiteet, Ptolemaiose võrratus. Skalaarkorrutise kasutuselevõtt annab võimaluse aproksimeerimisülesannete tõhusamaks lahendamiseks.
Definitsioon. Lineaarses normruumis olevat lõpmatut elementide jada nimetatakse normidele koonduvaks (lihtsalt koonduvaks või piirmääraga), kui on olemas selline element, et mis tahes jaoks on arv, mis sõltub sellest, et
Definitsioon. Elementide jada nimetatakse fundamentaalseks, kui mis tahes jaoks on sellest ükskõik milline arv ja need on täidetud (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, lk 48)
Definitsioon. Banachi ruum on struktuur, milles mis tahes põhijada koondub normidesse.
Definitsioon. Hilberti ruum on struktuur, milles mis tahes põhijada koondub skalaarkorrutise genereeritud normi.
