Formula za volumen krnje piramide. Formule volumena za punu i skraćenu piramidu

• 22.09.2014

  Princip rada. Kada pritisnete tipku prve znamenke SA1 koda, okidač DD1.1 će se prebaciti i napon će se pojaviti na ulazu D okidača DD1.2 visoka razina. Stoga, kada pritisnete sljedeću tipku koda SA2, okidač DD1.2 mijenja svoje stanje i priprema sljedeći okidač za prebacivanje. U slučaju daljnjeg ispravnog skupa, okidač DD2.2 će raditi zadnji, i ...

• 03.10.2014

  Predloženi uređaj stabilizira napon do 24V i struju do 2A sa zaštitom od kratkog spoja. U slučaju nestabilnog pokretanja stabilizatora, treba koristiti sinkronizaciju iz autonomnog generatora impulsa (Sl. 2. Krug stabilizatora prikazan je na slici 1. Schmittov okidač je sastavljen na VT1 VT2, koji upravlja snažnim regulacijskim tranzistorom VT3. Detalji: VT3 je opremljen hladnjakom ...

• 20.09.2014

  Pojačalo (vidi sliku) izrađeno je prema tradicionalnoj shemi s automatskim pristranošću na svjetiljkama: izlaz - AL5, drajveri - 6G7, kenotron - AZ1. Dijagram jednog od dva kanala stereo pojačala prikazan je na slici 1. Iz kontrole glasnoće signal ulazi u mrežu žarulje 6G7, pojačava se, a s anode ove svjetiljke, kroz izolacijski kondenzator C4, dovodi se do ...

• 15.11.2017

  NE555 - univerzalni mjerač vremena - uređaj za formiranje (generiranje) pojedinačnih i ponavljajućih impulsa sa stabilnim vremenskim karakteristikama. To je asinkroni RS flip-flop sa specifičnim ulaznim pragovima, precizno definiranim analognim komparatorima i ugrađenim djeliteljem napona (precizni Schmittov okidač s RS flip-flopom). Koristi se za izradu raznih generatora, modulatora, vremenskih releja, pragova i dr.

Sposobnost izračunavanja volumena prostornih figura važna je pri rješavanju niza praktični zadaci po geometriji. Jedan od najčešćih oblika je piramida. U ovom članku ćemo razmotriti piramide, pune i krnje.

Piramida kao trodimenzionalni lik

Svi znaju za egipatske piramide, dakle, dobro je predstavljeno o kojoj će brojci biti riječi. Ipak, egipatske kamene građevine samo su poseban slučaj goleme klase piramida.

Geometrijski objekt koji se razmatra u općem slučaju je poligonalna baza čiji je svaki vrh povezan s nekom točkom u prostoru koja ne pripada osnovnoj ravnini. Ova definicija vodi do lika koji se sastoji od jednog n-kuta i n trokuta.

Bilo koja piramida se sastoji od n+1 lica, 2*n bridova i n+1 vrhova. Budući da je figura koja se razmatra savršeni poliedar, brojevi označenih elemenata odgovaraju Eulerovoj jednadžbi:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligon koji se nalazi u bazi daje naziv piramide, na primjer, trokutasta, peterokutna i tako dalje. Skup piramida s različitim bazama prikazan je na fotografiji ispod.

Točka u kojoj su spojeni n trokuta lika naziva se vrh piramide. Ako se okomica spusti s nje na bazu i ona je siječe u geometrijskom središtu, tada će se takav lik zvati ravnom linijom. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, postoji nagnuta piramida.

Ravni lik, čiju bazu čini jednakostranični (jednakokutni) n-kut, naziva se pravilnim.

Formula volumena piramide

Za izračunavanje volumena piramide koristimo integralni račun. Da bismo to učinili, dijelimo lik po sekantnim ravninama paralelnim s bazom u beskonačan broj tankih slojeva. Na donjoj slici prikazana je četverokutna piramida visine h i duljine stranice L, u kojoj je tanak presječni sloj označen četverokutom.

Površina svakog takvog sloja može se izračunati po formuli:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Ovdje je A 0 površina baze, z je vrijednost vertikalne koordinate. Može se vidjeti da ako je z = 0, onda formula daje vrijednost A 0 .

Da biste dobili formulu za volumen piramide, trebali biste izračunati integral po cijeloj visini figure, to jest:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Zamjenom ovisnosti A(z) i izračunavanjem antiderivata dolazimo do izraza:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Dobili smo formulu za volumen piramide. Da biste pronašli vrijednost V, dovoljno je pomnožiti visinu figure s površinom baze, a zatim rezultat podijeliti s tri.

Imajte na umu da je rezultirajući izraz valjan za izračunavanje volumena piramide proizvoljnog tipa. Odnosno, može biti nagnuta, a baza mu može biti proizvoljan n-kut.

i njegov volumen

Primljeno u gornjem stavku opća formula jer se volumen može pročistiti u slučaju piramide s pravilnom bazom. Površina takve baze izračunava se sljedećom formulom:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Ovdje je L duljina stranice pravilan poligon s n vrhova. Simbol pi je broj pi.

Zamjenom izraza za A 0 u opću formulu, dobivamo volumen ispravna piramida:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Na primjer, za trokutasta piramida ova formula dovodi do sljedećeg izraza:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Za pravilnu četverokutnu piramidu, formula volumena ima oblik:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Određivanje volumena pravilnih piramida zahtijeva poznavanje stranice njihove baze i visine figure.

Piramida skraćena

Pretpostavimo da smo uzeli proizvoljnu piramidu i odrezali dio njene bočne površine koja sadrži vrh. Preostala figura naziva se krnja piramida. Već se sastoji od dvije n-kutne baze i n trapeza koji ih povezuju. Ako je rezna ravnina bila paralelna s bazom figure, tada se formira skraćena piramida s paralelnim sličnim bazama. Odnosno, duljine stranica jedne od njih mogu se dobiti množenjem duljina druge s nekim koeficijentom k.

Na gornjoj slici prikazan je skraćeni pravilan, a vidi se da njegovu gornju bazu, kao i donju, čini pravilan šesterokut.

Formula koja se može izvesti korištenjem integralnog računa sličnog gore navedenom je:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Gdje su A 0 i A 1 površine donje (velike) i gornje (male) baze. Varijabla h označava visinu krnje piramide.

Volumen Keopsove piramide

Zanimljivo je riješiti problem određivanja volumena koji sadrži najveća egipatska piramida.

Godine 1984. britanski egiptolozi Mark Legner (Mark Lehner) i John Goodman (Jon Goodman) ustanovili su točne dimenzije Keopsove piramide. Njegova izvorna visina bila je 146,50 metara (trenutačno oko 137 metara). Prosječna duljina svake od četiri strane konstrukcije bila je 230.363 metra. Osnova piramide je kvadratna s velikom preciznošću.

Zadanim brojkama odredimo volumen ovog kamenog diva. Budući da je piramida pravilna četverokutna, za nju vrijedi formula:

Ubacivanjem brojeva dobivamo:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Volumen Keopsove piramide je gotovo 2,6 milijuna m 3. Za usporedbu, napominjemo da olimpijski bazen ima volumen od 2,5 tisuća m 3. Odnosno, za popunjavanje cijele Keopsove piramide bit će potrebno više od 1000 takvih bazena!

- Ovo je poliedar, koji je formiran od baze piramide i presjeka paralelnog s njom. Možemo reći da je krnja piramida piramida s odsječenim vrhom. Ova figura ima mnoga jedinstvena svojstva:

• Bočne strane piramide su trapezi;
• Bočna rebra pravilne krnje piramide iste su duljine i nagnuta prema bazi pod istim kutom;
• Baze su slični poligoni;
• U pravilnoj skraćenoj piramidi lica su ista jednakokračni trapezi, čija je površina jednaka. Također su nagnuti prema bazi pod jednim kutom.

Formula za površinu bočne površine krnje piramide je zbroj površina njezinih stranica:

Budući da su stranice skraćene piramide trapezi, morat ćete koristiti formulu za izračunavanje parametara trapezoidno područje. Za pravilnu skraćenu piramidu može se primijeniti još jedna formula za izračunavanje površine. Budući da su sve njegove stranice, lica i kutovi u bazi jednaki, moguće je primijeniti perimetre baze i apoteme, te također izvesti površinu kroz kut u bazi.

Ako se, prema uvjetima u pravilnoj krnjoj piramidi, daju apotema (visina stranice) i duljine stranica baze, tada se površina može izračunati kroz poluproizvod zbroja opsega osnove i apotema:

Pogledajmo primjer izračunavanja bočne površine krnje piramide.
Zadana je pravilna peterokutna piramida. Apotema l\u003d 5 cm, duljina lica u velikoj bazi je a\u003d 6 cm, a lice je na manjoj bazi b\u003d 4 cm. Izračunajte površinu skraćene piramide.

Prvo, pronađimo perimetre baza. Budući da nam je dana peterokutna piramida, razumijemo da su baze peterokuti. To znači da su baze lik s pet identičnih strana. Pronađite opseg veće baze:

Na isti način nalazimo opseg manje baze:

Sada možemo izračunati površinu pravilne skraćene piramide. Podatke zamjenjujemo u formulu:

Tako smo izračunali površinu pravilne skraćene piramide kroz perimetre i apotemu.

Drugi način za izračunavanje bočne površine pravilne piramide je formula kroz uglove u bazi i područje ovih samih baza.

Pogledajmo primjer izračuna. Zapamtite da se ova formula odnosi samo na pravilnu skraćenu piramidu.

Neka ispravan četverokutna piramida. Lice donje baze je a = 6 cm, a lice gornje b = 4 cm. Diedralni kut na bazi je β = 60°. Pronađite bočnu površinu pravilne krnje piramide.

Prvo, izračunajmo površinu baza. Budući da je piramida pravilna, sva lica baza su međusobno jednaka. S obzirom da je baza četverokut, razumijemo da će biti potrebno izračunati kvadratna površina. To je umnožak širine i duljine, ali na kvadrat, ove vrijednosti su iste. Pronađite površinu veće baze:


Sada koristimo pronađene vrijednosti za izračunavanje bočne površine.

Poznavajući nekoliko jednostavnih formula, lako smo izračunali površinu bočnog trapeza krnje piramide kroz različite vrijednosti.