Uogólnione równanie jednorodne. Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu Uogólnione równania jednorodne drugiego rzędu

13.07.2020

definitywnie 1 kontrola typu

nazywa jednorodne równanie różniczkowe pierwszego rzędu(ODA).

Th1 Niech dla funkcji będą spełnione następujące warunki:

1) ciągły w

Wtedy ODE (1) ma wspólną całkę, która jest wyrażona wzorem:

gdzie jest jakaś funkcja pierwotna funkcji Z jest dowolną stałą.

Uwaga 1 Jeżeli dla niektórych warunek jest spełniony, to w procesie rozwiązywania ODE (1) rozwiązania postaci mogą zostać utracone, takie przypadki należy traktować ostrożniej i każdy z nich należy sprawdzić osobno.

Tak więc z twierdzenia Th1 powinnam ogólny algorytm rozwiązywania ODE (1):

1) Dokonaj wymiany:

2) W ten sposób otrzymamy DE ze zmiennymi separowalnymi, które należy scałkować;

3) Wróć do starych zmiennych g;

4) Sprawdź wartości za ich zaangażowanie w rozwiązanie oryginalny pilot;, pod którym warunek

5) Zapisz odpowiedź.

Przykład 1 Rozwiąż DE (4).

Rozwiązanie: DE (4) jest równaniem różniczkowym jednorodnym, ponieważ ma postać (1). Zróbmy zamianę (3), to sprowadzi równanie (4) do postaci:

Równanie (5) jest całką ogólną DE (4).

Zwróć uwagę, że przy rozdzielaniu zmiennych i dzieleniu przez rozwiązania mogą zostać utracone, ale nie jest to rozwiązanie dla DE (4), co można łatwo zweryfikować przez bezpośrednie podstawienie do równości (4), ponieważ ta wartość nie wchodzi w zakres definicji oryginalnego DE.

Odpowiedź:

Uwaga 2 Czasami można napisać ODE w kategoriach różniczkowych zmiennych x oraz tak. Zaleca się przejście od tej notacji DE do wyrażenia przez pochodną i dopiero potem wykonanie zamiany (3).

Równania różniczkowe sprowadzające się do jednorodnych.

def 2 Funkcja nazywa się jednorodna funkcja stopnia k w obszarze, dla której równość zostanie spełniona:

Oto najczęstsze typy DE, które po różnych przekształceniach można sprowadzić do postaci (1).

1) gdzie jest funkcja? jest jednorodna, zero stopni, to znaczy, że prawdziwa jest następująca równość: DE (6) można łatwo sprowadzić do postaci (1), jeśli wstawimy , która jest dalej całkowana za pomocą zamiany (3).

2) (7), gdzie funkcje są jednorodne w tym samym stopniu k . DE formularza (7) jest również zintegrowany za pomocą zmiany (3).

Przykład 2 Rozwiąż DE (8).

Rozwiązanie: Pokażmy, że DE (8) jest jednorodny. Dzielimy przez to, co jest możliwe, ponieważ nie jest to rozwiązanie równania różniczkowego (8).

Zróbmy zamianę (3), to sprowadzi równanie (9) do postaci:

Równanie (10) jest całką ogólną DE (8).

Zwróć uwagę, że przy rozdzielaniu zmiennych i dzieleniu przez , rozwiązania odpowiadające wartościom i mogą zostać utracone. Sprawdźmy te wyrażenia. Zastąpmy je w DE (8):

Odpowiedź:

Warto zauważyć, że podczas rozwiązywania tego przykładu pojawia się funkcja zwana „znakiem” liczby x(czytać " znak x”), określone wyrażeniem:

Uwaga 3 Nie jest konieczne doprowadzenie DE (6) lub (7) do postaci (1), jeśli jest oczywiste, że DE jest jednorodny, to można natychmiast wymienić

3) DE postaci (11) jest integrowane jako ODE, jeśli , podczas gdy podstawienie jest początkowo wykonywane:

(12), gdzie jest rozwiązaniem układu: (13), a następnie zamiennikiem (3) dla funkcji.Po uzyskaniu całki ogólnej wróć do zmiennych x oraz w.

Jeżeli , to zakładając w równaniu (11), otrzymujemy DE ze zmiennymi separowalnymi.

Przykład 3 Rozwiąż problem Cauchy'ego (14).

Rozwiązanie: Pokażmy, że DE (14) sprowadza się do jednorodnego DE i całkuje zgodnie z powyższym schematem:

Rozwiążemy niejednorodny układ liniowy równania algebraiczne(15) Metoda Cramera:

Dokonujemy zmiany zmiennych i całkujemy otrzymane równanie:

(16) – Całka ogólna z DE (14). Podczas dzielenia zmiennych rozwiązania mogą zostać utracone podczas dzielenia przez wyrażenie , co można uzyskać jawnie po rozwiązaniu równanie kwadratowe. Są one jednak brane pod uwagę w całce ogólnej (16) w

Znajdźmy rozwiązanie problemu Cauchy'ego: podstawiamy wartości i do całki ogólnej (16) i znajdujemy Z.

Zatem całka cząstkowa będzie dana wzorem:

Odpowiedź:

4) Możliwe jest doprowadzenie niektórych DE do jednorodnych dla nowej, jeszcze nieznanej funkcji, jeśli zastosujemy podstawienie postaci:

W tym samym czasie liczba m jest wybierany z warunku, że wynikowe równanie, jeśli to możliwe, staje się w pewnym stopniu jednorodne. Jeśli jednak nie można tego zrobić, to rozważanego DE nie można w ten sposób zredukować do jednorodnego.

Przykład 4 Rozwiąż DU. (osiemnaście)

Rozwiązanie: Pokażmy, że DE (18) sprowadza się do jednorodnego DE za pomocą podstawienia (17), a następnie całkuje za pomocą zastępowania (3):

Znajdźmy Z:

Zatem szczególne rozwiązanie DE (24) ma postać

Równania różniczkowe pierwszego rzędu ze zmiennymi separowalnymi.

Definicja. Równanie różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi to równanie postaci (3.1) lub równanie postaci (3.2)

W celu oddzielenia zmiennych w równaniu (3.1), tj. sprowadź to równanie do tzw. równania z rozdzielonymi zmiennymi, wykonaj następujące czynności: ;

Teraz musimy rozwiązać równanie g(y)=0. Jeśli ma realne rozwiązanie y=a, następnie y=a będzie również rozwiązaniem równania (3.1).

Równanie (3.2) sprowadza się do równania z rozdzielonymi zmiennymi, dzieląc przez iloczyn:

, co pozwala na otrzymanie całki ogólnej z równania (3.2): . (3.3)

Krzywe całkowe (3.3) zostaną uzupełnione rozwiązaniami jeśli takie rozwiązania istnieją.

Równania różniczkowe jednorodne I rzędu.

Definicja 1. Równanie pierwszego rzędu nazywamy jednorodnym, jeśli relacja , zwany warunkiem jednorodności dla funkcji dwóch zmiennych o zerowym wymiarze.

Przykład 1 Pokaż, że funkcja jest jednorodna o zerowym wymiarze.

Rozwiązanie. ,

co było do okazania

Twierdzenie. Każda funkcja jest jednorodna i odwrotnie, każda jednorodna funkcja o zerowym wymiarze sprowadza się do postaci .

Dowód. Pierwsze twierdzenie twierdzenia jest oczywiste, ponieważ . Udowodnijmy drugie twierdzenie. Niech , to dla funkcji jednorodnej , co miało zostać udowodnione.

Definicja 2. Równanie (4.1) w którym m oraz n są funkcjami jednorodnymi o tym samym stopniu, tj. mieć własność dla wszystkich , nazywa się jednorodną. Oczywiście to równanie zawsze można sprowadzić do postaci (4.2) , chociaż nie można tego zrobić w celu jego rozwiązania. Równanie jednorodne sprowadza się do równania z rozdzielnymi zmiennymi, zastępując pożądaną funkcję tak według wzoru y=zx, gdzie z(x) jest nową pożądaną funkcją. Po wykonaniu tego podstawienia w równaniu (4.2) otrzymujemy: lub lub .

Całkując, otrzymujemy całkę ogólną z równania względem funkcji z(x) , co po wielokrotnym zastąpieniu daje całkę ogólną pierwotnego równania. Ponadto, jeśli są pierwiastkami równania , to funkcje są rozwiązaniami danego równania jednorodnego. Jeżeli , to równanie (4.2) przyjmuje postać

I staje się równaniem z dającymi się oddzielić zmiennymi. Jego rozwiązania to półproste: .

Komentarz. Czasem wskazane jest zamiast powyższego podstawienia skorzystać z podstawienia x=zy.

Uogólnione równanie jednorodne.

Równanie M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 nazywa się uogólnioną jednorodną, jeśli można wybrać taką liczbę kże lewa strona tego równania staje się w pewnym stopniu funkcją jednorodną m stosunkowo x, y, dx oraz dy pod warunkiem że x uważana jest za wartość pierwszego pomiaru, tak – k- pomiar , dx oraz dy- zero i (k-1) pomiary. Na przykład byłoby to równanie . (6.1) Rzeczywiście, przy założeniu dotyczącym pomiarów x, y, dx oraz dy członkowie lewej strony i dy będzie miał odpowiednio wymiary -2, 2 k oraz k-jeden. Porównując je otrzymujemy warunek, który musi spełniać pożądana liczba k: -2 = 2k=k-jeden. Warunek ten jest spełniony, gdy k= -1 (z takim k wszystkie wyrazy po lewej stronie rozważanego równania będą miały wymiar -2). W konsekwencji równanie (6.1) jest uogólnione jednorodne.

Klikając przycisk „Pobierz archiwum”, pobierzesz potrzebny plik za darmo.
Przed pobraniem tego pliku pamiętaj o dobrych esejach, kontrolach, pracach semestralnych, tezy, artykuły i inne dokumenty, które nie zostały odebrane na Twoim komputerze. To twoja praca, powinna uczestniczyć w rozwoju społeczeństwa i przynosić korzyści ludziom. Znajdź te prace i wyślij je do bazy wiedzy.
My i wszyscy studenci, doktoranci, młodzi naukowcy, którzy wykorzystują bazę wiedzy w swoich studiach i pracy, będziemy Państwu bardzo wdzięczni.

Aby pobrać archiwum z dokumentem należy w polu poniżej wpisać pięciocyfrowy numer i kliknąć przycisk „Pobierz archiwum”

Podobne dokumenty

Zagadnienia Cauchy'ego dla równań różniczkowych. Wykres rozwiązania równania różniczkowego pierwszego rzędu. Równania ze zmiennymi rozłącznymi i sprowadzające się do jednorodnych. Równania liniowe jednorodne i niejednorodne pierwszego rzędu. Równanie Bernoulliego.

wykład, dodany 18.08.2012

Podstawowe pojęcia teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Znak równania w całkowite różnice, budowa całki ogólnej. Najprostsze przypadki znajdowania czynnika całkującego. Przypadek mnożnika zależnego tylko od X i tylko od Y.

praca semestralna, dodana 24.12.2014

Osobliwości równań różniczkowych jako relacje między funkcjami i ich pochodnymi. Dowód twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania. Przykłady i algorytm rozwiązywania równań w różniczkach całkowitych. Czynnik całkujący w przykładach.

praca semestralna, dodano 2.11.2014

Równania różniczkowe Riccatiego. Ogólne rozwiązanie równania liniowego. Znajdowanie wszystkich możliwe rozwiązania równanie różniczkowe Bernoulliego. Rozwiązywanie równań ze zmiennymi separowalnymi. Ogólne i specjalne rozwiązania równania różniczkowego Clairauta.

praca semestralna, dodano 26.01.2015

Równanie ze zmiennymi rozłącznymi. Równania różniczkowe jednorodne i liniowe. Własności geometryczne krzywych całkowych. Różniczka całkowita funkcji dwóch zmiennych. Wyznaczanie całki metodami Bernoulliego i wariacje dowolnej stałej.

streszczenie, dodano 24.08.2015

Koncepcje i rozwiązania najprostszych równań różniczkowych i równań różniczkowych dowolnego rzędu, w tym o stałych współczynnikach analitycznych. Układy równań liniowych. Asymptotyczne zachowanie rozwiązań niektórych układów liniowych.

praca dyplomowa, dodana 06.10.2010

Całka ogólna równania, zastosowanie metody Lagrange'a do rozwiązywania niejednorodnego równania liniowego o nieznanej funkcji. Rozwiązanie równania różniczkowego w postaci parametrycznej. Warunek Eulera, równanie pierwszego rzędu w różniczkach całkowitych.

prace kontrolne, dodano 11.02.2011

Równanie m(x, tak) dx+ n(x, tak) dy=0 nazywa się uogólnioną jednorodną, jeśli można wybrać taką liczbę kże lewa strona tego równania staje się w pewnym stopniu funkcją jednorodną m stosunkowo x, tak, dx oraz dy pod warunkiem że x uważana jest za wartość pierwszego pomiaru, tak – k‑ pomiar , dx oraz dy – zero i (k-1) pomiary. Na przykład byłoby to równanie. (6.1)

Obowiązuje przy założeniu dotyczącym pomiarów

x, tak, dx oraz dy członkowie lewej strony
oraz dy będzie miał odpowiednio wymiary -2, 2 k oraz k-jeden. Porównując je otrzymujemy warunek, który musi spełniać pożądana liczba k: -2 = 2k = k-jeden. Warunek ten jest spełniony, gdy k = -1 (z takim k wszystkie wyrazy po lewej stronie rozważanego równania będą miały wymiar -2). W konsekwencji równanie (6.1) jest uogólnione jednorodne.

Uogólnione równanie jednorodne sprowadza się do równania ze zmiennymi rozdzielnymi za pomocą podstawienia
, gdzie z to nowa nieznana funkcja. Całkujemy równanie (6.1) wskazaną metodą. Bo k = -1, to
, po czym otrzymujemy równanie.

Integrując to, znajdujemy
, gdzie
. To jest ogólne rozwiązanie równania (6.1).

§ 7. Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu.

Równanie liniowe pierwszego rzędu jest równaniem liniowym w odniesieniu do pożądanej funkcji i jej pochodnej. To wygląda jak:

, (7.1)

gdzie P(x) oraz Q(x) podane są ciągłe funkcje x. Jeśli funkcja
, wtedy równanie (7.1) ma postać:
(7.2)

i nazywa się liniowym równaniem jednorodnym, w przeciwnym razie
nazywa się to liniowym równaniem niejednorodnym.

Równanie różniczkowe liniowe jednorodne (7.2) jest równaniem o zmiennych separowalnych:

(7.3)

Wyrażenie (7.3) jest ogólnym rozwiązaniem równania (7.2). Aby znaleźć ogólne rozwiązanie równania (7.1), w którym funkcja P(x) oznacza taką samą funkcję jak w równaniu (7.2), stosujemy metodę zwaną metodą zmienności dowolnej stałej i polega na tym, że postaramy się wybrać funkcję C=C(x) aby ogólne rozwiązanie liniowego równania jednorodnego (7.2) było rozwiązaniem niejednorodnego równania liniowego (7.1). Wtedy dla pochodnej funkcji (7.3) otrzymujemy:

Podstawiając znalezioną pochodną do równania (7.1), otrzymamy:

lub
.

Gdzie
, gdzie jest dowolną stałą. W rezultacie ogólne rozwiązanie niejednorodnego równania liniowego (7.1) wyniesie (7.4)

Pierwszy człon we wzorze reprezentuje rozwiązanie ogólne (7.3) liniowego jednorodnego równania różniczkowego (7.2), a drugi człon we wzorze (7.4) jest szczególnym rozwiązaniem liniowego równania niejednorodnego (7.1) otrzymanym z ogólnego (7.4) ) z
. Wyróżnijmy ten ważny wniosek w formie twierdzenia.

Twierdzenie. Jeśli znane jest jedno szczególne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania różniczkowego
, to wszystkie inne rozwiązania mają postać
, gdzie
jest ogólnym rozwiązaniem odpowiedniego liniowego jednorodnego równania różniczkowego.

Należy jednak zauważyć, że inna metoda, czasami nazywana metodą Bernoulliego, jest częściej używana do rozwiązywania liniowego niejednorodnego równania różniczkowego pierwszego rzędu (7.1). Poszukamy rozwiązania równania (7.1) w postaci
. Następnie
. Znalezioną pochodną podstawiamy do pierwotnego równania:
.

Połączmy na przykład drugi i trzeci wyraz ostatniego wyrażenia i wyjmijmy funkcję ty(x) dla wsporników:
(7.5)

Wymagamy zniknięcia nawiasu:
.

Rozwiązujemy to równanie, ustalając dowolną stałą C równy zero:
. Ze znalezioną funkcją v(x) wróć do równania (7.5):
.

Rozwiązując go, otrzymujemy:
.

W konsekwencji ogólne rozwiązanie równania (7.1) ma postać.

.
Równania różniczkowe.

§ 1. Podstawowe pojęcia równań różniczkowych zwyczajnych.

Definicja 1. Równanie różniczkowe zwyczajne n-ta kolejność funkcji tak argument x nazywa się relacją formy

gdzie F jest daną funkcją jego argumentów. W nazwie tej klasy równań matematycznych określenie „różniczkowe” podkreśla, że zawierają one pochodne
(funkcje powstałe w wyniku różnicowania); termin - "zwykły" mówi, że pożądana funkcja zależy tylko od jednego rzeczywistego argumentu.

Równanie różniczkowe zwyczajne może nie zawierać jawnie argumentu x, pożądana funkcja
i dowolna z jego pochodnych, ale najwyższa pochodna
musi być uwzględnione w równaniu n- zamówienie. na przykład

a)
jest równaniem pierwszego rzędu;

b)
jest równaniem trzeciego rzędu.

Podczas pisania równań różniczkowych zwyczajnych często używa się notacji pochodnych przez różniczki:

v)
jest równaniem drugiego rzędu;

G)
jest równaniem pierwszego rzędu,

formowanie po podziale przez dx forma równoważna równania:
.

Funkcjonować
nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego, jeśli wstawione do niego staje się tożsamością.

Na przykład równanie trzeciego rzędu

Ma rozwiązanie
.

Znalezienie tą czy inną metodą, na przykład selekcją, jednej funkcji, która spełnia równanie, nie oznacza jej rozwiązania. Rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego oznacza znalezienie Wszystko funkcje, które tworzą tożsamość po wstawieniu do równania. W przypadku równania (1.1) rodzina takich funkcji jest tworzona za pomocą dowolnych stałych i nazywana jest ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego n rzędu, a liczba stałych pokrywa się z porządkiem równania: tak(x) : W tym przypadku rozwiązanie nazywa się całką ogólną równania (1.1).

Na przykład ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
jest wyrażeniem: , a drugi wyraz można również zapisać jako
, ponieważ arbitralna stała podzielone przez 2 można zastąpić nową dowolną stałą .

Ustalając pewne dopuszczalne wartości dla wszystkich dowolnych stałych w rozwiązaniu ogólnym lub w całce ogólnej, uzyskujemy pewną funkcję, która nie zawiera już dowolnych stałych. Funkcja ta nazywana jest rozwiązaniem szczególnym lub całką szczególną równania (1.1). Aby znaleźć wartości dowolnych stałych, a co za tym idzie konkretnego rozwiązania, stosuje się różne dodatkowe warunki do równania (1.1). Na przykład można podać tzw. warunki początkowe dla (1.2)

Po prawej stronie warunków początkowych (1.2) podano wartości liczbowe funkcji i pochodnych, a ponadto Łączna warunki początkowe są równe liczbie zdefiniowanych dowolnych stałych.

Problem znalezienia konkretnego rozwiązania równania (1.1) z warunków początkowych nazywa się problemem Cauchy'ego.

§ 2. Równania różniczkowe zwyczajne I rzędu - pojęcia podstawowe.

Równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu ( n=1) ma postać:
lub, jeśli można go rozwiązać w odniesieniu do instrumentu pochodnego:
. Wspólna decyzja tak= tak(x,Z) lub całka ogólna
Równania pierwszego rzędu zawierają jedną dowolną stałą. Jedyny warunek początkowy dla równania pierwszego rzędu
pozwala określić wartość stałej z rozwiązania ogólnego lub z całki ogólnej. W ten sposób zostanie znalezione konkretne rozwiązanie lub, co jest również problemem Cauchy'ego, zostanie rozwiązany. Pytanie o istnienie i jednoznaczność rozwiązania problemu Cauchy'ego jest jednym z centralnych w ogólnej teorii równań różniczkowych zwyczajnych. W szczególności w przypadku równania pierwszego rzędu ważne jest twierdzenie, które jest tutaj akceptowane bez dowodu.

Twierdzenie 2.1. Jeśli w równaniu funkcja
i jego pochodna cząstkowa
ciągły w pewnym obszarze D samolot XOY, a punkt jest podany w tym obszarze
, to istnieje, a ponadto unikalne rozwiązanie, które spełnia zarówno równanie, jak i warunek początkowy
.

Geometrycznie ogólne rozwiązanie równania pierwszego rzędu to rodzina krzywych w płaszczyźnie XOY, które nie mają punktów wspólnych i różnią się od siebie jednym parametrem - wartością stałej C. Te krzywe są nazywane krzywymi całkowymi dla danego równania. Równania z krzywą całkową mają oczywiste właściwość geometryczna: w każdym punkcie styczna nachylenia stycznej do krzywej jest równa wartości prawej strony równania w tym punkcie:
. Innymi słowy, równanie jest podane w płaszczyźnie XOY pole kierunków stycznych do krzywych całkowych. Komentarz: Należy zauważyć, że dla równania
podane jest równanie i tak zwane równanie w postaci symetrycznej
.

§ 3. Równania różniczkowe pierwszego rzędu ze zmiennymi separowalnymi.

Definicja. Równanie różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi to równanie postaci
(3.1)

lub równanie postaci (3.2)

W celu oddzielenia zmiennych w równaniu (3.1), tj. sprowadź to równanie do tzw. równania z rozdzielonymi zmiennymi, wykonaj następujące czynności:

;

Teraz musimy rozwiązać równanie g(tak)= 0 . Jeśli ma realne rozwiązanie tak= a, następnie tak= a będzie również rozwiązaniem równania (3.1).

Równanie (3.2) sprowadza się do równania o zmiennej rozdzielonej, dzieląc przez iloczyn
:

, co pozwala na otrzymanie całki ogólnej z równania (3.2):
. (3.3)

Krzywe całkowe (3.3) zostaną uzupełnione rozwiązaniami
jeśli takie rozwiązania istnieją.

Rozwiązać równanie: .

Rozdzielanie zmiennych:

Integrując, otrzymujemy

Dalej od równań
oraz
znajdować x=1, tak=-1. Te decyzje są decyzjami prywatnymi.

§ 4. Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu.

Definicja 1. Równanie pierwszego rzędu nazywamy jednorodnym, jeśli po jego prawej stronie dla dowolnego
stosunek
, zwany warunkiem jednorodności dla funkcji dwóch zmiennych o zerowym wymiarze.

Przykład 1 Pokaż tę funkcję
- jednorodny pomiar zerowy.

Rozwiązanie.

co było do okazania

Twierdzenie. Dowolna funkcja
jest jednorodna i odwrotnie, dowolna jednorodna funkcja
wymiar zerowy sprowadza się do postaci
.

Dowód.

Pierwsze twierdzenie twierdzenia jest oczywiste, ponieważ
. Udowodnijmy drugie twierdzenie. Włóżmy
, to dla funkcji jednorodnej
, co miało zostać udowodnione.

Definicja 2. Równanie (4.1)

w którym m oraz n są funkcjami jednorodnymi o tym samym stopniu, tj. mieć własność dla wszystkich , nazywa się jednorodnym.

Oczywiście to równanie zawsze można sprowadzić do postaci
(4.2) , chociaż nie można tego zrobić, aby go rozwiązać.

Równanie jednorodne sprowadza się do równania z rozdzielnymi zmiennymi, zastępując pożądaną funkcję tak według wzoru tak= zx, gdzie z(x) jest nową pożądaną funkcją. Po wykonaniu tego podstawienia w równaniu (4.2) otrzymujemy:
lub
lub
.

Całkując, otrzymujemy całkę ogólną z równania względem funkcji z(x)
, który po wielokrotnej wymianie
daje ogólną całkę pierwotnego równania. Ponadto, jeśli - pierwiastki równania
, następnie funkcje
- rozwiązania zadanego równania jednorodnego. Jeśli
, to równanie (4.2) przyjmuje postać

i staje się równaniem z rozdzielnymi zmiennymi. Jego rozwiązania są półbezpośrednie:
.

Komentarz. Czasem wskazane jest zamiast powyższego podstawienia skorzystać z podstawienia x= zy.

§ 5. Równania różniczkowe sprowadzające się do jednorodnych.

Rozważ równanie postaci
. (5.1)

Jeśli
, to równanie to jest przez podstawienie , gdzie oraz są nowymi zmiennymi i - pewne liczby stałe określone z systemu

Zredukowane do jednorodnego równania

Jeśli
, to równanie (5.1) przyjmuje postać

Zarozumiały z= topór+ za pomocą, dochodzimy do równania, które nie zawiera zmiennej niezależnej.

Rozważ przykłady.

Przykład 1

Integracja równania

i podświetl krzywą całkową przechodzącą przez punkty: a) (2;2); b) (1;-1).

Rozwiązanie.

Włóżmy tak= zx. Następnie dy= xdz+ zdx oraz

Skróćmy to o i zbierz członków na dx oraz dz:

Oddzielmy zmienne:

.

Integrując, otrzymujemy ;

lub
,
.

Wymiana tutaj z na , otrzymujemy całkę ogólną z danego równania w postaci (5.2)
lub

.

Ta rodzina kręgów
, których środki leżą na linii prostej tak = x i które na początku są styczne do linii tak + x = 0. To prostetak = - x z kolei konkretne rozwiązanie równania.

Teraz tryb zadania Cauchy'ego:

A) zakładając w całce ogólnej x=2, tak=2, znajdować C=2, więc pożądanym rozwiązaniem jest
.

B) żaden z okręgów (5.2) nie przechodzi przez punkt (1;-1). Ale półlinijka tak = - x,
przechodzi przez punkt i daje pożądane rozwiązanie.

Przykład 2 Rozwiązać równanie: .

Rozwiązanie.

Równanie jest szczególnym przypadkiem równania (5.1).

Wyznacznik
w tym przykładzie
, więc musimy rozwiązać następujący system

Rozwiązując, otrzymujemy to
. Występ w podane równanie podstawienie
otrzymujemy równanie jednorodne . Integracja z substytucją
, znaleźliśmy
.

Wracając do starych zmiennych x oraz tak formuły
, mamy .

§ 6. Uogólnione równanie jednorodne.

Równanie m(x, tak) dx+ n(x, tak) dy=0 nazywa się uogólnioną jednorodną, jeśli można wybrać taką liczbę kże lewa strona tego równania staje się w pewnym stopniu funkcją jednorodną m stosunkowo x, tak, dx oraz dy pod warunkiem że x uważana jest za wartość pierwszego pomiaru, tak – k pomiar , dx oraz dy – zero i (k-1) pomiary. Na przykład byłoby to równanie
. (6.1)

Obowiązuje przy założeniu dotyczącym pomiarów

x, tak, dx oraz dy członkowie lewej strony
oraz dy będzie miał odpowiednio wymiary -2, 2 k oraz k-jeden. Porównując je otrzymujemy warunek, który musi spełniać pożądana liczba k: -2 = 2k=k-jeden. Warunek ten jest spełniony, gdy k= -1 (z takim k wszystkie wyrazy po lewej stronie rozważanego równania będą miały wymiar -2). W konsekwencji równanie (6.1) jest uogólnione jednorodne.

Integrując to, znajdujemy
, gdzie
. To jest ogólne rozwiązanie równania (6.1).

§ 7. Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu.

Równanie liniowe pierwszego rzędu jest równaniem liniowym w odniesieniu do pożądanej funkcji i jej pochodnej. To wygląda jak:

, (7.1)

gdzie P(x) oraz Q(x) podane są ciągłe funkcje x. Jeśli funkcja
, wtedy równanie (7.1) ma postać:
(7.2)

i nazywa się liniowym równaniem jednorodnym, w przeciwnym razie
nazywa się to liniowym równaniem niejednorodnym.

Równanie różniczkowe liniowe jednorodne (7.2) jest równaniem o zmiennych separowalnych:

(7.3)

Podstawiając znalezioną pochodną do równania (7.1), otrzymamy:

lub
.

Gdzie
, gdzie jest dowolną stałą. W rezultacie ogólne rozwiązanie niejednorodnego równania liniowego (7.1) wyniesie (7.4)

Połączmy na przykład drugi i trzeci wyraz ostatniego wyrażenia i wyjmijmy funkcję ty(x) dla wsporników:
(7.5)

Wymagamy zniknięcia nawiasu:
.

Rozwiązujemy to równanie, ustalając dowolną stałą C równy zero:
. Ze znalezioną funkcją v(x) wróć do równania (7.5):
.

Rozwiązując go, otrzymujemy:
.

Dlatego ogólne rozwiązanie równania (7.1) ma postać:

§ 8. Równanie Bernoulliego.

Definicja.

Równanie różniczkowe postaci
, gdzie
, nazywa się równaniem Bernoulliego.

Przy założeniu, że
dzielimy obie strony równania Bernoulliego przez . W rezultacie otrzymujemy:
(8.1)

Wprowadzamy nową funkcję
. Następnie
. Mnożymy równanie (8.1) przez
i przekazać w nim do funkcji z(x) :
, tj. dla funkcji z(x) uzyskał liniowe niejednorodne równanie pierwszego rzędu. Równanie to rozwiązano metodami omówionymi w poprzednim akapicie. Zastąpmy jego ogólne rozwiązanie zamiast z(x) wyrażenie
, otrzymujemy całkę ogólną z równania Bernoulliego, którą można łatwo rozwiązać w odniesieniu do tak. Na
dodano rozwiązanie tak(x)=0 . Równanie Bernoulliego można również rozwiązać bez przejścia do równanie liniowe przez podstawienie
, oraz zastosowanie metody Bernoulliego, szczegółowo omówionej w § 7. Rozważ zastosowanie tej metody do rozwiązania równania Bernoulliego na konkretnym przykładzie.

Przykład. Znajdź ogólne rozwiązanie równania:
(8.2)

Rozwiązanie.

Dlatego ogólne rozwiązanie tego równania ma postać:
, tak(x)=0.

§ 9. Równania różniczkowe w różniczkach całkowitych.

Definicja. Jeśli w równaniu m(x, tak) dx+ n(x, tak) dy=0 (9.1) lewa strona jest całkowitą różniczką pewnej funkcji U(x, tak) , to nazywa się to równaniem w różniczkach całkowitych. To równanie można przepisać jako du(x, tak)=0 , dlatego jego całka ogólna to ty(x, tak)= C.

Na przykład równanie xdy+ ydx=0 jest równaniem w różniczkach całkowitych, ponieważ można je przepisać w postaci D(xy)=0. Całka ogólna będzie xy= C jest arbitralną funkcją różniczkowalną. Rozróżniamy (9.3) względem u
§ 10. Czynnik całkujący.

Jeśli równanie m(x, tak) dx + n(x, tak) dy = 0 nie jest równaniem w różniczkach całkowitych i istnieje funkcja µ = µ(x, tak) , tak że po pomnożeniu przez nią obu stron równania otrzymujemy równanie

µ(Mdx + Ndy) = 0 w różnicach całkowitych, tj. µ(Mdx + Ndy)du, to funkcja µ(x, tak) nazywa się czynnikiem całkującym równania. W przypadku, gdy równanie jest już równaniem w różniczkach całkowitych, zakładamy µ = 1.

Jeśli zostanie znaleziony czynnik całkujący µ , to całkowanie tego równania sprowadza się do pomnożenia obu jego części przez µ i znalezienie całki ogólnej z otrzymanego równania w różniczkach całkowitych.

Jeśli µ jest ciągle różniczkowalną funkcją x oraz tak, następnie
.

Wynika z tego, że czynnik integrujący µ spełnia następujące PDE pierwszego rzędu:

(10.1).

Jeśli z góry wiadomo, że µ= µ(ω) , gdzie ω jest daną funkcją z x oraz tak, to równanie (10.1) sprowadza się do zwykłego (a ponadto liniowego) równania o nieznanej funkcji µ ze zmiennej niezależnej ω :

(10.2),

gdzie
, czyli ułamek jest funkcją tylko z ω .

Rozwiązując równanie (10.2), znajdujemy czynnik całkujący

, Z = 1.

W szczególności równanie m(x, tak) dx + n(x, tak) dy = 0 ma czynnik integrujący, który zależy tylko od x(ω = x) lub tylko z tak(ω = tak) jeżeli spełnione są odpowiednio następujące warunki:

,
.