Važan parametar za rješavanje sustava jednadžbi je. Rješavanje jednadžbi s parametrom u matematici

1. Sustavi linearne jednadžbe s parametrom

Sustavi linearnih jednadžbi s parametrom rješavaju se istim osnovnim metodama kao i konvencionalni sustavi jednadžbi: metodom zamjene, metodom zbrajanja jednadžbi i grafičkom metodom. Poznavanje grafičke interpretacije linearni sustavi olakšava odgovor na pitanje o broju korijena i njihovom postojanju.

Primjer 1

Pronađite sve vrijednosti za parametar a za koji sustav jednadžbi nema rješenja.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Riješenje.

Pogledajmo nekoliko načina za rješavanje ovog problema.

1 način. Koristimo svojstvo: sustav nema rješenja ako je omjer koeficijenata ispred x jednak omjeru koeficijenata ispred y, ali nije jednak omjeru slobodnih članova (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). tada imamo:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ili sustav

(i 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Iz prve jednadžbe a 2 \u003d 4, dakle, uzimajući u obzir uvjet da je a ≠ 2, dobivamo odgovor.

Odgovor: a = -2.

2 način. Rješavamo metodom supstitucije.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Nakon uzimanja zajedničkog faktora y iz zagrada u prvoj jednadžbi, dobivamo:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Sustav nema rješenja ako prva jednadžba nema rješenja, tj

(i 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Očito je da je a = ±2, ali uzimajući u obzir drugi uvjet, daje se samo odgovor s minusom.

Odgovor: a = -2.

Primjer 2

Pronađite sve vrijednosti za parametar a za koji sustav jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.

(8x + ay = 2,
(os + 2y = 1.

Riješenje.

Po svojstvu, ako je omjer koeficijenata na x i y jednak, i jednak je omjeru slobodnih članova sustava, tada ima beskonačan broj rješenja (tj. a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Stoga je 8/a = a/2 = 2/1. Rješavajući svaku od dobivenih jednadžbi, nalazimo da je \u003d 4 odgovor u ovom primjeru.

Odgovor: a = 4.

2. Sustavi racionalnih jednadžbi s parametrom

Primjer 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Riješenje.

Pomnožite prvu jednadžbu sustava s 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Oduzmite drugu jednadžbu od prve, dobit ćemo 5|x| = 4 – a. Ova će jednadžba imati jedinstveno rješenje za a = 4. U drugim slučajevima, ova će jednadžba imati dva rješenja (za< 4) или ни одного (при а > 4).

Odgovor: a = 4.

Primjer 4

Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Riješenje.

Ovaj sustav ćemo riješiti grafičkom metodom. Dakle, graf druge jednadžbe sustava je parabola, podignuta duž osi Oy za jedan jedinični segment. Prva jednadžba definira skup pravaca paralelnih s pravcem y = -x (slika 1). Slika jasno pokazuje da sustav ima rješenje ako je pravac y \u003d -x + a tangenta na parabolu u točki s koordinatama (-0,5; 1,25). Zamjenom ovih koordinata u jednadžbu ravne linije umjesto x i y, nalazimo vrijednost parametra a:

1,25 = 0,5 + a;

Odgovor: a = 0,75.

Primjer 5

Metodom zamjene saznajte pri kojoj vrijednosti parametra a sustav ima jedinstveno rješenje.

(sjekira - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Riješenje.

Izrazite y iz prve jednadžbe i zamijenite ga drugom:

(y \u003d ah - a - 1,
(sjekira + (a + 2) (sjekira - a - 1) = 2.

Drugu jednadžbu dovodimo do oblika kx = b, koja će imati jedinstveno rješenje za k ≠ 0. Imamo:

sjekira + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Kvadratni trinom a 2 + 3a + 2 može se predstaviti kao umnožak zagrada

(a + 2)(a + 1), a s lijeve strane izvadimo x iz zagrada:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Očito, a 2 + 3a ne smije biti jednako nuli, dakle,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, što znači a ≠ 0 i ≠ -3.

Odgovor: a ≠ 0; ≠ -3.

Primjer 6

Metodom grafičkog rješenja odredite pri kojoj vrijednosti parametra a sustav ima jedinstveno rješenje.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Riješenje.

Na temelju uvjeta gradimo kružnicu sa središtem u ishodištu i polumjerom 3 jedan segment, upravo je to određeno prvom jednadžbom sustava

x 2 + y 2 = 9. Druga jednadžba sustava (y = |x| + a) je izlomljena linija. Preko slika 2 razmatramo sve moguće slučajeve njegovog položaja u odnosu na krug. Lako je vidjeti da je a = 3.

Odgovor: a = 3.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti sustave jednadžbi?
Za pomoć učitelja - registrirajte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

Jednadžba tipa f(x; a) = 0 se zove jednadžba varijable x i parametar a.

Riješite jednadžbu s parametrom a To znači da za svaku vrijednost a pronaći vrijednosti x zadovoljavajući ovu jednadžbu.

Primjer 1 Oh= 0

Primjer 2 Oh = a

Primjer 3

x + 2 = ax
x - sjekira \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2

Ako 1 - a= 0, tj. a= 1, dakle x 0 = -2 nema korijena

Ako 1 - a 0, tj. a 1, dakle x =

Primjer 4

(a 2 – 1) x = 2a 2 + a – 3
(a – 1)(a + 1)x = 2(a – 1)(a – 1,5)
(a – 1)(a + 1)x = (1a – 3)(a – 1)

Ako a= 1, zatim 0 x = 0
x- bilo koji pravi broj

Ako a= -1, zatim 0 x = -2
nema korijena

Ako a 1, a-1 onda x= (jedino rješenje).

To znači da za svaku valjanu vrijednost a odgovara jednoj vrijednosti x.

Na primjer:

ako a= 5, dakle x = = ;

ako a= 0, dakle x= 3 itd.

Didaktički materijal

1. Oh = x + 3

2. 4 + Oh = 3x – 1

3. a = +

na a= 1 nema korijena.

na a= 3 nema korijena.

na a = 1 x bilo koji pravi broj osim x = 1

na a = -1, a= 0 nema rješenja.

na a = 0, a= 2 nema rješenja.

na a = -3, a = 0, 5, a= -2 nema rješenja

na a = -S, S= 0 nema rješenja.

Kvadratne jednadžbe s parametrom

Primjer 1 riješiti jednadžbu

(a – 1)x 2 = 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0

Na a = 1 6x + 7 = 0

Kada a 1 odaberite one vrijednosti parametra za koje D ide na nulu.

D = (2(2 a + 1)) 2 – 4(a – 1)(4a + 30 = 16a 2 + 16a + 4 – 4(4a 2 + 3a – 4a – 3) = 16a 2 + 16a + 4 – 16a 2 + 4a + 12 = 20a + 16

20a + 16 = 0

20a = -16

Ako a < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.

Ako a> -4/5 i a 1, dakle D > 0,

x =

Ako a= 4/5, dakle D = 0,

Primjer 2 Pri kojim vrijednostima parametra a jednadžba

x 2 + 2( a + 1)x + 9a– 5 = 0 ima 2 različita negativna korijena?

D = 4( a + 1) 2 – 4(9a – 5) = 4a 2 – 28a + 24 = 4(a – 1)(a – 6)

4(a – 1)(a – 6) > 0

prema t. Vieta: x 1 + x 2 = -2(a + 1)
x 1 x 2 = 9a – 5

Po uvjetu x 1 < 0, x 2 < 0 то –2(a + 1) < 0 и 9a – 5 > 0

Naposljetku

4(a – 1)(a – 6) > 0 - 2(a + 1) < 0 9a – 5 > 0

a < 1: а > 6 a > - 1 a > 5/9

(Riža. jedan) < a < 1, либо a > 6

Primjer 3 Pronađite vrijednosti a za koje ova jednadžba ima rješenje.

x 2 - 2( a – 1)x + 2a + 1 = 0

D = 4( a – 1) 2 – 4(2a + 10 = 4a 2 – 8a + 4 – 8a – 4 = 4a 2 – 16a

4a 2 – 16 0

4a(a – 4) 0

a( a – 4)) 0

a( a – 4) = 0

a = 0 ili a – 4 = 0
a = 4

(Riža. 2)

Odgovor: a 0 i a 4

Didaktički materijal

1. Po kojoj vrijednosti a jednadžba Oh 2 – (a + 1) x + 2a– 1 = 0 ima jedan korijen?

2. Po kojoj vrijednosti a jednadžba ( a + 2) x 2 + 2(a + 2)x+ 2 = 0 ima jedan korijen?

3. Za koje vrijednosti a je jednadžba ( a 2 – 6a + 8) x 2 + (a 2 – 4) x + (10 – 3a – a 2) = 0 ima više od dva korijena?

4. Za koje vrijednosti jednadžbe 2 x 2 + x – a= 0 ima barem jedan zajednički korijen s jednadžbom 2 x 2 – 7x + 6 = 0?

5. Za koje vrijednosti a rade jednadžbe x 2 +Oh+ 1 = 0 i x 2 + x + a= 0 imaju barem jedan zajednički korijen?

1. Kada a = - 1/7, a = 0, a = 1

2. Kada a = 0

3. Kada a = 2

4. Kada a = 10

5. Kada a = - 2

Eksponencijalne jednadžbe s parametrom

Primjer 1.Pronađi sve vrijednosti a, za koji je jednadžba

9 x - ( a+ 2) * 3 x-1 / x +2 a*3 -2/x = 0 (1) ima točno dva korijena.

Riješenje. Množenjem obje strane jednadžbe (1) s 3 2/x dobivamo ekvivalentnu jednadžbu

3 2(x+1/x) – ( a+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 a = 0 (2)

Neka je 3 x+1/x = na, tada jednadžba (2) poprima oblik na 2 – (a + 2)na + 2a= 0, ili

(na – 2)(na – a) = 0, odakle na 1 =2, na 2 = a.

Ako na= 2, tj. 3 x + 1/x = 2 tada x + 1/x= log 3 2 , ili x 2 – x log 3 2 + 1 = 0.

Ova jednadžba nema pravi korijen jer je D= log 2 3 2 – 4< 0.

Ako na = a, tj. 3 x+1/x = a zatim x + 1/x= zapisnik 3 a, ili x 2 –x log 3 a + 1 = 0. (3)

Jednadžba (3) ima točno dva korijena ako i samo ako

D = log 2 3 2 – 4 > 0, ili |log 3 a| > 2.

Ako je log 3 a > 2, onda a> 9, a ako je log 3 a< -2, то 0 < a < 1/9.

Odgovor: 0< a < 1/9, a > 9.

Primjer 2. Pri kojim vrijednostima jednadžbe 2 2x - ( a - 3) 2 x - 3 a= 0 ima rješenja?

Da bi zadana jednadžba ima rješenja, potrebno je i dovoljno da jednadžba t 2 – (a - 3) t – 3a= 0 ima barem jedan pozitivan korijen. Pronađimo korijene koristeći Vietin teorem: x 1 = -3, x 2 = a = >

a je pozitivan broj.

Odgovor: kada a > 0

Didaktički materijal

1. Pronađite sve vrijednosti a za koje je jednadžba

25 x - (2 a+ 5) * 5 x-1 / x + 10 a* 5 -2/x = 0 ima točno 2 rješenja.

2. Za koje vrijednosti a vrijedi jednadžba

2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 ima jedan korijen?

3. Za koje vrijednosti parametra a jednadžba

4 x - (5 a-3) 2 x +4 a 2 – 3a= 0 ima jedinstveno rješenje?

Logaritamske jednadžbe s parametrom

Primjer 1 Pronađite sve vrijednosti a, za koji je jednadžba

log 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)

ima jedinstveno rješenje.

Riješenje. Jednadžba (1) je ekvivalentna jednadžbi

1 + Oh = 2x na x > 0, x 1/4 (3)

x = na

au 2 - na + 1 = 0 (4)

Uvjet (2) iz (3) nije zadovoljen.

Neka a 0, dakle au 2 – 2na+ 1 = 0 ima realne korijene ako i samo ako D = 4 – 4a 0, tj. na a 1. Za rješavanje nejednakosti (3) konstruiramo grafove funkcija Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Detaljno proučavanje kolegija algebre i matematičke analize. - M.: Prosvjeta, 1990

Kramor V.S.. Ponavljamo i organiziramo školski tečaj algebra i počeci analize. – M.: Prosvjeta, 1990.

Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I.. Zbirka zadataka iz algebre. – M.: Prosvjeta, 1994.

Zvavich L.I., Hatter L.Ya. Algebra i počeci analize. Rješenje ispitnih zadataka. – M.: Drfa, 1998.

Makarychev Yu.N. i dr. Didaktički materijali o algebri 7, 8, 9 ćelija. - M .: Obrazovanje, 2001.

Saakyan S.I., Goldman A.M., Denisov D.V. Zadaci iz algebre i počeci analize za 10.–11. razred. – M.: Prosvjeta, 1990.

Časopisi "Matematika u školi".

L.S. Lappo i dr. UPOTREBA. Vodič. - M .: Ispit, 2001-2008.

Cilj:

• ponoviti rješenje sustava linearnih jednadžbi s dvije varijable
• definirati sustav linearnih jednadžbi s parametrima
• podučava rješavanje sustava linearnih jednadžbi s parametrima.

Tijekom nastave

1. Organiziranje vremena
2. Ponavljanje
3. Obrazloženje nova tema
4. Sidrenje
5. Sažetak lekcije
6. Domaća zadaća

2. Ponavljanje:

I. Linearna jednadžba s jednom varijablom:

1. Definirajte linearnu jednadžbu s jednom varijablom

[Jednadžba poput ax=b, gdje je x varijabla, a a i b neki brojevi, naziva se linearna jednadžba s jednom varijablom]

2. Koliko korijena može imati linearna jednadžba?

[- Ako je a=0, b0, tada jednadžba nema rješenja, x

Ako je a=0, b=0, tada je x R

Ako je a0, tada jednadžba ima jedinstveno rješenje, x =

3. Saznajte koliko korijena ima jednadžba (po opcijama)

II. Linearna jednadžba s 2 varijable i sustav linearnih jednadžbi s 2 varijable.

1. Definirajte linearnu jednadžbu u dvije varijable. Navedite primjer.

[Linearna jednadžba s dvije varijable je jednadžba oblika ax + by=c, gdje su x i y varijable, a, b i c su neki brojevi. Na primjer, x-y=5]

2. Što se naziva rješenjem jednadžbe s dvije varijable?

[Rješenje jednadžbe s dvije varijable je par vrijednosti varijabli koji ovu jednadžbu pretvara u pravu jednakost.]

3. Je li par vrijednosti varijabli x = 7, y = 3 rješenje jednadžbe 2x + y = 17?

4. Kako se naziva graf jednadžbe s dvije varijable?

[Graf jednadžbe s dvije varijable skup je svih točaka koordinatne ravnine čije su koordinate rješenja ove jednadžbe.]

5. Saznajte kakav je graf jednadžbe:

[Varijablu y izražavamo u terminima x: y \u003d -1,5x + 3

Formula y \u003d -1,5x + 3 je linearna funkcija, čiji je graf ravna linija. Budući da su jednadžbe 3x + 2y \u003d 6 i y \u003d -1,5x + 3 ekvivalentne, ova linija je također graf jednadžbe 3x + 2y \u003d 6]

6. Kakav je graf jednadžbe ax + by \u003d c s varijablama x i y, gdje je a0 ili b0?

[Graf linearne jednadžbe s dvije varijable, u kojoj barem jedan od koeficijenata varijabli nije jednak nuli, je ravna crta.]

7. Što se naziva rješenjem sustava jednadžbi s dvije varijable?

[Rješenje sustava jednadžbi s dvije varijable je par vrijednosti varijabli koji svaku jednadžbu sustava pretvara u pravu jednakost]

8. Što znači riješiti sustav jednadžbi?

[Riješiti sustav jednadžbi znači pronaći sva njegova rješenja ili dokazati da rješenja nema.]

9. Saznajte ima li takav sustav uvijek rješenje, i ako ima, koliko (grafički).

10. Koliko rješenja može imati sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije varijable?

[Jedino rješenje je ako se linije sijeku; nema rješenja ako su pravci paralelni; beskonačno mnogo ako se linije podudaraju]

11. Koja jednadžba obično postavlja ravnu crtu?

12. Uspostavite odnos između nagiba i slobodnih članova:

I opcija: y=-x+2 y=-x-3, k 1 = k 2 , b 1 b 2, nema rješenja;

II opcija: y=-x+8 y=2x-1, k 1 k 2 , jedno rješenje;

III opcija: y=-x-1 y=-x-1, k 1 = k 2 , b 1 = b 2, mnogo rješenja.

Zaključak:

1. Ako su nagibi pravaca koji su grafovi ovih funkcija različiti, tada se ti pravci sijeku i sustav ima jedinstveno rješenje.
2. Ako su nagibi pravaca isti, ali su točke presjeka s osi y različite, tada su pravci paralelni i sustav nema rješenja.
3. Ako su nagibi i točke presjeka s y-osi isti, tada se linije poklapaju i sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

Na ploči je tablica koju učitelj postupno ispunjava zajedno s učenicima.

III. Objašnjenje nove teme.

Definicija: Pregledni sustav

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x+B 2 y=C 2

gdje su A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 izrazi koji ovise o parametrima, a x i y su nepoznati, naziva se sustavom dva linearna algebarske jednadžbe s dvije nepoznanice u parametrima.

Mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako je , tada sustav ima jedinstveno rješenje

2) Ako je , tada sustav nema rješenja

3) Ako , tada sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

IV. Sidrenje

Primjer 1

Pri kojim vrijednostima parametra a sustav

• 2x - 3y = 7
• sjekira - 6y = 14

a) ima beskonačan broj rješenja;

b) ima jedinstveno rješenje

Odgovor:

a) ako je a=4, tada sustav ima beskonačan broj rješenja;

b) ako a4, onda postoji samo jedno rješenje.

Primjer 2

Riješite sustav jednadžbi

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Rješenje: a) , tj. za m1 sustav ima jedinstveno rješenje.

b), tj. za m=1 (2=m+1) i n1 izvorni sustav rješenja nema

c) , za m=1 i n=1 sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

Odgovor: a) ako je m=1 i n1, onda nema rješenja

b) m=1 i n=1, tada je rješenje beskonačan skup

• y - bilo koji
• x=n-2y

c) ako su m1 i n bilo koji, onda

Primjer 3

• ax-3ay=2a+3
• x+ay=1

Rješenje: Iz jednadžbe II nalazimo x \u003d 1-ay i zamijenimo jednadžbu u I

a(1-ay)-3ay=2a+3

a-a 2 y-3ay \u003d 2a + 3

A 2 y-3ay \u003d a + 3

A(a+3)y=a+3

Mogući slučajevi:

1) a=0. Tada jednadžba ima oblik 0 * y \u003d 3 [y]

Dakle, za a=0 sustav nema rješenja

2) a=-3. Tada je 0*y=0.

Stoga, na . U ovom slučaju, x \u003d 1-ay \u003d 1 + 3y

3) a0 i a-3. Tada je y=-, x=1-a(-=1+1=2

Odgovor:

1) ako je a \u003d 0, tada (x; y)

2) ako je a \u003d -3, tada x \u003d 1 + 3y, y

3) ako a0 i a?-3, tada x=2, y=-

Razmotrimo drugi način rješavanja sustava (1).

Sustav (1) rješavamo algebarskom metodom zbrajanja: prvo pomnožimo prvu jednadžbu sustava s B 2, drugu s - B 1 i zbrojimo ove jednadžbe po član, isključujući tako varijablu y:

Jer A 1 B 2 -A 2 B 1 0, tada je x =

Sada maknimo x. Da bismo to učinili, pomnožimo prvu jednadžbu sustava (1) s A 2, a drugu s - A 1 i zbrojimo obje jednadžbe član po član:

• A 1 A 2 x + A 2 B 1 y \u003d A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y \u003d -A 1 C 2
• y (A 2 B 1 -A 1 B 2) \u003d A 2 C 1 -A 1 C 2

jer A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y \u003d

Radi praktičnosti rješavanja sustava (1) uvodimo oznaku:

- glavna odrednica

Sada se rješenje sustava (1) može zapisati pomoću determinanti:

Gore navedene formule nazivaju se Cramerove formule.

Ako je , tada sustav (1) ima jedinstveno rješenje: x=; y=

Ako , ili , tada sustav (1) nema rješenja

Ako , , , , tada sustav (1) ima beskonačan skup rješenja.

U tom slučaju sustav treba dodatno istražiti. U ovom se slučaju, u pravilu, svodi na jednu linearnu jednadžbu. U tom slučaju, često je prikladno proučavati sustav na sljedeći način: rješavanjem jednadžbe pronađemo određene vrijednosti parametara ili izrazimo jedan od parametara u terminima drugih i zamijenimo te vrijednosti parametara u sustav. Tada dobivamo sustav s određenim brojčanim koeficijentima ili s manjim brojem parametara, koji se moraju istražiti.

Ako koeficijenti A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , sustava ovise o nekoliko parametara, onda je prikladno istražiti sustav pomoću determinanti sustava.

Primjer 4

Za sve vrijednosti parametra a riješite sustav jednadžbi

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Rješenje: Pronađite determinantu sustava:

\u003d (a + 5) (5a + 6) - (3a + 10) (2a + 3) \u003d 5a 2 + 31a + 30-6a 2 -29a-30 \u003d -a 2 + 2a \u003d a (2 -a)

\u003d (3a + 2) (5a + 6) - (2a + 4) (2a + 3) \u003d 15a 2 + 28a + 12-4a 2 -14a-12 \u003d 11a 2 + 14a \u003d a (11a + 14)

\u003d (a + 5) (2a + 4) - (3a + 10) (3a + 2) \u003d 2a 2 + 14a + 20-9a 2 -36a-20 \u003d -7a 2 -22a \u003d -a ( 7a + 22)

Upotreba jednadžbi je raširena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Jednadžbe je čovjek koristio od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. U matematici postoje zadaci u kojima je potrebno tražiti rješenja linearnih i kvadratne jednadžbe v opći pogled ili tražiti broj korijena koje jednadžba ima ovisno o vrijednosti parametra. Svi ovi zadaci s parametrima.

Razmotrite sljedeće jednadžbe kao ilustrativni primjer:

\[y = kx,\] gdje je \ - varijable, \ - parametar;

\[y = kx + b,\] gdje je \ - varijable, \ - parametar;

\[ax^2 + bx + c = 0,\] gdje je \ varijabla, \[a, b, c\] je parametar.

Rješavanje jednadžbe s parametrom znači, u pravilu, rješavanje beskonačnog skupa jednadžbi.

Međutim, pridržavajući se određenog algoritma, lako se mogu riješiti sljedeće jednadžbe:

1. Odredite "kontrolne" vrijednosti parametra.

2. Riješite izvornu jednadžbu za [\x\] s vrijednostima parametara navedenim u prvom odlomku.

3. Riješite izvornu jednadžbu za [\x\] s vrijednostima parametara koje se razlikuju od onih odabranih u prvom odlomku.

Recimo da je dana sljedeća jednadžba:

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

Nakon analize početnih podataka, jasno je da je \[\ge 0.\]

Pravilom modula \ izražavamo \

Odgovor: \ gdje \

Gdje mogu riješiti jednadžbu s parametrom na mreži?

Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatno online rješavač omogućit će vam rješavanje online jednadžbe bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je samo unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.

1. Sustavi linearnih jednadžbi s parametrom

Sustavi linearnih jednadžbi s parametrom rješavaju se istim osnovnim metodama kao i konvencionalni sustavi jednadžbi: metodom zamjene, metodom zbrajanja jednadžbi i grafičkom metodom. Poznavanje grafičke interpretacije linearnih sustava olakšava odgovor na pitanje o broju korijena i njihovom postojanju.

Primjer 1

Pronađite sve vrijednosti za parametar a za koji sustav jednadžbi nema rješenja.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Riješenje.

Pogledajmo nekoliko načina za rješavanje ovog problema.

1 način. Koristimo svojstvo: sustav nema rješenja ako je omjer koeficijenata ispred x jednak omjeru koeficijenata ispred y, ali nije jednak omjeru slobodnih članova (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). tada imamo:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ili sustav

(i 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Iz prve jednadžbe a 2 \u003d 4, dakle, uzimajući u obzir uvjet da je a ≠ 2, dobivamo odgovor.

Odgovor: a = -2.

2 način. Rješavamo metodom supstitucije.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Nakon uzimanja zajedničkog faktora y iz zagrada u prvoj jednadžbi, dobivamo:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Sustav nema rješenja ako prva jednadžba nema rješenja, tj

(i 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Očito je da je a = ±2, ali uzimajući u obzir drugi uvjet, daje se samo odgovor s minusom.

Odgovor: a = -2.

Primjer 2

Pronađite sve vrijednosti za parametar a za koji sustav jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.

(8x + ay = 2,
(os + 2y = 1.

Riješenje.

Po svojstvu, ako je omjer koeficijenata na x i y jednak, i jednak je omjeru slobodnih članova sustava, tada ima beskonačan broj rješenja (tj. a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Stoga je 8/a = a/2 = 2/1. Rješavajući svaku od dobivenih jednadžbi, nalazimo da je \u003d 4 odgovor u ovom primjeru.

Odgovor: a = 4.

2. Sustavi racionalnih jednadžbi s parametrom

Primjer 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Riješenje.

Pomnožite prvu jednadžbu sustava s 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Oduzmite drugu jednadžbu od prve, dobit ćemo 5|x| = 4 – a. Ova će jednadžba imati jedinstveno rješenje za a = 4. U drugim slučajevima, ova će jednadžba imati dva rješenja (za< 4) или ни одного (при а > 4).

Odgovor: a = 4.

Primjer 4

Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Riješenje.

Ovaj sustav ćemo riješiti grafičkom metodom. Dakle, graf druge jednadžbe sustava je parabola, podignuta duž osi Oy za jedan jedinični segment. Prva jednadžba definira skup pravaca paralelnih s pravcem y = -x (slika 1). Slika jasno pokazuje da sustav ima rješenje ako je pravac y \u003d -x + a tangenta na parabolu u točki s koordinatama (-0,5; 1,25). Zamjenom ovih koordinata u jednadžbu ravne linije umjesto x i y, nalazimo vrijednost parametra a:

1,25 = 0,5 + a;

Odgovor: a = 0,75.

Primjer 5

Metodom zamjene saznajte pri kojoj vrijednosti parametra a sustav ima jedinstveno rješenje.

(sjekira - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Riješenje.

Izrazite y iz prve jednadžbe i zamijenite ga drugom:

(y \u003d ah - a - 1,
(sjekira + (a + 2) (sjekira - a - 1) = 2.

Drugu jednadžbu dovodimo do oblika kx = b, koja će imati jedinstveno rješenje za k ≠ 0. Imamo:

sjekira + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Kvadratni trinom a 2 + 3a + 2 može se predstaviti kao umnožak zagrada

(a + 2)(a + 1), a s lijeve strane izvadimo x iz zagrada:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Očito, a 2 + 3a ne smije biti jednako nuli, dakle,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, što znači a ≠ 0 i ≠ -3.

Odgovor: a ≠ 0; ≠ -3.

Primjer 6

Metodom grafičkog rješenja odredite pri kojoj vrijednosti parametra a sustav ima jedinstveno rješenje.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Riješenje.

Na temelju uvjeta gradimo kružnicu sa središtem na početku koordinata i polumjerom od 3 jedinična segmenta, upravo ta kružnica postavlja prvu jednadžbu sustava

x 2 + y 2 = 9. Druga jednadžba sustava (y = |x| + a) je izlomljena linija. Preko slika 2 razmatramo sve moguće slučajeve njegovog položaja u odnosu na krug. Lako je vidjeti da je a = 3.

Odgovor: a = 3.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti sustave jednadžbi?
Da biste dobili pomoć od učitelja -.
Prva lekcija je besplatna!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.