Исследование уравнений и неравенств с параметром введение. Методика формирования умений решать уравнения и неравенства с параметрами в курсе основной общеобразовательной школе

06.11.2019

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области средняя общеобразовательная

школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино

муниципального района Клявлинский

Самарской области

« Уравнения

неравенства

с параметрами»

учебное пособие

Клявлино

Учебное пособие

« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов

данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)

Авторы

Ромаданова Ирина Владимировна

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Сербаева Ирина Алексеевна

Введение……………………………………………………………3-4

Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9

Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15

Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17

Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…...16-18

Задачи ЕГЭ………………………………………………………...18-20

Задания для самостоятельной работы…………………………...21-28

Введение.

Уравнения и неравенства с параметрами.

Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:

Выделить особое значение - это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.

Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.

Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:

1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.

Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.

Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.

Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.

§ 1. Линейные уравнения и неравенства.

Линейное уравнение а x = b , записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a , b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра a является значение а = 0.

b = 0 является особым значением параметра b .

При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.

При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0 . Решением данного уравнения является любое действительное число.

Неравенства вида ах > b и ax < b (а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток

(; +), если a > 0 , и (-;) , если а < 0 . Аналогично для неравенства

ах < b множество решений – промежуток (-;), если a > 0, и (; +), если а < 0.

Пример 1. Решить уравнение ах = 5

Решение : Это линейное уравнение.

Если а = 0 , то уравнение 0 × х = 5 решения не имеет.

Если а ¹ 0, х = - решение уравнения.

Ответ : при а ¹ 0, х=

при а = 0 решения нет.

Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.

Решение: Это линейное уравнение, ах – 6 = 2а – 3х (1)

ах + 3х = 2а +6

Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3) , рассмотрим два случая:

а= -3 и а ¹ -3.

Если а= -3 , то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а ¹ -3 , уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.

Ответ: При а = -3, х R ; при а ¹ -3, х = 2.

Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1 ?

Решение : Решим уравнение 2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение

2(а - 2) х = а 2 – 4а +4

2(а - 2) х = (а – 2) 2

При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.

При а ¹ 2 х =
. По условию х > 1 , то есть
>1, а > 4.

Ответ: При а {2} U (4;∞).

Пример 4 . Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.

Решение. ах = 8 – линейное уравнение.

y = a – семейство горизонтальных прямых;

y = - графиком является гипербола. Построим графики этих функций.

Ответ: Если а =0 , то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0 , то уравнение имеет одно решение.

Пример 5 . С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:

|х| = ах – 1.

y =| х | ,

y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).

Построим графики этих функций.

Ответ:При|а|>1 - один корень

при | а| ≤1 – уравнение корней не имеет.

Пример 6 . Решить неравенство ах + 4 > 2х + а 2

Решение : ах + 4 > 2х + а 2
(а – 2) х > а 2 – 4. Рассмотрим три случая.

Ответ. х > а + 2 при а > 2; х <а + 2, при а < 2; при а=2 решений нет.

§ 2. Квадратные уравнения и неравенства

Квадратное уравнение – это уравнение вида ах ² + b х + с = 0 , где а≠ 0,

а, b , с – параметры.

Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:

1 ) дискриминанта квадратного уравнения: D = b ² - 4 ac , (
²- ас)

2) формул корней квадратного уравнения: х 1 =
, х 2 =
,

(х 1,2 =
)

Квадратными называются неравенства вида

a х 2 + b х + с > 0, a х 2 + b х + с< 0, (1), (2)

a х 2 + b х + с ≥ 0, a х 2 + b х + с ≤ 0, (3), (4)

Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , a х 2 + b х + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).

Если дискриминант квадратного трехчлена a х 2 + b х + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х R .

Если квадратный трехчлен имеет корни (х 1 < х 2 ), то при а > 0 он положителен на множестве (-; х 2 )
(х 2; +) и отрицателен на интервале

(х 1 ; х 2 ). Если а < 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1 ; х 2 ) и отрицателен при всех х (-; х 1 )
(х 2; +).

Пример 1. Решить уравнение ах² - 2 (а – 1)х – 4 = 0 .

Это квадратное уравнение

Решение : Особое значение а = 0.

При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0 . Оно имеет единственный корень х = 2.

При а ≠ 0. Найдем дискриминант.

D = (а-1)² + 4а = (а+1)²

Если а = -1, то D = 0 – один корень.

Найдем корень, подставив вместо а = -1.

-х² + 4х – 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.

Если а ≠ - 1 , то D >0 . По формуле корней получим: х=
;

х 1 =2, х 2 = -.

Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и

а ≠ - 1 уравнение имеет два корня х 1 =2, х 2 =-.

Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а

y = х²-2х-8 - графиком является парабола;

y =а - семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

Ответ: При а <-9 , уравнение решений не имеет; при а=-9, уравнение имеет одно решение; при а>-9 , уравнение имеет два решения.

Пример 3. При каких а неравенство (а – 3) х 2 – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х?

Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если

а-3 > 0 и D <0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, откуда следует, что a > 6 .

Ответ. a > 6

§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,

сводящиеся к линейным

Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.

В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 1. Решить уравнение
= 0

Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2

х – а = 0, х = а.

Ответ: При а ≠ - 2, х=а

При а = -2 корней нет.

Пример 2 . Решить уравнение
-
=
(1)

Это дробно- рациональное уравнение

Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.

Найдем дискриминант = (1 – а)² - (а² - 2а – 3)= 4, находим корни уравнения х 1 = а + 1, х 2 = а - 3.

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых

х 1 +1=0, х 1 +2=0, х 2 +1=0, х 2 +2=0.

Если х 1 +1=0, то есть (а+1) + 1= 0 , то а= -2. Таким образом,

при а= -2 , х 1 -

Если х 1 +2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = - 3 . Таким образом, при а = - 3, х 1 - посторонний корень уравнения. (1).

Если х 2 +1=0, то есть (а – 3) + 1= 0 , то а = 2 . Таким образом, при а = 2 х 2 - посторонний корень уравнения (1).

Если х 2 +2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1 . Таким образом, при а = 1,

х 2 - посторонний корень уравнения (1).

В соответствии с этим при а = - 3 получаем х = - 3 – 3 = -6 ;

при а = - 2 х = -2 – 3= - 5;

при а = 1 х =1 + 1= 2;

при а = 2 х=2+1 = 3.

Можно записать ответ.

Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2 , то х= -5 ; 3) если а= 0 , то корней нет; 4) если а= 1 , то х= 2; 5) если а=2 , то х=3 ; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х 1 = а + 1, х 2 = а-3.

§4. Иррациональные уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.

Уравнение вида
=g (x ) равносильно системе

Неравенство f (x ) ≥ 0 следует из уравнения f (x ) = g 2 (x ).

При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:

≤ g(x)

≥g(x)

Пример 1. Решите уравнение
= х + 1 (3)

Это иррациональное уравнение

Решение: По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе
.

При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5 , то есть не имеет решений.

При а≠ 2 х=
. Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

откуда а ≤ или а > 2.

Ответ: При а≤, а > 2 х=
, при < а ≤ 2 уравнение решений не имеет.

Пример 2. Решить уравнение
= а (приложение 4)

Решение. y =

y = а – семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

Ответ : при а<0 –решений нет;

при а ≥ 0 – одно решение.

Пример 3 . Решим неравенство (а+1)
<1.

Решение. О.Д.З. х ≤ 2 . Если а+1 ≤0 , то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х . Если же а+1>0 , то

(а+1)
<1.

<

откуда х (2-
2

Ответ. х (- ;2 при а (-;-1, х (2-
2

при а (-1;+).

§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

Sinx = a
x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1. (2)

Если >1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют.

tg x = a
x= arctg a + πn, n Z, aR

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z, aR

Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:

1. sin x > a
arcsin a + 2 πn Z,

при a <-1, xR ; при a ≥ 1, решений нет.

2. . sin x < a
π - arcsin a + 2 πnZ,

при а≤-1, решений нет; при а >1, xR

3. cos x > a
- arccos a + 2 πn < x < arccos a + 2 πn , n Z ,

при а<-1, xR ; при a ≥ 1 , решений нет.

4. cos x arccos a+ 2 πnZ,

при а≤-1 , решений нет; при a > 1, x R

5. tg x > a, arctg a + πnZ

6. tg x < a, -π/2 + πn Z

Пример1. Найти а , при которых данное уравнение имеет решение:

Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

Решение. Запишем уравнение в виде

с os 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(а+1) =0, решая его как квадратное, получаем cosx = 5-а и cosx = -а-1.

Уравнение cosx = 5- а имеет решения при условии -1≤ 5- а ≤1
4≤ а ≤ 6, а уравнение cosx = - а-1 при условии -1≤ -1- а ≤ 1
-2 ≤ а ≤0.

Ответ. а -2; 0
4; 6

Пример 2. При каких b найдется а такое, что неравенство
+ b > 0 выполняется при всех х ≠ πn , n Z .

Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b >0. Покажем теперь, что ни одно b ≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π /2, если а <0, и х = - π /2 при а ≥0.

Ответ. b> 0

§ 6. Показательные уравнения и неравенства

1. Уравнение h (x ) f ( x ) = h (x ) g ( x ) при h (x ) > 0 равносильно совокупности двух систем
и

2. В частном случае (h (x )= a ) уравнение а f (x ) = а g (x ) при а > 0, равносильно совокупности двух систем

3. Уравнение а f (x ) = b , где а > 0, a ≠1, b >0, равносильно уравнению

f (x )= log a b . Случай а =1 рассматриваем отдельно.

Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида f (a x ) > 0 при помощи замены переменной t = a x сводится к решению системы неравенств
а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.

При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f (x ) , предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.

Пример 1 . При каких а уравнение 8 х =
имеет только положительные корни?

Решение. По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0
8 х >1

>1

>0, откуда a (1,5;4).

Ответ. a (1,5;4).

Пример 2. Решить неравенство a 2 ∙2 x > a

Решение . Рассмотрим три случая:

1. а< 0 . Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых хR .

2. a =0. Решений нет.

3. а > 0 . a 2 ∙2 x > a
2 x >
x > - log 2 a

Ответ. хR при а > 0; решений нет при a =0; х (- log 2 a ; +) при а> 0 .

§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства

Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств.

1. Уравнение log f (x ) g (x ) = log f (x ) h (x ) равносильно системе

В частности, если а >0, а ≠1, то

log a g (x)= log a h(x)

2. Уравнение log a g (x)=b
g (x)= a b ( а >0, a ≠ 1, g(x) >0).

3. Неравенство log f ( x ) g (x ) ≤ log f ( x ) h (x ) равносильно совокупности двух систем:
и

Если а, b – числа, а >0, а ≠1, то

log a f (x) ≤ b

log a f (x) > b

Пример 1. Решите уравнение

Решение . Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение

logх – 2 = 4 – log a x
logх + log a x – 6 = 0, откуда log a x = - 3

х = а -3 и log a x = 2
х = а 2 . Условие х = а 4
а – 3 = а 4 или а 2 = а 4 не выполняется на ОДЗ.

Ответ: х = а -3 , х = а 2 при а (0; 1)
(1; ).

Пример 2 . Найдите наибольшее значение а , при котором уравнение

2 log -
+ a = 0 имеет решения.

Решение. Выполним замену
= t и получим квадратное уравнение 2 t 2 – t + a = 0. Решая, найдем D = 1-8 a . Рассмотрим D ≥0, 1-8 а ≥0
а ≤.

При а = квадратное уравнение имеет корень t = >0.

Ответ. а =

Пример 3 . Решить неравенство log (x 2 – 2 x + a ) > - 3

Решение. Решим систему неравенств

Корни квадратных трехчленов х 1,2 = 1 ±
и х 3,4 = 1 ±
.

Критические значения параметра: а = 1 и а = 9.

Пусть Х 1 и Х 2 – множества решений первого и второго неравенств, тогда

Х 1
Х 2 = Х – решение исходного неравенства.

При 0< a <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), при а > 1 Х 1 = (-;+).

При 0 < a < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), при а ≥9 Х 2 – решений нет.

Рассмотрим три случая:

1. 0< a ≤1 Х = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. a ≥ 9 Х – решений нет.

Задачи ЕГЭ

Высокий уровень С1, С2

Пример 1. Найдите все значения р , при которых уравнение

р ∙ ctg 2 x + 2sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.

Решение. Преобразуем уравнение

р ∙ (
- 1) + 2sinx + p = 3, sinx =t , t
, t 0.

- p + 2 t + p = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = p .

Пусть f (y ) = 3 t 2 – 2 t 3 . Найдем множество значений функции f (x ) на

. у / = 6 t – 6 t 2 , 6 t - 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. f (-1) = 5, f (1) = 1.

При t
, E (f ) =
,

При t
, E (f ) =
, то есть при t

, E (f ) =
.

Чтобы уравнение 3 t 2 – 2 t 3 = p (следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно p E (f ), то есть p
.

Ответ.
.

Пример 2.

При каких значениях параметра а уравнение log
(4 x 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 имеет ровно один корень?

Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:

4x 2 – 4a + a 2 +7 = (х 2 + 2) 2 .

Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.

Найдем а .

4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.

Проверка.

1) a 1 = 1. Тогда уравнение имеет вид: log
(4 x 2 +4) =2. Решаем его

4x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2 , 4x 2 + 4 = х 4 + 4x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 – единственный корень.

2) a 2 = 3. Уравнение имеет вид: log
(4 x 2 +4) =2
х = 0 – единственный корень.

Ответ. 1; 3

Высокий уровень С4, С5

Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение

х 2 – (р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х 3 – 7р х 2 + 2х 2 – 14 р х - 3х +21 р ≤ 0.

Решение. Пусть х 1, х 2 – целые корни уравнения х 2 – (р + 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х 1 + х 2 = р + 3, х 1 ∙ х 2 = 1. Произведение двух целых чисел х 1 , х 2 может равняться единице только в двух случаях: х 1 = х 2 = 1 или х 1 = х 2 = - 1. Если х 1 = х 2 = 1, то р + 3 = 1+1 = 2
р = - 1; если х 1 = х 2 = - 1, то р + 3 = - 1 – 1 = - 2
р = - 5. Проверим являются ли корни уравнения х 2 – (р + 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая р = - 1, х 1 = х 2 = 1 имеем

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – верно; для случая р = - 5, х 1 = х 2 = - 1 имеем (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1) – 3 ∙ (- 1) + 21∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = - 1 и р = - 5.

Ответ. р 1 = - 1 и р 2 = - 5.

Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а , при которых число 1 принадлежит области определения функции

у = (а
- а
).

Курсовая работа

Исполнитель: Бугров С К.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

Неравенство

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство

¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

Находим область определения данного неравенства.

Сводим неравенство к уравнению.

Выражаем а как функцию от х.

В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

Исследуем влияние параметра на результат.

найдём абсциссы точек пересечения графиков.

зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥

Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

§3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы

а значения и находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.

Находим область допустимых значений –

Построим график функции в системе координат хОу.

при неравенство решений не имеет.

при для решение х удовлетворяет соотношению , где

Ответ: Решения неравенства существуют при

Где , причем при решения ; при решения .

IV. Решить неравенство

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству:

Разложим числитель на множители.

т. к. то

Разделим обе части равенства на при . Но является решением: левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .

3. Строим в ПСК хОа графики функций

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

		неравенство:

5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.

при

при решений нет

при

Список литературы

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.

Урок по элективному курсу

по теме: «Решение уравнений и неравенств с параметрами»

(Урок обобщения и повторения)

Цель: 1.Повторить и обобщить знания учащихся методов решения уравнений и неравенств с параметрами; закрепить умения применять знания при решении конкретных заданий; 2. Развивать логическое мышление; 3.Воспитывать внимание и аккуратность.

План урок: I. Организационный момент_________________________2 мин.

II. Актуализация опорных знаний:

Повторение__________________________________3 мин.
Устная работа________________________________3 мин.
Работа по карточкам (во время 1 и 2)

III. Решение упражнений___________________________22 мин.

IY. Выполнение теста______________________________8 мин.

Y. Подведение итогов, постановка домашнего задания__2 мин.

Х о д у р о к а:

I. Организационный момент .

Учитель: - Здравствуйте, ребята. Приятно вас всех видеть, мы начинаем наш урок. Сегодня на уроке наша цель - повторить и отработать знания, умения и навыки, полученные на прошлых уроках при изучении данной темы.

II . Актуализация опорных знаний:

1) Повторение.

Учитель: - Итак, повторим.

Что называется линейным уравнением с параметрами?

Какие случаи мы рассматривали при решении таких уравнений?

Приведите примеры линейных уравнений с параметрами.

Приведите примеры линейных неравенств с параметрами.

2) Устная работа.

Задание: Приведите данное уравнение к линейному виду.

На доске:

а) 3а х – 1 =2 х ;

б) 2+5 х = 5а х ;

в) 2 х – 4 = а х + 1.

3) Работа по карточкам.

III . Решение упражнений.

Задание 1. Решить уравнение с параметром а.

3(ах + 1) + 1 = 2(а – х) + 1.

Задание выполняется на доске и в тетрадях.

Задание 2. При каком значении а, прямая у = 7ах + 9, проходит через

т. А(-3;2) ?

Задание выполняется самостоятельно у доски одним учеником. Остальные работают в тетрадях, затем сверяются с доской.

Физкульт. минутка.

Задание 3. При каком значении а, уравнение 3(ах – а) = х – 1 имеет

Бесконечно много решений?

Данное задание предлагается решить самостоятельно учащимся в тетрадях. Затем проверить ответы.

Задание 4. При каком значении параметра а , сумма корней уравнения

2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 равна 1?

Задание выполняется комментированием с места.

Задание 5. Решите неравенство с параметром р :

р(5х – 2)

Данное задание выполняется у доски и в тетрадях.

IY. Выполнение теста.

Учащимся выдаются индивидуальные листы с заданиями:

1) Является ли уравнение 6(ах + 1) + а = 3(а – х) + 7 линейным?

А) да; б) нет; в) можно привести к линейному

2) Уравнение (2ах + 1)а = 5а – 1 приведено к виду линейного уравнения

А) нет; б) да;

3) При каком значении параметра а прямая у = ах – 3 проходит через

Т. А(-2;9) ?

А) а = 1/6; б) а = 1/2; в) а = -6; г) а = 6.

4) При каком а уравнение 2ах + 1 = х имеет корень, равный -1?

а) а = -1; б) а = 0; в) а = 1; г) а = 1/2.

5) Если у квадратного уравнения ах² + вх + с = 0 Д ах² + вх + с >0 зависит от

А) значения в ; б) значения а ; в) значения -в/а ;

г) не имеет решений.

О т в е т ы к т е с т у: в; а; в; в; б.

YII. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Учитель: - Сегодня на уроке мы повторили и закрепили знания, полученные на прошлых уроках, отработали необходимые умения при выполнении различных заданий. Я думаю, что вы поработали хорошо, молодцы.

Кроме поставленных за урок оценок, можно оценить работу на уроке еще ряда учащихся.

Учитель : - Запишите домашнее задание:

На доске:

Решить неравенство: х² - 2ах + 4 > 0.

Урок окончен.

Человек, умеющий решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет ее применять не механически, а с логикой. Он «понимает» функцию, «чувствует» ее, считает ее своим другом или хотя бы хорошим знакомым, а не просто знает о ее существовании.

Что же такое уравнение с параметром? Пусть дано уравнение f (x; a) = 0. Если ставится задача отыскать все такие пары (x; a), которые удовлетворяют данному уравнению, то оно рассматривается как уравнение с двумя равноправными переменными х и а. Но можно поставить и другую задачу, полагая переменные неравноправными. Дело в том, что если придать переменной а какое-либо фиксированное значение, то f (x; a) = 0 превращается в уравнение с одной переменной х, и решения этого уравнения, естественно, зависят от выбранного значения а.

Основная трудность, связанная с решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем: -при одних значениях параметра уравнение не имеет решений; -при других – имеет бесконечно много решений; -при третьих – оно решается по одним формулам; - при четвертых – оно решается по другим формулам. - Если уравнение f (x; a) = 0 нужно решить относительно переменной Х, а под a понимается произвольное действи- тельное число, то уравнение называют уравнением с параметром a.

Решить уравнение с параметром f (x; a) = 0 – это решить семейство уравнений, получающихся из уравнения f (x; a) = 0 при любых действительных значениях параметра. Уравнение с параметром – это, по сути дела, краткая запись бесконечного семейства урав- нений. Каждое из уравнений семейства полу- чается из данного уравнения с параметром при конкретном значении параметра. Поэтому задачу решения уравнения с параметром можно сформулировать следующим образом:

Выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно, но тем не менее каждое уравнение из бесконечного семейства должно быть решено. Сделать это, например, можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества, а затем заданное уравнение решить на каждом из этих подмножеств. Решение линейных уравнений

Чтобы разбить множество значений параметра на подмножества, полезно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра можно назвать контрольными или особыми. Искусство решения уравнения с параметрами как раз и состоит в том, чтобы уметь находить контрольные значения параметра.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы, ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Но иногда прямое решение является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Например, найти значения параметра, при которых: 1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка; 2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Основные способы (методы) решения задач с параметром. Способ I (аналитический). Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости Оху, или в координатной плоскости Оха. Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Пример 1. Найти значения параметра а, при которых уравнение а(2а + 3)х + а 2 = а 2 х + 3а имеет единственный отрицательный корень. Решение. Данное уравнение равносильно следующему:. Если а(а + 3) 0, то есть а 0, а –3, то уравнение имеет единственный корень х =. х

Пример 2. Решите уравнение. Решение. Так как знаменатель дроби не может равняться нулю, имеем (b – 1)(x + 3) 0, то есть b 1, x –3. Умножив обе части уравнения на (b – 1)(x + 3) 0, получаем уравнение: Это уравнение является линейным относительно переменной х. При 4b – 9 = 0, то есть b = 2,25 уравнение принимает вид: При 4b – 9 0, то есть b 2,25 корень уравнения x =. Теперь надо проверить, нет ли таких значений b, при которых найденное значение х равно –3. Таким образом, при b 1, b 2,25, b –0,4 уравнение имеет единственный корень x =. О т в е т: при b 1, b 2,25, b –0,4 корень x = при b = 2,25, b = –0,4 решений нет; при b = 1 уравнение не имеет смысла.

Типы задач 2 и 3 отличает то, что при их решении не требуется получить явное решение, а нужно лишь найти те значения параметра, при которых это решение удовлетворяет тем или иным условиям. Примерами таких условий для решения могут служить следующие: существует решение; не существует решения; существует единственное решение; существует положительное решение; существует ровно k решений; существует решение, принадлежащее указанному промежутку. В этих случаях оказывается очень полезен графический способ решения задач с параметрами.

Можно выделить две разновидности применения графического метода при решении уравнения f (х) = f (а): На плоскости Оху рассматриваются график у = f (х) и семейство графиков у = f (а). Сюда же относятся задачи, решаемые с помощью «пучка прямых». Этот способ оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными и одним параметром. На плоскости Оха (которую называют также фазовой) рассматриваются графики, в которых х – аргумент, а а – значение функции. Этот способ обычно применяется в задачах, в которых фигурируют лишь одна неизвестная и один параметр (или сводящиеся к таким).

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 = а имеет не менее трех корней? Решение. Построим графики функций f (х) = 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 и f (х) = а в одной системе координат. Имеем: f "(х) = 12х х 2 – 24х = 12х(х + 2)(х – 1), f "(х) = 0 при х = –2 (точка минимума), при х = 0 (точка максимума) и при х = 1 (точка максимума). Найдем значения функции в точках экстремума: f (–2) = –32, f (0) = 0, f (1) = –5. Строим схематически график функции с учетом точек экстремума. Графическая модель позволяет ответить на поставленный вопрос: уравнение 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 = а имеет не менее трех корней, если –5

Пример 2. Сколько корней при различных значениях параметра а имеет уравнение? Решение. Ответ на поставленный вопрос связан с числом точек пересечения графика полуокружности у = и прямой у = х + а. Прямая, являющаяся касательной, имеет формулу у = х +. Заданное уравнение не имеет корней при а; имеет один корень при –2

Пример3. Сколько решений имеет уравнение |х + 2| = ах + 1 в зависимости от параметра а? Решение. Можно построить графики у = |х + 2| и у = ах + 1. Но мы поступим иначе. При х = 0 (21) решений нет. Разделим уравнение на х: и рассмотрим два случая:1)х > –2 или х=2 2)2) х –2 или х=2 2)2) х

Пример использования «пучка прямых» на плоскости. Найдите значения параметра a, при которых уравнение |3x + 3| = ax + 5 имеет единственное решение. Решение. Уравнение |3x + 3| = ax + 5 равносильно следующей системе: Уравнение y – 5 = a(x – 0) задает на плоскости пучок прямых с центром A (0; 5). Проведем прямые из пучка прямых, которые будут параллельны сторонам уголка, являющегося графиком y = |3x + 3|. Эти прямые l и l 1 пересекают в одной точке график y = |3x + 3|. Уравнения этих прямых y = 3x + 5 и у = –3х + 5. Кроме того, всякая прямая из пучка, расположенная между этими прямыми, также будет пересекать график y = |3x + 3| в одной точке. Значит, искомые значения параметра [–3; 3].

Алгоритм решения уравнений с использованием фазовой плоскости: 1. Находим область определения уравнения. 2. Выражаем параметр а как функцию от х. 3. В системе координат хОа строим график функции а = f(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения. 4. Находим точки пересечения прямой а = с, где с є (-; +) с графиком функции а = f(х). Если прямая а = с пересекает график а = f(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а = f(х) относительно х. 5.Записываем ответ.

Пример решения неравенства с помощью «фазовой плоскости». Решите неравенство х. Решение.По равносильному переходу Теперь на плоскости Оха построим графики функций Точки пересечения параболы и прямой х 2 – 2х = –2х х = 0. Условие а –2х автоматически выполняется при а х 2 – 2х Таким образом, в левой полуплоскости (х

Муниципальное автономное общеобразовательное учереждение «Лицей №1» г. Новтроицка

Исследовательская работа

Методы решения уравнений и неравенств с параметром

Математическое моделирование

Выполнил:

ученик 11 А класса МОАУ

«Лицей №1»

Руководитель:

учитель высшей

Новотроицк

Введение. 3

Параметр. 5

Методы решения тригонометрических уравнений с параметром. 9

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. 17

Методы решения систем уравнений и неравенств. 22

Заключение. 31

Список используемой литературы.. 32

Введение

Уравнения с параметром вызывают большие затруднения у учащихся 9-11 классов. Это связано с тем, что решение таких уравнений требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и техники исследования.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:

· обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;

· возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр, различными способами.

Актуальность темы обуславливается недостаточным содержанием задач по данной теме в учебнике «Алгебра 11 класс ».

Важность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами как и при сдачи Единого Государственного экзамена, так и при вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Объект исследования : задачи с параметрами.

Цель данной работы :

Выявить, обосновать и наглядно показать способы решения всех типов уравнений с параметрами;

Решить уравнения с параметрами;

Углубить теоретические знания по решению уравнений с параметрами;

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Дать определения понятиям уравнение с параметрами;

2. Показать способы решения уравнений с параметрами.

Достоинство моей работы заключается в следующем: указываются алгоритмы решения уравнений с параметрами; задачи часто встречаются на различных экзаменах и олимпиадах. Работа поможет ученикам сдать Единый Государственный Экзамен.

Мои действия:

1. Подобрать и изучить литературу;

2. Решить подобранные задачи;

Параметр

Имеется несколько определений параметра:

- Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой задаче меняет свои значения (, - «Толковый словарь математических терминов»).

- Переменныеa , b , c , …, k , которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством), содержащим параметры (– «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону «Феникс» 1997).

Решение большинства уравнений, содержащих параметр, сводится к квадратным уравнениям с параметром . Следовательно, чтобы научиться решать показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и системы уравнений с параметром, нужно сначала приобрести навыки решения квадратных уравнений с параметром .

Уравнение вида ax 2 + bx + c =0 , где х – неизвестная, a, b, c – выражения, зависящие только от параметров, а¹0, называется квадратным уравнением относительно х. Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых a, b, c действительны.

Контрольные значения параметра

Для решения квадратных уравнений с параметром необходимо находить контрольные значения параметра.

Контрольные значения параметра – те значения, при которых обращается в 0:

Старший коэффициент в уравнении или в неравенстве;

Знаменатели в дроби;

Дискриминант квадратного двучлена.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром:

1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.

3. Преобразовать уравнение-следствие к виду https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - действительные числа или функции от параметра.

4. Решить полученное уравнение, рассмотрев случаи:

а) ; б) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" height="75">х=2b+1

Так как х должен лежать на промежутке от 1 до 6, то:
1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1

1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98">