Niech pierwsza liczba (I) będzie s. Aby jego kwadrat * dawał kwadrat po dodaniu drugiej liczby, druga liczba musi wynosić 2s + 1, ponieważ w tym przypadku warunek zadania jest spełniony: kwadrat pierwszej liczby. złożony z drugim, daje

s2 + 2s + 1, czyli pełny kwadrat (s + 1)2.

Kwadrat drugiej liczby dodany do pierwszej musi również dać kwadrat, czyli liczbę (2s + I) 2 + s, równą

4s2 + 5s + 1 == t2

Załóżmy, że t = 2s -- 2; następnie t 2 \u003d 4s 2 - 8s + 4. To wyrażenie powinno wynosić 4s 2 + 5s + 1. Zatem powinno być:

4s 2 -- 8s + 4 == 4s 2 + 5s + l skąd s=

Tak więc liczby spełniają problem:

Badanie;

Dlaczego Diophantus zakłada, że ​​t==2s-2, nie wyjaśnia. We wszystkich swoich problemach (jest ich 189 w sześciu księgach, które do nas dotarły) przyjmuje takie lub inne założenie, nie podając żadnego uzasadnienia.

W arytmetyce jest 189 problemów, każdy z jednym lub kilkoma rozwiązaniami. Zadania są ustalane w formie ogólnej, następnie brane są konkretne wartości zawartych w nich wielkości i podawane są rozwiązania.

Cele Księgi I są w większości określone. Zawiera również te, które są rozwiązywane za pomocą układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi, równoważnych równaniu kwadratowemu. Ze względu na swoją rozwiązywalność Diophantus stawia warunek, że dyskryminator jest idealnym kwadratem. Tak więc problem 30 - znalezienie dwóch liczb w taki sposób, aby ich różnicy i iloczynowi podano liczby - sprowadza się do systemu

x - y \u003d a, x \u003d b.

Diophantus stawia „warunek powstania”: wymagane jest, aby iloczyn poczwórny liczb dodany do kwadratu ich różnicy był kwadratem, tj.

4b + a 2 = z 2 .

W księdze II rozwiązywane są problemy związane z nieoznaczonymi równaniami i układami takich równań z 2, 3, 4, 5, 6 niewiadomymi o stopniu nie wyższym niż drugi.

Diophantus używa różnych technik. Niech będzie konieczne rozwiązanie nieokreślonego równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi f 2 (x, y)==0. Jeśli ma racjonalne rozwiązanie (x 0 tak 0 ), następnie Diophantus wprowadza substytucję

w którym k racjonalnie. Następnie główne równanie jest przekształcane na kwadratowe w odniesieniu do T, którego wyraz wolny f 2 (x 0 , tak 0 ) = 0. Z równania okazuje się, że t 1 == 0 (Diophantus odrzuca tę wartość), t 2 jest liczbą wymierną. Wtedy podstawienie daje racjonalne x oraz tak.

W przypadku, gdy problem został sprowadzony do równania

w 2 = topór 2 + bx + Z, oczywiście racjonalne rozwiązanie

x 0 = Och, tak 0 =±C. Podstawienie Diophantus wygląda tak:

y=kt ± c

Diophantus zastosował inną metodę w rozwiązaniu problemów z księgi II, gdy doprowadziły one do równania w 2 == = a 2 x 2 + bx + Z. Zrobił zastępstwo

następnie x oraz w wyrażona racjonalnie poprzez parametr k:

Diophantus w istocie zastosował twierdzenie, które polega na; że jeśli nieokreślone równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie racjonalne, to takich rozwiązań będzie nieskończenie wiele, a wartości x oraz w można przedstawić jako funkcje wymierne jakiegoś parametru"

W księdze II są problemy rozwiązywane za pomocą „podwójnej nierówności”, czyli systemu

cx + D == v 2 .

Diophantus rozważa sprawę a= c, ale następnie pisze, że metoda może być również zastosowana, gdy a : c = t 2 , Kiedy a\u003d\u003d c, Diofant, odejmując jedną równość od drugiej, otrzymuje oraz 2 --oraz 2 = b -- d. Wtedy różnica b -- d pomnożone b -- d = n1 i równa się oraz + v = ja i -- v = n, po czym znajduje

i \u003d (I + n) / 2, v \u003d (I - n) / 2, x - (l 2 + n 2) / 4a - (b + d) / 2a.

Jeśli problem sprowadza się do układu dwóch lub trzech równań drugiego stopnia, to Diofant znajduje takie racjonalne wyrażenia niewiadomych poprzez jedną niewiadomą i parametry, pod którymi wszystkie równania, z wyjątkiem jednego, zamieniają się w tożsamości. Z pozostałego równania wyraża główną niewiadomą pod względem parametrów, a następnie znajduje również inne niewiadome.

Metody opracowane w księdze II stosuje Diofant do trudniejszych problemów księgi III, związanych z układami trzech, czterech lub więcej równań o stopniu nie wyższym niż dwa. Ponadto przed formalnym rozwiązaniem problemów przeprowadza badania i znajduje warunki, jakie muszą spełniać parametry, aby rozwiązania zaistniały.

W księdze IV znajdują się równania określone i nieokreślone stopnia trzeciego i wyższego. Tutaj sytuacja jest znacznie bardziej skomplikowana, ponieważ ogólnie rzecz biorąc, niewiadomych nie można wyrazić jako wymiernych funkcji jednego parametru. Ale, tak jak poprzednio, jeśli jeden lub dwa wymierne punkty krzywej sześciennej fз (x, y)== 0, to można znaleźć inne punkty. Diophantus stosuje nowe metody w rozwiązywaniu problemów Księgi IV.

Księga V zawiera najtrudniejsze zadania; niektóre z nich są rozwiązywane za pomocą równań trzeciego i czwartego stopnia z trzech lub więcej niewiadomych. Są też takie, w których wymagane jest rozłożenie danej liczby całkowitej na sumę dwóch, trzech lub czterech kwadratów, a kwadraty te muszą spełniać pewne nierówności.,

Podczas rozwiązywania problemów Diophantus dwukrotnie rozważa równanie Pella topór 2 + 1 = w 2 .

Problemy w księdze VI dotyczą trójkątów prostokątnych o bokach racjonalnych. Do warunku x 2 + w 2 == z 2 dodają więcej warunków dotyczących pól, obwodów, boków trójkątów.

Księga VI dowodzi, że jeśli równanie topór 2 + b == w 2 ma co najmniej jedno racjonalne rozwiązanie, to będzie ich nieskończenie wiele. Aby rozwiązać problemy z księgi VI, Diofant wykorzystuje wszystkie stosowane przez siebie metody.

Nawiasem mówiąc, w jednym ze starożytnych zbiorów rękopiśmiennych zadań wierszem, życie Diofanta opisane jest w postaci następującej zagadki algebraicznej, przedstawiającej napis nagrobny na jego grobie

Na prochach grobowca Diofantosa spoczywa; podziwiaj ją - i kamień

Wiek zmarłego powie mu mądrą sztuką.

Z woli bogów przeżył szóstą część swojego życia jako dziecko.

I spotkał połowę szóstego z puchem na policzkach.

Dopiero siódmy minął, zaręczył się ze swoją dziewczyną.

Spędziwszy z nią pięć lat, mędrzec czekał na syna;

Jego ukochany syn przeżył tylko połowę życia ojca.

Został zabrany ojcu przy jego wczesnym grobie.

Dwa razy dwa lata rodzic opłakiwał ciężki smutek,

Tutaj zobaczyłem kres mojego smutnego życia.

Zadanie zagadki sprowadza się do skompilowania i rozwiązania równania:

skąd x = 84 = tyle lat żył Diofant.

Nieokreślone równanie x 2 + y 2 = z 2

Wstęp

Można zauważyć, że na przestrzeni ponad półtora tysiąca lat nauki matematyczne w Grecji miały znaczące osiągnięcia.

W historii matematyki rozpatrywany przez nas okres istnienia szkoły aleksandryjskiej nazywany jest „pierwszą szkołą aleksandryjską”. Od początku naszej ery, na podstawie prac matematyków aleksandryjskich, rozpoczyna się szybki rozwój filozofii idealistycznej: ponownie odradzają się idee Platona i Pitagorasa, a ta filozofia neoplatoników i neopitagorejczyków szybko pomniejsza naukowe znaczenie prace nowych przedstawicieli myśli matematycznej. Ale waga myśli matematycznej nie słabnie i od czasu do czasu pojawia się w pracach poszczególnych matematyków, takich jak Diofant.

Rozwój algebry utrudniał fakt, że notacja symboliczna nie weszła jeszcze dostatecznie w życie, o czym po raz pierwszy spotykamy się w pracach Diofanta, który posługiwał się jedynie pojedynczymi symbolami i skrótami notacji.

Celem pracy jest zbadanie arytmetyki Diofantusa.

Biografia Diofanta

Diophantus przedstawia jedną z najtrudniejszych zagadek w historii nauki. Nie znamy ani czasu, w którym mieszkał, ani jego poprzedników, którzy pracowaliby w tej samej okolicy. Jego prace są jak iskrzący się ogień pośród całkowitej nieprzeniknionej ciemności.

Okres, w którym Diofant mógł żyć, to pół tysiąclecia! Dolna granica tego przedziału jest wyznaczana bez trudności: w swojej książce o liczbach wielokątnych Diofant wielokrotnie wspomina matematyka Hypsiclesa z Aleksandrii, który żył w połowie II wieku p.n.e. Z kolei w komentarzach Teona z Aleksandrii do „Almagestu” słynnego astronoma Ptolemeusza umieszczony jest fragment dzieła Diofantusa. Theon żył w połowie IV wieku naszej ery. Określa górną granicę tego przedziału. A więc 500 lat!

Francuski historyk nauki Paul Tannery, wydawca najobszerniejszego tekstu Diofantusa, próbował zmniejszyć tę lukę. W bibliotece Escurial odnalazł fragmenty listu Michała Psellosa, bizantyjskiego uczonego z XI wieku, który mówi, że „najbardziej uczony Anatolij, po zebraniu najistotniejszych części tej nauki (mowa tu o wprowadzeniu stopni nieznanego i o ich oznaczeniach), zadedykował je swojemu przyjacielowi Diofantowi”. Anatolij z Aleksandrii naprawdę skompilował „Wprowadzenie do arytmetyki”, którego fragmenty są podane w dziełach Iamblicha i Euzebiusza, które do nas dotarły. Ale Anatolij mieszkał w Aleksandrii w połowie III wieku naszej ery. a dokładniej do roku 270, kiedy został biskupem Laodacia. Oznacza to, że jego przyjaźń z Diofantem, którego wszyscy nazywają Aleksandryjczykiem, musiała mieć miejsce wcześniej. Tak więc, jeśli słynny aleksandryjski matematyk i przyjaciel Anatolija o imieniu Diophantus to jedna osoba, to życie Diophantusa to połowa III wieku naszej ery.

Sama „Arytmetyka” Diofanta dedykowana jest „czcigodnemu Dionizjuszowi”, który, jak widać z tekstu „Wstępu”, interesował się arytmetyką i jej nauczaniem. Chociaż imię Dionizjusz było wówczas dość powszechne, Garbarz zasugerował, że „czcigodnego” Dionizego należy szukać wśród sławnych ludzi epoki, zajmujących ważne stanowiska. I wtedy okazało się, że w 247 biskupem Aleksandrii został niejaki Dionizos, który od 231 kierował chrześcijańskim gimnazjum miasta! Dlatego Garbarnia utożsamiła tego Dionizego z tym, któremu Diofant poświęcił swoją pracę, i doszła do wniosku, że Diophantus żył w połowie III wieku naszej ery. Możemy, z braku lepszego sposobu, zaakceptować tę datę.

Ale miejsce zamieszkania Diofanta jest dobrze znane - to słynna Aleksandria, centrum myśli naukowej świata hellenistycznego.

Po upadku rozległego imperium Aleksandra Wielkiego, Egipt pod koniec IV wieku p.n.e. udał się do swojego dowódcy Ptolemeusza Laga, który przeniósł stolicę do nowego miasta – Aleksandrii. Wkrótce to wielojęzyczne miasto handlowe stało się jednym z najpiękniejszych miast starożytności. Rzym później przewyższył go wielkością, ale przez długi czas nie był równy. I to właśnie to miasto stało się na wiele stuleci naukowym i kulturalnym centrum starożytnego świata. Wynikało to z faktu, że Ptolemeusz Lag ufundował Museumon, świątynię Muz, coś w rodzaju pierwszej Akademii Nauk, do której zapraszano najwybitniejszych naukowców, a treść im przypisywano, tak aby ich główną działalnością była refleksja. i rozmowa ze studentami. W Muzeum zbudowano słynną bibliotekę, która w swoich najlepszych czasach zawierała ponad 700 000 rękopisów. Nic dziwnego, że spragnieni wiedzy naukowcy i młodzi mężczyźni z całego świata rzucili się do Aleksandrii, aby posłuchać słynnych filozofów, uczyć się astronomii i matematyki oraz mieć możliwość zagłębienia się w badania unikalnych rękopisów w chłodnych salach biblioteki .

Muzeum przetrwało dynastię Ptolemeuszy. W pierwszych wiekach pne. popadł w chwilowy upadek związany z ogólnym upadkiem domu ptolemejskiego w związku z podbojami rzymskimi (Aleksandria została ostatecznie podbita w 31 pne), ale potem w pierwszych wiekach naszej ery. odżyła ponownie, wspierana już przez cesarzy rzymskich. Aleksandria nadal była centrum naukowym świata. Rzym nigdy nie był jej rywalem pod tym względem: nauka rzymska (mamy na myśli nauki przyrodnicze) po prostu nie istniała, a Rzymianie pozostali wierni przykazaniom Wergiliusza, który pisał:

Ci cieńsi wykują brąz, który oddycha życiem, -

Wierzę w to - stworzą żywe twarze z marmuru,

Bardziej wymowne będą na dworach ruchy nieba

Laską narysują własną i obliczą gwiazdy wniebowstąpienia,

Ty, Roman, wiesz, jak rządzić narodami.

A jeśli w III-II wieku pne. Muzeum lśniło imionami Euklidesa, Apoloniusza, Eratostenesa, Hipparcha, następnie w I-III wne. pracowali tu naukowcy, tacy jak Czapla, Ptolemeusz i Diofant.

Aby wyczerpać wszystko, co wiemy o osobowości Diofanta, przedstawiamy wiersz zagadki, który do nas dotarł:

Na prochach grobowca Diofantosa spoczywa; podziwiaj ją - i kamień

Wiek zmarłego powie mu mądrą sztuką.

Z woli bogów przeżył szóstą część swojego życia jako dziecko

I spotkał połowę szóstego z puchem na policzkach.

Dopiero siódmy minął, zaręczył się ze swoją dziewczyną.

Spędziwszy z nią pięć lat, mędrzec czekał na syna;

Jego ukochany syn przeżył tylko połowę życia ojca.

Został zabrany ojcu przy jego wczesnym grobie.

Dwa razy dwa lata rodzic opłakiwał ciężki smutek,

Tutaj zobaczyłem kres mojego smutnego życia.

Z tego łatwo wyliczyć, że Diophantus żył 84 lata. Jednak do tego wcale nie jest konieczne opanowanie sztuki Diofantusa! Wystarczy umieć rozwiązać równanie I stopnia z jedną niewiadomą, a egipscy skrybowie potrafili to zrobić już 2 tysiące lat p.n.e.

Diofant z Aleksandrii(starożytna greka; łac. Diophantus) - starożytny grecki matematyk, który prawdopodobnie żył w III wieku naszej ery. mi. Często określany mianem „ojca algebry”. Autor "Arytmetyki" - książki poświęconej znajdowaniu pozytywnych racjonalnych rozwiązań równań nieokreślonych. Współcześnie przez „równania diofantyczne” rozumie się zwykle równania o współczynnikach całkowitych, których rozwiązania należy szukać wśród liczb całkowitych.

Diophantus był pierwszym greckim matematykiem, który traktował ułamki na równi z innymi liczbami. Diophantus był także pierwszym wśród starożytnych naukowców, który zaproponował rozwiniętą symbolikę matematyczną, która umożliwiła sformułowanie jego wyników w dość zwartej formie.

Nazwa krateru po widocznej stronie Księżyca pochodzi od Diofanta.

Biografia

Prawie nic nie wiadomo o szczegółach jego życia. Z jednej strony Diofant cytuje Hypsicles (II w. p.n.e.); z kolei Theon z Aleksandrii (ok. 350 n.e.) pisze o Diofantusie, z czego można wnioskować, że jego życie toczyło się w granicach tego okresu. Ewentualne określenie czasu życia Diofanta opiera się na fakcie, że jego Arytmetyka dedykowana jest „najczcigodniejszemu Dionizjuszowi”. Uważa się, że tym Dionizem jest nikt inny jak biskup Dionizjusz Aleksandryjski, który żył w połowie III wieku. n. mi.

Antologia Palatyńska zawiera epigramo-zadanie:

Na prochach grobowca Diofantosa spoczywa; podziwiaj ją - a kamień wskaże wiek zmarłego swoją mądrą sztuką. Z woli bogów przeżył szóstą część swojego życia jako dziecko. A połowę szóstego spotkałem z puchem na policzkach. Dopiero siódmy minął, zaręczył się ze swoją dziewczyną. Wraz z nią, po spędzeniu pięciu lat, mędrzec czekał na syna; Jego ukochany syn przeżył tylko połowę życia ojca. Został zabrany ojcu przy jego wczesnym grobie. Dwa razy dwa lata rodzic opłakiwał ciężki smutek, Tu zobaczył kres swojego smutnego życia. (Przetłumaczone przez S. P. Bobrov)

Jest to równoznaczne z rozwiązaniem następującego równania:

To równanie daje x = 84 (\displaystyle x=84) , więc Diofant ma 84 lata. Nie można jednak potwierdzić dokładności informacji.

Arytmetyka Diofanta

Główne dzieło Diofanta - Arytmetyka w 13 księgach. Niestety z pierwszych 13 ksiąg zachowało się tylko 6.

Pierwszą księgę poprzedza obszerny wstęp, opisujący zapis używany przez Diofanta. Diofant nazywa nieznane "liczba" () i oznacza je literą, kwadrat nieznanego - symbolem (skrót od - "stopień"), sześcian nieznanego - symbolem (skrót od - "sześcian" ). Specjalne znaki są przewidziane dla kolejnych stopni nieznanego, aż do szóstego, zwanego sześcianem, i dla ich przeciwnych stopni, do minus sześciu.

Diofant nie ma znaku dodawania: po prostu pisze obok siebie wyrazy dodatnie w porządku malejącym stopnia, aw każdym wyrazie najpierw zapisywany jest stopień nieznanego, a następnie współczynnik liczbowy. Odjęci członkowie są również pisani obok siebie, a przed całą ich grupą umieszczany jest specjalny znak w postaci odwróconej litery. Znak równości jest oznaczony dwiema literami (skrót od „równy”).

Sformułowano zasadę redukcji podobnych wyrazów oraz zasadę dodawania lub odejmowania tej samej liczby lub wyrażenia do obu części równania: co później al-Khwarizmi nazwał "algebrą i almukabalą". Wprowadzono zasadę znaków: „minus przez plus daje minus”, „minus przez minus daje plus”; ta zasada jest używana podczas mnożenia dwóch wyrażeń z odejmowanymi członkami. Wszystko to sformułowane jest w sposób ogólny, bez odwoływania się do interpretacji geometrycznych.

Większość pracy to zbiór problemów z rozwiązaniami (w zachowanych sześciu księgach jest ich 189), umiejętnie dobrany do zilustrowania ogólnych metod. Głównym problemem arytmetyki jest znajdowanie pozytywnych, racjonalnych rozwiązań równań nieokreślonych. Liczby wymierne są traktowane przez Diofanta tak samo jak liczby naturalne, co nie jest typowe dla matematyków starożytnych.

Biografia

Tłumaczenie łacińskie Arytmetyka (1621)

Prawie nic nie wiadomo o szczegółach jego życia. Z jednej strony Diofant cytuje Hypsicles (II w. p.n.e.); z kolei Theon z Aleksandrii (ok. 350 n.e.) pisze o Diofantusie, z czego można wnioskować, że jego życie toczyło się w granicach tego okresu. Ewentualne określenie czasu życia Diofanta opiera się na fakcie, że jego Arytmetyka poświęcony „najczcigodniejszemu Dionizjuszowi”. Uważa się, że tym Dionizem jest nikt inny jak biskup Dionizjusz Aleksandryjski, który żył w połowie III wieku. n. mi.

Arytmetyka Diofant

Główne dzieło Diofanta - Arytmetyka w 13 książkach. Niestety z pierwszych 13 ksiąg zachowało się tylko 6.

Pierwszą księgę poprzedza obszerny wstęp, opisujący zapis używany przez Diofanta. Diophantus nazywa nieznaną „liczbę” ( ἀριθμός ) i oznaczone literą ς , kwadrat nieznanego - symbol (skrót od δύναμις - "stopień"). Dla kolejnych stopni nieznanego, aż do szóstego, zwanego sześcianem, oraz dla ich przeciwnych stopni przewidziane są specjalne znaki. Diofant nie ma znaku dodawania: po prostu wpisuje obok siebie wyrazy dodatnie, aw każdym wyrazie najpierw zapisuje się stopień nieznanego, a następnie współczynnik liczbowy. Terminy, które należy odjąć, są również pisane obok siebie, a przed całą ich grupą umieszczany jest specjalny znak w postaci odwróconej litery Ψ. Znak równości jest oznaczony dwiema literami ἴσ (skrót od ἴσος - "równy"). Sformułowano zasadę redukcji podobnych wyrazów oraz zasadę dodawania lub odejmowania tej samej liczby lub wyrażenia do obu części równania: co później al-Khwarizmi nazwał "algebrą i almukabalą". Wprowadzono zasadę znaków: minus razy minus daje plus; ta zasada jest używana podczas mnożenia dwóch wyrażeń z odejmowanymi członkami. Wszystko to sformułowane jest w sposób ogólny, bez odwoływania się do interpretacji geometrycznych.

Większość pracy to zbiór problemów z rozwiązaniami (w sześciu zachowanych książkach jest ich tylko 189), umiejętnie dobranych w celu zilustrowania ogólnych metod. Główna kwestia Arytmetyka- znajdowanie pozytywnych racjonalnych rozwiązań równań nieokreślonych. Liczby wymierne są traktowane przez Diofanta tak samo jak liczby naturalne, co nie jest typowe dla matematyków starożytnych.

Po pierwsze, Diophantus bada układy równań drugiego rzędu w 2 niewiadomych; określa metodę znajdowania innych rozwiązań, jeśli jest już znana. Następnie stosuje podobne metody do równań wyższych stopni.

W X wieku Arytmetyka został przetłumaczony na język arabski, po czym matematycy z krajów islamu (Abu Kamil i inni) kontynuowali badania nad Diofantem. W Europie zainteresowanie Arytmetyka wzrosła po tym, jak Raphael Bombelli odkrył ten esej w Bibliotece Watykańskiej i opublikował 143 problemy z niego w swoim Algebra(). W 1621 r. ukazał się klasyczny, obszernie komentowany przekład łaciński. Arytmetyka przez Bacher de Meziriac. Metody Diophantusa wywarły ogromny wpływ na François Vieta i Pierre'a Fermata; jednak w dzisiejszych czasach nieokreślone równania są zwykle rozwiązywane w liczbach całkowitych, a nie racjonalnych, jak to zrobił Diofant.

W XX wieku pod nazwą Diofant odkryto arabski tekst czterech kolejnych ksiąg Arytmetyka. I. G. Bashmakova i E. I. Slavutin po przeanalizowaniu tego tekstu wysunęli hipotezę, że ich autorem nie był Diophantus, ale komentator dobrze zorientowany w metodach Diophantusa, najprawdopodobniej Hypatia.

Inne pisma Diophantusa

Traktat z Diofantem O liczbach wielokątnych (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ) nie jest całkowicie zachowany; w zachowanej części wyprowadzono szereg twierdzeń pomocniczych metodami algebry geometrycznej.

Z pism Diofanta O pomiarach powierzchni (ἐπιπεδομετρικά ) oraz O mnożeniu (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) przetrwały również tylko fragmenty.

Księga Diofanta poryzmy znane tylko z kilku twierdzeń użytych w Arytmetyka.

Literatura

Kategorie:

• Starożytni matematycy greccy
• Matematycy starożytnego Rzymu
• Osobowości w porządku alfabetycznym
• Matematycy alfabetycznie
• Matematycy z III wieku
• Matematycy w teorii liczb

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Zobacz, co „Diofantus z Aleksandrii” znajduje się w innych słownikach:

- (ok. III w.) starożytny matematyk grecki. W głównym dziele Arytmetyka (zachowało się 6 ksiąg z 13) podał rozwiązanie problemów prowadzących do tzw. Równania diofantyczne i po raz pierwszy wprowadzono dosłowną symbolikę do algebry ... Wielki słownik encyklopedyczny

- (około III wieku), starożytny grecki matematyk. W głównym dziele „Arytmetyka” (zachowało się 6 ksiąg z 13) podał rozwiązanie problemów prowadzących do tzw. równań diofantycznych i po raz pierwszy wprowadził do algebry symbolikę literową. * * * DIOFANT… … słownik encyklopedyczny

- (prawdopodobnie ok. 250 rne, choć możliwa jest wcześniejsza data), starożytny matematyk grecki, który pracował w Aleksandrii, autor traktatu Arytmetyka w 13 księgach (zachowało się 6), poświęconego głównie badaniu równań nieokreślonych (tzw. -nazywane ... … Encyklopedia Colliera

Diophantus: Diophantus (dowódca) (II w. p.n.e.). Diofant z Aleksandrii (III wne) starożytny grecki matematyk ... Wikipedia

Diofant- Aleksandria (grecki Diofantos), ok. 201 tys. 250, inny grecki. matematyk. W jego głównym praca „Arytmetyka” (b. h. zachowana) wykorzystywała metody obliczeniowe Egipcjan i Babilończyków. Zbadałem definicję i niepewność, zadania (zwłaszcza liniowe i ... ... Słownik starożytności

- (ur. 325, umysł 409 n.e.) słynny matematyk aleksandryjski. Nie ma prawie żadnych informacji o jego życiu; nawet daty jego narodzin i śmierci nie są do końca pewne. D. żył 84 lata, jak widać z epitafium, skompilowanego w formie następującej…… Słownik encyklopedyczny F.A. Brockhaus i I.A. Efron

Diofant- DIOFÁNT z Aleksandrii (ok. III w.), inny grecki. matematyk. Głównie tr. Arytmetyka (6 ksiąg z 13 zachowało się) dała rozwiązanie problemów prowadzących do tzw. Diophantine Urnia i po raz pierwszy wprowadziła do algebry symbolikę liter ... Słownik biograficzny

Ośmiornice mają 8 nóg, rozgwiazdy 5.

Ile zwierząt morskich znajduje się w akwarium, jeśli w sumie jest 39 kończyn?

Diofant z Aleksandrii był starożytnym greckim matematykiem, który prawdopodobnie żył w III wieku naszej ery.

Prawie nic nie wiadomo o szczegółach jego życia. Z jednej strony Diofant cytuje Hypsicles (II w. p.n.e.); z kolei Theon z Aleksandrii (ok. 350 n.e.) pisze o Diofantusie, z czego można wnioskować, że jego życie toczyło się w granicach tego okresu. Ewentualne określenie czasu życia Diofanta opiera się na fakcie, że jego „Arytmetyka” dedykowana jest „najczcigodniejszemu Dionizjuszowi”. Uważa się, że tym Dionizem jest nikt inny jak biskup Dionizjusz Aleksandryjski, który żył w połowie III wieku. n. mi.

Antologia Palatyńska zawiera epigramo-zadanie, z którego możemy wywnioskować, że Diophantus żył 84 lata:

Na prochach grobowca Diofantosa spoczywa; podziwiaj ją i kamień

Wiek zmarłego powie mu mądrą sztuką.

Z woli bogów przeżył szóstą część swojego życia jako dziecko.

I spotkał połowę szóstego z puchem na policzkach.

Dopiero siódmy minął, zaręczył się ze swoją dziewczyną.

Wraz z nią, po spędzeniu pięciu lat, mędrzec czekał na syna;

Jego ukochany syn przeżył tylko połowę życia ojca.

Został zabrany ojcu przy jego wczesnym grobie.

Dwa razy dwa lata rodzic opłakiwał ciężki smutek,

Tutaj zobaczyłem kres mojego smutnego życia.

Korzystając z nowoczesnych metod rozwiązywania równań, możesz obliczyć, ile lat żył Diofant. Zróbmy i rozwiążmy równanie:

Rozwiązaniem tego równania jest liczba 84. Tak więc Diophantus żył 84 lata.

Głównym dziełem Diofantusa jest „Arytmetyka” w 13 książkach. Niestety z pierwszych 13 ksiąg zachowało się tylko 6.

Pierwszą księgę poprzedza obszerny wstęp, opisujący zapis używany przez Diofanta. Nieznany Diophantus nazywa „liczbę” (?ριθμ?ς) i oznacza literę ς, kwadrat nieznanego – symbol (skrót od δ?ναμις – „stopień”). Dla kolejnych stopni nieznanego, aż do szóstego, zwanego sześcianem, oraz dla ich przeciwnych stopni przewidziane są specjalne znaki. Diofant nie ma znaku dodawania: po prostu wpisuje obok siebie wyrazy dodatnie, aw każdym wyrazie najpierw zapisuje się stopień nieznanego, a następnie współczynnik liczbowy. Odjęci członkowie są również pisani obok siebie, a przed całą ich grupą umieszczany jest specjalny znak w postaci odwróconej litery Ψ. Znak równości jest oznaczony dwiema literami ?σ (skrót od ?σος - "równy"). Sformułowano zasadę redukcji podobnych wyrazów oraz zasadę dodawania lub odejmowania tej samej liczby lub wyrażenia do obu części równania: to, co później al-Khwarizmi nazwał „al-dżabr i al-muqabala”. Wprowadzono zasadę znaków: minus razy minus daje plus; ta zasada jest używana podczas mnożenia dwóch wyrażeń z odejmowanymi członkami. Wszystko to sformułowane jest w sposób ogólny, bez odwoływania się do interpretacji geometrycznych.

Większość pracy to zbiór problemów z rozwiązaniami (w zachowanych sześciu księgach jest ich 189), umiejętnie dobrany do zilustrowania ogólnych metod. Głównym problemem „Arytmetyki” jest znajdowanie pozytywnych, racjonalnych rozwiązań równań nieokreślonych. Liczby wymierne są traktowane przez Diofanta tak samo jak liczby naturalne, co nie jest typowe dla matematyków starożytnych.

Po pierwsze, Diophantus bada układy równań drugiego rzędu w 2 niewiadomych; określa metodę znajdowania innych rozwiązań, jeśli jest już znana. Następnie stosuje podobne metody do równań wyższych stopni.

W X wieku Arytmetyka została przetłumaczona na język arabski, po czym matematycy z krajów islamu (Abu Kamil i inni) kontynuowali badania nad Diofantem. W Europie zainteresowanie arytmetyką wzrosło po tym, jak Raphael Bombelli odkrył tę pracę w Bibliotece Watykańskiej i opublikował z niej 143 problemy w swojej Algebrze (1572). W 1621 r. ukazało się klasyczne, szczegółowe łacińskie tłumaczenie Arytmetyki Bachera de Meziriaca. Metody Diophantusa wywarły ogromny wpływ na François Vieta i Pierre'a de Fermata; służył jako punkt wyjścia w badaniach Gaussa i Eulera. Jednak w dzisiejszych czasach nieokreślone równania są zwykle rozwiązywane w liczbach całkowitych, a nie wymiernych, jak to zrobił Diofant.

W XX wieku pod nazwą Diofant odkryto arabski tekst 4 kolejnych ksiąg arytmetycznych. Niektórzy historycy matematyki, po przeanalizowaniu tego tekstu, wysunęli hipotezę, że ich autorem nie był Diophantus, ale komentator dobrze zorientowany w metodach Diophantusa, najprawdopodobniej Hypatia.

Traktat Diofanta O liczbach wielokątnych (Περ? πολυγ?νων ?ριθμ?ν) nie zachował się w całości; w zachowanej części wyprowadzono szereg twierdzeń pomocniczych metodami algebry geometrycznej.

Z dzieł Diofanta „O pomiarze powierzchni” (?πιπεδομετρικ?) i „O mnożeniu” (Περ? πολλαπλασιασμο?) zachowały się także tylko fragmenty.

Poryzmy Diofanta znane są tylko z kilku twierdzeń stosowanych w arytmetyce.

Dzisiaj równanie postaci

gdzie P- funkcję całkowitą (na przykład wielomian ze współczynnikami całkowitymi), a zmienne przyjmują wartości całkowite, nazwano na cześć starożytnego greckiego matematyka - Diofantyna.

Prawdopodobnie najbardziej znanym równaniem diofantycznym jest

Jego rozwiązania to trójki pitagorejskie: (3; 4; 5), (6; 8; 10), (5; 12; 13), (12; 35; 37)…

Dowód nierozwiązywalności w liczbach całkowitych równania diofantycznego

w (Ostatnie Twierdzenie Fermata) zostało ukończone przez angielskiego matematyka Andrew Wilesa w 1994 roku.

Innym przykładem równania diofantycznego jest równanie Pella

gdzie parametr n nie jest dokładnym kwadratem.

Dziesiąty problem Hilberta jest jednym z 23 problemów zaproponowanych przez Davida Hilberta 8 sierpnia 1900 r. na II Międzynarodowym Kongresie Matematyków. W raporcie Hilberta sformułowanie dziesiątego problemu jest najkrótsze ze wszystkich:

Niech zostanie podane równanie diofantyczne z dowolnymi niewiadomymi i całkowitymi wymiernymi współczynnikami liczbowymi. Wskaż metodę, dzięki której możliwe jest, po skończonej liczbie operacji, określenie, czy to równanie jest rozwiązywalne w liczbach całkowitych wymiernych.

Dowód algorytmicznej nierozwiązywalności tego problemu trwał około dwudziestu lat i został ukończony przez Jurija Matiyasevicha w 1970 roku.

W dużej mierze dzięki działalności Pappusa z Aleksandrii (III wiek) dotarły do ​​nas informacje o starożytnych naukowcach i ich pracach. Po Apoloniuszu (od II w. p.n.e.) rozpoczął się upadek starożytnej nauki. Nie pojawiają się nowe głębokie idee. W 146 pne. mi. Rzym zdobywa Grecję, aw 31 pne. mi. - Aleksandria. Na tle ogólnej stagnacji i upadku ostro wybija się gigantyczna postać Diofanta z Aleksandrii, ostatniego z wielkich starożytnych matematyków, „ojca algebry”.

Następujące obiekty matematyczne noszą nazwę Diofant:

• analiza diofantyczna
• przybliżenia diofantyczne
• równania diofantyczne