Neka je prvi broj (I) s. Da bi njegov kvadrat * dao kvadrat kada se doda drugi broj, drugi broj mora biti 2s + 1, jer je u ovom slučaju ispunjen zahtjev zadatka: kvadrat prvog broja. presavijeni s drugom, daje

s2 + 2s + 1, odnosno puni kvadrat od (s + 1)2.

Kvadrat drugog broja dodan prvom mora također dati kvadrat, odnosno broj (2s + I) 2 + s, jednak

4s2 + 5s + 1 == t2

Pretpostavimo da je t = 2s -- 2; onda t 2 \u003d 4s 2 - 8s + 4. Ovaj izraz bi trebao biti jednak 4s 2 + 5s + 1. Dakle, trebao bi biti:

4s 2 -- 8s + 4 == 4s 2 + 5s + l odakle s=

Dakle, brojevi zadovoljavaju problem:

Ispitivanje;

Zašto Diofant pretpostavlja da je t==2s--2, on ne objašnjava. U svim svojim problemima (ima ih 189 u šest knjiga koje su do nas došle) iznosi ovu ili onu pretpostavku, ne dajući nikakvo opravdanje.

U Aritmetici postoji 189 zadataka, svaki s jednim ili više rješenja. Zadaci se postavljaju u općem obliku, zatim se uzimaju specifične vrijednosti količina koje su u njega uključene i daju se rješenja.

Ciljevi I. knjige su uglavnom određeni. Sadrži i one koje se rješavaju korištenjem sustava dviju jednadžbi s dvije nepoznanice, što je ekvivalentno kvadratnoj jednadžbi. Za svoju rješivost Diofant postavlja uvjet da diskriminanta bude savršen kvadrat. Dakle, problem 30 - pronaći dva broja tako da su njihova razlika i umnožak zadani brojevi - svodi se na sustav

x - y \u003d a, x \u003d b.

Diofant postavlja "uvjet formiranja": zahtijeva se da četverostruki umnožak brojeva, pridodan kvadratu njihove razlike, bude kvadrat, t.j.

4b + a 2 = s 2.

U knjizi II rješavaju se problemi vezani uz neodređene jednadžbe i sustave takvih jednadžbi s 2, 3, 4, 5, 6 nepoznanica stupnja koji nije veći od drugog.

Diofant koristi razne tehnike. Neka je potrebno riješiti neodređenu jednadžbu drugog stupnja s dvije nepoznanice f 2 (x, y)==0. Ako ima racionalno rješenje (x 0 ,y 0 ), tada Diofant uvodi zamjenu

pri čemu k racionalno. Nakon toga, glavna jednadžba se pretvara u kvadratnu u odnosu na t,čiji je slobodni član f 2 (x 0 , y 0 ) = 0. Iz jednadžbe ispada t 1 == 0 (Diofant odbacuje ovu vrijednost), t 2 je racionalan broj. Tada zamjena daje racionalno x i y.

U slučaju kada se problem sveo na jednadžbu

na 2 = sjekira 2 + bx + S, očito racionalno rješenje

x 0 = Oh, y 0 =±C. Diofantova zamjena izgleda ovako:

y=kt ± c

Diofant je koristio drugu metodu u rješavanju problema iz knjige II kada su doveli do jednadžbe na 2 == = a 2 x 2 + bx + S. Napravio je zamjenu

zatim x i na racionalno izražen kroz parametar k:

Diofant je, u biti, primijenio teorem, koji se sastoji u; da ako neodređena jednadžba ima barem jedno racionalno rješenje, tada će postojati beskonačan broj takvih rješenja, a vrijednosti x i na mogu se predstaviti kao racionalne funkcije nekog parametra"

U knjizi II nalaze se problemi riješeni uz pomoć "dvostruke nejednakosti", tj. sustava

cx + d == v 2 .

Diofant razmatra slučaj a= c, ali naknadno piše da se metoda može primijeniti i kada a : c = t 2 , Kada a\u003d\u003d c, Diofant, oduzimanjem jedne jednakosti od druge, dobiva i 2 --i 2 = b -- d. Onda razlika b -- d množio b -- d = n1 i izjednačava i + v = I, i -- v = n, nakon čega pronalazi

i \u003d (I + n) / 2, v \u003d (I - n) / 2, x - (l 2 + n 2) / 4a - (b + d) / 2a.

Ako se problem svede na sustav od dvije ili tri jednadžbe drugog stupnja, onda Diofant pronalazi takve racionalne izraze nepoznanica kroz jednu nepoznanicu i parametre pod kojima se sve jednadžbe, osim jedne, pretvaraju u identitete. Iz preostale jednadžbe on izražava glavnu nepoznanicu u terminima parametara, a zatim pronalazi i druge nepoznanice.

Metode razvijene u knjizi II Diofant primjenjuje na teže probleme iz knjige III, povezane sa sustavima od tri, četiri ili više jednadžbi stupnja ne višeg od dva. On, osim toga, prije formalnog rješenja problema, provodi istraživanje i pronalazi uvjete koje parametri moraju zadovoljiti da bi rješenja postojala.

U IV. knjizi postoje određene i neodređene jednadžbe trećeg i višeg stupnja. Ovdje je situacija puno kompliciranija, jer se, općenito govoreći, nepoznanice ne mogu izraziti kao racionalne funkcije jednog parametra. Ali, kao i prije, ako jedna ili dvije racionalne točke kubične krivulje fz (x, y)== 0, tada se mogu pronaći druge točke. Diofant koristi nove metode u rješavanju problema iz knjige IV.

V. knjiga sadrži najteže zadatke; neke od njih rješavaju se pomoću jednadžbi trećeg i četvrtog stupnja iz tri ili više nepoznanica. Postoje i oni u kojima je potrebno rastaviti dati cijeli broj u zbroj dva, tri ili četiri kvadrata, a ti kvadrati moraju zadovoljiti određene nejednakosti.,

Prilikom rješavanja zadataka Diofant razmatra Pellovu jednadžbu dvaput sjekira 2 + 1 = na 2 .

Problemi u Knjizi VI tiču ​​se pravokutnih trokuta s racionalnim stranicama. Na stanje x 2 + na 2 == z 2 dodaju više uvjeta u pogledu površina, perimetara, stranica trokuta.

Knjiga VI dokazuje da ako jednadžba sjekira 2 + b == na 2 ima barem jedno racionalno rješenje, tada će ih biti beskonačan broj. Kako bi riješio probleme VI. knjige, Diofant koristi sve metode koje koristi.

Inače, u jednoj od drevnih rukopisnih zbirki zadataka u stihovima, Diofantov život opisan je u obliku sljedeće algebarske zagonetke, koja predstavlja nadgrobni natpis na njegovom grobu

Pepeo Diofant grobnica počiva; čudi joj se – i kamen

Doba pokojnika će mu mudrom umjetnošću reći.

Voljom bogova proživio je šestinu svog života kao dijete.

I sreo je polovicu šeste s pahuljicama na obrazima.

Prošao je tek sedmi, zaručio se za djevojku.

Nakon što je s njom proveo pet godina, mudar je čekao sina;

Njegov voljeni sin živio je samo pola očevog života.

Od oca ga je oduzeo rani grob.

Roditelj je dvaput dvije godine oplakivao tešku tugu,

Ovdje sam vidio granicu svog tužnog života.

Zadatak zagonetke svodi se na sastavljanje i rješavanje jednadžbe:

odakle je x = 84 = toliko je godina živio Diofant.

Neodređena jednadžba x 2 + y 2 = z 2

Uvod

Može se vidjeti da je matematička znanost u Grčkoj u razdoblju dužem od tisuću i pol godina imala značajna dostignuća.

U povijesti matematike razdoblje postojanja aleksandrijske škole koje smo razmatrali naziva se "Prva aleksandrijska škola". Od početka naše ere, na temelju radova aleksandrijskih matematičara, počinje nagli razvoj idealističke filozofije: ponovno se oživljavaju ideje Platona i Pitagore, a ta filozofija neoplatonista i neopitagorejaca brzo smanjuje znanstveni značaj djela novih predstavnika matematičke misli. Ali težina matematičke misli ne blijedi, a s vremena na vrijeme se pojavljuje u djelima pojedinih matematičara, poput Diofanta.

Razvoj algebre bio je sputan činjenicom da simbolički zapis još nije ušao u dovoljnoj mjeri, na koji nagovještaj prvi put susrećemo u djelima Diofanta, koji je koristio samo pojedinačne simbole i kratice zapisa.

Svrha rada je proučavanje Diofantove aritmetike.

Diofantov životopis

Diofant predstavlja jednu od najtežih zagonetki u povijesti znanosti. Ne znamo ni vrijeme kada je živio, niti njegove prethodnike koji bi djelovali na istom području. Njegova su djela poput svjetlucave vatre usred potpune neprobojne tame.

Vremensko razdoblje u kojem je Diofant mogao živjeti je pola tisućljeća! Donja granica tog jaza se lako utvrđuje: u svojoj knjizi o poligonalnim brojevima Diofant više puta spominje matematičara Hipsikla iz Aleksandrije, koji je živio sredinom 2. stoljeća pr. S druge strane, u komentarima Teona Aleksandrijskog na "Almagest" poznatog astronoma Ptolomeja stavlja se ulomak iz Diofantovog djela. Theon je živio sredinom 4. stoljeća nove ere. Ovo definira gornju granicu ovog intervala. Dakle, 500 godina!

Francuski povjesničar znanosti Paul Tannery, izdavač najopsežnijeg Diofantovog teksta, pokušao je smanjiti ovaj jaz. U biblioteci Escurial pronašao je izvatke iz pisma Michaela Psellosa, bizantologa iz 11. stoljeća, koji kaže da je „najučeniji Anatolije, nakon što je prikupio najbitnije dijelove ove znanosti (govorimo o uvođenju stupnjeva nepoznatog i o njihovim oznakama), posvetio ih je svom prijatelju Diofantu." Anatolij Aleksandrijski je doista sastavio "Uvod u aritmetiku", odlomci iz kojih su dati u djelima Jambliha i Euzebija koja su došla do nas. Ali Anatolij je živio u Aleksandriji sredinom 3. stoljeća poslije Krista. a još točnije, do 270. godine, kada je postao biskupom Laodacije. To znači da se prije toga moralo dogoditi njegovo prijateljstvo s Diofantom, kojeg svi zovu Aleksandrijskim. Dakle, ako su poznati aleksandrski matematičar i Anatolijev prijatelj po imenu Diofant jedna osoba, onda je život Diofant sredina 3. stoljeća nove ere.

Sama Diofantova „Aritmetika“ posvećena je „časnom Dioniziju“, koji se, kako se vidi iz teksta „Uvoda“, zanimao za aritmetiku i njezino učenje. Iako je ime Dionizije u to vrijeme bilo prilično uobičajeno, Tannery je sugerirao da "časnog" Dionizija treba tražiti među poznatim ljudima tog doba koji su zauzimali istaknute položaje. A onda se pokazalo da je 247. aleksandrijskim biskupom postao izvjesni Dionizije, koji je od 231. vodio gradsku kršćansku gimnaziju! Stoga je Tannery poistovjetio ovog Dionizija s onim kome je Diofant posvetio svoje djelo, te došao do zaključka da je Diofant živio sredinom 3. stoljeća poslije Krista. Možda ćemo, zbog nedostatka boljeg načina, prihvatiti ovaj datum.

Ali mjesto boravka Diofanta je dobro poznato - ovo je slavna Aleksandrija, središte znanstvene misli helenističkog svijeta.

Nakon propasti golemog carstva Aleksandra Velikog, Egipat je krajem 4. st. pr. otišao svom zapovjedniku Ptolomeju Lagu, koji je glavni grad preselio u novi grad - Aleksandriju. Ubrzo je ovaj višejezični trgovački grad postao jedan od najljepših gradova antike. Rim ga je kasnije nadmašio veličinom, ali dugo nije bio jednak. I upravo je ovaj grad stoljećima postao znanstveno i kulturno središte antičkog svijeta. To je bilo zbog činjenice da je Ptolemej Lag osnovao Museumon, hram muza, nešto poput prve akademije znanosti, gdje su pozivani najistaknutiji znanstvenici, a sadržaj im je dodijeljen, tako da je njihov glavni posao bio promišljanje i razgovor s učenicima. U Museuonu je izgrađena poznata knjižnica koja je u svojim najboljim danima sadržavala više od 700.000 rukopisa. Nije iznenađujuće da su znanstvenici i mladići željni znanja iz cijelog svijeta pohrlili u Aleksandriju kako bi slušali slavne filozofe, učili astronomiju i matematiku i imali priliku uroniti u proučavanje jedinstvenih rukopisa u hladnim dvoranama knjižnice. .

Muzej je preživio dinastiju Ptolomeja. U prvim stoljećima pr. pala je u privremeni pad povezan s općim propadanjem ptolemejske kuće u vezi s rimskim osvajanjima (Aleksandrija je konačno osvojena 31. pr. Kr.), ali potom u prvim stoljećima n.e. ponovno je oživio, već su ga podržavali rimski carevi. Aleksandrija je i dalje bila znanstveno središte svijeta. Rim joj nikada nije bio suparnik u tom pogledu: rimska znanost (mislimo na prirodne znanosti) jednostavno nije postojala, a Rimljani su ostali vjerni Vergilijevim zapovijedima, koji je napisao:

Tanji drugi kovat će broncu koja diše život, -

Vjerujem da će od mramora stvoriti živa lica,

Elokventniji će biti na sudovima, pokreti neba

Štapom će crtati svojim i izračunati zvijezde uzašašća,

Ti, Romane, znaš vladati narodima.

A ako je u III-II stoljeću pr. Muzej je zasjao imenima Euklida, Apolonija, Eratostena, Hiparha, zatim u I-III st. nove ere. ovdje su radili znanstvenici kao što su Heron, Ptolemej i Diofant.

Kako bismo iscrpili sve što se zna o Diofantovoj ličnosti, predstavljamo pjesmu zagonetke koja je došla do nas:

Pepeo Diofant grobnica počiva; čudi joj se – i kamen

Doba pokojnika će mu mudrom umjetnošću reći.

Voljom bogova proživio je šestinu svog života kao dijete

I sreo je polovicu šeste s pahuljicama na obrazima.

Prošao je tek sedmi, zaručio se za djevojku.

Nakon što je s njom proveo pet godina, mudrac je čekao njezina sina;

Njegov voljeni sin živio je samo pola očevog života.

Od oca ga je oduzeo rani grob.

Roditelj je dvaput dvije godine oplakivao tešku tugu,

Ovdje sam vidio granicu svog tužnog života.

Iz ovoga je lako izračunati da je Diofant živio 84 godine. Međutim, za to uopće nije potrebno svladati Diofantovu umjetnost! Dovoljno je moći riješiti jednadžbu 1. stupnja s jednom nepoznanicom, a egipatski su pisari to mogli učiniti još 2 tisuće godina prije Krista.

Diofant Aleksandrijski(starogrčki; lat. Diophantus) - starogrčki matematičar koji je vjerojatno živio u 3. stoljeću poslije Krista. e. Često se naziva "ocem algebre". Autor "Aritmetike" - knjige posvećene pronalaženju pozitivnih racionalnih rješenja neodređenih jednadžbi. Danas se "diofantske jednadžbe" obično shvaćaju kao jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima, čija se rješenja moraju pronaći među cijelim brojevima.

Diofant je bio prvi grčki matematičar koji je razlomke smatrao jednakom s drugim brojevima. Diofant je također bio prvi među antičkim znanstvenicima koji je predložio razvijenu matematičku simboliku, što je omogućilo da se njegovi rezultati formuliraju u prilično kompaktnom obliku.

Po Diofantu je nazvan krater na vidljivoj strani Mjeseca.

Biografija

O detaljima njegovog života gotovo se ništa ne zna. S jedne strane, Diofant citira Hipsikle (2. st. pr. Kr.); s druge strane, Teon Aleksandrijski (oko 350. godine po Kr.) piše o Diofantu, iz čega se može zaključiti da je njegov život tekao u granicama tog razdoblja. Moguća specifikacija vremena Diofantovog života temelji se na činjenici da je njegova Aritmetika posvećena "prečasni Dioniziju". Vjeruje se da je taj Dionizije nitko drugi nego aleksandrijski biskup Dionizije, koji je živio sredinom 3. stoljeća. n. e.

Palatinska antologija sadrži epigram-zadatak:

Pepeo Diofant grobnica počiva; divite joj se – i kamen će svojom mudrom umjetnošću reći starost pokojnika. Voljom bogova proživio je šestinu svog života kao dijete. I sreo sam polovicu šeste s pahuljicama na obrazima. Prošao je tek sedmi, zaručio se za djevojku. S njom je, nakon što je proveo pet godina, mudrac čekao sina; Njegov voljeni sin živio je samo pola očevog života. Od oca ga je oduzeo rani grob. Dvaput dvije godine roditelj je tugovao tešku tugu, Ovdje je vidio granicu svog tužnog života. (Preveo S. P. Bobrov)

To je ekvivalentno rješavanju sljedeće jednadžbe:

Ova jednadžba daje x = 84 (\displaystyle x=84) , pa je Diofantova dob 84 godine. Međutim, točnost informacija ne može se potvrditi.

Diofantova aritmetika

Glavno Diofantovo djelo - Aritmetika u 13 knjiga. Nažalost, sačuvano je samo 6 od prvih 13 knjiga.

Prvoj knjizi prethodi opširan uvod, koji opisuje notaciju koju je koristio Diofant. Diofant naziva nepoznati "broj" () i označava ga slovom, kvadrat nepoznatog - simbolom (skraćeno od - "stupanj"), kocku nepoznatog - simbolom (skraćeno od - "kocka" ). Predviđeni su posebni znakovi za sljedeće stupnjeve nepoznatog, do šestog, koji se naziva kocka-kocka, a za njihove suprotne stupnjeve, do minus šest.

Diofant nema predznak zbrajanja: on jednostavno piše pozitivne članove jedan do drugog u silaznom redoslijedu stupnja, a u svaki se član prvo upisuje stupanj nepoznate, a zatim brojčani koeficijent. Oduzeti članovi također se ispisuju jedan do drugog, a ispred cijele njihove skupine stavlja se poseban znak u obliku obrnutog slova. Znak jednakosti označen je s dva slova (skraćeno od "jednako").

Formulirano je pravilo redukcije sličnih pojmova i pravilo dodavanja ili oduzimanja istog broja ili izraza u oba dijela jednadžbe: ono što je kasnije al-Khwarizmi nazvao "algebra i almukabala". Uvedeno je pravilo predznaka: „minus uz plus daje minus“, „minus uz minus daje plus“; ovo se pravilo koristi kod množenja dvaju izraza s subtraktivnim članovima. Sve je to formulirano na opći način, bez pozivanja na geometrijska tumačenja.

Većina djela je zbirka problema s rješenjima (u preživjelih šest knjiga ima ih 189), vješto odabranih za ilustriranje općih metoda. Glavni problem aritmetike je pronalaženje pozitivnih racionalnih rješenja neodređenih jednadžbi. Diofant tretira racionalne brojeve na isti način kao i prirodne brojeve, što nije tipično za antičke matematičare.

Biografija

prijevod na latinski Aritmetika (1621)

O detaljima njegovog života gotovo se ništa ne zna. S jedne strane, Diofant citira Hipsikle (2. st. pr. Kr.); s druge strane, Teon Aleksandrijski (oko 350. godine po Kr.) piše o Diofantu, iz čega se može zaključiti da je njegov život tekao u granicama tog razdoblja. Moguća specifikacija vremena Diofantova života temelji se na činjenici da je njegov Aritmetika posvećena "prečasnim Dioniziju". Vjeruje se da je taj Dionizije nitko drugi nego aleksandrijski biskup Dionizije, koji je živio sredinom 3. stoljeća. n. e.

Aritmetika Diofant

Glavno Diofantovo djelo - Aritmetika u 13 knjiga. Nažalost, sačuvano je samo 6 od prvih 13 knjiga.

Prvoj knjizi prethodi opširan uvod, koji opisuje notaciju koju je koristio Diofant. Diofant naziva nepoznati "broj" ( ἀριθμός ) i označava se slovom ς , kvadrat nepoznatog - simbol (skraćenica od δύναμις - "stupanj"). Predviđeni su posebni znakovi za sljedeće stupnjeve nepoznatog, do šestog, zvanog kocka-kocka, i za njihove suprotne stupnjeve. Diofant nema predznak zbrajanja: on jednostavno ispisuje pozitivne članove jedan pored drugog, a u svakom se pojmu prvo upisuje stupanj nepoznate, a zatim brojčani koeficijent. Pojmovi koje treba oduzeti također su ispisani jedan do drugog, a ispred cijele njihove skupine stavlja se poseban znak u obliku obrnutog slova Ψ. Znak jednakosti označen je s dva slova ἴσ (skraćenica od ἴσος - "jednako"). Formulirano je pravilo redukcije sličnih pojmova i pravilo dodavanja ili oduzimanja istog broja ili izraza u oba dijela jednadžbe: ono što je kasnije al-Khwarizmi nazvao "algebra i almukabala". Uvedeno je pravilo predznaka: minus puta minus daje plus; ovo se pravilo koristi kod množenja dvaju izraza s subtraktivnim članovima. Sve je to formulirano na opći način, bez pozivanja na geometrijska tumačenja.

Većina djela je zbirka problema s rješenjima (u šest sačuvanih knjiga ima ih samo 189), vješto odabranih za ilustraciju općih metoda. Glavni problem Aritmetika- pronalaženje pozitivnih racionalnih rješenja neodređenih jednadžbi. Diofant tretira racionalne brojeve na isti način kao i prirodne brojeve, što nije tipično za antičke matematičare.

Prvo, Diofant istražuje sustave jednadžbi 2. reda u 2 nepoznanice; specificira metodu za pronalaženje drugih rješenja ako je jedno već poznato. Zatim primjenjuje slične metode na jednadžbe viših stupnjeva.

U 10. stoljeću Aritmetika je preveden na arapski, nakon čega su matematičari zemalja islama (Abu Kamil i drugi) nastavili neka proučavanja Diofanta. U Europi interes za Aritmetika povećao se nakon što je Raphael Bombelli otkrio ovaj esej u Vatikanskoj knjižnici i objavio 143 problema iz njega u svojoj Algebra(). Godine 1621. pojavio se klasični latinski prijevod s opširno komentiranim. Aritmetika od Bachera de Meziriaca. Diofantove metode imale su ogroman utjecaj na Françoisa Vietu i Pierrea Fermata; međutim, u moderno doba, neodređene jednadžbe obično se rješavaju u cijelim brojevima, a ne u racionalnim, kao što je to radio Diofant.

U 20. stoljeću, pod imenom Diofant, otkriven je arapski tekst od još 4 knjige Aritmetika. I. G. Bashmakova i E. I. Slavutin, nakon analize ovog teksta, iznijele su hipotezu da njihov autor nije Diofant, već komentator koji je dobro upućen u Diofantove metode, najvjerojatnije Hipatije.

Drugi Diofantovi spisi

Diofantov traktat O poligonalnim brojevima (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ) nije u potpunosti očuvan; u sačuvanom dijelu metodama geometrijske algebre izvedeni su brojni pomoćni teoremi.

Iz Diofantovih spisa O mjerenju površina (ἐπιπεδομετρικά ) i O množenju (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) također su preživjeli samo fragmenti.

Diofantova knjiga porizmi poznato samo iz nekoliko teorema korištenih u Aritmetika.

Književnost

Kategorije:

• Starogrčki matematičari
• Matematičari starog Rima
• Osobnosti po abecednom redu
• Matematičari po abecedi
• Matematičari 3. stoljeća
• Matematičari u teoriji brojeva

Zaklada Wikimedia. 2010 .

Pogledajte što je "Diofant Aleksandrijski" u drugim rječnicima:

- (oko 3. st.) starogrčki matematičar. U glavnom djelu Aritmetika (sačuvano 6 knjiga od 13) dao je rješenje problema koji vode do tzv. Diofantove jednadžbe, i po prvi put u algebru uveo doslovni simbolizam... Veliki enciklopedijski rječnik

- (oko III stoljeća), starogrčki matematičar. U glavnom djelu "Aritmetika" (sačuvano je 6 knjiga od 13) dao je rješenje za probleme koji vode do tzv. Diofantovih jednadžbi, te prvi put u algebru uveo simboliku slova. * * * DIOFANT… … enciklopedijski rječnik

- (vjerojatno oko 250. godine, iako je moguć i raniji datum), starogrčki matematičar koji je radio u Aleksandriji, autor rasprave Aritmetika u 13 knjiga (sačuvanih 6), posvećenih uglavnom proučavanju neodređenih jednadžbi (tj. - zove se ... ... Enciklopedija Collier

Diofant: Diofant (zapovjednik) (2. st. pr. Kr.). Diofant Aleksandrijski (III. stoljeće nove ere) starogrčki matematičar ... Wikipedia

Diofant- Aleksandrija (grčki Diofant), cca. 250, drugi grčki. matematičar. U svom glavnom djelo "Aritmetika" (b. h. sačuvano) koristio je računske metode Egipćana i Babilonaca. Istraživao definiciju i neizvjesnost, zadaci (osobito linearni i ... ... Rječnik antike

- (rođen 325., um 409. n.e.) poznati aleksandrijski matematičar. O njegovom životu gotovo da i nema podataka; čak ni datumi njegova rođenja i smrti nisu posve sigurni. D. je živio 84 godine, što se vidi iz epitafa, sastavljenog u obliku sljedećeg ... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

Diofant- DIOFÁNT iz Aleksandrije (oko 3. st.), dr. grč. matematičar. U glavnom tr. Aritmetika (sačuvano je 6 knjiga od 13) dala je rješenje problema koji su doveli do tzv. Diofant Urnija, i po prvi put uveo simboliku slova u algebru... Biografski rječnik

Hobotnice imaju 8 nogu, a morske zvijezde 5.

Koliko je morskih životinja u akvariju ako ima ukupno 39 udova?

Diofant Aleksandrijski bio je starogrčki matematičar koji je vjerojatno živio u 3. stoljeću poslije Krista.

O detaljima njegovog života gotovo se ništa ne zna. S jedne strane, Diofant citira Hipsikle (2. st. pr. Kr.); s druge strane, Teon Aleksandrijski (oko 350. godine po Kr.) piše o Diofantu, iz čega se može zaključiti da je njegov život tekao u granicama tog razdoblja. Moguća specifikacija vremena Diofantovog života temelji se na činjenici da je njegova "Aritmetika" posvećena "prečasnim Dioniziju". Vjeruje se da je taj Dionizije nitko drugi nego aleksandrijski biskup Dionizije, koji je živio sredinom 3. stoljeća. n. e.

Palatinska antologija sadrži epigram-zadatak iz kojeg možemo zaključiti da je Diofant živio 84 godine:

Pepeo Diofant grobnica počiva; čudi se njoj i kamenu

Doba pokojnika će mu mudrom umjetnošću reći.

Voljom bogova proživio je šestinu svog života kao dijete.

I sreo je polovicu šeste s pahuljicama na obrazima.

Prošao je tek sedmi, zaručio se za djevojku.

S njom je, nakon što je proveo pet godina, mudrac čekao sina;

Njegov voljeni sin živio je samo pola očevog života.

Od oca ga je oduzeo rani grob.

Roditelj je dvaput dvije godine oplakivao tešku tugu,

Ovdje sam vidio granicu svog tužnog života.

Koristeći suvremene metode rješavanja jednadžbi, možete izračunati koliko je godina živio Diofant. Napravimo i riješimo jednadžbu:

Rješenje ove jednadžbe je broj 84. Dakle, Diofant je živio 84 godine.

Glavno Diofantovo djelo je "Aritmetika" u 13 knjiga. Nažalost, sačuvano je samo 6 od prvih 13 knjiga.

Prvoj knjizi prethodi opširan uvod, koji opisuje notaciju koju je koristio Diofant. Diofant naziva nepoznati "broj" (?ριθμ?ς) i označava ga slovom ς, kvadrat nepoznatog - simbolom (skraćeno od δ?ναμις - "stupanj"). Predviđeni su posebni znakovi za sljedeće stupnjeve nepoznatog, do šestog, zvanog kocka-kocka, i za njihove suprotne stupnjeve. Diofant nema predznak zbrajanja: on jednostavno ispisuje pozitivne članove jedan pored drugog, a u svakom se pojmu prvo upisuje stupanj nepoznate, a zatim brojčani koeficijent. Oduzeti članovi također se ispisuju jedan do drugog, a ispred cijele njihove skupine stavlja se poseban znak u obliku obrnutog slova Ψ. Znak jednakosti označava se s dva slova ?σ (skraćeno od ?σος - "jednako"). Formulirano je pravilo redukcije sličnih pojmova i pravilo dodavanja ili oduzimanja istog broja ili izraza u oba dijela jednadžbe: ono što je kasnije al-Khwarizmi nazvao “al-jabr i al-muqabala”. Uvedeno je pravilo predznaka: minus puta minus daje plus; ovo se pravilo koristi kod množenja dvaju izraza s subtraktivnim članovima. Sve je to formulirano na opći način, bez pozivanja na geometrijska tumačenja.

Većina djela je zbirka problema s rješenjima (u preživjelih šest knjiga ima ih 189), vješto odabranih za ilustriranje općih metoda. Glavni problem "Aritmetike" je pronalaženje pozitivnih racionalnih rješenja neodređenih jednadžbi. Diofant tretira racionalne brojeve na isti način kao i prirodne brojeve, što nije tipično za antičke matematičare.

Prvo, Diofant istražuje sustave jednadžbi 2. reda u 2 nepoznanice; specificira metodu za pronalaženje drugih rješenja ako je jedno već poznato. Zatim primjenjuje slične metode na jednadžbe viših stupnjeva.

U 10. stoljeću aritmetika je prevedena na arapski, nakon čega su matematičari zemalja islama (Abu Kamil i drugi) nastavili neke studije o Diofantu. U Europi se interes za aritmetiku povećao nakon što je Raphael Bombelli otkrio ovo djelo u Vatikanskoj knjižnici i objavio 143 problema iz njega u svojoj Algebri (1572). Godine 1621. pojavio se klasični, detaljni latinski prijevod Aritmetike od Bachera de Meziriaca. Diofantove metode imale su golem utjecaj na Françoisa Vietu i Pierrea de Fermata; poslužio kao polazište u studijama Gaussa i Eulera. Međutim, u moderno doba neodređene se jednadžbe obično rješavaju u cijelim brojevima, a ne u racionalnim, kao što je to radio Diofant.

U 20. stoljeću, pod imenom Diofant, otkriven je arapski tekst još 4 knjige Aritmetike. Neki povjesničari matematike, analizirajući ovaj tekst, iznijeli su hipotezu da njihov autor nije Diofant, već komentator dobro upućen u Diofantove metode, najvjerojatnije Hipatije.

Diofantova rasprava "O mnogokutnim brojevima" (Περ? πολυγ?νων ?ριθμ?ν) nije u potpunosti sačuvana; u sačuvanom dijelu metodama geometrijske algebre izvedeni su brojni pomoćni teoremi.

Od Diofantovih djela "O mjerenju površina" (?πιπεδομετρικ?) i "O množenju" (Περ? πολλαπλασιασμο?) također su sačuvani samo fragmenti.

Diofantovi porizmi poznati su samo iz nekoliko teorema korištenih u aritmetici.

Danas jednadžba oblika

gdje P- cjelobrojna funkcija (na primjer, polinom s cjelobrojnim koeficijentima), a varijable poprimaju cjelobrojne vrijednosti, nazivaju se u čast starogrčkog matematičara - Diofant.

Vjerojatno najpoznatija Diofantova jednadžba je

Njegova rješenja su pitagorejske trojke: (3; 4; 5), (6; 8; 10), (5; 12; 13), (12; 35; 37)…

Dokaz nerješivosti u cijelim brojevima Diofantove jednadžbe

na (Fermatov posljednji teorem) završio je engleski matematičar Andrew Wiles 1994. godine.

Drugi primjer Diofantove jednadžbe je Pellova jednadžba

gdje parametar n nije točan kvadrat.

Hilbertov deseti problem jedan je od 23 problema koje je David Hilbert predložio 8. kolovoza 1900. na II međunarodnom kongresu matematičara. U Hilbertovom izvješću, formulacija desetog problema je najkraća od svih:

Neka je dana Diofantova jednadžba s proizvoljnim nepoznanicama i cjelobrojnim racionalnim numeričkim koeficijentima. Navedite metodu kojom je moguće, nakon konačnog broja operacija, odrediti je li ova jednadžba rješiva ​​u racionalnim cijelim brojevima.

Dokaz algoritamske nerješivosti ovog problema trajao je dvadesetak godina, a dovršio ga je Yuri Matijasevich 1970. godine.

Uvelike zahvaljujući aktivnostima Papa iz Aleksandrije (3. stoljeće), do nas su došli podaci o antičkim znanstvenicima i njihovim radovima. Nakon Apolonija (od 2. st. pr. Kr.) počinje opadanje antičke znanosti. Nove duboke ideje se ne pojavljuju. Godine 146. pr. e. Rim zauzima Grčku, a 31. pr. e. - Aleksandrija. Na pozadini općeg zastoja i propadanja, oštro se ističe gigantski lik Diofanta Aleksandrijskog, posljednjeg od velikih antičkih matematičara, „oca algebre“.

Sljedeći matematički objekti nose ime Diofant:

• diofantinska analiza
• diofantske aproksimacije
• diofantske jednadžbe