Mida tähendab leida ratsionaalselt. Ratsionaalsed arvutusviisid

30.11.2020

See õppetund hõlmab liitmist ja lahutamist. ratsionaalsed arvud. Teema on klassifitseeritud keeruliseks. Siin on vaja kasutada kogu varem omandatud teadmiste arsenali.

Täisarvude liitmise ja lahutamise reeglid kehtivad ka ratsionaalarvude puhul. Tuletame meelde, et ratsionaalarvud on arvud, mida saab esitada murdena, kus a - on murdosa lugeja b on murdosa nimetaja. kus, b ei tohiks olla null.

Selles õppetükis viitame üha enam murdudele ja segaarvudele kui ühele levinud fraasile - ratsionaalsed arvud.

Tunnis navigeerimine:

Näide 1 Leidke avaldise väärtus:

Lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega sulgudesse. Arvestame, et avaldises antud pluss on tehte märk ja ei kehti murdude kohta. Sellel murdel on oma plussmärk, mis on nähtamatu, kuna seda ei kirjutata üles. Kuid me kirjutame selle selguse huvides üles:

See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmiseks tuleb suuremast moodulist lahutada väiksem moodul ja panna vastuse ette selle ratsionaalarvu märk, mille moodul on suurem. Ja selleks, et mõista, milline moodul on suurem ja milline vähem, peate enne nende murdude arvutamist suutma võrrelda nende murdude mooduleid:

Ratsionaalarvu moodul on suurem kui ratsionaalarvu moodul. Seetõttu lahutasime . Sai vastuse. Seejärel, vähendades seda murdosa 2 võrra, saime lõpliku vastuse.

Mõned primitiivsed toimingud, nagu numbrite sulgudesse panemine ja moodulite maha panemine, võib vahele jätta. Selle näite saab kirjutada lühemalt:

Näide 2 Leidke avaldise väärtus:

Lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega sulgudesse. Arvestame, et miinus ratsionaalarvude ja vahel on tehte märk ja ei kehti murdude kohta. Sellel murdel on oma plussmärk, mis on nähtamatu, kuna seda ei kirjutata üles. Kuid me kirjutame selle selguse huvides üles:

Asendame lahutamise liitmisega. Tuletage meelde, et selleks peate minuendile lisama alajaotuse vastas oleva arvu:

Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Negatiivsete ratsionaalarvude lisamiseks peate lisama nende moodulid ja panema vastuse ette miinuse:

Märge. Iga ratsionaalarvu pole vaja sulgudesse panna. Seda tehakse mugavuse huvides, et selgelt näha, millised märgid on ratsionaalsetel numbritel.

Näide 3 Leidke avaldise väärtus:

Selles avaldises on murdudel erinevad nimetajad. Et endal oleks lihtsam, toome need murrud ühise nimetaja juurde. Me ei hakka üksikasjalikult kirjeldama, kuidas seda teha. Kui teil on raskusi, korrake kindlasti õppetundi.

Pärast murdude taandamist ühise nimetajani on avaldis järgmine:

See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Lahutame suuremast moodulist väiksema mooduli ja enne saadud vastust paneme ratsionaalarvu märgi, mille moodul on suurem:

Paneme selle näite lahenduse lühemalt kirja:

Näide 4 Leidke avaldise väärtus

Arvutame selle avaldise järgmiselt: liidame ratsionaalarvud ja , seejärel lahutame saadud tulemusest ratsionaalarvu.

Esimene tegevus:

Teine toiming:

Näide 5. Leidke avaldise väärtus:

Esitame täisarvu −1 murruna ja seganumber teisendada valeks murdeks:

Sulgudesse lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega:

Saime erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmise. Lahutame suuremast moodulist väiksema mooduli ja enne saadud vastust paneme ratsionaalarvu märgi, mille moodul on suurem:

Sai vastuse.

On ka teine lahendus. See seisneb tervete osade eraldi kokkupanemises.

Niisiis, tagasi algse väljendi juurde:

Lisage iga number sulgudesse. Selle seganumbri puhul ajutiselt:

Arvutame täisarvulised osad:

(−1) + (+2) = 1

Põhiavaldisesse kirjutame (−1) + (+2) asemel saadud ühiku:

Saadud väljend. Selleks kirjutage ühik ja murd kokku:

Kirjutame lahenduse lühemalt nii:

Näide 6 Leidke avaldise väärtus

Teisendage segaarv valeks murruks. Ülejäänu kirjutame muutmata ümber:

Sulgudesse lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega:

Asendame lahutamise liitmisega:

Paneme selle näite lahenduse lühemalt kirja:

Näide 7 Leia väärtuse väljendus

Esitame täisarvu −5 murruna ja teisendame segaarvu valeks murdarvuks:

Toome need murrud ühise nimetaja juurde. Pärast nende ühise nimetaja leidmist on neil järgmine vorm:

Sulgudesse lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega:

Asendame lahutamise liitmisega:

Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Lisame nende numbrite moodulid ja paneme saadud vastuse ette miinuse:

Seega on avaldise väärtus .

Lahendame selle näite teisel viisil. Läheme tagasi algse väljendi juurde:

Kirjutame segaarvu laiendatud kujul. Ülejäänud kirjutame muudatusteta ümber:

Sulgudesse lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega:

Arvutame täisarvulised osad:

Põhiavaldises selle asemel, et kirjutada saadud arv −7

Väljend on segaarvu kirjutamise laiendatud vorm. Kirjutame arvu −7 ja murdosa kokku, moodustades lõpliku vastuse:

Kirjutame selle lahenduse lühidalt:

Näide 8 Leidke avaldise väärtus

Sulgudesse lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega:

Asendame lahutamise liitmisega:

Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Lisame nende numbrite moodulid ja paneme saadud vastuse ette miinuse:

Seega on avaldise väärtus

Seda näidet saab lahendada teisel viisil. See seisneb tervete ja murdosade eraldi lisamises. Läheme tagasi algse väljendi juurde:

Sulgudesse lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega:

Asendame lahutamise liitmisega:

Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Lisame nende numbrite moodulid ja paneme saadud vastuse ette miinuse. Kuid seekord lisame eraldi täisarvud (−1 ja −2) ning murdosa ja

Kirjutame selle lahenduse lühidalt:

Näide 9 Otsi väljendeid

Segaarvude teisendamine valedeks murdudeks:

Ratsionaalarvu lisame sulgudesse koos selle märgiga. Ratsionaalne arv ei pea olema sulgudes, kuna see on juba sulgudes:

Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Lisame nende numbrite moodulid ja paneme saadud vastuse ette miinuse:

Seega on avaldise väärtus

Proovime nüüd sama näidet lahendada teistmoodi, nimelt liites täis- ja murdosa eraldi.

Lühilahenduse saamiseks proovime seekord mõned toimingud vahele jätta, näiteks segaarvu kirjutamine laiendatud kujul ja lahutamise asendamine liitmisega:

Pange tähele, et murdosad on taandatud ühiseks nimetajaks.

Näide 10 Leidke avaldise väärtus

Asendame lahutamise liitmisega:

Saadud avaldis mitte negatiivsed arvud mis on vigade peamised põhjused. Ja kuna negatiivseid numbreid pole, saame eemaldada alamlahendi ees oleva plussmärgi ja eemaldada ka sulud:

Tulemuseks on lihtne avaldis, mida on lihtne arvutada. Arvutame selle meile sobival viisil:

Näide 11. Leidke avaldise väärtus

See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Lahutame suuremast moodulist väiksema mooduli ja paneme saadud vastuste ette ratsionaalarvu märgi, mille moodul on suurem:

Näide 12. Leidke avaldise väärtus

Avaldis koosneb mitmest ratsionaalarvust. Vastavalt sellele peate kõigepealt tegema sulgudes olevad toimingud.

Kõigepealt arvutame avaldise , seejärel avaldise Liidame saadud tulemused.

Esimene tegevus:

Teine toiming:

Kolmas toiming:

Vastus: väljendi väärtus võrdub

Näide 13 Leidke avaldise väärtus

Segaarvude teisendamine valedeks murdudeks:

Ratsionaalarvu lisame sulgudesse koos selle märgiga. Ratsionaalarvu ei pea sulgudes olema, kuna see on juba sulgudes:

Anname need murrud ühise nimetaja sisse. Pärast nende ühise nimetaja leidmist on neil järgmine vorm:

Asendame lahutamise liitmisega:

Saime erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmise. Lahutame suuremast moodulist väiksema mooduli ja paneme saadud vastuste ette ratsionaalarvu märgi, mille moodul on suurem:

Seega avaldise väärtus võrdub

Mõelge kümnendmurdude liitmisele ja lahutamisele, mis on samuti ratsionaalarvud ja mis võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed.

Näide 14 Leia avaldise väärtus −3,2 + 4,3

Lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega sulgudesse. Arvestame, et avaldises antud pluss on tehte märk ja ei kehti kümnendmurru 4.3 kohta. Sellel kümnendkohal on oma plussmärk, mis on nähtamatu, kuna seda ei kirjutata üles. Kuid me kirjutame selle selguse huvides üles:

(−3,2) + (+4,3)

See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmiseks tuleb suuremast moodulist lahutada väiksem moodul ja panna vastuse ette selle ratsionaalarvu märk, mille moodul on suurem. Ja selleks, et mõista, milline moodul on suurem ja milline väiksem, peate enne nende kümnendmurdude arvutamist suutma võrrelda nende kümnendmurdude mooduleid:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Moodul 4,3 on suurem kui moodul −3,2, seega lahutasime 4,3-st 3,2. Sain vastuse 1.1. Vastus on jah, sest vastusele peab eelnema selle ratsionaalarvu märk, mille moodul on suurem. Ja moodul 4,3 on suurem kui moodul -3,2

Seega on avaldise −3,2 + (+4,3) väärtus 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Näide 15 Leidke avaldise väärtus 3,5 + (−8,3)

See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Nagu eelmises näites, lahutame suuremast moodulist väiksema ja paneme vastuse ette ratsionaalarvu märgi, mille moodul on suurem:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Seega on avaldise 3,5 + (−8,3) väärtus võrdne −4,8

Selle näite saab kirjutada lühemalt:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Näide 16 Leidke avaldise väärtus −7,2 + (−3,11)

See on negatiivsete ratsionaalarvude liitmine. Negatiivsete ratsionaalarvude lisamiseks tuleb lisada nende moodulid ja panna vastuse ette miinus.

Väljendi segamise vältimiseks võite moodulitega kirje vahele jätta:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Seega on avaldise väärtus −7,2 + (−3,11) võrdne −10,31

Selle näite saab kirjutada lühemalt:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Näide 17. Leidke avaldise väärtus −0,48 + (−2,7)

See on negatiivsete ratsionaalarvude liitmine. Lisame nende moodulid ja paneme saadud vastuse ette miinuse. Väljendi segamise vältimiseks võite moodulitega kirje vahele jätta:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Näide 18. Leia avaldise −4,9 − 5,9 väärtus

Lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega sulgudesse. Arvestame, et miinus, mis asub ratsionaalarvude −4,9 ja 5,9 vahel, on tehte märk ja ei kehti arvu 5,9 kohta. Sellel ratsionaalsel arvul on oma plussmärk, mis on nähtamatu tänu sellele, et seda ei kirjutata üles. Kuid me kirjutame selle selguse huvides üles:

(−4,9) − (+5,9)

Asendame lahutamise liitmisega:

(−4,9) + (−5,9)

Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Lisame nende moodulid ja paneme saadud vastuse ette miinuse:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Seega on avaldise väärtus −4,9 − 5,9 võrdne −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Näide 19. Leia avaldise väärtus 7 − 9.3

Lisage sulgudesse iga number koos selle märkidega

(+7) − (+9,3)

Asendame lahutamise liitmisega

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Seega on avaldise 7 − 9,3 väärtus −2,3

Paneme selle näite lahenduse lühemalt kirja:

7 − 9,3 = −2,3

Näide 20. Leidke avaldise väärtus −0,25 − (−1,2)

Asendame lahutamise liitmisega:

−0,25 + (+1,2)

Saime erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmise. Lahutame suuremast moodulist väiksema mooduli ja enne vastust paneme selle arvu märgi, mille moodul on suurem:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Paneme selle näite lahenduse lühemalt kirja:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Näide 21. Leidke avaldise väärtus -3,5 + (4,1 - 7,1)

Tehke sulgudes olevad toimingud, seejärel lisage saadud vastus numbriga −3,5

Esimene tegevus:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Teine toiming:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Vastus: avaldise −3,5 + (4,1 − 7,1) väärtus on −6,5.

Näide 22. Leidke avaldise väärtus (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1)

Teeme sulud. Seejärel lahutage esimeste sulgude täitmise tulemusel saadud arvust arv, mis tulenes teiste sulgude täitmisest:

Esimene tegevus:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Teine toiming:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Kolmas vaatus

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Vastus: avaldise (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1) väärtus on 6.

Näide 23. Leidke avaldise väärtus −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Pange sulgudesse iga ratsionaalne arv koos selle märkidega

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Võimaluse korral asendame lahutamise liitmisega:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Väljend koosneb mitmest terminist. Vastavalt assotsiatsiooniseadus lisaks, kui avaldis koosneb mitmest liikmest, siis summa ei sõltu tehte järjekorrast. See tähendab, et tingimusi saab lisada mis tahes järjekorras.

Me ei leiuta ratast uuesti, vaid lisame kõik terminid vasakult paremale nende ilmumise järjekorras:

Esimene tegevus:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Teine toiming:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Kolmas toiming:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Vastus: avaldise −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 väärtus võrdub 1-ga.

Näide 24. Leidke avaldise väärtus

Teisendame kümnendmurru -1,8 segaarvuks. Ülejäänu kirjutame muudatusteta ümber:

Kauges minevikus, kui arvutussüsteemi polnud veel leiutatud, lugesid inimesed kõike sõrmedel. Aritmeetika ja matemaatika aluste tulekuga on kaupade, toodete ja majapidamistarvete üle arvestuse pidamine muutunud palju lihtsamaks ja otstarbekamaks. Samas, kuidas see välja näeb kaasaegne süsteem arvutus: millistesse tüüpidesse jagunevad olemasolevad arvud ja mida tähendab "arvude ratsionaalne vorm"? Selgitame välja.

Mitut tüüpi numbreid on matemaatikas?

Mõiste "arv" tähistab mis tahes objekti teatud ühikut, mis iseloomustab selle kvantitatiivseid, võrdlevaid või järjekorranäitajaid. Et teatud asjade arvu õigesti välja arvutada või arvudega teatud matemaatilisi tehteid sooritada (liita, korrutada jne), tuleks ennekõike tutvuda nende samade arvude sortidega.

Seega saab olemasolevad numbrid jagada järgmistesse kategooriatesse:

Naturaalarvud on need arvud, millega me loeme objektide arvu (väikseim naturaalarv on 1, on loogiline, et seeria naturaalarvud on lõpmatu, st suurimat naturaalarvu pole olemas). Naturaalarvude kogumit tähistatakse tavaliselt tähega N.
Täisarvud. See komplekt sisaldab kõike, samas kui sellele lisatakse negatiivsed väärtused, sealhulgas number "null". Täisarvude komplekti tähistus on kirjutatud ladina tähe Z kujul.
Ratsionaalarvud on need, mille saame mõtteliselt teisendada murdarvudeks, mille lugeja kuulub täisarvude hulka ja nimetaja naturaalarvude hulka. Allpool analüüsime üksikasjalikumalt, mida tähendab "ratsionaalarv", ja toome mõned näited.
- hulk, mis sisaldab kõiki ratsionaalseid ja Seda komplekti tähistatakse tähega R.
Kompleksarvud sisaldavad reaalosa ja muutuvat osa. Neid kasutatakse erinevate kuupvõrrandite lahendamisel, mis omakorda võivad valemites olla negatiivse avaldisega (i 2 = -1).

Mida tähendab "ratsionaalne": analüüsime seda näidete abil

Kui ratsionaalarvud on sellised, mida saame esitada hariliku murdena, siis selgub, et ratsionaalsete hulka kuuluvad ka kõik positiivsed ja negatiivsed täisarvud. Lõppude lõpuks võib iga täisarvu, näiteks 3 või 15, esitada murdena, kus nimetaja on üks.

Murrud: -9/3; 7/5, 6/55 on ratsionaalarvude näited.

Mida tähendab "ratsionaalne väljendus"?

Lase käia. Oleme juba arutanud, mida tähendab arvude ratsionaalne vorm. Kujutagem nüüd ette matemaatilist avaldist, mis koosneb erinevate arvude ja muutujate summast, erinevusest, korrutisest või jagatisest. Siin on näide: murd, mille lugejas on kahe või enama täisarvu summa ja nimetaja sisaldab nii täisarvu kui ka mõnda muutujat. Seda väljendit nimetatakse ratsionaalseks. Lähtudes reeglist "nulliga jagada ei saa", võite arvata, et selle muutuja väärtus ei saa olla selline, et nimetaja väärtus muutub nulliks. Seetõttu tuleb ratsionaalse avaldise lahendamisel esmalt määrata muutuja vahemik. Näiteks kui nimetaja sisaldab järgmist avaldist: x+5-2, siis selgub, et "x" ei saa olla võrdne -3-ga. Tõepoolest, sel juhul muutub kogu avaldis nulliks, seetõttu tuleb lahendamisel selle muutuja jaoks välja jätta täisarv -3.

Kuidas ratsionaalvõrrandeid õigesti lahendada?

Ratsionaalväljendid võivad sisaldada üsna palju arve ja isegi 2 muutujat, mistõttu nende lahendamine muutub mõnikord keeruliseks. Sellise avaldise lahendamise hõlbustamiseks on soovitatav teatud toimingud teha ratsionaalselt. Niisiis, mida tähendab "ratsionaalsel viisil" ja milliseid reegleid tuleks otsustamisel järgida?

Esimene tüüp, kui piisab väljendi lihtsustamisest. Selleks võite kasutada lugeja ja nimetaja taandamiseks taandamatuks väärtuseks. Näiteks kui lugeja sisaldab avaldist 18x ja nimetaja 9x, siis mõlema näitaja vähendamisel 9x saame täisarvu, mis on võrdne 2-ga.
Teine meetod on praktiline, kui lugejas on monoom ja nimetajas polünoom. Vaatame näidet: lugejas on meil 5x ja nimetajas - 5x + 20x 2 . Sel juhul on kõige parem võtta nimetajas olev muutuja sulgudest välja, saame nimetaja järgmise kuju: 5x(1+4x). Ja nüüd saate kasutada esimest reeglit ja avaldist lihtsustada, vähendades lugejat ja nimetajat 5x. Selle tulemusena saame murdosa vormist 1/1+4x.

Milliseid tehteid saab teha ratsionaalarvudega?

Ratsionaalarvude hulgal on mitmeid iseärasusi. Paljud neist on väga sarnased täis- ja naturaalarvudes esineva tunnusega, arvestades asjaolu, et viimased sisalduvad alati ratsionaalses hulgas. Siin on mõned ratsionaalarvude omadused, mida teades saate hõlpsalt lahendada mis tahes ratsionaalse avaldise.

Kommutatiivsuse omadus võimaldab teil liita kaks või enam arvu, olenemata nende järjestusest. Lihtsamalt öeldes ei muutu summa terminite kohtade muutumisest.
Jaotusomadus võimaldab lahendada probleeme distributsiooniseaduse abil.
Ja lõpuks liitmise ja lahutamise tehted.

Isegi koolilapsed teavad, mida "ratsionaalarvud" tähendavad ja kuidas selliste väljendite põhjal ülesandeid lahendada, nii et täiskasvanu haritud inimene peate lihtsalt meeles pidama vähemalt ratsionaalsete arvude komplekti põhitõed.

Arvutusautomaatika tööriistade praegune arengutase on loonud paljudes illusiooni, et arvutusoskuste arendamine pole üldse vajalik. See mõjutas õpilaste valmisolekut. Kalkulaatori puudumisel muutuvad paljude jaoks probleemiks ka lihtsad arvutusülesanded.

Samas sisaldavad eksamiülesanded ja eksami materjalid palju ülesandeid, mille lahendamine eeldab katsealuste oskust arvutusi ratsionaalselt korraldada.

Selles artiklis käsitleme mõningaid arvutuste optimeerimise meetodeid ja nende rakendamist võistlusülesannete jaoks.

Enamasti seostatakse arvutuste optimeerimise meetodeid aritmeetiliste toimingute sooritamise põhiseaduste rakendamisega.

Näiteks:

125 24 = 125 8 3 = 1000 3 = 3000; või

98 16 (100 - 2) 16 = 100 16 - 2 16 = 1600 - 32 = 1568 jne.

Teine suund - lühendatud korrutusvalemite kasutamine.

96 104 \u003d (100 - 4) (100 + 4) \u003d 100 2 - 4 2 \u003d 10000 - 16 \u003d 9984; või

115 2 = (100 + 15) 2 = 10 000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

Järgmine näide on arvutuste jaoks huvitav.

Arvutama:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Need on peaaegu standardsed viisid arvutuste optimeerimiseks. Vahel pakutakse ka eksootilisemaid. Vaatleme näiteks kahekohaliste arvude korrutamise meetodit, mille ühikute summa on 10.

54 26 \u003d 50 30 + 4 (26 - 50) \u003d 1500 - 96 \u003d 1404 või

43 87 = 40 90 + 3 (87–40) = 3600 + 141 = 3741.

Korrutamisskeemist saab aru jooniselt.

Kust selline korrutamisskeem pärit on?

Meie arvud tingimuse järgi on kujul: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Loome teose:

M K = (10 m + n) (10 k + (10 – n)) =
= 100 mk + 100 m - 10 min + 10 nk + 10 n - n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10 k + 10 – n) =
= (10m) (10 (k + 1)) + n (K – 10m) ja meetod on põhjendatud.

On palju geniaalseid viise, kuidas üsna keerulised arvutused vaimseteks probleemideks muuta. Kuid te ei saa arvata, et kõik peavad meeles pidama neid ja palju muid leidlikke viise arvutuste lihtsustamiseks. Oluline on õppida vaid mõned põhitõed. Teiste analüüs on mõttekas ainult kandideerimisoskuste arendamiseks põhilised viisid. Just nende loominguline rakendus võimaldab arvutusprobleeme kiiresti ja õigesti lahendada.

Mõnikord on arvutusnäiteid lahendades mugav lülituda avaldise teisendamiselt arvudega ümber polünoomide teisendamisele. Mõelge järgmisele näitele.

Arvutage kõige ratsionaalsemal viisil:

3 1 / 117 4 1 / 110 -1 110 / 117 5 118 / 119 - 5 / 119

Lahendus.

Olgu a = 1/117 ja b = 1/119. Siis 3 1 / 117 = 3 + a, 4 1 / 119 = 4 + b, 1 116 / 117 = 2 - a, 5 118 / 119 = 6 - b.

Seega saab antud avaldise kirjutada kujul (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b.

Pärast polünoomi lihtsate teisenduste sooritamist saame 10a või 10 / 117 .

Siin oleme saanud, et meie avaldise väärtus ei sõltu b-st. Ja see tähendab, et oleme arvutanud mitte ainult selle avaldise väärtuse, vaid ka mis tahes muu väärtuse, mis on saadud avaldistest (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b, asendades väärtused a-st ja b-st. Kui näiteks a = 5/329, siis vastuses saame 50 / 329 , mis iganes b.

Vaatleme veel ühte näidet, mille lahendamine kalkulaatori abil on peaaegu võimatu ja vastus on üsna lihtne, kui teate seda tüüpi näidete lahendamise lähenemisviisi.

Arvutama

1/6 71024 – (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1) (7) 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1)

Lahendus.

Muudame seisukorda

1/6 7 1024 – 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1) ) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1) (7 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 2 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 4 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 8 – 1) =

1/6 7 1024 – 1/6 (7 512 + 1) (7 256 +1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) · (7 16) – 1) = … =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 512 - 1) = 1/6 7 1024 - 1/6 (7 1024 - 1) = 1/6

Vaatleme ühte näidet, millest on juba saanud õpik põhikooli kursuse eksamimaterjalides.

Arvuta summa:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + ... + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

See tähendab, et iga murdosa asendamise meetod kahe murdosa erinevusega võimaldas meil selle probleemi lahendada. Summa osutus vastandarvude paarideks kõigile peale esimese ja viimase.

Kuid seda näidet võib üldistada. Mõelge summale:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n + () m – 1) k) (n + mk))

Selle jaoks kehtivad kõik samad põhjendused, mis eelmises näites. Tõepoolest:

1/n – 1/(n + k) = k/(n (n + k));

1/((n+k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) jne.

Seejärel konstrueerime vastuse sama skeemi järgi: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

Ja veel "pikkadest" summadest.

Summa

X \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

saab arvutada 11 termini summana geomeetriline progressioon nimetajaga 1/2 ja esimene veerand 1. Aga sama palju saab välja arvutada ka 5. klassi õpilane, kel pole edasiminekutest õrna aimugi. Selleks piisab, kui edukalt valida number, mille liidame summale X. See arv saab siin olema 1/1024.

Arvuta

X + 1 / 1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Nüüd on ilmne, et X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

Teine meetod pole vähem paljutõotav. Selle abil saate arvutada summa:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 999 999 999.

Siin on "õnnenumber" 11. Lisage see S-le ja jagage see ühtlaselt kõigi 11 termini vahel. Igaüks neist saab siis 1. Siis on meil:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + ... + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Seetõttu S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Selles artiklis hakkame uurima ratsionaalsed arvud. Siin anname ratsionaalarvude definitsioonid, anname vajalikud selgitused ja toome näiteid ratsionaalarvude kohta. Pärast seda keskendume sellele, kuidas teha kindlaks, kas antud arv on ratsionaalne või mitte.

Leheküljel navigeerimine.

Ratsionaalarvude definitsioon ja näited

Selles alapeatükis anname mitu ratsionaalarvu definitsiooni. Sõnastuse erinevustele vaatamata on kõigil neil määratlustel sama tähendus: ratsionaalarvud ühendavad täisarve ja murdarve, nii nagu täisarvud naturaalarve, nende vastandarve ja arvu nulli. Teisisõnu, ratsionaalarvud üldistavad täis- ja murdarve.

Alustame sellest ratsionaalarvude määratlused mida peetakse kõige loomulikumaks.

Kõlavast definitsioonist järeldub, et ratsionaalne arv on:

Suvaline naturaalarv n . Tõepoolest, iga naturaalarvu saab esitada hariliku murruna, näiteks 3=3/1.
Mis tahes täisarv, eriti arv null. Tõepoolest, iga täisarvu saab kirjutada kas positiivse hariliku murruna või negatiivse hariliku murruna või nullina. Näiteks 26=26/1 , .
Mis tahes harilik murd (positiivne või negatiivne). Seda ütleb otse ette antud ratsionaalarvude definitsioon.
Iga seganumber. Tõepoolest, segaarvu on alati võimalik esitada vale hariliku murruna. Näiteks ja .
Mis tahes lõplik kümnendmurd või lõpmatu perioodiline murd. Seda seetõttu, et määratud kümnendmurrud teisendatakse tavalisteks murdudeks. Näiteks , ja 0,(3)=1/3 .

Samuti on selge, et iga lõpmatu mittekorduv kümnend EI OLE ratsionaalne arv, kuna seda ei saa esitada hariliku murruna.

Nüüd saame lihtsalt tuua ratsionaalarvude näited. Arvud 4, 903, 100 321 on ratsionaalarvud, kuna need on naturaalarvud. Täisarvud 58 , −72 , 0 , −833 333 333 on samuti ratsionaalarvude näited. Tavalised murrud 4/9, 99/3 on samuti ratsionaalarvude näited. Ratsionaalarvud on ka arvud.

Ülaltoodud näidetest on näha, et on olemas nii positiivsed kui ka negatiivsed ratsionaalarvud ning ratsionaalarv null ei ole positiivne ega negatiivne.

Ülaltoodud ratsionaalarvude definitsiooni saab sõnastada lühemal kujul.

Definitsioon.

Ratsionaalarvud kutsuda numbreid, mida saab kirjutada murdarvuna z/n, kus z on täisarv ja n on naturaalarv.

Tõestame, et see ratsionaalarvude definitsioon on samaväärne eelmise definitsiooniga. Teame, et jagamise märgiks võime lugeda murdosa riba, siis täisarvude jagamise omadustest ja täisarvude jagamise reeglitest järgnevad järgmised võrdsused ja . Seega, mis on tõend.

Toome näiteid ratsionaalsete arvude kohta, mille põhjal see määratlus. Arvud −5 , 0 , 3 ja on ratsionaalarvud, kuna neid saab kirjutada murdudena vastavalt täisarvulise lugeja ja vormi loomuliku nimetajaga.

Ratsionaalarvude definitsiooni saab anda ka järgmises sõnastuses.

Definitsioon.

Ratsionaalarvud on arvud, mida saab kirjutada lõpliku või lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.

See definitsioon on samaväärne ka esimese definitsiooniga, kuna iga harilik murd vastab lõplikule või perioodilisele kümnendmurrule ja vastupidi ning iga täisarvu saab seostada kümnendmurruga, mille pärast koma on nullid.

Näiteks arvud 5 , 0 , −13 on ratsionaalarvude näited, kuna neid saab kirjutada järgmiste kümnendkohtadena 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 ja −7,(18) .

Lõpetame selle jaotise teooria järgmiste väidetega:

täis- ja murdarvud (positiivsed ja negatiivsed) moodustavad ratsionaalarvude hulga;
iga ratsionaalarvu saab esitada murruna täisarvulise lugeja ja loomuliku nimetajaga ning iga selline murd on mingi ratsionaalarv;
iga ratsionaalarvu saab esitada lõpliku või lõpmatu perioodilise kümnendmurruna ja iga selline murd esindab mõnda ratsionaalarvu.

Kas see arv on ratsionaalne?

Eelmises lõigus saime teada, et iga naturaalarv, täisarv, tavaline murd, segaarv, lõplik kümnendmurd ja ka perioodiline kümnendmurd on ratsionaalne arv. Need teadmised võimaldavad meil "ära tunda" kirjutatud arvude hulgast ratsionaalseid arve.

Aga mis siis, kui arv on antud kui mingi , või kui jne, kuidas vastata küsimusele, kas antud arv on ratsionaalne? Paljudel juhtudel on sellele väga raske vastata. Toome välja mõned mõttekäigu suunad.

Kui arv on määratud arvavaldisena, mis sisaldab ainult ratsionaalarve ja aritmeetilisi märke (+, −, · ja:), siis on selle avaldise väärtuseks ratsionaalarv. See tuleneb sellest, kuidas defineeritakse tehteid ratsionaalarvudega. Näiteks pärast kõigi avaldises olevate tehtete sooritamist saame ratsionaalarvu 18 .

Mõnikord pärast väljendite lihtsustamist ja palju muud kompleksne tüüp, on võimalik kindlaks teha, kas antud arv on ratsionaalne.

Lähme edasi. Arv 2 on ratsionaalne arv, kuna iga naturaalarv on ratsionaalne. Aga number? Kas see on ratsionaalne? Selgub, et ei, see ei ole ratsionaalne arv, see on irratsionaalne arv (selle fakti tõestuseks vastuoluga on toodud 8. klassi algebra õpik, mis on toodud allpool kirjanduse loetelus). Seda on ka tõestatud Ruutjuur naturaalarvust on ratsionaalne arv ainult neil juhtudel, kui juur on arv, mis on mõne naturaalarvu täiuslik ruut. Näiteks ja on ratsionaalarvud, kuna 81=9 2 ja 1024=32 2 , ning arvud ja ei ole ratsionaalsed, kuna arvud 7 ja 199 ei ole naturaalarvude täiuslikud ruudud.

Kas arv on ratsionaalne või mitte? Sel juhul on lihtne mõista, et see arv on ratsionaalne. Kas arv on ratsionaalne? On tõestatud, et täisarvu k-s juur on ratsionaalne arv ainult siis, kui juuremärgi all olev arv on mõne täisarvu k-s astmes. Seetõttu pole see ratsionaalne arv, kuna pole täisarvu, mille viies aste oleks 121.

Vastuolu meetod võimaldab tõestada, et mõne arvu logaritmid ei ole mingil põhjusel ratsionaalsed arvud. Näiteks tõestame, et - ei ole ratsionaalne arv.

Oletame vastupidist, st oletame, et see on ratsionaalne arv ja selle saab kirjutada tavalise murruna m/n. Seejärel andke järgmised võrdsused: . Viimane võrdsus on võimatu, kuna selle vasakul küljel on paaritu number 5 n ja paremal pool on paarisarv 2 m . Seetõttu on meie eeldus vale, seega pole see ratsionaalne arv.

Kokkuvõttes tasub rõhutada, et arvude ratsionaalsuse või irratsionaalsuse selgitamisel tuleks hoiduda äkilistest järeldustest.

Näiteks ei tohiks kohe väita, et irratsionaalarvude π ja e korrutis on irratsionaalarv, see on "nagu ilmselge", kuid mitte tõestatud. See tõstatab küsimuse: "Miks peaks toode olema ratsionaalne arv"? Ja miks mitte, sest võite tuua näite irratsionaalarvudest, mille korrutis annab ratsionaalarvu:.

Samuti pole teada, kas arvud ja paljud teised arvud on ratsionaalsed või mitte. Näiteks on irratsionaalarvud, mille irratsionaalne võimsus on ratsionaalarv. Näitlikustamiseks anname vormi aste, selle astme alus ja astendaja ei ole ratsionaalarvud, vaid , ja 3 on ratsionaalarv.

Bibliograafia.

Matemaatika. 6. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid / [N. Ya. Vilenkin ja teised]. - 22. väljaanne, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovitš A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

Klassi tunnus

5 “A” klass on koostiselt heterogeenne, osa lapsi on teadmistelt üsna tugevad, aga silma jäävad ka nõrgad. Üldiselt on tund energiline, õpilased võtavad huvi ja tahtega õpetaja initsiatiivi üles.

Teema: Ratsionaalsed arvutusmeetodid (tund on lõputund, viiakse läbi pärast teemat: "väljendite lihtsustamine" II veerandil,? 3)

Tunni tüüp: materjali kokkuvõte

a) hariv

korrata naturaalarvude liitmise, lahutamise, korrutamise omadusi
teadmiste teooriat praktikas kinnistada
näidata ülesannete täitmise ratsionaalsete viiside eeliseid, st näidata, et selle projekti loomine on vajalik ja oluline lastele endile
parandada meetodite praktikas rakendamise oskust;

b) arenev

arendada oskust teha järeldusi, süstematiseerida materjali, võrrelda meetodeid konkreetse hoonega, sõnastada selgelt mõtteid
arendada võimet oma kognitiivset tegevust kajastada
kujundada loominguline teadvus, tõeline ärikirg;

c) hariv

kasvatada iseseisvust, kollektivismi, oskust üksteist kuulata, teise arvamust austada, aga ka enda oma tõestada.

Varustus: magnettahvel ja magnetid, viltpliiatsid, puulehed (albumilehed), pildid kassist Matroskinist ja Šarikust, slaidiekraan.

Tunni etapp, aeg	Ülesanded	Õpetaja tegevus	Õpilaste tegevused	Märge
ma Org. Hetk	Suhtesõbralikkuse seadistus	- Tere kutid! Kontrollige, kas kõik on tunniks valmis. Naeratage üksteisele, naeratage nüüd mulle! Näen, et sul on hea tuju, võid õppetundi alustada!	- naerata üldine elavnemine	- ekraanil 1 slaid tekstiga "Naeratus"
II Teadmiste värskendus	Intriigilapsed Juhtige märkamatult tunni teema juurde Tehke etapi kokkuvõte	- Poisid, kass Matroskin ja Sharik töötavad täna meiega. Lapsed, peate lahendama 2 näidet, Šariku palvel lahendame kogu õppetunni! (Kännin läbi ridade, vaatan lahendust) Mis sa oled? (üllatunud!) Hästi tehtud! Sellest on vaid üks minut! Vaatame, kuidas kass Matroskin ja Šarik need näited lahendasid. Nii otsustas kass Matroskin ja Šarikul on see raske. Kuidas sa otsustasid? Kes veel? Kass Matroskin tunneb huvi, milleks see meetod hea on, miks seda täpselt kasutati? See meetod on omadus! Ja kuidas seda vara loetakse! Täpsustage mida? Ütleme veel kord, mida see vara meil teha võimaldab.	- Hurraa! (hüüded istmelt) (keegi korrutab veerus!) Olen juba otsustanud! Poisid vastused Võimaldab teil otsustada: kiiremini, Mugavam, Lihtsam, kergem Säästab aega hajutatud seadus Liitmised, lahutamised Väljendite lihtsustamine Otsustage kiiremini Lihtsam, kergem	- kassi Matros-kini ja Šariku joonistus tahvlile Tahvlil 6927+3127=2287-10287= (veerus) 3) 27*(69+31) =2700 2 libistage ekraanil
III Uue kontseptsiooni tutvustamine	Tutvustage uut kontseptsiooni	- Kõik need sõnad võib asendada sõnaga: ratsionaalne, kus sa igapäevaelus seda sõna kuulsid?	- televisioonis, tehastes ratsionaliseerijad, ratsionaalne toitumine	3 slaidi
IV Teema definitsioon	Määratlege teema	- Poisid! Pall üritab samamoodi lahendada teist näidet! Pakun talle abi. Kuidas seda kinnisvara nimetada? Kas see on ratsionaalne viis? Kas me teame ainult neid kahte võimalust? Olgu, sõnastame teema ja loetleme siis veel, milliseid omadusi me teame. Mis on tunni teema? teie oletused. Millise sõnaga teema seostatakse? Teeme üldistuse! Mis juhtus?	- (õpilased otsustavad) (lahenduse joonis on olemas) Ärge lahendage seda samamoodi Korrutamise assotsiatiivne omadus Teeb otsused lihtsamaks, kiiremaks, lihtsamaks. Me ei tea veel, kuidas! Sõnale "meetod" saate lisada "mida" Arvutusmeetodid! Ratsionaalne Ratsionaalsed arvutusmeetodid.	Töölaual Tunni teema
V Eesmärkide seadmine	Tunni eesmärkide seadmine	- Poisid! Kui asendada sõna „meetod! Kas on võimalik rakendada samu mõisteid "meetodite" ja "meetodite" jaoks: "lihtsam, kiirem, lihtsam"? Mida saab veel meetodite kohta öelda? Näitame seda slaidil Mida erilist skeemis märkasite? Mis on siis iga õppetunni eesmärgid? Teeme kokkuvõtte: Tuletage meelde, milliseid meetodeid me teame, ja korraldage need meetodid Tuletage meelde väljendite lihtsustamise tehnikaid Parandage nende rakendus praktikas Õppige võrdlema meetodit konkreetse näitega Need on meie õppetunni eesmärgid või ideed.	- Jah! Ja asenda "mis" sõnaga "mis"! Kus neid kasutatakse? Sõna "mis" koos "?" Pidage meeles, milliseid meetodeid me teame, milliseid omadusi, reegleid Võib olla uusi õppimisviise. - (koos õpilastega)	6 slaidi
VI Süsteem-teema-teadmiste tüseerimine a) 0 etapi eesmärkide seadmine. 5 min b) indie töö 1,5 min c) töötada paaris d) rühmatööd	Loo projekt Enesetäitmine Rääkige oma märkmed Üldise lahenduse otsimine, järeldused	- Poisid! Täna peame looma projekti, millesse salvestatakse teile teadaolevad meetodid (vähemalt 8) ja kõik, mida me meetodite kohta teame. Projekt saab olema puu kujul, millele kinnitame lehed. Šarikul tekkis idee: mõelda 2 minutit omaette, jätta meelde väljendite lihtsustamise viisid. Toetada ideed? Paaris töötamine Ja nüüd istume gruppidena (4 inimest), Šarik koos kass Matroskiniga töötab paaris. Arutage oma mõtteid ja otsuseid. Teil on laual voldikud, kirjutage igale neist üks viis, siis kinnitame need puu külge Näidetega saab see muidugi veelgi selgemaks. Valige, kes vastab	- milline see projekt välja näeb? (õpilased töötavad iseseisvalt, teevad märkmeid) - (hääl) (iga õpilane räägib oma arvamust) (grupi esindaja paneb meetodid kirja, ülejäänud kommenteerivad) Kas see on näidete abil võimalik?	Rühmad on territoriaalselt isoleeritud
VII Kehakultuuri ringkäik	Ülejäänud õpilased	“Üks lill magas ja ärkas järsku üles Ei tahtnud enam magada Liigutatud, venitatud Tõus üles ja lendas"	Dirigeerib üks lastest	8 slaidi: "naljakad pildid"
VIII Projekti kaitse	Tehke kokkuvõte kõigi rühmade tööst	- kutsutud on iga rühma esindajad. . . (õpetaja juhib tööd) Nii saime puu ja vaatame nüüd diagrammi, mille kass Matroskin tegi pärast teie kõnede kuulamist	Õpilaste fraasid: Nõustun Petega... Meie grupp soovib lisada... Võib olla ka sõnasõnaline	Töölaual: Puutüvi, lapsed kinnitavad magnetiga magnettahvlile lehti (ühele magnetile samad vastused)

Lisas 1 on toodud projekti skeem.

IX Testimine	Kontrollige meetodite rakendamist praktikas	- Poisid! Jäime teooria meelde ja nüüd kontrollime, kuidas te oma teadmisi praktikas rakendate Nüüd vaheta naabriga vihikuid ja kontrolli tema tööd. Hindamisnormid: Vigu pole: "5" 2 viga: "4" 3 viga: "3" ja kui rohkem kui 3, siis pead harjutama Mis võiks olla põhjuseks?	(õpilased otsustavad)	Tahvlil slaid 10
			Test
			B-I	B-2
			1) Jookse mugaval viisil
			a) (30-4) 5= b) 85137-75137= G) 25296*4= e) 633-(163+387) =	a) 7(60-3) = b) 78214-78204= G) 4268*25= e) (964+27) -464=
			2) Lahenda võrrand
			x+3x+x=30	x+5x+x=98
			(hindame üksteist) Ma ei jõudnud õigeks ajaks Lahendatud ilma meetodeid kasutamata, veerge sooritades	Libistage ekraanil 11 lahendust
X Kokkuvõtteid tehes 2 min (ise) 2 min (häälesitus)	Mõelge oma tööle	- mis sulle meelde jäi? Mis sulle meelde jäi? Mida uut sa õppisid? Mida sa parandasid? Millise järelduse sa enda jaoks tegid? Hästi tehtud poisid! Ja kass Matroskin mäletas mitut moodi, aga Šariku mõtted läksid sassi, kordame kõiki meetodeid uuesti	- fikseeris omaduste kasutuse lahendamisel Õppis kinnisvara sobitama konkreetne näide Mulle meenus, et omadus kirjutatakse muutujate abil Õppige, mis on "ratsionaalsus". Sain aru, et igal näitel on oma lähenemine Sain aru, et seadused toimivad mõlemas liinis Ma sain sellest rassist aru. kõige mugavamad viisid Need meetodid võimaldavad ka säästa aega, lihtsustada otsust ja oma elu. Sain aru, et meetodid võimaldavad lahendada suuliselt, ilma veergudeta
XI	Andke juhised d / z	- Poisid! 1. räägi kodus sugulaste, sõpradega, võib-olla teavad nad mõnda muud viisi 2. tee projekt, oma näidetega, see võib olla pilvede, lillede vms kujul, võid kasutada arvutit 3. näidata noorematele õdedele, vendadele nende huvi matemaatika vastu 4. koostada memo kohta projektiaruanne		- stendil asuv memo
XII Järeldus		- kass Matroskin ja Sharik ütlevad teile "aitäh" ja jätavad teiega hüvasti! Ma ütlen teile ka "hästi tehtud - õppetunni jaoks" ja hüvasti		slaid 12 Kirjutage "Hästi tehtud"