Урок свойства тригонометрических функций и их графики. Методическая разработка урока тригонометрические функции, их свойства и графики
Класс: 10
Цель урока:
- Образовательные:
- отработать навыки построения графиков функций, используя периодичность тригонометрических функций;
- закрепить изученный материал о чётных и нечётных функциях
- Развивающие:
- развивать умения, анализировать, применять имеющиеся знания у учащихся в изменённой ситуации.
- Воспитательные:
- воспитывать у учащихся аккуратность, любознательность, бережное отношение к окружающему миру, нравственные качества;
- создать условия для развития познавательной активности учащихся, реализации личностных функций каждого учащегося, его свободного развития с учётом индивидуальных особенностей и потенциальных возможностей.
Оборудование:
- мультимедийный проектор;
- листы заданий для учащихся;
- оценочные листы;
- доска;
- мел, чертёжные инструменты;
- тетради;
- заготовки системы координат
ХОД УРОКА
Учащиеся при входе в класс на урок выбирают жетоны, в которых записаны тригонометрические функции синус, косинус, тангенс. Затем рассаживаются за круглые столы по группам с жетонами одной функции.
Озвучиваются цели урока. В течении всего урока
учащиеся самостоятельно оценивают свою
подготовку к уроку. Для этого каждой группе
раздаются оценочные листы, критерии оценки
своей деятельности на каждом этапе урока
отражаются на слайдах (Приложение
1
).
Оценочные листы заполняются учащимися и в конце
урока сдаются вместе с письменной работой на
проверку.
Оценочный лист
| № | Ф. И | Теоретическая разминка, «математическое лото» | Групповая работа | Тест | Оценка за урок |
| 1 | |||||
| 2 | |||||
| 3 | |||||
| 4 | |||||
| 5 |
II. Фронтальный опрос «Теоретическая разминка»
Для того, чтобы выполнить практические задания урока, необходимо вспомнить теоретический материал. Для этого проведём «Теоретическую разминку" на слайде (Приложение 1 ) дана таблица с номерами вопросов, по очереди каждая группа выбирает номер вопроса, зачитывает вопрос и тут же даёт на него ответ.
На этом этапе происходит актуализация знаний учащихся, необходимых для дальнейшей работы на уроке.
- Что называют функцией?
- Что называют областью определения функции?
- Что называют областью значений функции?
- Какая функция называется чётной?
- Какая функция называется нечётной?
- Каким свойством обладает график четной функции?
- Каким свойством обладает график нечётной функции?
- Дайте определение основных тригонометрических функций.
- Что можно сказать о чётности тригонометрических функций?
- Какая функция называется периодической?
- Какое число является наименьшим положительным периодом для функции синуса и косинуса?
- Какое число является наименьшим положительным периодом для функции тангенса (котангенса)?
- Какова область определения функции синуса?
- Какова область определения функции косинуса?
- Какова область определения функции тангенса?
- Какова область определения функции котангенса?
- Какова область значений функции синуса?
- Какова область значений функции конуса?
- Какова область значений функции тангенса?
- Какова область значений функции котангенса?
- Какая из функций принимает наибольшее значение у = sin 2x или y = 2 sin x&
– Мы повторили с вами теоретический материал. А теперь я предлагаю вам показать ваши знания в определении четной или нечетной функции, при выполнения «математического лото». Каждая группа получает лист – задание с «математическим лото». (Приложение 2 ).
Задание: в полученной таблице заштриховать те ячейки, в которых расположена чётная (нечётная) функция.
«Математическое лото»
Вариант 1.
Задание: Заштриховать в таблице те ячейки, в которых располагается чётная функция
Вариант 2.
Задание: Заштриховать в таблице те ячейки, в которых располагается нечётная функция
Критерии оценки при фронтальном опросе, участие в совместной работе класса:
- 2 балла, не активно принимал участие;
- 3 балла, отвечал на вопросы, вносил свои предложения при выполнении задания «математического лото»
- 4 балла, активно отвечал на вопросы, предлагал верные ответы при решении «математического лото»
III. Работа в группах по построению графиков тригонометрических функций
Работая в группе сообща над заданием, ученик соотносит своё «Я» с самим собой и окружающими, сравнивая разное или одинаковое видение задачи и процесса её решения, оценивая свои возможности и притязания. Ученикам приходится выступать в разных ролях и в роли «ученика» и в роли «учителя». Здесь формируется умение работать в группе, умение отстаивать свою точку зрения и принимать точку зрения товарищей.
Каждой группе предлагается самостоятельно в тетрадях построить графики тригонометрических функций, предварительно определив её область определения, область значения, период. Каждая группа получает также заготовки системы координат на листе формата А4 или А3 на которых им необходимо изобразить выполненное задание (можно при построение графиков использовать фломастеры разного цвета)
После выполнения своего задания каждая
группа защищает свою работу перед классом.
Работа каждого в группе оценивается всей
группой, оценка заносится в оценочный лист.
Критерии оценки работы в группе:
- 3 балла, не активно принимал участие в работе;
- 4 балла, вносил свои предложения в решении поставленной задачи;
- 5 баллов, активно принимал участие в работе группы, предлагал верные пути решения задачи.
IV. Тестовая работа
Прежде, чем ученики приступят к выполнению
теста, они должны выбрать уровень сложности
соответствующий своим возможностям.
На этом этапе работы для учащихся создаётся
ситуация, в которой им надо оценить свои
реальные знания и возможности.
1) Если ученик считает, что он усвоил материал на
«3», то ему достаточно выполнить 1 – 5 задания
теста.
2) Если усвоил материал на «4» , то надо выполнить
6 – 7 задания теста.
3) Если материал усвоен на «5», то надо выполнить
все задания теста.
Ключ к тесту:
| № задания | I вариант | II вариант |
| А1 | В | В |
| А2 | Б | Г |
| А3 | В | Б |
| А4 | Г | Г |
| А5 | А | Г |
| А6 | А | В |
| А7 | Б | А |
| В1 | – 7 | – 6 |
| В2 | 5 | – 4 |
Тетради и оценочные листы сдаются учителю.
V. Итог урока
Оценки в журнал выставляются после проверки работ учителем, сравнивая с результатами оценочных листов учёта знаний.
VI. Домашнее задание
I группа: стр.93 № 18
II группа: стр.93 № 19
III группа: стр.93 № 20
Хотите лучше владеть компьютером?
Видеоролики — очень мощный инструмент в презентациях. Никакой текст или изображение не будут так наглядны, как видео. К счастью, Microsoft PowerPoint позволяет вставлять в презентации или ссылки на файлы с видеороликами, или сами видеоролики. К несчастью, не все работает с первого раза. То при вставке ролика звук в нем пропадает, то при демонстрации презентации на другом компьютере ролик вообще не проигрывается, то при переписывании презентации коллегам теряются видеофайлы, на которые имеются ссылки в презентации… Список этих проблем велик.
Читайте новые статьи
Урок может пройти плодотворно и радостно, на одном дыхании, а может вяло и скучно тянуться, изнуряя детей и учителя и не принося никому удовлетворения. И причина этого — не только методические ошибки, особенности материала и класса. Может быть, даже в большей степени причину надо искать в эмоциональном фоне урока, оказавшемся неблагоприятным. Создание эмоционального фона — это задача, которая неизбежно встает перед любым учителем и требует его внимания и усилий. Как создать положительный фон урока?
Как завладеть вниманием ученикав век цифровых технологий, когда поток информации полностью поглощает человека? Наверное, многим знакома ситуация, когда идет урок, а ученики смотрят на экран телефона и ничего не хотят больше делать. Как захватить внимание учащихся и сделать урок интересным? Рассмотрим несколько приемов создания заинтересованности на уроке.
Муниципальное казенное вечернее (сменное) общеобразовательное учреждение «Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа №4 при исправительной колонии»
План-конспект и презентация к уроку
алгебры и начала анализа в 10 классе по теме
«Тригонометрические функции и их свойства»
Тема урока: «Тригонометрические функции и их свойства»
Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по изучаемой теме, провести контроль уровня усвоения материала;
Развивающие: развитие математического мышления, интеллектуальных и познавательных способностей, развитие умения обосновать свое решение, контролировать и оценивать результаты своих действий;
Воспитательные: воспитание культуры общения, познавательной активности, чувства ответственности за выполненную работу, дисциплинированности, аккуратности, самостоятельности.
Оборудование и материалы для урока: мультипроектор, презентация для сопровождения урока, листы самоконтроля, карточки с текстом самостоятельной работы.
Тип урока: урок-смотр знаний
Ход урока.
I . Организационный момент.
II . Сообщение темы и целей урока.
Сегодняшний урок мне хотелось бы начать со слов великого ученого-физиолога И.П Павлова:
«Изучите азы науки, прежде чем взойти на ее вершины. Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущее». Слайд 2
Мы живем в реальном мире и для его познания нам необходимы знания. Но прежде, чем подняться на следующую ступеньку, нужно убедиться, что мы крепко стоим на ногах, имеем хорошие, прочные знания по изучаемой теме.
Скажите, пожалуйста, какую тему мы изучаем?
А всякое знание должно перейти в умение и навык. Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем имеющиеся знания по этой теме. Проверим свои знания, умения и навыки, выясним пробелы и попытаемся их ликвидировать.
Актуализация опорных знаний.
1 . Фронтальный опрос.
Назовите тригонометрические функции, которые вы знаете?
А теперь повторим свойства известных нам тригонометрических функций.
(Учащиеся называют свойства тригонометрических функций, каждый правильный ответ высвечивается на слайде. В результате обсуждения появляется таблица.) Слайд 3-6
2. Устная работа по решению простейших задач на преобразование графиков тригонометрических функций. Слайд 7-9
Работа с листами самоконтроля. (Приложение 1)
На уроке вы будете выполнять различные задания, и постепенно будете заполнять лист самоконтроля учащегося. Подпишите лист самоконтроля и познакомьтесь с его содержанием. Оцените насколько вы готовы к выполнению заданий и поставьте прогностическую оценку. И пока лист отложите.
Графический диктант.
Результатом выполнения диктанта на листках самоконтроля обучающихся станет такая запись.
где знаками обозначено: + да, нет. После окончания диктанта обучающие обмениваются диктантом с соседом по парте для проверки. Каждый верный ответ оценивается в 1 балл, за неверный ответ и отсутствие ответа выставляется 0 баллов. Слайд 10
Самостоятельная работа по вариантам. (Приложение 2)
I вариант.
нет точек пересечения
II вариант.
Укажите множество значений функции:
4) нет точек пересечения
Найдите наименьший положительный период функции
Самопроверка. Слайд 11
Каждый верный ответ оценивается в 1 балл, за неверный ответ и отсутствие ответа выставляется 0 баллов.
Работа в группах. Слайд 12
Выполнение заданий повышенной сложности.
Напоминаю порядок работы в группах: 10 минут самостоятельно решаете задание, 5 минут обсуждаете решение заданий коллективно. Не забудьте поставить самооценку и определить свой уровень знаний. За безошибочное выполнение задания выставляется 2 балла, решение с недочетами оценивается в 1 балл.
I группа
Постройте график функции
II группа
Постройте график функции
2) Найдите наименьший положительный период функции:
Кто желает объяснить свое решение? Слайд 13-15
Итог урока.
Подведем итог нашей работы. Подсчитайте баллы и согласно критериям поставьте итоговую оценку. Если вы довольны своими результатами, то под своей оценкой поставьте подпись. Проанализируйте свой уровень знаний. Если не все получилось, подумайте, над чем еще нужно поработать.
Задание на дом еще раз проанализировать что удалось, что не удалось, над чем надо еще поработать. К заданиям, в которых вы допустили ошибки, подберите аналогичные задания и решите их. Результаты вашей работы на уроке мне покажут ваши листы самоконтроля. Спасибо за урок!
Приложение 1
Лист самоконтроля учащегося ________________________________________
(фамилия, имя)
К уроку алгебры и начал анализа по теме «Тригонометрические функции и их свойства»
Прогностическая оценка ________
№1. Графический диктант.
№2. Самостоятельная работа.
№3. Работа в группах. Задания повышенной сложности.
Если вы набрали 21-23 балла – оценка «5»
16-20 баллов – оценка «4» Я набрал ________баллов
10-15баллов – оценка «3» Моя оценка «____»___________________
(подпись учащегося)
Ответьте на вопросы и поставьте оценку по 5-ти бальной системе
Как, на ваш взгляд, прошел урок, все ли вам было понятно? _______________
Вы себя уверенно чувствовали на уроке? ___________________
Достаточно ли было вам знаний, полученных ранее ? ____________
Приложение 2
Самостоятельная работа.
I вариант.
1.Укажите множество значений функции: у= 4х.
1)Множество действительных чисел;
2)Множество действительных чисел, кроме чисел вида ;
3)Множество действительных чисел, кроме чисел вида
Определите знак числа sin 1 cos 9 tg (-2)
3)невозможно определить
;
нет точек пересечения.
II вариант.
Множество действительных чисел;
2) Множество действительных чисел, кроме чисел вида
3) Множество действительных чисел, кроме чисел вида
3)невозможно определить
4) нет точек пересечения
Найдите наименьший положительный период функции
Просмотр содержимого презентации
«тригонометрические функции»
«Тригонометрические Функции и их свойства»
Пугачева А.В., учитель математики МКОУ «В(С)ОШ №4 при ИК»
г. Мариинска, Кемеровской области
«Изучите азы науки, прежде чем взойти на ее вершины. Никогда не бе- ритесь за последующее, не усвоив предыдущее» .
И.П Павлов
y x
График функции
у
х
О
Свойства функции
Свойства функции
Область определения
Область определения
Точки пересечения графика с осями
координат
координат
Четность / нечетность
Четность / нечетность
Промежутки
Промежутки
возрастания
возрастания
монотонности
нечетная
монотонности
нечетная
убывания
убывания
Экстремумы
Экстремумы
Периодичность
Периодичность
Промежутки знакопостоянства
Промежутки знакопостоянства
Множество значений
Множество значений
y x
График функции
у
х
О
Свойства функции
Свойства функции
Область определения
Область определения
Точки пересечения графика с осями
Точки пересечения графика с осями
координат
координат
Четность / нечетность
Четность / нечетность
Промежутки монотонности
Промежутки монотонности
возрастания
возрастания
убывания
убывания
Экстремумы
Экстремумы
Периодичность
Периодичность
Промежутки знакопостоянства
Промежутки знакопостоянства
Множество значений
Множество значений
График функции
ytg x
Свойства функции
Свойства функции
Область определения
Область определения
Точки пересечения графика с осями
Точки пересечения графика с осями
координат
координат
Четность / нечетность
Четность / нечетность
Промежутки
Промежутки
возрастания
нечетная
монотонности
нечетная
возрастания
монотонности
убывания
убывания
Экстремумы
Экстремумы
Периодичность
Периодичность
Промежутки знакопостоян-cтва
Промежутки знакопостоян-cтва
Множество значений
Множество значений
у
О
х
Свойства функции
Свойства функции
Область определения
Область определения
Точки пересечения графика с осями
Точки пересечения графика с осями
координат
координат
Четность / нечетность
Четность / нечетность
Промежутки
Промежутки
монотонности
возрастания
монотонности
возрастания
нечетная
нечетная
Экстремумы
убывания
убывания
Экстремумы
Периодичность
Периодичность
Промежутки знакопостоян-cтва
Промежутки знакопостоян-cтва
Множество значений
Множество значений
График функции
ytg x
у
х
О
1. График какой функции изображен на рисунке?
у
1
х
О
-1
1) ycos x
2) y2 cos x
3) y2cos x
4) y2 sin x
2. График какой функции изображен на рисунке?
у
О
х
1) y x
2) y 2x
4) ycos x
3) y 2x
3. График какой функции изображен на рисунке?
у
х
О
1) y2cos x
2) ycos(x+
3) ycos x+ 1
4) ycos(x+
Проверка графического диктанта:
Самостоятельная работа.
Проверим:
I вариант.
II вариант.
I группа
1) Постройте график функции:
а) у=
б) у= 3
период функции:
у(х)=
II группа
1) Постройте график функции
а) у=
б) у= 2
2) Найдите наименьший положительный
период функции:
у(х)=cos5х
Проверим:
I группа
у
у=
х
О
у= 3
у
х
Проверим:
II группа
у
у=
х
О
у
у=
х
I группа
Используем формулу для синуса разности двух углов
и получим
у(х)==
Т=2
II группа
Используем формулу для косинуса разности двух углов
и получим
у(х)==
Наименьший положительный период функции равен
Т=2
Тема урока: тригонометрические функции, их свойства и графики.
Тип урока: изучения и первичного закрепления новых знаний.
Форма обучения: классно-урочная.
Форма деятельности: фронтальная и индивидуальная.
Цель урока: знакомство с тригонометрическими функциями; формирование знаний и умений в построение графиков тригонометрических функций.
Задачи урока:
1. Образовательные:
Дать определения тригонометрическим функциям;
Рассмотреть основные свойства тригонометрических функций;
Показать графики тригонометрических функций.
2. Развивающие:
Способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;
Предвидеть возможные ошибки и способы их устранения;
Способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи.
3. Воспитательные:
Способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;
Способствовать развитию самостоятельности мышления;
В целях решения задач эстетического воспитания содействовать в ходе урока опрятному и грамотному построению графиков функций.
Методы обучения: словесные методы (рассказ, объяснение); наглядные методы (демонстрация, ТСО); практические методы.
Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разработка урока по модульной технологии содержит конспект первого урока по теме: "Показательная функция"...
Бинарный урок был проведен в муниципальном казенном общеобразовательном учреждении "общеобразовательная школа №30" г. Белгорода. В данном образовательном учреждении обучаются дети с ограниченными возм...
На этом уроке мы рассмотрим основные тригонометрические функции, их свойства и графики , а также перечислим основные типы тригонометрических уравнений и систем . Кроме этого, укажем общие решения простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи .
Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В5 и С1 .
Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы.
Теория
Конспект урока
Тригонометрические функции и их свойства
Мы с вами уже многократно применяли термин «тригонометрическая функция». Еще на первом уроке этой темы мы определили их с помощью прямоугольного треугольника и единичной тригонометрической окружности. Используя такие способы задания тригонометрических функций, мы уже можем сделать вывод, что для них одному значению аргумента (или угла) соответствует строго одно значение функции, т. е. мы вправе называть синус, косинус, тангенс и котангенс именно функциями.
На этом уроке самое время попробовать абстрагироваться от рассмотренных ранее способов вычисления значений тригонометрических функций. Сегодня мы перейдем к привычному алгебраическому подходу работы с функциями, мы рассмотрим их свойства и изобразим графики.
Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:
Область определения и область значений, т. к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;
Периодичность всех тригонометрических функций, т. к. мы уже отмечали наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.
Функция синус и ее график
Рассмотрим функцию:
1) Область определения ;
2) Область значений 
;
3) Функция нечетная 
;
Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Кроме того, для построения полезно помнить значения синусов нескольких основных табличных углов, например, что . Это позволит построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т. е. на .
Функция косинус и ее график
Теперь рассмотрим функцию:
Основные свойства этой функции:
1) Область определения ;
2) Область значений ;
3) Функция четная 
Из этого следует симметричность графика функции относительно оси ординат;
4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;
5) Функция периодична с периодом .
Построим график функции . Как и при построении синуса удобно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Также нанесем на график координаты нескольких точек, для чего необходимо помнить значения косинусов нескольких основных табличных углов, например, что . С помощью этих точек мы можем построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т. е. на .
Функция тангенс и ее график
Перейдем к функции:
Основные свойства этой функции:
1) Область определения кроме , где . Мы уже указывали в предыдущих уроках, что не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период тангенса;
2) Область значений , т. е. значения тангенса не ограничены;
3) Функция нечетная 
;
4) Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса, которые мы сейчас увидим на рисунке;
5) Функция периодична с периодом .
Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т. е. и т. д. Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает. Все ветки изображаем одинаково, т. к. функция имеет период, равный . Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на вдоль оси абсцисс.
Функция котангенс и ее график
И завершаем рассмотрением функции:
Основные свойства этой функции:
1) Область определения кроме , где . По таблице значений тригонометрических функций мы уже знаем, что не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период котангенса;
2) Область значений , т. е. значения котангенса не ограничены;
3) Функция нечетная 
;
4) Функция монотонно убывает в пределах своих веток, которые похожи на ветки тангенса;
5) Функция периодична с периодом .
Построим график функции . При этом, как и для тангенса, удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т. е. и т. д. Далее изображаем ветки котангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. В этом случае учитываем, что каждая ветка монотонно убывает. Все ветки аналогично тангенсу изображаем одинаково, т. к. функция имеет период, равный .
Вычисление периодов тригонометрических функций со сложным аргументом
Отдельно следует отметить тот факт, что у тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:
У них период равен . И о функциях:
У них период равен .
Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.
Подробнее разобраться и понять, откуда берутся эти формулы, вы сможете в уроке про построение и преобразование графиков функций.
Тригонометрические уравнения и методы их решения
Мы подошли к одной из самых главных частей темы «Тригонометрия», которую мы посвятим решению тригонометрических уравнений. Умение решать такие уравнения важно, например, при описании колебательных процессов в физике. Представим, что вы на спортивной машине проехали несколько кругов на картинге, определить сколько времени вы уже участвуете в гонке в зависимости от положения машины на трассе поможет решение тригонометрического уравнения.
Запишем простейшее тригонометрическое уравнение:
Решением такого уравнения являются аргументы, синус которых равен . Но мы уже знаем, что из-за периодичности синуса таких аргументов существует бесконечное множество. Таким образом, решением этого уравнения будут и т. п. То же самое относится и к решению любого другого простейшего тригонометрического уравнения, их будет бесконечное количество.
Тригонометрические уравнения делятся на несколько основных типов. Отдельно следует остановиться на простейших, т. к. все остальные к ним сводятся. Таких уравнений четыре (по количеству основных тригонометрических функций). Для них известны общие решения, их необходимо запомнить.
Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения выглядят следующим образом:
Обратите внимание, что на значения синуса и косинуса необходимо учитывать известные нам ограничения. Если, например, , то уравнение не имеет решений и применять указанную формулу не следует.
Кроме того, указанные формулы корней содержат параметр в виде произвольного целого числа . В школьной программе это единственный случай, когда решение уравнения без параметра содержит в себе параметр. Это произвольное целое число показывает, что можно выписать бесконечное количество корней любого из указанных уравнений просто подставляя вместо по очереди все целые числа.
Ознакомиться с подробным получением указанных формул вы можете, повторив главу «Тригонометрические уравнения» в программе алгебры 10 класса.
Отдельно необходимо обратить внимание на решение частных случаев простейших уравнений с синусом и косинусом. Эти уравнения имеют вид:
К ним не следует применять формулы нахождения общих решений. Такие уравнения удобнее всего решаются с использованием тригонометрической окружности, что дает более простой результат, чем формулы общих решений.
Например, решением уравнения является 
. Попробуйте сами получить этот ответ и решить остальные указанные уравнения.
Кроме указанного наиболее часто встречающегося типа тригонометрических уравнений существуют еще несколько стандартных. Перечислим их с учетом тех, которые мы уже указали:
1) Простейшие , например, ;
2) Частные случаи простейших уравнений , например, ;
3) Уравнения со сложным аргументом
, например, 
;
4) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя , например, ;
5) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций , например, ;
6) Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены , например, ;
7) Однородные уравнения , например, ;
8) Уравнения, которые решаются с использованием свойств функций
, например, 
. Пусть вас не пугает, что в этом уравнении две переменные, оно при этом решается;
А также уравнения, которые решаются с использованием различных методов.
Системы тригонометрических уравнений и методы их решения
Кроме решения тригонометрических уравнений необходимо уметь решать и их системы.
Наиболее часто встречаются системы следующих типов:
1) В которых одно из уравнений степенное
, например, 
;
2) Системы из простейших тригонометрических уравнений
, например, 
.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основные тригонометрические функции, их свойства и графики. А также познакомились с общими формулами решения простейших тригонометрических уравнений, указали основные типы таких уравнений и их систем.
В практической части урока мы разберем методы решения тригонометрических уравнений и их систем.
Вставка 1. Решение частных случаев простейших тригонометрических уравнений .
Как мы уже говорили в основной части урока частные случаи тригонометрических уравнений с синусом и косинусом вида:
имеют более простые решения, чем дают формулы общих решений.
Для этого используется тригонометрическая окружность. Разберем метод их решения на примере уравнения .
Изобразим на тригонометрической окружности точку, в которой значение косинуса равно нулю, оно же является координатой по оси абсцисс. Как видим, таких точек две. Наша задача указать чему равен угол, который соответствует этим точкам на окружности.
 |
Начинаем отсчет от положительного направления оси абсцисс (оси косинусов) и при откладывании угла попадаем в первую изображенную точку, т. е. одним из решений будет это значение угла. Но нас же еще устраивает угол, который соответствует второй точке. Как попасть в нее?
Для этого необходимо к уже отложенному углу добавить развернутый угол . Второй угол, который является решением уравнения, равен . Но нельзя забывать, что это еще не все, т. к. мы можем построить угол больший полного круга, и он еще раз попадет в первую точку и также будет решением нашего уравнения. Для этого необходимо прибавить ко второму вычисленному углу еще раз , и получим значение . Продолжать эти действия можно бесконечное количество раз.
Если выписать первые три полученных нами корня уравнения, то можно увидеть закономерность:
, , , …и выписать формулу для всех корней:
Как видим, эта формула действительно выглядит проще общего решения уравнения с косинусом, хотя бы потому, что в ней отсутствует «». Однако это не значит, что общая формула даст неверное решение.
Аналогично можно получить решения для всех остальных указанных частных случаев тригонометрических уравнений.
1) Алгебра 9 класс: "Функция y=sinx, её свойства и график"
2) Алгебра 9 класс: "Функция y=cosx. Её свойства и график"
3) Алгебра 9 класс: "Функция y=cos t, её свойства и график"
4) Алгебра 9 класс: "Простейшие тригонометрические уравнения и сопутствующие задачи"
5) Алгебра 9 класс: "Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=sinx"
6) Алгебра 9 класс: "Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=cosx"
7) Алгебра 10 класс: "Функция y=sinx, ее основные свойства и график"
8) Алгебра 10 класс: "Функция y=sinx, её свойства, график и типовые задачи"
9) Алгебра 10 класс: "Функция y=cos t, её основные свойства и график"
10) Алгебра 10 класс: "Функция y=cos t, её свойства, график и типовые задачи"
11) Алгебра 10 класс: "Периодичность функций y=sin t, y=cos t"
12) Алгебра 10 класс: "Как построить график функции y=mf(x), если известен график функции y=f(x)"
13) Алгебра 10 класс: "Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)"
14) Алгебра 10 класс: "Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x). Примеры построения"
15) Алгебра 10 класс: "График гармонического колебания"
16) Алгебра 10 класс: "Функция y=tgx, ее свойства и график"
17) Алгебра 10 класс: "Функция y=сtgx, ее свойства и график"
18) Алгебра 10 класс: "Первые представления о решении тригонометрических уравнений"
19) Алгебра 10 класс: "Простейшие тригонометрические уравнения"
