Teorema de înmulțire a probabilităților a două evenimente arbitrare: probabilitatea produsului a două evenimente arbitrare este egală cu produsul probabilității unuia dintre evenimente cu probabilitatea condiționată a unui alt eveniment, cu condiția ca primul să fi avut deja loc:

P (AB) = P (A) P (B | A) = P (B) P (A | B). (10)

Demonstrație (nu riguroasă): Demonstrați teorema înmulțirii pentru schema de cote (ipoteze equiprobabile). Fie ca rezultatele posibile ale experimentului să fie n șanse. Să presupunem că m șanse sunt favorabile pentru evenimentul A (sunt umbrite în Fig. 11); evenimentul B - k șanse; simultan cu evenimentele A și B (AB) - l șanse (în Fig. 11 au umbrire luminoasă).

Figura 11

Evident, m + k-l = n. Conform metodei clasice de calcul a probabilităților P (AB) = l / n; P (A) = m/n; P (B) = k / n. Și probabilitatea P (B | A) = l / m, deoarece se știe că una dintre cele m șanse de eveniment A a avut loc, iar evenimentul B este favorabil l astfel de șanse. Înlocuind aceste expresii în Teorema (10), obținem identitatea l / n = (m / n) (l / m). Teorema este demonstrată.

Teorema de înmulțire a probabilităților a trei evenimente arbitrare:

P (ABC) = | AB = D | = P (DC) = P (D) P (C | D) = P (AB) P (C | AB) = P (A) P (B | A) P ( C | AB). (11)

Prin analogie, putem scrie teoremele de multiplicare a probabilității pentru un număr mai mare de evenimente.

Corolarul 1. Dacă evenimentul A nu depinde de B, atunci evenimentul B nu depinde de A.

Dovada. pentru că evenimentul A nu depinde de B, atunci prin definiția independenței evenimentelor P (A) = P (A | B) = P (A |). Se cere să se demonstreze că P (B) = P (B | A).

Prin teorema înmulțirii, P (AB) = P (A) P (B | A) = P (B) P (A | B), prin urmare, P (A) P (B | A) = P (B) P (A). Presupunând că P (A)> 0, împărțim ambele părți ale egalității la P (A) și obținem: P (B) = P (B | A).

Din Corolarul 1 rezultă că două evenimente sunt independente dacă apariția unuia dintre ele nu modifică probabilitatea apariției celuilalt. În practică, dependente sunt evenimentele (fenomenele), interconectate printr-o relație cauză-efect.

Corolarul 2. Probabilitatea produsului a doi evenimente independente este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente. Acestea. dacă evenimentele A și B sunt independente, atunci

P (AB) = P (A) P (B). (unsprezece)

Dovada este evidentă, deoarece pentru evenimente independente P (B | A) = P (B).

Identitatea (11), împreună cu expresiile (12) și (13), sunt condiții necesare și suficiente pentru independența a două evenimente aleatoare A și B.

P (A) = P (A | B); P (A) = P (A |); P (A | B) = P (A |); (12)

P (B) = P (B | A); P (B) = P (B |); P (B | A) = P (B |). (treisprezece)

Fiabilitatea unor sisteme este crescută prin redundanță dublă (vezi Fig. 12). Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a primului subsistem (într-un anumit timp de funcționare) este de 0,9, al doilea - 0,8. Determinați probabilitatea de defecțiune a sistemului în ansamblu într-un anumit timp de funcționare dacă defecțiunile subsistemelor sunt independente.

Figura 12 - Sistem dublu redundant

E: investigarea fiabilității unui sistem de control dublu redundant;

A 1 = (funcționare fără probleme (în timpul unei perioade de funcționare) a primului subsistem); P (A1) = 0,9;

A 2 = (funcționarea fără defecțiuni a celui de-al doilea subsistem); P (A2) = 0,8;

A = (funcționarea fără defecțiuni a sistemului în ansamblu); P (A) =?

Soluţie. Să exprimăm evenimentul A în termeni de evenimente A 1 și A 2 ale căror probabilități sunt cunoscute. Deoarece funcționarea fără probleme a sistemului este suficientă pentru funcționarea fără probleme a cel puțin unuia dintre subsistemele sale, atunci evident A = A 1 A 2.

Aplicând teorema adunării probabilităților, obținem: P (A) = P (A 1 A 2) = P (A 1) + P (A 2) -P (A 1 A 2). Probabilitatea producerii în comun a evenimentelor A 1 și A 2 este determinată de teorema înmulțirii probabilităților: P (A 1 A 2) = P (A 1) P (A 2 | A 1). Ținând cont de faptul că (prin condiție) evenimentele A 1 și A 2 sunt independente, P (A 1 A 2) = P (A 1) P (A 2). Astfel, probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului este P (A) = P (A 1 A 2) = P (A 1) + P (A 2) -P (A 1) P (A 2) = 0,9 + 0, 8-0,90,8 = 0,98.

Răspuns: probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului într-un anumit timp de funcționare este de 0,98.

Cometariu. În exemplul 20, o altă modalitate de definire a evenimentului A este posibilă prin evenimentele A 1 și A 2:, i.e. o defecțiune a sistemului este posibilă cu o defecțiune simultană a ambelor subsisteme. Aplicând teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor independente, obținem următoarea valoare a probabilității de defecțiune a sistemului:. Prin urmare, probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului într-un anumit timp de funcționare este.

Exemplul 21 (paradoxul independenței)

E: se aruncă două monede.

A = (aspectul stemei pe prima monedă), P (A) = 0,5;

B = (aspectul stemei pe a doua monedă), P (B) = 0,5;

C = (stama apare doar pe una dintre monede), P (C) = 0,5.

Evenimentele A, B și C sunt independente pe perechi, deoarece sunt îndeplinite condițiile de independență a două evenimente (11) - (13):

P (A) = P (A | B) = 0,5; P (B) = P (B | C) = 0,5; P (C) = P (C | A) = 0,5.

Totuși, P (A | BC) = 0P (A); P (A | C) = 1P (A); P (B | AC) = 0P (B); P (C | AB) = 0P (C).

Cometariu. Independența în perechi a evenimentelor aleatoare nu înseamnă independența lor în agregat.

Evenimentele aleatoare sunt numite independente în agregat dacă probabilitatea de apariție a fiecăruia dintre ele nu se modifică odată cu apariția oricărei combinații de alte evenimente. Pentru evenimentele aleatoare A 1, A 2, ... A n, independent în agregat, este valabilă următoarea teoremă a înmulțirii probabilităților (o condiție necesară și suficientă pentru independența în agregatul a n evenimente aleatoare):

P (A 1 A 2… A n) = P (A 1) P (A 2)… P (A n). (14)

De exemplu 21, condiția (14) nu este îndeplinită: P (ABC) = 0P (A) P (B) P (C) = 0,50,50,5 = 0,125. Prin urmare, evenimentele independente pe perechi A, B și C sunt dependente în agregat.

Exemplul 22

Cutia conține 12 tranzistori, dintre care trei sunt defecte. Pentru a construi un amplificator în două trepte, doi tranzistori sunt îndepărtați aleatoriu. Cât de probabil este amplificatorul asamblat să fie defect?

E: selectarea a două tranzistoare din cutie cu 9 tranzistoare bune și 3 rele;

A = (amplificator asamblat defect); P (A) =?

Soluţie. Evident, amplificatorul în două trepte asamblat va fi defect dacă cel puțin unul dintre cei doi tranzistori selectați pentru asamblare este defect. Prin urmare, vom redefini evenimentul A după cum urmează:

A = (cel puțin unul dintre cei doi tranzistori selectați este defect);

Definim următorul auxiliar evenimente aleatorii:

A 01 = (doar primul dintre cele două tranzistoare selectate este defect);

A 10 = (doar al doilea dintre cele două tranzistoare selectate este defect);

A 00 = (ambele tranzistoare selectate sunt defecte);

Evident, A = A 01 A 10 A 00 (pentru ca evenimentul A să apară, trebuie să aibă loc cel puțin unul dintre evenimentele A 01 sau A 10 sau A 00), iar evenimentele A 01, A 10 și A 00 sunt inconsecvente (nu pot apar împreună) , prin urmare, probabilitatea unui eveniment se găsește prin teorema de adunare a probabilităților evenimente inconsistente:

P (A) = P (A 01 A 10 A 00) = P (A 01) + P (A 10) + P (A 00).

Pentru a determina probabilitățile evenimentelor A 01, A 10 și A 00, introducem evenimente auxiliare:

B 1 = (primul tranzistor selectat este defect);

B 2 = (al doilea tranzistor selectat este defect).

Evident, A 01 = B 1; A10 = B2; A 00 = B 1 B 2; prin urmare, pentru a determina probabilitățile evenimentelor A 01, A 10 și A 00, aplicăm teorema înmulțirii probabilităților.

P (A 01) = P (B 1) = P (B 1) P (| B 1),

unde P (B 1) este probabilitatea ca primul tranzistor selectat să fie defect; P (| B 1) - probabilitatea ca al doilea tranzistor selectat să fie funcțional, cu condiția ca primul tranzistor selectat să fie defect. Aplicând metoda clasică de calcul a probabilităților, P (B 1) = 3/12 și P (| B 1) = 9/11 (deoarece după alegerea primului tranzistor defect au rămas în cutie 11 tranzistoare, dintre care 9 operaționale ).

Astfel, P (A 01) = P (B 1) = P (B 1) P (| B 1) = 3/129/11 = 0,20 (45). În mod similar:

P (A 10) = P (B 2) = P () P (B 2 |) = 9/123/11 = 0,20 (45);

P (A 00) = P (B 1 B 2) = P (B 1) P (B 2 | B 1) = 3/122/11 = 0,041 (6).

Înlocuiți valorile obținute ale probabilităților A 01, A 10 și A 00 în expresia pentru probabilitatea evenimentului A:

P (A) = P (A 01 A 10 A 00) = P (A 01) + P (A 10) + P (A 00) = 3/129/11 + 9/123/11 + 3/122/11 = 0,45 (45).

Răspuns: Probabilitatea ca amplificatorul asamblat să fie defect este de 0,4545.

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

ADUAREA SI MULTIPLICAREA PROBABILITATILOR. TESTE INDEPENDENTE REPETE

Prelegere pentru studenții Facultății de Gospodărire Funciară

cursuri prin corespondență

Gorki, 2012

Adunarea și înmulțirea probabilităților. Se repetă

teste independente

1. Adunarea probabilităților

Suma a două evenimente comune Ași V numit un eveniment CU, constând în declanșarea a cel puțin unuia dintre evenimente A sau V... În mod similar, suma mai multor evenimente comune este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente.

Suma a două evenimente incompatibile Ași V numit un eveniment CU constând într-o ofensivă sau eveniment A, sau evenimente V... În mod similar, suma mai multor evenimente incompatibile este un eveniment constând în apariția oricăruia dintre aceste evenimente.

Teorema adunării probabilităților evenimentelor inconsistente este valabilă: probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente , adică ... Această teoremă poate fi extinsă la orice număr finit de evenimente inconsistente.

Această teoremă implică:

suma probabilităților evenimentelor care formează un grup complet este egală cu unu;

suma probabilităților de evenimente opuse este egală cu unu, adică.
.

Exemplul 1 ... Cutia contine 2 bile albe, 3 rosii si 5 albastre. Bilele se amestecă și una se scoate la întâmplare. Care este probabilitatea ca mingea să fie colorată?

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (minge colorată îndepărtată);

B= (minge albă scoasă);

C= (minge roșie eliminată);

D= (minge albastră eliminată).

Atunci A= C+ D... De la evenimente C, D sunt inconsistente, atunci vom folosi teorema de adunare a probabilităților evenimentelor inconsistente:.

Exemplul 2 ... Urna contine 4 bile albe si 6 negre. Se scot la întâmplare 3 bile din urnă. Care este probabilitatea ca toate să fie de aceeași culoare?

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (se scot bile de aceeași culoare);

B= (se scot bile albe);

C= (se scot bile negre).

pentru că A= B+ C si evenimente Vși CU sunt inconsistente, apoi prin teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor inconsistente
... Probabilitatea evenimentului V este egal cu
, Unde
4,

... Substitui kși nîn formulă și obține
În mod similar, găsim probabilitatea evenimentului CU:
, Unde
,
, adică
... Atunci
.

Exemplul 3 ... 4 cărți sunt extrase la întâmplare dintr-un pachet de 36 de cărți. Găsiți probabilitatea ca printre ei să fie cel puțin trei ași.

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (dintre cărțile extrase, cel puțin trei ași);

B= (printre cărțile extrase sunt trei ași);

C= (printre cărțile extrase sunt patru ași).

pentru că A= B+ C si evenimente Vși CU inconsecventă, atunci
... Găsiți probabilitățile evenimentelor Vși CU:

,
... Prin urmare, probabilitatea ca printre cărțile extrase să fie cel puțin trei ași este egală cu

0.0022.

1. Înmulțirea probabilităților

După produs două evenimente Ași V numit un eveniment CU, constând în producerea în comun a acestor evenimente:
... Această definiție se aplică oricărui număr finit de evenimente.

Sunt numite două evenimente independent dacă probabilitatea ca una dintre ele să se producă nu depinde de faptul dacă un alt eveniment a avut loc sau nu. Evenimente , , … , sunt numite colectiv independent dacă probabilitatea de apariţie a fiecăruia dintre ele nu depinde de faptul dacă s-au produs sau nu alte evenimente.

Exemplul 4 ... Două săgeți trag în țintă. Să desemnăm evenimente:

A= (primul trăgător lovește ținta);

B= (al doilea trăgător lovește ținta).

Evident, probabilitatea de a lovi ținta de către primul trăgător nu depinde de dacă al doilea trăgător a lovit sau a ratat și invers. De aici evenimentele Ași V independent.

Teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor independente este valabilă: probabilitatea produsului a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente : .

Această teoremă este valabilă și pentru n evenimente independente în agregat:.

Exemplul 5 ... Doi trăgători trag la o țintă. Probabilitatea de a lovi primul trăgător este de 0,9, iar al doilea - 0,7. Ambii trăgători trag o singură lovitură în același timp. Determinați probabilitatea ca țintă să fie două lovituri.

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A

B

C= (ambele săgeți lovesc ținta).

pentru că
si evenimente Ași V independent, atunci
, adică ...

Evenimente Ași V sunt numite dependent , dacă probabilitatea ca unul dintre ele să se producă depinde dacă un alt eveniment a avut loc sau nu. Probabilitatea apariției unui eveniment A cu condiția ca evenimentul V a sosit deja, se numește probabilitate condițională și notat
sau
.

Exemplul 6 ... Urna conține 4 bile albe și 7 negre. Bilele sunt scoase din urnă. Să desemnăm evenimente:

A= (minge albă scoasă);

B= (bila neagră eliminată).

Înainte de a începe să scoateți bilele din urnă
... O minge a fost scoasă din urnă și s-a dovedit a fi neagră. Apoi probabilitatea evenimentului A după eveniment V va fi deja diferit, egal ... Aceasta înseamnă că probabilitatea unui eveniment A depinde de eveniment V, adică aceste evenimente vor fi dependente.

Teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor dependente este valabilă: probabilitatea produsului a două evenimente dependente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată în ipoteza că primul eveniment a avut deja loc, adică sau .

Exemplul 7 ... Urna conține 4 bile albe și 8 roșii. Două bile sunt luate din el la întâmplare, succesiv. Găsiți probabilitatea ca ambele bile să fie negre.

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (bilul negru este scos prima);

B= (bila neagră este îndepărtată a doua).

Evenimente Ași V dependentă din moment ce
, A
... Atunci
.

Exemplul 8 ... Trei trăgători trag în țintă independent unul de celălalt. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,5, pentru al doilea - 0,6 și pentru al treilea - 0,8. Găsiți probabilitatea ca țintă să fie două lovituri dacă fiecare trăgător trage o singură lovitură.

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (vor fi două lovituri pe țintă);

B= (primul trăgător lovește ținta);

C= (al doilea trăgător va lovi ținta);

D= (al treilea trăgător va lovi ținta);

= (primul trăgător va rata ținta);

= (al doilea trăgător va rata ținta);

= (al treilea trăgător va rata ținta).

După condiția exemplului
,
,
,

,
,
... Deoarece, folosind atunci teorema de adunare a probabilităților evenimentelor incompatibile și teorema de înmulțire a probabilităților de evenimente independente, obținem:

Lasă evenimentele
alcătuiește un grup complet de evenimente ale unui test și evenimentul A poate apărea doar cu unul dintre aceste evenimente. Dacă se cunosc probabilitățile și probabilitățile condiționate ale evenimentului A, atunci probabilitatea evenimentului A se calculează cu formula:

Sau
... Această formulă se numește formulă probabilitate deplină si evenimente
ipoteze .

Exemplul 9 ... Linia de asamblare primește 700 de piese de la prima mașină și 300 de piese din a doua. Prima mașină oferă 0,5% deșeuri, iar a doua - 0,7%. Găsiți probabilitatea ca partea luată să fie defectă.

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (partea luată va fi defectă);

= (piesa este realizată la prima mașină);

= (piesa este realizată la a doua mașină).

Probabilitatea ca piesa să fie realizată pe prima mașină este
... Pentru a doua mașină
... Conform condiției, probabilitatea de a obține o piesă defectă realizată la prima mașină este egală cu
... Pentru a doua mașină, această probabilitate este
... Apoi, probabilitatea ca participantul să fie defect se calculează folosind formula pentru probabilitatea totală

Dacă se știe că în urma testului a avut loc un eveniment A, apoi probabilitatea ca acest eveniment să se fi produs cu ipoteza
, este egal cu
, Unde
- probabilitatea deplină a evenimentului A... Această formulă se numește Formula lui Bayes și vă permite să calculați probabilitățile evenimentelor
după ce s-a cunoscut că evenimentul A a sosit deja.

Exemplul 10 ... Același tip de piese pentru mașini sunt produse la două fabrici și merg la magazin. Prima fabrică produce 80% din numărul total de piese, iar a doua - 20%. Produsele primei plante conțin 90% din părți standard, iar a doua - 95%. Cumpărătorul a cumpărat o piesă și s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fi fost fabricată într-o a doua fabrică.

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (piesa standard achiziționată);

= (piesa realizata la prima planta);

= (piesă fabricată la a doua fabrică).

După condiția exemplului
,
,
și
... Calculăm probabilitatea totală a evenimentului A: 0,91. Probabilitatea ca piesa să fie fabricată la a doua fabrică este calculată folosind formula Bayes:

.

Teme de auto-studiu

Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea - 0,7 și pentru al treilea - 0,9. Trăgătorii au tras câte o lovitură. Găsiți probabilitatea ca ținta să aibă cel puțin două lovituri.

Atelierul a primit 15 tractoare. Se știe că 6 dintre ele trebuie să înlocuiască motorul, iar restul trebuie să înlocuiască unitățile individuale. Trei tractoare sunt selectate aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca înlocuirea motorului să fie necesară pentru cel mult două tractoare selectate.

Fabrica de beton armat produce panouri, dintre care 80% sunt de cea mai buna calitate. Găsiți probabilitatea ca din trei panouri alese aleatoriu, cel puțin două să fie de cea mai bună nota.

Trei muncitori asamblează rulmenți. Probabilitatea ca un rulment asamblat de primul muncitor să fie de cea mai bună calitate este de 0,7, al doilea este de 0,8 și al treilea este de 0,6. Pentru control s-a luat la întâmplare câte un rulment din cei asamblați de fiecare muncitor. Găsiți probabilitatea ca cel puțin două dintre ele să fie de cea mai bună calitate.

Probabilitatea de a câștiga un bilet de loterie pentru prima emisiune este de 0,2, a doua - 0,3 și a treia - 0,25. Există un bilet pentru fiecare număr. Găsiți probabilitatea de a câștiga cel puțin două bilete.

Contabilul efectuează calcule folosind trei cărți de referință. Probabilitatea ca datele de interes să fie în prima carte de referință este de 0,6, în a doua - 0,7 și în a treia - 0,8. Găsiți probabilitatea ca datele de interes pentru contabil să fie conținute în cel mult două cărți de referință.

Trei automate fac piese. Primul automat face o piesă de calitate superioară cu o probabilitate de 0,9, al doilea - cu o probabilitate de 0,7, iar al treilea - cu o probabilitate de 0,6. O bucată este luată la întâmplare din fiecare mașină. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie cel puțin două de cea mai bună calitate.

Piesele de același tip sunt prelucrate pe două mașini. Probabilitatea de a produce o piesă non-standard pentru prima mașină este de 0,03, pentru a doua - 0,02. Piesele prelucrate sunt stivuite într-un singur loc. Dintre aceștia, 67% de la primul aparat, iar restul de la al doilea. Partea luată la întâmplare s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca acesta să fi fost realizat pe prima mașină.

Atelierul a primit două cutii de același tip de condensatoare. Prima cutie avea 20 de condensatoare, dintre care 2 erau defecte. În a doua cutie sunt 10 condensatoare, dintre care 3 sunt defecte. Condensatorii au fost pusi intr-o singura cutie. Găsiți probabilitatea ca un condensator luat la întâmplare dintr-o cutie să se dovedească funcțional.

Pe trei mașini se realizează piese de același tip, care sunt alimentate la un transportor comun. Dintre toate piesele, 20% de la prima mașină, 30% de la a doua și 505 de la a treia. Probabilitatea de a face o piesă standard pe prima mașină este de 0,8, pe a doua - 0,6 și pe a treia - 0,7. Partea luată s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fi fost făcută pe a treia mașină.

Culegătorul primește 40% din piese din fabrică pentru asamblare A, iar restul - din fabrică V... Probabilitatea ca piesa să fie din fabrică A- de cea mai buna calitate, egal cu 0,8, si din fabrica V- 0,9. Culegătorul a luat o bucată la întâmplare și nu a fost de cea mai bună calitate. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fie din fabrică V.

10 elevi din prima grupă și 8 din a doua au fost alocați pentru a participa la competiții sportive studențești. Probabilitatea ca un elev din prima grupă să fie inclus în echipa națională a academiei este de 0,8, iar din a doua - 0,7. Elevul ales la întâmplare a fost inclus în echipa națională. Găsiți probabilitatea ca el să fie din primul grup.

Teorema.(Multiplicarea probabilităților) Probabilitatea produsului a două evenimente (apariția în comun a acestor evenimente) este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată cu condiția ca primul eveniment să fi avut deja loc.

De asemenea, puteți scrie:

Demonstrarea acestei teoreme rezultă direct din definiția probabilității condiționate.

Dacă evenimentele sunt independente, atunci , iar teorema înmulțirii probabilităților ia forma:

În cazul produsului mai multor evenimente dependente, probabilitatea este egală cu produsul unuia dintre ele cu probabilitățile condiționate ale tuturor celorlalte, cu condiția ca probabilitatea fiecărui eveniment ulterior să fie calculată din ipoteza că toate celelalte evenimente au deja a avut loc.

Din teorema produsului probabilităților, putem concluziona că probabilități aparențe cel putin un eveniment .

Dacă testul poate duce la P evenimente care sunt independente în agregat, atunci probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre ele este

Iată evenimentul A denotă declanșarea a cel puțin unuia dintre evenimente a i, A q i- probabilitatea unor evenimente opuse.

Exemplul 1. Patru cărți sunt extrase simultan dintr-un pachet complet de cărți (52 de piese). Găsiți probabilitatea ca printre aceste patru cărți să fie cel puțin una de diamante sau o inimă de inimi.

Soluţie.

Să desemnăm aspectul a cel puțin unei cărți cu diamante - un eveniment A , apariția a cel puțin unui card de inimă este un eveniment V ... Astfel, trebuie să determinăm probabilitatea unui eveniment CU = A + V .

În plus, evenimente A și V - sunt compatibile, de ex. apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuilalt.

În pachet sunt 13 inimi și 13 diamante.

Găsiți probabilitatea unui eveniment opus evenimentului CU (printre cărțile extrase nu vor fi diamante sau inimioare):

când prima carte este scoasă, probabilitatea ca nici o inimă, nici o carte cu diamante să nu apară este egală, când a doua carte este scoasă -, a treia -, a patra -.

Atunci probabilitatea ca printre cărțile extrase să nu fie diamante sau inimioare este egală cu .

Cautarea probabilitatii

Exemplul 2. Care este probabilitatea ca atunci când aruncați trei zaruri, 6 puncte să apară pe cel puțin unul dintre zaruri?

Soluţie.

Probabilitatea de a obține 6 puncte la o singură aruncare a zarului este. Probabilitatea ca 6 puncte să nu fie renunțate este. Probabilitatea ca o aruncare de trei zaruri să nu scadă 6 puncte este egală cu .

Atunci probabilitatea ca 6 puncte să fie renunțate cel puțin o dată este egală.

Exemplul 3. Tamburul revolverului conține 4 cartușe din 6 fără o ordine anume. Se derulează tamburul, după care se apasă de două ori trăgaciul. Aflați probabilitățile: a) cel puțin o lovitură, b) două lovituri, c) două rateuri.

Soluţie.

Probabilitatea unei lovituri atunci când trăgaciul este apăsat pentru prima dată (eveniment A ) este egală, probabilitatea de ratare - Probabilitatea unei lovituri atunci când trăgaciul este apăsat a doua oară depinde de rezultatul primei trageri.

Deci, dacă în primul caz a fost o împușcătură, atunci au rămas doar 3 cartușe în tambur și au fost distribuite pe 5 prize, deoarece când trăgaciul este apăsat a doua oară, nu poate exista o priză vizavi de țeavă, în care se afla cartușul când a fost apăsat prima dată trăgaciul.

Probabilitatea condiționată a unei lovituri la a doua încercare - dacă a fost o lovitură pentru prima dată - dacă prima dată a avut loc o rau.

Probabilitatea condiționată a unei rateuri a doua oară - dacă prima dată a avut loc o împușcare - dacă prima dată a avut loc o rau.

Luați în considerare probabilitățile ca în al doilea caz să se producă o împușcătură (eveniment V ) sau are loc o ratare (eveniment), cu condiția ca în primul caz să se fi produs o împușcare (eveniment A ) sau rau (eveniment).

Două lovituri la rând

Prima rau, a doua lovitură

Prima lovitură, a doua rau

Două rateuri la rând

Aceste patru cazuri formează un grup complet de evenimente (suma probabilităților lor este egală cu unu)

Analizând rezultatele obținute, vedem că probabilitatea de cel puțin o lovitură este egală cu suma

Exemplul 4. Doi trăgători trag în țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură pentru primul trăgător este de 0,7, iar pentru al doilea - 0,8. Găsiți probabilitatea ca cu o singură salvă doar unul dintre trăgători să lovească ținta.

Soluţie.

Să desemnăm lovirea țintei de către primul trăgător - evenimentul A, al doilea - evenimentul B, ratarea primului trăgător - evenimentul, ratarea celui de-al doilea - eveniment.

Probabilitatea ca primul trăgător să lovească ținta și al doilea nu este egală cu

Probabilitatea ca al doilea trăgător să lovească ținta, dar primul nu, este

Atunci probabilitatea de a lovi ținta de către un singur trăgător este

Același rezultat poate fi obținut și în alt mod – găsim probabilitățile ca ambii trăgători să lovească ținta și amândoi să rateze. Aceste probabilități sunt, respectiv, egale:

Atunci probabilitatea ca un singur trăgător să lovească ținta este:

Exemplul 5. Probabilitatea ca o piesă luată la întâmplare dintr-un anumit lot de piese să fie defectă este de 0,2. Găsiți probabilitatea ca din cele trei părți luate, 2 să se dovedească a nu fi defecte.

Soluţie.

Să desemnăm o parte defectă - evenimentul A, nu defect - un eveniment.

Dacă printre cele trei părți există doar un defect, atunci acest lucru este posibil într-unul din cele trei cazuri: piesa defectă va fi prima, a doua sau a treia.

Exemplul 6. Probabilitățile ca partea necesară să fie în prima, a doua, a treia sau a patra casetă sunt 0,6, 0,7, 0,8, respectiv 0,9. Aflați probabilitățile ca această parte să fie: a) în cel mult trei casete; b) în cel puţin două casete.

Soluţie.

a) Probabilitatea ca această parte să fie în toate cele patru casete este

Probabilitatea ca partea necesară să fie în cel mult trei casete este egală cu probabilitatea ca aceasta să nu fie în toate cele patru casete.

b) Probabilitatea ca piesa cerută să fie în cel puțin două casete este suma probabilităților ca piesa să fie în doar două casete, doar trei casete, doar patru casete. Desigur, aceste probabilități pot fi calculate și apoi adăugate, cu toate acestea, este mai ușor să faci altfel. Aceeași probabilitate este egală cu probabilitatea ca piesa să fie nu numai într-o cutie, ci deloc.

Lăsa Ași V- două evenimente luate în considerare în acest test. În acest caz, declanșarea unuia dintre evenimente poate afecta posibilitatea declanșării altuia. De exemplu, apariția unui eveniment A poate influența evenimentul V sau vice versa. Pentru a lua în considerare o astfel de dependență a unor evenimente față de altele, se introduce conceptul de probabilitate condiționată.

Definiție. Dacă probabilitatea unui eveniment V se prevede ca evenimentul A s-a întâmplat, apoi probabilitatea primită a evenimentului V numit probabilitate condițională evenimente V... Următoarele simboluri sunt folosite pentru a indica această probabilitate condiționată: R A ( V) sau R(V / A).

Observația 2... Spre deosebire de probabilitatea condiționată, probabilitatea „necondiționată” este de asemenea luată în considerare atunci când orice condiții pentru apariția unui eveniment V absent.

Exemplu... În urnă sunt 5 bile, dintre care 3 roșii și 2 albastre. Se scoate din ea o minge una câte una, cu și fără întoarcere. Aflați probabilitatea condiționată de a scoate mingea roșie pentru a doua oară, cu condiția ca prima dată să fie îndepărtată: a) bila roșie; b) bila albastră.

Lasă evenimentul A- recuperarea mingii roșii pentru prima dată și evenimentul V- scoaterea mingii roșii a doua oară. Este evident că R(A) = 3/5; apoi, în cazul în care mingea scoasă pentru prima dată este returnată în urnă, R(V) = 3/5. În cazul în care mingea scoasă nu este returnată, probabilitatea de a scoate mingea roșie este R(V) depinde de ce minge a fost extrasă pentru prima dată - roșu (eveniment A) sau albastru (eveniment). Apoi, în primul caz R A ( V) = 2/4, iar în al doilea ( V) = 3 / 4.

O teoremă pentru înmulțirea probabilităților de evenimente, dintre care unul are loc în condiția celuilalt

Probabilitatea produsului a două evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celuilalt, găsită în ipoteza că primul eveniment a avut loc:

R(A ∙ B) = R(A) ∙ R A ( V) . (1.7)

Dovada. Într-adevăr, să n – numărul total rezultate la fel de posibile și inconsistente (elementare) ale studiului. Lăsați-l să plece n 1 - numărul de rezultate favorabile evenimentului A, care apare la început, și m- numărul de rezultate în care are loc evenimentul V presupunând că evenimentul A a venit. În acest fel, m Este numărul de rezultate favorabile evenimentului V. Atunci primim:

Acestea. probabilitatea produsului mai multor evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre aceste evenimente cu probabilitățile condiționate ale altora, iar probabilitatea condiționată a fiecărui eveniment ulterior este calculată din ipoteza că toate evenimentele anterioare au avut loc.

Exemplu. Sunt 4 maeștri ai sportului într-o echipă de 10 sportivi. 3 sportivi sunt selectați din echipă prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca toți sportivii selectați să fie maeștri ai sportului?

Soluţie. Să reducem problema la modelul „urnă”, adică. vom presupune că o urnă care conține 10 bile conține 4 bile roșii și 6 albe. Din această urna sunt extrase la întâmplare 3 bile (probă S= 3). Lasă evenimentul A consta in extragerea a 3 bile. Problema poate fi rezolvată în două moduri: după schema clasică și după formula (1.9).

Prima modalitate, bazată pe formula combinatorie:

A doua cale (conform formulei (1.9)). Din urnă se scot secvenţial 3 bile fără a se întoarce. Lăsa A 1 - prima bila extrasa este rosie, A 2 - a doua minge îndepărtată este roșie, A 3 - a treia minge îndepărtată este roșie. Lasa si evenimentul Aînseamnă că toate cele 3 bile extrase sunt roșii. Atunci: A = A 1 ∙ (A 2 / A 1) ∙ A 3 / (A 1 ∙ A 2), adică

Exemplu. Lăsați dintr-un set de cărți a, a, p, b, o, t cărțile sunt retrase succesiv una câte una. Care este probabilitatea de a obține cuvântul „ Muncă„Când le pliați secvențial într-o singură linie de la stânga la dreapta?

Lăsa V- evenimentul la care se primește cuvântul declarat. Apoi prin formula (1.9) obținem:

R(V) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Teorema înmulțirii probabilităților capătă cea mai simplă formă atunci când produsul este format din evenimente independente unele de altele.

Definiție. Eveniment V numit independent de la eveniment A dacă probabilitatea acesteia nu se modifică de la evenimentul petrecut A sau nu. Două evenimente sunt numite independente (dependente) dacă apariția unuia dintre ele nu modifică (modifică) probabilitatea celuilalt. Astfel, pentru evenimente independente p (B /A) = R(V) sau = R(V), și pentru evenimente dependente R(V/A)

Vor fi sarcini pentru decizie independentă la care puteți vedea răspunsurile.

Formularea generală a problemei: probabilitățile unor evenimente sunt cunoscute, dar probabilitățile altor evenimente care sunt asociate cu aceste evenimente trebuie calculate. În aceste sarcini, este nevoie de astfel de acțiuni asupra probabilităților, cum ar fi adăugarea și multiplicarea probabilităților.

De exemplu, la vânătoare, se trag două focuri. Eveniment A- lovirea unei rațe de la prima lovitură, eveniment B- lovitură din a doua lovitură. Apoi suma evenimentelor Ași B- lovitură din prima sau a doua lovitură sau din două lovituri.

Sarcini de alt tip. Sunt date mai multe evenimente, de exemplu, moneda este aruncată de trei ori. Este necesar să se găsească probabilitatea ca fie stema să fie aruncată de trei ori, fie ca stema să fie desenată cel puțin o dată. Aceasta este o problemă de înmulțire a probabilităților.

Adăugarea probabilităților de evenimente inconsistente

Adunarea probabilităților este utilizată atunci când trebuie să calculați probabilitatea unei uniuni sau a unei sume logice a evenimentelor aleatoare.

Suma evenimentelor Ași B denota A + B sau A ∪ B... Suma a două evenimente este un eveniment care are loc dacă și numai atunci când are loc cel puțin unul dintre evenimente. Înseamnă că A + B- un eveniment care are loc dacă și numai atunci când un eveniment a avut loc în timpul observării A sau eveniment B, sau în același timp Ași B.

Dacă evenimentele Ași B sunt reciproc inconsecvente și probabilitățile lor sunt date, atunci probabilitatea ca unul dintre aceste evenimente să se producă ca urmare a unui test este calculată utilizând adunarea probabilităților.

Teorema de adunare pentru probabilități. Probabilitatea ca unul dintre cele două evenimente incompatibile reciproc să se producă este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

De exemplu, în timpul vânătorii, sunt trase două focuri. Eveniment A- lovirea unei rațe de la prima lovitură, eveniment V- lovitură din a doua lovitură, eveniment ( A+ V) - lovitura din prima sau a doua lovitura sau din doua lovituri. Deci dacă două evenimente Ași V- evenimente incompatibile, deci A+ V- declanșarea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente sau a două evenimente.

Exemplul 1.În cutie sunt 30 de bile de aceeași dimensiune: 10 roșii, 5 albastre și 15 albe. Calculați probabilitatea ca o minge colorată (nu albă) să fie luată fără să priviți.

Soluţie. Să presupunem că evenimentul A- „se ia mingea roșie”, și evenimentul V- "se ia o minge albastra." Apoi evenimentul este „se ia o minge colorată (nu albă)”. Găsiți probabilitatea unui eveniment A:

si evenimente V:

Evenimente Ași V- reciproc incompatibil, deoarece dacă se ia o minge, atunci nu puteți lua bile de culori diferite. Prin urmare, folosim adunarea probabilităților:

Teorema adunării probabilităților pentru mai multe evenimente inconsistente. Dacă evenimentele alcătuiesc setul complet de evenimente, atunci suma probabilităților lor este 1:

Suma probabilităților de evenimente opuse este, de asemenea, egală cu 1:

Evenimentele opuse formează un set complet de evenimente, iar probabilitatea unui set complet de evenimente este 1.

Probabilitățile de evenimente opuse sunt de obicei notate cu litere mici pși q... În special,

din care rezultă următoarele formule pentru probabilitatea evenimentelor opuse:

Exemplul 2.Ținta din poligonul de tragere este împărțită în 3 zone. Probabilitatea ca un anumit trăgător să tragă la țintă în prima zonă este de 0,15, în a doua zonă - 0,23, în a treia zonă - 0,17. Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta și probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta.

Soluție: Să găsim probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta:

Să aflăm probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta:

Sarcini mai dificile în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților - pe pagina „Diverse probleme de adunare și înmulțire a probabilităților”.

Adăugarea probabilităților de evenimente compatibile reciproc

Două evenimente aleatoare sunt numite împreună dacă apariția unui eveniment nu exclude apariția unui al doilea eveniment în aceeași observație. De exemplu, la aruncarea unui zar, evenimentul A se ia în considerare căderea numărului 4, iar evenimentul V- un număr par a renunțat. Deoarece numărul 4 este un număr par, cele două evenimente sunt compatibile. În practică, există sarcini pentru calcularea probabilităților unuia dintre evenimentele comune.

Teorema de adunare a probabilității pentru evenimente comune. Probabilitatea ca unul dintre evenimentele comune să se producă este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, din care se scade probabilitatea apariției comune a ambelor evenimente, adică produsul probabilităților. Formula pentru probabilitățile evenimentelor comune este următoarea:

De la evenimente Ași V compatibil, eveniment A+ V are loc dacă are loc unul dintre cele trei evenimente posibile: sau AB... Conform teoremei adunării evenimentelor incompatibile, calculăm după cum urmează:

Eveniment A va avea loc dacă are loc unul dintre cele două evenimente inconsecvente: sau AB... Cu toate acestea, probabilitatea apariției unui eveniment din mai multe evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților tuturor acestor evenimente:

De asemenea:

Înlocuind expresiile (6) și (7) în expresia (5), obținem formula probabilității pentru evenimente comune:

Când utilizați formula (8), trebuie avut în vedere faptul că evenimentele Ași V poate:

• independent reciproc;
• dependente reciproc.

Formula probabilității pentru evenimente independente reciproc:

Formula probabilității pentru evenimente dependente reciproc:

Dacă evenimentele Ași V sunt inconsecvente, atunci coincidența lor este un caz imposibil și, astfel, P(AB) = 0. A patra formulă de probabilitate pentru evenimente inconsistente este următoarea:

Exemplul 3.Într-o cursă de mașini, la conducerea primei mașini, există șanse de câștig, la conducerea a doua mașină. Găsi:

• probabilitatea ca ambele mașini să câștige;
• probabilitatea ca cel puțin o mașină să câștige;

1) Probabilitatea ca prima mașină să câștige nu depinde de rezultatul celei de-a doua mașini, deci evenimentele A(prima mașină câștigă) și V(a doua mașină câștigă) - evenimente independente. Să aflăm probabilitatea ca ambele mașini să câștige:

2) Să aflăm probabilitatea ca una dintre cele două mașini să câștige:

Sarcini mai dificile în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților - pe pagina „Diverse probleme de adunare și înmulțire a probabilităților”.

Rezolvați singur problema adunării probabilităților și apoi vedeți soluția

Exemplul 4. Se aruncă două monede. Eveniment A- căderea din stema pe prima monedă. Eveniment B- căderea din stema a doua monedă. Găsiți probabilitatea unui eveniment C = A + B .

Înmulțirea probabilităților

Înmulțirea probabilității este utilizată la calcularea probabilității produsului logic al evenimentelor.

Mai mult, evenimentele aleatoare trebuie să fie independente. Două evenimente sunt numite independent reciproc dacă apariția unui eveniment nu afectează probabilitatea apariției celui de-al doilea eveniment.

Teorema înmulțirii pentru probabilități pentru evenimente independente. Probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente Ași V este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente și se calculează prin formula:

Exemplul 5. Moneda este aruncată de trei ori la rând. Găsiți probabilitatea ca stema să fie aruncată de trei ori.

Soluţie. Probabilitatea ca la prima aruncare a monedei să apară stema, a doua oară, a treia oară. Să aflăm probabilitatea ca stema să fie desenată de trei ori:

Rezolvați singur problemele de înmulțire a probabilității și apoi vedeți soluția

Exemplul 6. Include o cutie cu nouă mingi de tenis noi. Se iau trei mingi pentru joc, după care se pun înapoi. La alegerea mingilor, jucate și nejucate nu se disting. Care este probabilitatea ca după trei jocuri să nu mai rămână mingi în careu?

Exemplul 7. Pe cărțile alfabetului divizat sunt scrise 32 de litere ale alfabetului rus. Cinci cărți sunt scoase la întâmplare una după alta și puse pe masă în ordinea apariției. Găsiți probabilitatea ca literele să formeze cuvântul „sfârșit”.

Exemplul 8. Dintr-un pachet complet de cărți (52 de coli), patru cărți sunt scoase simultan. Găsiți probabilitatea ca toate aceste patru cărți să fie de culori diferite.

Exemplul 9. Aceeași problemă ca în exemplul 8, dar după ce a fost scoasă, fiecare carte este returnată în pachet.

Sarcini mai dificile în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților, precum și calcularea produsului mai multor evenimente - pe pagina „Diverse probleme privind adunarea și înmulțirea probabilităților”.

Probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimentele reciproc independente să se producă poate fi calculată scăzând din 1 produsul probabilităților de evenimente opuse, adică folosind formula.