Avaldise teisendamine. Üksikasjalik teooria (2019)

Alfa tähistab reaalarvu. Võrdsusmärk ülaltoodud avaldistes näitab, et kui liita lõpmatusele arv või lõpmatus, ei muutu midagi, tulemuseks on sama lõpmatus. Kui võtame näiteks lõpmatu hulga naturaalarvud, võib vaadeldavad näited esitada järgmisel kujul:

Oma väite visuaalseks tõestamiseks on matemaatikud välja pakkunud palju erinevaid meetodeid. Mina isiklikult vaatan kõiki neid meetodeid kui šamaanide tantse parmupillidega. Sisuliselt taanduvad need kõik sellele, et kas osades tubades ei asutata ja neisse seatakse sisse uued külalised või visatakse osa külastajatest välja koridori, et külalistele ruumi teha (väga inimlikult). Esitasin oma vaate sellistele otsustele fantastilise loona Blondist. Millel minu arutluskäik põhineb? Lõpmatu arvu külastajate teisaldamine võtab lõpmatult palju aega. Pärast seda, kui oleme esimese külalistetoa vabastanud, kõnnib üks külastajatest aegade lõpuni alati mööda koridori oma toast järgmisse. Muidugi võib ajafaktorit rumalalt ignoreerida, aga see tuleb juba kategooriast "seadus pole lollidele kirjutatud". Kõik sõltub sellest, mida me teeme: kohandame reaalsust matemaatiliste teooriatega või vastupidi.

Mis on "lõpmatu hotell"? Infinity võõrastemaja on võõrastemaja, kus on alati suvaline arv vabu kohti, olenemata sellest, kui palju tube on hõivatud. Kui lõputus koridoris "külastajate jaoks" on kõik ruumid hõivatud, on veel üks lõputu esik, kus on ruumid "külalistele". Selliseid koridore tuleb lõputult palju. Samal ajal on "lõpmatul hotellil" lõpmatu arv korruseid lõpmatul arvul hoonetel lõpmatul arvul planeetidel lõpmatul arvul universumitel, mille on loonud lõpmatu arv jumalaid. Matemaatikud seevastu ei suuda eemalduda banaalsetest igapäevaprobleemidest: Jumal-Allah-Buddha on alati ainult üks, hotell on üks, koridor ainult üks. Nii püüavad matemaatikud žongleerida hotellitubade seerianumbritega, veendes meid, et on võimalik "tõukamata lükata".

Näitan teile oma mõttekäigu loogikat lõpmatu naturaalarvude hulga näitel. Kõigepealt peate vastama väga lihtsale küsimusele: mitu naturaalarvude komplekti on olemas - üks või mitu? Sellele küsimusele pole õiget vastust, kuna me ise leiutasime numbrid, siis looduses numbreid pole. Jah, loodus teab, kuidas arvutada suurepäraselt, kuid selleks kasutab ta muid matemaatilisi tööriistu, mis pole meile tuttavad. Nagu Loodus arvab, räägin teile teine ​​kord. Kuna me arvud leiutasime, otsustame ise, mitu naturaalarvude komplekti eksisteerib. Kaaluge mõlemat võimalust, nagu tõelisele teadlasele kohane.

Variant üks. "Andke meile" üks naturaalarvude komplekt, mis lebab rahulikult riiulil. Võtame selle komplekti riiulilt. See selleks, muid naturaalarve pole riiulile jäänud ja neid pole kuskilt võtta. Me ei saa seda komplekti lisada, kuna see on meil juba olemas. Mis siis, kui sa tõesti tahad? Pole probleemi. Võime võtta ühiku juba võetud komplektist ja tagastada riiulile. Pärast seda saame riiulilt ühiku võtta ja lisada sellele, mis meil üle jääb. Selle tulemusena saame jälle lõpmatu hulga naturaalarvusid. Kõik meie manipulatsioonid saate kirjutada järgmiselt:

Salvestasin toimingud sisse algebraline süsteem tähistus ja hulgateoorias omaks võetud tähistussüsteemis koos hulga elementide üksikasjaliku loetlemisega. Alamindeks näitab, et meil on üks ja ainus naturaalarvude komplekt. Selgub, et naturaalarvude hulk jääb muutumatuks vaid siis, kui sellest üks lahutada ja samasugune liita.

Variant kaks. Meil on riiulil palju erinevaid lõpmatuid naturaalarvude komplekte. Rõhutan – ERINEVAD, hoolimata sellest, et neid praktiliselt ei erista. Võtame ühe neist komplektidest. Seejärel võtame ühe teisest naturaalarvude hulgast ja lisame selle juba võetud hulgale. Saame isegi lisada kaks naturaalarvude komplekti. Siin on see, mida me saame:

Alamindeksid "üks" ja "kaks" näitavad, et need elemendid kuulusid erinevatesse kogumitesse. Jah, kui lisate ühe lõpmatusse hulka, on tulemuseks samuti lõpmatu hulk, kuid see ei ole sama, mis algne hulk. Kui lisada üks lõpmatu hulk teisele lõpmatule hulgale, on tulemuseks uus lõpmatu hulk, mis koosneb kahe esimese hulga elementidest.

Naturaalarvude komplekti kasutatakse loendamisel samamoodi nagu mõõtmisjoonlauda. Kujutage nüüd ette, et olete joonlauale lisanud ühe sentimeetri. See on juba erinev rida, mis ei võrdu originaaliga.

Võite minu arutluskäiguga nõustuda või mitte nõustuda – see on teie enda asi. Kui aga satuvad kunagi matemaatiliste probleemide ette, mõelge, kas olete matemaatikute põlvkondade poolt tallatud valede arutluste teel. Matemaatikatunnid kujundavad ju meis ennekõike stabiilse mõtlemise stereotüübi ja alles siis lisavad meile vaimseid võimeid (või vastupidi, jätavad ilma vaba mõtlemise).

Pühapäeval, 4. augustil 2019

Kirjutasin järelsõna artiklile ja nägin Vikipeedias seda imelist teksti:

Me loeme: "... Babüloonia matemaatika rikkalikul teoreetilisel baasil ei olnud terviklikku iseloomu ja see taandus erinevateks tehnikateks, millest puudusid ühine süsteem ja tõendusbaas.

Vau! Kui targad me oleme ja kui hästi oskame näha teiste puudujääke. Kas meie jaoks on nõrk vaadata kaasaegset matemaatikat samas kontekstis? Ülaltoodud teksti pisut parafraseerides sain isiklikult järgmise:

Kaasaegse matemaatika rikkalikul teoreetilisel baasil ei ole terviklikku iseloomu ja see on taandatud erinevateks osadeks, millel puudub ühine süsteem ja tõendusbaas.

Ma ei lähe oma sõnade kinnitamiseks kaugele - sellel on keel ja konventsioonid, mis erineb paljude teiste matemaatikaharude keelest ja tavadest. Matemaatika erinevates harudes võivad olla samad nimed erinev tähendus. Tahan pühendada terve tsükli publikatsioone kaasaegse matemaatika kõige ilmsematele vigadele. Varsti näeme.

Laupäeval, 3. augustil 2019

Kuidas jagada hulk alamhulkadeks? Selleks tuleb sisestada uus mõõtühik, mis on mõnes valitud komplekti elemendis olemas. Kaaluge näidet.

Olgu meil palju A koosneb neljast inimesest. See komplekt on moodustatud "inimeste" alusel. Märgime selle komplekti elemendid tähe kaudu a, näitab numbriga alaindeks iga selles komplektis oleva isiku järjekorranumbrit. Võtame kasutusele uue mõõtühiku "seksuaalomadus" ja tähistame seda tähega b. Kuna seksuaalsed omadused on omased kõigile inimestele, korrutame komplekti iga elemendi A soo kohta b. Pange tähele, et meie komplektist "inimesed" on nüüd saanud "sooga inimeste" komplekt. Pärast seda saame seksuaalomadused jagada meesteks bm ja naiste omad bw soolised omadused. Nüüd saame rakendada matemaatilist filtrit: valime ühe neist seksuaalomadustest, pole vahet, kumb on mees või naine. Kui see on inimesel olemas, siis korrutame selle ühega, kui sellist märki pole, korrutame nulliga. Ja siis rakendame tavalist koolimatemaatikat. Vaata, mis juhtus.

Pärast korrutamist, vähendamist ja ümberkorraldamist saime kaks alamhulka: meessoost alamhulk bm ja naiste alamhulk bw. Umbes samamoodi arutlevad matemaatikud, kui nad rakendavad hulgateooriat praktikas. Kuid nad ei lase meid üksikasjadesse, vaid annavad meile lõpptulemuse – "palju inimesi koosneb meeste alamhulgast ja naiste alamhulgast." Loomulikult võib teil tekkida küsimus, kui õigesti rakendati matemaatikat ülaltoodud teisendustes? Julgen kinnitada, et tegelikult on teisendused tehtud õigesti, piisab aritmeetika, Boole'i ​​algebra ja teiste matemaatika osade matemaatilise põhjenduse teadmisest. Mis see on? Mõni teine ​​kord räägin teile sellest.

Mis puutub superhulkadesse, siis on võimalik ühendada kaks komplekti üheks superkomplektiks, valides mõõtühiku, mis esineb nende kahe hulga elementides.

Nagu näete, muudavad mõõtühikud ja tavaline matemaatika hulgateooria minevikku. Märk sellest, et hulgateooriaga pole kõik korras, on see, et matemaatikud on välja mõelnud oma keele ja tähistuse hulgateooria jaoks. Matemaatikud tegid seda, mida kunagi tegid šamaanid. Ainult šamaanid teavad, kuidas oma "teadmisi" "õigesti" rakendada. Seda "teadmist" nad meile õpetavad.

Lõpuks tahan teile näidata, kuidas matemaatikud manipuleerivad .

Esmaspäeval, 7. jaanuaril 2019

Viiendal sajandil eKr sõnastas Vana-Kreeka filosoof Zenon Eleast oma kuulsad apooriad, millest tuntuim on apooria "Achilleus ja kilpkonn". See kõlab järgmiselt:

Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mil Achilleus selle distantsi läbib, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus on sada sammu jooksnud, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõputult, Achilleus ei jõua kunagi kilpkonnale järele.

See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Kõik nad pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriaks. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud jätkuvad ka praegu, teadusringkonnad pole paradokside olemuse osas veel ühisele arvamusele jõudnud ... matemaatiline analüüs, hulgateooria, uued füüsikalised ja filosoofilised lähenemised; ükski neist ei saanud probleemile üldtunnustatud lahendust ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles see pettus seisneb.

Matemaatika seisukohalt näitas Zenon oma apoorias selgelt üleminekut väärtuselt väärtusele. See üleminek eeldab konstantide asemel rakendamist. Minu arusaamist mööda pole muutuvate mõõtühikute rakendamise matemaatilist aparaati kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooriale rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsi abil konstantseid ajaühikuid vastastikuse väärtuse suhtes. Füüsilisest vaatenurgast tundub, et aeg aeglustub ja peatub täielikult hetkel, mil Achilleus jõuab kilpkonnale järele. Kui aeg peatub, ei saa Achilleus enam kilpkonnast mööduda.

Kui pöörame harjunud loogikat, loksub kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Selle tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras mõistet "lõpmatus", siis oleks õige öelda "Achilleus ületab lõpmatult kiiresti kilpkonna".

Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Jääge konstantsetesse ajaühikutesse ja ärge lülituge vastastikustele väärtustele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:

Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmiseks ajavahemikuks võrdne esimesega, Achilleus jookseb veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.

See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Kuid see pole probleemi täielik lahendus. Einsteini väide valguse kiiruse ületamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõpmata suurtes arvudes, vaid mõõtühikutes.

Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:

Lendav nool on liikumatu, kuna ta on igal ajahetkel puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, on ta alati puhkab.

Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel on lendav nool paigal erinevates ruumipunktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Auto liikumise fakti kindlakstegemiseks on vaja kahte ühest ja samast punktist erinevatel ajahetkedel tehtud fotot, kuid nende abil ei saa kaugust määrata. Auto kauguse määramiseks vajate kahte fotot, mis on tehtud erinevad punktid ruumi ühel ajahetkel, kuid nende järgi on liikumise fakti võimatu kindlaks teha (loomulikult on arvutuste jaoks siiski vaja lisaandmeid, trigonomeetria aitab teid). Millele ma tahan keskenduda Erilist tähelepanu, on see, et kaks ajapunkti ja kaks punkti ruumis on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need pakuvad erinevaid uurimisvõimalusi.

Kolmapäeval, 4. juulil 2018

Ma juba ütlesin teile seda, mille abil šamaanid püüavad sorteerida "" tegelikkust. Kuidas nad seda teevad? Kuidas komplekti moodustamine tegelikult toimub?

Vaatame lähemalt komplekti määratlust: "erinevate elementide kogum, mis on mõeldud ühtseks tervikuks". Nüüd tunnetage erinevust kahe fraasi vahel: "mõeldav tervikuna" ja "mõeldav tervikuna". Esimene fraas on lõpptulemus, paljusus. Teine fraas on esialgne ettevalmistus komplekti moodustamiseks. Selles etapis jagatakse reaalsus eraldi elementideks ("tervik"), millest seejärel moodustub paljusus ("üks tervik"). Samal ajal jälgitakse hoolikalt tegurit, mis võimaldab ühendada "terviku" "ühtseks tervikuks", muidu šamaanid ei õnnestu. Šamaanid teavad ju täpselt ette, millist komplekti nad meile demonstreerida tahavad.

Toon protsessi näitega. Valime "punane tahke vistrikus" - see on meie "tervik". Samas näeme, et need asjad on vibuga ja on ilma vibuta. Pärast seda valime osa "tervikust" ja moodustame komplekti "kaabuga". Nii toidavad šamaanid end, sidudes oma hulgateooria tegelikkusega.

Teeme nüüd väikese triki. Võtame "tahke vibuga vistrikuga" ja ühendame need "tervikud" värvi järgi, valides punased elemendid. Saime palju "punast". Nüüd keeruline küsimus: kas saadud komplektid "kaabuga" ja "punane" on sama komplekt või kaks erinevat komplekti? Ainult šamaanid teavad vastust. Täpsemalt ei tea nad ise midagi, aga nagu öeldakse, nii on.

See lihtne näide näitab, et hulgateooria on tegelikkuses täiesti kasutu. Mis on saladus? Moodustasime komplekti "kaabuga punane tahke vistrik". Moodustamine toimus nelja erineva mõõtühiku järgi: värvus (punane), tugevus (solid), karedus (konarus), kaunistused (kaabuga). Ainult mõõtühikute kogum võimaldab matemaatika keeles adekvaatselt kirjeldada reaalseid objekte. See näeb välja järgmiselt.

Erinevate indeksitega täht "a" tähistab erinevaid mõõtühikuid. Sulgudes on esile tõstetud mõõtühikud, mille järgi "tervik" jaotatakse esialgses etapis. Mõõtühik, mille järgi komplekt moodustatakse, võetakse sulgudest välja. Viimane rida näitab lõpptulemust – komplekti elementi. Nagu näete, kui me kasutame hulga moodustamiseks ühikuid, siis tulemus ei sõltu meie tegevuste järjekorrast. Ja see on matemaatika, mitte šamaanide tantsud tamburiinidega. Šamaanid võivad "intuitiivselt" jõuda samale tulemusele, argumenteerides seda "ilmselgusega", sest nende "teaduslikku" arsenali ei sisalda mõõtühikud.

Mõõtühikute abil on väga lihtne jagada üks või mitu komplekti üheks superkomplektiks kombineerida. Vaatame lähemalt selle protsessi algebrat.

Laupäeval, 30. juunil 2018

Kui matemaatikud ei saa taandada mõistet teistele mõistetele, siis nad ei saa matemaatikas midagi aru. Vastan: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Vastus on väga lihtne: numbrid ja mõõtühikud.

Tänapäeval kuulub kõik, mida me ei võta, mõnda hulka (nagu matemaatikud meile kinnitavad). Muide, kas nägite oma otsmikul peeglist nimekirja komplektidest, kuhu kuulute? Ja ma pole sellist nimekirja näinud. Ütlen veel - mitte ühelgi asjal ei ole tegelikkuses sildi komplektide nimekirjaga, kuhu see asi kuulub. Komplektid on kõik šamaanide väljamõeldised. Kuidas nad seda teevad? Vaatame veidi sügavamale ajalukku ja vaatame, kuidas komplekti elemendid nägid välja enne, kui matemaatikud-šamaanid need oma komplektideks lahti tõmbasid.

Ammu aega tagasi, kui matemaatikast polnud veel keegi kuulnud ning rõngad olid ainult puudel ja Saturnil, tiirlesid füüsilistel väljadel tohutud karjad hulgaliselt metsikuid elemente (ju polnud šamaanid veel matemaatilisi välju leiutanud). Nad nägid välja sellised.

Jah, ärge imestage, matemaatika seisukohast on kõik hulkade elemendid kõige sarnasemad merisiilikud- ühest punktist paistavad mõõtühikud nagu nõelad igas suunas välja. Neile, kes tuletan meelde, et mis tahes mõõtühikut saab geomeetriliselt esitada suvalise pikkusega segmendina ja arvu punktina. Geomeetriliselt võib mis tahes suurust kujutada ühest punktist erinevates suundades väljaulatuvate segmentide kimbuna. See punkt on nullpunkt. Ma ei joonista seda geomeetrilist kunstiteost (ilma inspiratsioonita), kuid võite seda kergesti ette kujutada.

Millised mõõtühikud moodustavad hulga elemendi? Kõik, mis kirjeldavad seda elementi erinevatest vaatenurkadest. Need on iidsed mõõtühikud, mida kasutasid meie esivanemad ja mille kõik on ammu unustanud. Need on tänapäevased mõõtühikud, mida me praegu kasutame. Need on meile tundmatud mõõtühikud, mida meie järeltulijad välja mõtlevad ja mida nad reaalsuse kirjeldamiseks kasutavad.

Arvutasime välja geomeetria - komplekti elementide pakutud mudelil on selge geomeetriline kujutis. Ja kuidas on lood füüsikaga? Mõõtühikud – see on otsene seos matemaatika ja füüsika vahel. Kui šamaanid ei tunnista mõõtühikuid matemaatiliste teooriate täieõiguslikuks elemendiks, on see nende probleem. Mina isiklikult ei kujuta ette tõelist matemaatikateadust ilma mõõtühikuteta. Seetõttu rääkisin ma hulgateooria loo alguses sellest kui kiviajast.

Aga liigume edasi kõige huvitavama juurde – hulkade elementide algebra juurde. Algebraliselt on hulga iga element erinevate suuruste korrutis (korrutamise tulemus), mis näeb välja selline.

Ma ei kasutanud meelega hulgateoorias omaks võetud kokkuleppeid, kuna me käsitleme hulga elementi selle loomulikus elupaigas enne hulgateooria tulekut. Iga tähepaar sulgudes tähistab eraldi väärtust, mis koosneb numbrist, mis on tähistatud tähega " n" ja mõõtühikud, mis on tähistatud tähega " a". Tähtede juures olevad indeksid näitavad, et numbrid ja mõõtühikud on erinevad. Komplekti üks element võib koosneda lõpmatust arvust väärtustest (kui meil ja meie järglastel on piisavalt kujutlusvõimet). Igaüks sulg on geomeetriliselt kujutatud eraldi segmendiga.Näites merisiilikuga on üks sulg üks nõel.

Kuidas šamaanid erinevatest elementidest komplekte moodustavad? Tegelikult mõõtühikute või numbrite järgi. Matemaatikas midagi aru ei saa, võtavad nad erinevaid merisiilikuid ja uurivad neid hoolikalt, otsides üht nõela, mille abil nad komplekti moodustavad. Kui selline nõel on olemas, siis see element kuulub komplekti, kui nõela pole, pole see element sellest komplektist. Šamaanid räägivad meile muinasjutte vaimsetest protsessidest ja ühest tervikust.

Nagu võite arvata, võib sama element kuuluda erinevatesse komplektidesse. Järgmisena näitan teile, kuidas tekivad hulgad, alamhulgad ja muu šamaaniline jama. Nagu näete, "komplektis ei saa olla kahte identset elementi", kuid kui komplektis on identsed elemendid, nimetatakse sellist komplekti "multiseks". Mõistlikud olendid ei mõista sellist absurdiloogikat kunagi. See on kõnelevate papagoide ja treenitud ahvide tase, kus mõistus puudub sõnast "täiesti". Matemaatikud tegutsevad tavaliste koolitajatena, kuulutades meile oma absurdseid ideid.

Kunagi olid silla ehitanud insenerid silla katsetuste ajal silla all paadis. Kui sild kokku kukkus, suri keskpärane insener oma loomingu rusude all. Kui sild koormusele vastu pidas, ehitas andekas insener teisi sildu.

Ükskõik, kuidas matemaatikud end lause "mind me, I'm in the house" taha peituvad, õigemini "matemaatika uurib abstraktseid mõisteid", on üks nabanöör, mis seob neid lahutamatult reaalsusega. See nabanöör on raha. Rakendagem matemaatilist hulgateooriat matemaatikute endi suhtes.

Õppisime matemaatikat väga hästi ja nüüd istume kassas ja maksame palka. Siin tuleb meie juurde matemaatik oma raha pärast. Loeme talle kogu summa kokku ja laotame selle oma lauale erinevatesse hunnikutesse, millesse paneme sama nimiväärtusega arveid. Seejärel võtame igast hunnikust ühe arve ja anname matemaatikule tema "matemaatilise palgakomplekti". Selgitame matemaatikat, et ta saab ülejäänud arved alles siis, kui ta tõestab, et ilma identsete elementideta hulk ei võrdu identsete elementidega hulgaga. Siit saab alguse lõbus.

Esiteks hakkab toimima saadikute loogika: "teiste puhul võid seda rakendada, minu puhul mitte!" Lisaks hakatakse tagama, et sama nimiväärtusega pangatähtedel on erinevad pangatähtede numbrid, mis tähendab, et neid ei saa pidada identseteks elementideks. Noh, me arvestame palka müntides - müntidel pole numbreid. Siin hakkab matemaatik kramplikult füüsikat meenutama: see on erinevatel müntidel erinev summa mustus, kristallstruktuur ja iga mündi aatomipaigutus on ainulaadne...

Ja nüüd on mul kõige huvitavam küsimus: kus on piir, millest kaugemale muutuvad multihulga elemendid hulga elementideks ja vastupidi? Sellist joont pole olemas – kõike otsustavad šamaanid, teadus pole siin lähedalgi.

Vaata siia. Valime välja sama alaga jalgpallistaadionid. Väljade pindala on sama, mis tähendab, et meil on multikomplekt. Aga kui arvestada samade staadionide nimesid, saame palju, sest nimed on erinevad. Nagu näete, on sama elementide komplekt korraga nii hulk kui ka multikomplekt. Kui õige? Ja siin võtab matemaatik-šamaan-shuller varrukast välja trumpässa ja hakkab meile rääkima kas komplektist või multikomplektist. Igal juhul veenab ta meid, et tal on õigus.

Et mõista, kuidas tänapäeva šamaanid hulgateooriaga opereerivad, sidudes selle reaalsusega, piisab, kui vastata ühele küsimusele: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Ma näitan teile, ilma igasuguse "mõeldava mitte ühe tervikuna" või "ei ole mõeldav ühtse tervikuna".

Iga keel võib väljendada sama teavet erinevad sõnad ja käibed. Matemaatiline keel pole erand. Kuid sama väljendit saab samaväärselt kirjutada erineval viisil. Ja mõnes olukorras on üks kirjetest lihtsam. Selles õppetükis räägime väljendite lihtsustamisest.

Inimesed suhtlevad edasi erinevaid keeli. Meie jaoks on oluliseks võrdluseks paar "vene keel – matemaatiline keel". Sama teavet saab esitada erinevates keeltes. Kuid peale selle saab seda ühes keeles hääldada erinevalt.

Näiteks: “Peeter on Vasjaga sõber”, “Vasja on Petjaga sõber”, “Peeter ja Vasja on sõbrad”. Öeldi teisiti, aga üks ja seesama. Mis tahes nendest fraasidest saaksime aru, mis on kaalul.

Vaatame seda fraasi: "Poiss Petya ja poiss Vasya on sõbrad." Me mõistame, mida kõnealune. Meile aga ei meeldi, kuidas see fraas kõlab. Kas me ei võiks seda lihtsustada, öelda sama, aga lihtsamalt? "Poiss ja poiss" - võite korra öelda: "Poisid Petya ja Vasya on sõbrad."

"Poisid" ... Eks nende nimedest selgub, et nad pole tüdrukud. Eemaldame "poisid": "Petya ja Vasya on sõbrad." Ja sõna "sõbrad" võib asendada sõnaga "sõbrad": "Petya ja Vasya on sõbrad." Selle tulemusena asendati esimene, pikk, inetu fraas samaväärse väitega, mida on lihtsam öelda ja kergem mõista. Oleme seda fraasi lihtsustanud. Lihtsustada tähendab lihtsamalt öelda, aga mitte kaotada, mitte tähendust moonutada.

Sama juhtub ka matemaatilises keeles. Sama asja võib öelda erinevalt. Mida tähendab väljendi lihtsustamine? See tähendab, et algse avaldise jaoks on palju samaväärseid väljendeid, st neid, mis tähendavad sama asja. Ja kogu selle hulga hulgast peame valima meie arvates kõige lihtsama või meie edasiste eesmärkide jaoks sobivaima.

Mõelge näiteks numbrilisele avaldisele. See on samaväärne .

See on samaväärne ka kahe esimesega: .

Selgub, et oleme oma väljendeid lihtsustanud ja leidnud lühima samaväärse avaldise.

Numbriavaldiste puhul peate alati tegema kogu töö ja saama samaväärse avaldise ühe arvuna.

Vaatleme sõnasõnalise väljendi näidet . Ilmselgelt saab see olema lihtsam.

Kirjasõnaliste väljendite lihtsustamisel peate tegema kõik toimingud, mis on võimalikud.

Kas väljendit on alati vaja lihtsustada? Ei, mõnikord on samaväärne, kuid pikem märge meile mugavam.

Näide: lahutage arvust arv.

Arvutada on võimalik, aga kui esimest numbrit esindaks selle samaväärne märge: , siis oleksid arvutused hetkelised: .

See tähendab, et lihtsustatud avaldis ei ole meile edasiste arvutuste jaoks alati kasulik.

Sellegipoolest seisame sageli silmitsi ülesandega, mis kõlab lihtsalt nagu "väljendi lihtsustamine".

Lihtsustage väljendit: .

Lahendus

1) Tehke esimeses ja teises sulus olevaid toiminguid: .

2) Arvutage tooted: .

Ilmselgelt on viimasel avaldisel lihtsam vorm kui algsel. Oleme seda lihtsustanud.

Avaldise lihtsustamiseks tuleb see asendada ekvivalendiga (võrdne).

Samaväärse avaldise määramiseks peate:

1) teha kõik võimalikud toimingud,

2) kasutada arvutuste lihtsustamiseks liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise omadusi.

Liitmise ja lahutamise omadused:

1. Liitumise kommutatiivne omadus: summa ei muutu tingimuste ümberpaigutamisel.

2. Liitmise assotsiatiivne omadus: kahe arvu summale kolmanda arvu liitmiseks saab esimesele arvule liita teise ja kolmanda arvu summa.

3. Arvest summa lahutamise omadus: arvust summa lahutamiseks saate lahutada iga liikme eraldi.

Korrutamise ja jagamise omadused

1. Korrutamise kommutatiivne omadus: korrutis ei muutu tegurite permutatsioonist.

2. Assotsiatiivne omadus: arvu korrutamiseks kahe arvu korrutisega saate selle esmalt korrutada esimese teguriga ja seejärel korrutada saadud korrutise teise teguriga.

3. Korrutamise jaotusomadus: arvu korrutamiseks summaga tuleb see iga liikmega eraldi korrutada.

Vaatame, kuidas me tegelikult peastarvutusi teeme.

Arvutama:

Lahendus

1) Kujutage ette, kuidas

2) Esitame esimest kordajat bitiliikmete summana ja sooritame korrutamise:

3) võite ette kujutada, kuidas ja korrutada:

4) Asendage esimene tegur samaväärse summaga:

Jaotusseadust saab kasutada ka tagakülg: .

Järgige neid samme.

1) 2)

Lahendus

1) Mugavuse huvides võite kasutada jaotusseadus, kasutage seda ainult vastupidises suunas – võtke ühistegur sulgudest välja.

2) Võtame ühisteguri sulgudest välja

Köögis ja esikus on vaja osta linoleum. Köögiosa - esik -. Linoleume on kolme tüüpi: eest ja rubla eest. Kui palju saab igaüks kolme tüüpi linoleum? (Joonis 1)

Riis. 1. Probleemi olukorra illustratsioon

Lahendus

1. meetod. Saate eraldi välja selgitada, kui palju raha kulub köögis linoleumi ostmiseks, seejärel lisada see esikusse ja liita saadud tööd.

Sa vajad

• - polünoomi monomi mõiste;
• - lühendatud korrutusvalemid;
• - toimingud murdarvudega;
• - põhilised trigonomeetrilised identiteedid.

Juhend

Kui avaldis sisaldab monoomi, leidke nende koefitsientide summa ja korrutage nende jaoks ühe teguriga. Näiteks kui on olemas avaldis 2 a-4 a + 5 a + a \u003d (2-4 + 5 + 1) ∙ a \u003d 4 ∙ a.

Juhul, kui avaldis on loomulik murd, valige lugejast ja nimetajast ühistegur ning vähendage murdosa selle võrra. Näiteks kui teil on vaja vähendada murdosa (3 a²–6 a b+3 b²) / (6∙a²–6∙b²), eemaldage lugejas olevast lugejast ja nimetajast ühised tegurid, et see oleks 3. nimetaja 6. Hankige avaldis (3 ( a²-2 a b+b²))/(6∙(a²-b²)). Vähendage lugejat ja nimetajat 3 võrra ning rakendage ülejäänud avaldistele vähendatud korrutamisvalemeid. Lugeja jaoks on see erinevuse ruut ja nimetaja jaoks ruutude erinevus. Hankige avaldis (a-b)²/(2∙ (a+b)∙(a-b)), taandades selle ühiseks kordaja a-b, saate avaldise (a-b)/(2∙ (a+b)), mida on muutujate konkreetsete väärtuste jaoks palju lihtsam arvutada.

Kui monomiaalidel on samad tegurid tõstetud astmeni, siis nende summeerimisel tuleb jälgida, et astmed oleksid võrdsed, muidu ei saa sarnaseid taandada. Näiteks kui on avaldis 2 ∙ m² + 6 m³-m²-4 m³ + 7, siis sarnaste vähendamisel saate m² + 2 m³ + 7.

Trigonomeetriliste identiteetide lihtsustamisel kasutage nende teisendamiseks valemeid. Põhiline trigonomeetriline identiteet sin²(x)+cos²(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), argumentide summa ja erinevuse valemid, topelt-, kolmekordne argument ja teised. Näiteks (sin(2∙x)-cos(x))/ ctg(x). Kirjutage koosinuse ja siinuse suhtena topeltargumendi ja kotangensi valem. Saada (2∙ sin(x) cos(x)- cos(x)) sin(x)/cos(x). Arvutage ühistegur cos(x) välja ja tühistage cos(x) (2∙ sin(x) - 1) sin(x)/cos(x)= (2∙ sin(x) - 1) sin(x) .

Seotud videod

Allikad:

• väljendi lihtsustamise valem

Lühidus, nagu öeldakse, on talendi õde. Kõik tahavad oma annet näidata, kuid tema õde on keeruline asi. Millegipärast riietuvad säravad mõtted keerulised laused paljude määrsõnafraasidega. Kuid teie ülesanne on oma ettepanekud lihtsustada ja muuta need kõigile arusaadavaks ja kättesaadavaks.

Juhend

Adressaadi (olgu see kuulaja või lugeja) jaoks lihtsamaks muutmiseks proovige osa- ja osalaused asendada lühikeste kõrvallausetega, eriti kui ühes lauses on liiga palju ülaltoodud fraase. "Kass, kes tuli koju, äsja hiirt söönud, valjult nurrudes, paitas omanikku, püüdes talle silma vaadata, lootes kerjata poest toodud kala" - ei tööta. Jagage selline konstruktsioon mitmeks osaks, võtke aega ja ärge püüdke kõike ühe lausega öelda, olete õnnelik.

Kui mõtlesite geniaalsele avaldusele, kuid see osutus liiga paljuks kõrvallaused(eriti ühega), on parem avaldus mitmeks eraldi lauseks jagada või mõni element välja jätta. "Otsustasime, et ta ütleb Marina Vasilievnale, et Katya ütleb Vitale, et ..." - võib lõputult jätkata. Peatuge õigel ajal ja pidage meeles, kes seda loeb või kuulab.

Lõksud ei peitu aga ainult lause struktuuris. Pöörake tähelepanu sõnavarale. Võõrsõnad, pikad terminid, sõnad, mis on võetud ilukirjandus 19. sajand – see kõik muudab taju vaid keerulisemaks. Peate ise selgeks tegema, millisele publikule te teksti kirjutate: tehnikamehed mõistavad loomulikult nii keerulisi termineid kui ka konkreetseid sõnu; aga kui sa pakud samu sõnu kirjandusõpetajale, siis tõenäoliselt ta sind ei mõista.

Talent on suurepärane asi. Kui olete andekas (ja võimeteta inimesi pole olemas), avaneb teie ees palju teid. Kuid anne ei seisne kummalisel kombel mitte keerukuses, vaid lihtsuses. Olge lihtne ja teie anded on selged ja kõigile kättesaadavad.

Seotud videod

Matemaatika avaldiste lihtsustamise õppimine on lihtsalt vajalik ülesannete, erinevate võrrandite korrektseks ja kiireks lahendamiseks. Avaldise lihtsustamine tähendab sammude arvu vähendamist, mis teeb arvutused lihtsamaks ja säästab aega.

Juhend

Õppige võimsusi arvutama . C astmete korrutamisel saadakse arvud, mille alus on sama ja eksponendid liidetakse b^m+b^n=b^(m+n). Samade alustega astmete jagamisel saadakse arvu aste, mille alus jääb samaks, ja astendajad lahutatakse ja jagaja indeks b ^ m: b ^ n \u003d b ^ (mn) dividendiindeksist. Kui aste tõstetakse astmeni, saadakse arvu aste, mille alus jääb samaks, ja astendajad korrutatakse (b^m)^n=b^(mn)Kui tõstetakse astmeni, siis iga tegur tõstetakse selle astmeni.(abc)^m=a^m *b^m*c^m

Tegurida polünoomid, s.o. esindavad neid mitme teguri – polünoomide ja monomialide – korrutisena. Võtke ühine tegur sulgudest välja. Õppige ära lühendatud korrutamise põhivalemid: ruutude vahe, summa ruut, vahe ruut, kuubikute summa, kuubikute vahe, summa ja vahe kuup. Näiteks m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Just need valemid on avaldiste lihtsustamisel peamised. Kasutage täisruudu esiletõstmise meetodit trinoomil kujul ax^2+bx+c.

Vähendage fraktsioone nii sageli kui võimalik. Näiteks (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Kuid pidage meeles, et vähendada saab ainult kordajaid. Kui algebralise murru lugeja ja nimetaja korrutada sama nullist erineva arvuga, siis murru väärtus ei muutu. Ratsionaalseid väljendeid saab teisendada kahel viisil: ahela ja tegevuste abil. Teine meetod on eelistatavam, kuna. vahetoimingute tulemusi on lihtsam kontrollida.

Sageli on väljendites vaja juuri välja tõmmata. Isegi juured võetakse ainult mittenegatiivsetest avaldistest või arvudest. Paaritu astme juured ekstraheeritakse mis tahes avaldistest.

Allikad:

• volitustega väljendite lihtsustamine

"Avaldis" on matemaatikas tavaliselt aritmeetiliste ja algebraliste tehete kogum arvude ja muutuvate väärtustega. Analoogiliselt numbrite vorminguga nimetatakse sellist komplekti "murruks", kui see sisaldab jagamistehte. Murdlausetele, samuti vormingus numbritele harilik murd, kohaldatakse lihtsustustoiminguid.

Juhend

Alustuseks leidke jaoks ühine tegur, mis seisab lugejas ja - see on sama nii arvuliste suhete kui ka tundmatute muutujate sisalduse jaoks. Näiteks kui lugeja on 45*X ja nimetaja on 18*Y, siis on suurim ühistegur 9. Pärast selle sammu sooritamist saab lugeja kirjutada 9*5*X ja nimetaja 9*2* Y.

Kui lugeja ja nimetaja avaldised sisaldavad põhiliste matemaatiliste tehtete kombinatsiooni (jagamine, liitmine ja lahutamine), peate esmalt kandma nende kõigi ühisteguri eraldi sulgudesse ja seejärel eraldama neist arvudest suurima ühise jagaja. . Näiteks avaldise 45*X+180 puhul, mis on lugejas, tuleks koefitsient 45 sulgudest välja võtta: 45*X+180 = 45*(X+4). Ja avaldis 18+54*Y nimetajas tuleb taandada 18*(1+3*Y). Seejärel, nagu eelmises etapis, leidke sulgudes olevate tegurite suurim ühisjagaja: 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9* 5* (X+4) / 9*2*(1+3*Y). Selles näites on see samuti võrdne üheksaga.

Vähendage eelmistes sammudes leitud ühistegurit murru lugejas ja nimetajas. Esimese sammu näite puhul saab kogu lihtsustusoperatsiooni kirjutada järgmiselt: 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y.

Mitte tingimata, kui lihtsustada lühendatult ühine jagaja peab olema arv, see võib olla ka muutujat sisaldav avaldis. Näiteks kui murdosa lugeja on (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) ja nimetaja on (X*Y + 3*Y - 7*X - 21), siis on suurim ühine jagaja on avaldis X + 3, mida tuleks avaldise lihtsustamiseks lühendada: (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) / (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) = (X + 3) * (4 +Y) / (X+3)*(Y-7) = (4+Y) / (Y-7).

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmete all mõeldakse andmeid, mille abil saab tuvastada konkreetse isiku või temaga ühendust võtta.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited selle kohta, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.