Leia funktsiooni väärtus intervallilt. Kuidas lahendada B15 ülesandeid ilma tuletisteta
Mõnikord on ülesannetes B15 "halbu" funktsioone, mille tuletist on raske leida. Varem oli see ainult sondidel, kuid nüüd on need ülesanded nii tavalised, et neid ei saa enam selleks eksamiks valmistudes ignoreerida.
Sel juhul töötavad muud nipid, millest üks on - monotoonne.
Funktsiooni f (x) nimetatakse lõigu monotoonselt kasvavaks, kui selle lõigu mis tahes punktide x 1 ja x 2 puhul on tõene:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).
Funktsiooni f (x) nimetatakse lõigu monotoonselt kahanevaks, kui selle lõigu mis tahes punktide x 1 ja x 2 puhul kehtib järgmine:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).
Teisisõnu, mida suurem on funktsiooni x, seda suurem on f(x). Väheneva funktsiooni puhul on vastupidine: mida rohkem x , seda vähem f(x).
Näiteks logaritm suureneb monotoonselt, kui alus a > 1 ja väheneb monotoonselt, kui 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Aritmeetiline ruutjuur (ja mitte ainult ruutjuur) suureneb monotoonselt kogu määratluspiirkonna ulatuses:
Eksponentfunktsioon käitub sarnaselt logaritmiga: see suureneb, kui a > 1 ja väheneb kui 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, eksponentsiaalne funktsioon määratletud kõikidele numbritele, mitte ainult x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Lõpuks kraadid negatiivse astendajaga. Saate need kirjutada murdudena. Neil on murdepunkt, kus monotoonsus katkeb.
Kõiki neid funktsioone ei leidu kunagi puhtal kujul. Neile lisatakse polünoomid, murded ja muu jama, mille tõttu on tuletise arvutamine keeruline. Mis sel juhul juhtub - nüüd analüüsime.
Parabooli tipu koordinaadid
Kõige sagedamini asendatakse funktsiooni argument ruudukujuline kolmik kujul y = ax 2 + bx + c . Selle graafik on standardne parabool, millest meid huvitab:
- Parabooli oksad – võivad tõusta (> 0 puhul) või alla (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Parabooli tipp on ruutfunktsiooni äärmuspunkt, kus see funktsioon on väikseim (> 0) või suurim (a< 0) значение.
Suurimat huvi pakub parabooli tipp, mille abstsiss arvutatakse järgmise valemiga:
Niisiis, oleme leidnud ruutfunktsiooni äärmuspunkti. Kui aga algfunktsioon on monotoonne, on selle jaoks punkt x 0 samuti äärmuspunkt. Seega sõnastame põhireegli:
Ruuttrinoomi ja kompleksfunktsiooni äärmuspunktid langevad kokku. Seetõttu võite ruudukujulise trinoomi jaoks otsida x 0 ja unustada funktsiooni.
Eelnevast arutlusest jääb arusaamatuks, millise punkti saame: maksimumi või miinimumi. Ülesanded on aga spetsiaalselt välja töötatud nii, et sellel pole tähtsust. Otsustage ise:
- Probleemi seisundis pole segmenti. Seetõttu ei ole vaja f(a) ja f(b) arvutada. Jääb üle võtta ainult äärmuslikud punktid;
- Kuid on ainult üks selline punkt - see on parabooli x 0 tipp, mille koordinaadid arvutatakse sõna otseses mõttes suuliselt ja ilma tuletisteta.
Seega on probleemi lahendamine oluliselt lihtsustatud ja taandatud vaid kahele etapile:
- Kirjutage üles paraboolvõrrand y = ax 2 + bx + c ja leidke selle tipp valemi abil: x 0 = −b /2a;
- Leidke selles punktis algfunktsiooni väärtus: f (x 0). Kui lisatingimusi pole, on see vastus.
Esmapilgul võib see algoritm ja selle põhjendus tunduda keeruline. Ma ei postita meelega "paljast" lahendusskeemi, kuna selliste reeglite mõtlematu rakendamine on täis vigu.
Vaatleme tegelikke probleeme proovieksam matemaatikas - siin kasutatakse seda tehnikat kõige sagedamini. Samal ajal hoolitseme selle eest, et sel viisil muutuksid paljud B15 probleemid peaaegu verbaalseks.
Juure all on ruutfunktsioon y \u003d x 2 + 6x + 13. Selle funktsiooni graafik on ülespoole ulatuvate harudega parabool, kuna koefitsient a \u003d 1\u003e 0.
Parabooli tipp:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3
Kuna parabooli harud on suunatud ülespoole, siis punktis x 0 \u003d −3 saab funktsioon y \u003d x 2 + 6x + 13 väikseima väärtuse.
Juur kasvab monotoonselt, seega on x 0 kogu funktsiooni minimaalne punkt. Meil on:
Ülesanne. Leia funktsiooni väikseim väärtus:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Logaritmi all on jälle ruutfunktsioon: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graafik on parabool harudega üles, sest a = 1 > 0.
Parabooli tipp:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1
Niisiis, punktis x 0 = −1 saab ruutfunktsioon väikseima väärtuse. Kuid funktsioon y = log 2 x on monotoonne, seega:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Eksponent on ruutfunktsioon y = 1 − 4x − x 2 . Kirjutame selle ümber normaalkujul: y = −x 2 − 4x + 1.
Ilmselgelt on selle funktsiooni graafik parabool, mis hargneb allapoole (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2
Algfunktsioon on eksponentsiaalne, see on monotoonne, nii et kõrgeim väärtus on leitud punktis x 0 = −2:
Tähelepanelik lugeja märkab kindlasti, et me ei kirjutanud välja juure ja logaritmi lubatud väärtuste ala. Kuid seda polnud vaja: sees on funktsioone, mille väärtused on alati positiivsed.
Funktsiooni ulatusest tulenevad tagajärjed
Mõnikord ei piisa ülesande B15 lahendamiseks ainult parabooli tipu leidmisest. Soovitud väärtus võib olla segmendi lõpus, kuid mitte äärmuslikus punktis. Kui ülesanne ei määra segmenti üldse, vaadake tolerantsi vahemik originaalfunktsioon. Nimelt:
Pöörake uuesti tähelepanu: null võib olla juure all, kuid mitte kunagi murdosa logaritmis või nimetajas. Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas see toimib:
Ülesanne. Leia funktsiooni suurim väärtus:
Juure all on jälle ruutfunktsioon: y \u003d 3 - 2x - x 2. Selle graafik on parabool, kuid hargneb allapoole, kuna a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Ruutjuur negatiivsest arvust ei eksisteeri.
Kirjutame välja lubatud väärtuste ala (ODZ):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; üks]
Nüüd leidke parabooli tipp:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1
Punkt x 0 = −1 kuulub ODZ segmenti – ja see on hea. Nüüd kaalume funktsiooni väärtust punktis x 0, samuti ODZ otstes:
y(−3) = y(1) = 0
Niisiis, saime numbrid 2 ja 0. Meil palutakse leida suurim - see on number 2.
Ülesanne. Leia funktsiooni väikseim väärtus:
y = log 0,5 (6x - x 2-5)
Logaritmi sees on ruutfunktsioon y = 6x − x 2 − 5. See on parabool, mille harud on allapoole, kuid logaritmis seda ei saa negatiivsed arvud, seega kirjutame välja ODZ-i:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Pange tähele: ebavõrdsus on range, nii et otsad ei kuulu ODZ-le. Nii erineb logaritm juurtest, kus meile sobivad lõigu otsad päris hästi.
Parabooli tipu otsimine:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3
Parabooli tipp sobib piki ODZ-d: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Kuid kuna segmendi otsad meid ei huvita, arvestame funktsiooni väärtust ainult punktis x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2
Vaatame, kuidas funktsiooni graafiku abil uurida. Selgub, et graafikut vaadates saate teada kõike, mis meid huvitab, nimelt:
- funktsiooni ulatus
- funktsioonide vahemik
- funktsiooni nullid
- tõusu ja languse perioodid
- kõrged ja madalad punktid
- funktsiooni suurim ja väikseim väärtus segmendil.
Täpsustame terminoloogiat:
Abstsiss on punkti horisontaalne koordinaat.
Ordinaat- vertikaalne koordinaat.
abstsiss- horisontaaltelg, mida enamasti nimetatakse teljeks.
Y-telg- vertikaaltelg või telg.
Argument on sõltumatu muutuja, millest sõltuvad funktsiooni väärtused. Kõige sagedamini näidatud.
Teisisõnu, me ise valime , asendame funktsiooni valemis ja saame .
Domeen funktsioonid - argumendi nende (ja ainult nende) väärtuste kogum, mille jaoks funktsioon on olemas.
Tähistatakse: või .
Meie joonisel on funktsiooni domeeniks segment. Sellele segmendile joonistatakse funktsiooni graafik. Ainult siin on see funktsioon olemas.
Funktsioonide vahemik on väärtuste kogum, mille muutuja võtab. Meie joonisel on see segment - madalaimast kuni kõrgeima väärtuseni.
Funktsiooni nullid- punktid, kus funktsiooni väärtus on võrdne nulliga, st . Meie joonisel on need punktid ja .
Funktsiooni väärtused on positiivsed kus . Meie joonisel on need intervallid ja .
Funktsiooni väärtused on negatiivsed kus . Meil on see intervall (või intervall) alates kuni.
Kõige olulisemad mõisted - funktsiooni suurendamine ja vähenemine mõnel komplektil. Hulgana võite võtta lõigu, intervalli, intervallide liidu või terve arvurea.
Funktsioon suureneb
Teisisõnu, mida rohkem , seda rohkem , see tähendab, et graafik läheb paremale ja üles.
Funktsioon väheneb hulgal, kui mis tahes ja hulka kuulumine tähendab ebavõrdsust.
Väheneva funktsiooni puhul vastab suurem väärtus väiksemale väärtusele. Graafik liigub paremale ja alla.
Meie joonisel funktsioon suureneb intervallil ja väheneb intervallidel ja .
Määratleme, mis on funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktid.
Maksimaalne punkt- see on määratluspiirkonna sisepunkt, nii et funktsiooni väärtus selles on suurem kui kõigis sellele piisavalt lähedal asuvates punktides.
Teisisõnu, maksimumpunkt on selline punkt, funktsiooni väärtus, mille juures rohkem kui naaberriikides. See on graafikul kohalik "mägi".
Meie joonisel - maksimaalne punkt.
Madal punkt- määratluspiirkonna sisemine punkt, nii et funktsiooni väärtus selles on väiksem kui kõigis sellele piisavalt lähedal asuvates punktides.
See tähendab, et miinimumpunkt on selline, et selles oleva funktsiooni väärtus on väiksem kui naaberfunktsioonides. Graafikul on see kohalik "auk".
Meie joonisel - miinimumpunkt.
Asi on piiris. See ei ole definitsioonipiirkonna sisepunkt ja seetõttu ei sobi see maksimumpunkti määratlusega. Lõppude lõpuks pole tal vasakpoolseid naabreid. Samamoodi ei saa meie diagrammil olla miinimumpunkti.
Maksimaalset ja miinimumpunkti nimetatakse ühiselt funktsiooni äärmuspunktid. Meie puhul on see ja .
Aga kui teil on vaja leida näiteks funktsiooni miinimum lõike peal? Sel juhul on vastus järgmine: sest funktsiooni miinimum on selle väärtus miinimumpunktis.
Samamoodi on meie funktsiooni maksimum . Selleni jõutakse punktis .
Võime öelda, et funktsiooni äärmused on võrdsed ja .
Mõnikord peate ülesannetes leidma funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused antud segmendil. Need ei pruugi äärmustega kokku langeda.
Meie puhul väikseim funktsiooni väärtus intervall on võrdne funktsiooni miinimumiga ja kattub sellega. Kuid selle suurim väärtus selles segmendis on võrdne . Selleni jõutakse segmendi vasakpoolses otsas.
Igal juhul saavutatakse segmendi pideva funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused kas äärmuspunktides või segmendi otstes.
Ja selle lahendamiseks on vaja minimaalseid teadmisi teemast. Järgmine õppeaasta, kõik tahavad puhkusele minna ja selle hetke lähemale toomiseks asun kohe asja kallale:
Alustame piirkonnast. Tingimuses viidatud ala on piiratud suletud punktide kogum tasapinnal. Näiteks punktide kogum, mis on piiratud kolmnurgaga, sealhulgas KOGU kolmnurk (kui alates piirid"torkake välja" vähemalt üks punkt, siis piirkonda enam ei suleta). Praktikas leidub ka ristkülikukujulisi, ümaraid ja veidi keerulisema kujuga alasid. Tuleb märkida, et teoreetiliselt matemaatiline analüüs on antud ranged määratlused piirangud, eraldatus, piirid jne., kuid arvan, et kõik on neist mõistetest intuitiivsel tasandil teadlikud ja rohkem pole praegu vaja.
Tasast ala tähistatakse tavaliselt tähega ja reeglina antakse see analüütiliselt - mitme võrrandiga (mitte tingimata lineaarne); harvem ebavõrdsus. Tüüpiline verbaalne käive: "joontega piiratud ala".
Vaadeldava ülesande lahutamatuks osaks on ala konstrueerimine joonisel. Kuidas seda teha? On vaja tõmmata kõik loetletud jooned (antud juhul 3 otse) ja analüüsige juhtunut. Soovitud ala on tavaliselt kergelt viirutatud ja selle ääris on esile tõstetud paksu joonega: 
Sama ala saab määrata lineaarsed ebavõrdsused: , mis on millegipärast sagedamini loendusloendiks kirjutatud ja mitte süsteem.
Kuna piir kuulub piirkonnale, siis kõik ebavõrdsused muidugi mitte ranged.
Ja nüüd asja tuum. Kujutage ette, et telg läheb koordinaatide lähtepunktist otse teie juurde. Mõelge funktsioonile, mis pidev igas ala punkt. Selle funktsiooni graafik on pinnale, ja väike õnn on see, et tänase probleemi lahendamiseks ei pea me üldse teadma, kuidas see pind välja näeb. See võib asuda üleval, all, ületada tasapinna - see kõik pole oluline. Ja oluline on järgmine: vastavalt Weierstrassi teoreemid, pidev v piiratud suletud ala, saavutab funktsioon maksimumi ("kõrgeimast") ja kõige vähem ("madalaimast") väärtused, mida leida. Need väärtused on saavutatud või v statsionaarsed punktid, piirkonda kuuluvD , või punktides, mis asuvad selle piirkonna piiril. Sellest järgneb lihtne ja läbipaistev lahendusalgoritm:
Näide 1
Piiratud kinnisel alal
Lahendus: Kõigepealt peate joonisel kujutama ala. Kahjuks on mul tehniliselt keeruline probleemist interaktiivset mudelit koostada ja seetõttu annan kohe ka lõpliku illustratsiooni, mis näitab kõiki uuringu käigus leitud "kahtlasi" punkte. Tavaliselt pannakse need üksteise järel maha, kui need leitakse: 
Preambula põhjal saab otsuse mugavalt jagada kaheks punktiks:
I) Leiame statsionaarsed punktid. See on tavategevus, mida oleme tunnis korduvalt sooritanud. mitme muutuja äärmuste kohta:
Leitud statsionaarne punkt kuulub alad: (märkige see joonisele), mis tähendab, et me peaksime arvutama funktsiooni väärtuse antud punktis:
- nagu artiklis Funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused segmendil, toon olulised tulemused paksus kirjas esile. Märkmikus on mugav neid pliiatsiga ringi teha.
Pöörake tähelepanu meie teisele õnnele – pole mõtet kontrollida ekstreemumi jaoks piisav tingimus. Miks? Isegi kui hetkel jõuab funktsioon näiteks kohalik miinimum, siis see EI TÄHENDA, et saadud väärtus on minimaalne kogu piirkonnas (vt tunni algust tingimusteta äärmuste kohta) .
Mis siis, kui statsionaarne punkt EI kuulu piirkonda? Peaaegu mitte midagi! Tuleb seda märkida ja minna järgmise lõigu juurde.
II) Uurime piirkonna piiri.
Kuna ääris koosneb kolmnurga külgedest, on mugav uuring jagada 3 alapunktiks. Kuid parem on seda mitte mingil juhul teha. Minu vaatenurgast on esialgu soodsam arvestada koordinaattelgedega paralleelseid segmente ja ennekõike telgedel endil asuvaid lõike. Kogu tegevuste jada ja loogika tabamiseks proovige uurida lõppu "ühe hingetõmbega":
1) Tegeleme kolmnurga alumise küljega. Selleks asendame otse funktsiooniga:
Teise võimalusena saate seda teha järgmiselt: 
Geomeetriliselt tähendab see seda koordinaattasand (mis on ka võrrandiga antud)"välja lõigatud". pinnad"ruumiline" parabool, mille tipp langeb kohe kahtluse alla. Uurime välja Kus ta on:
- tulemuseks olev väärtus "tabab" piirkonnas ja võib-olla on see selles punktis (märkige joonisel) funktsioon saavutab suurima või väikseima väärtuse kogu piirkonnas. Igatahes teeme arvutused:
Teised "kandidaadid" on muidugi segmendi otsad. Arvutage funktsiooni väärtused punktides 
(märkige joonisel):
Siin, muide, saate "tühistatud" versiooni puhul teha suulise minikontrolli: 
2) Kolmnurga parema külje uurimiseks asendame selle funktsiooniga ja "seame seal asjad korda":
Siin teostame kohe ligikaudse kontrolli, "helistades" segmendi juba töödeldud lõppu:
, täiuslik.
Geomeetriline olukord on seotud eelmise punktiga:
- saadud väärtus "sisenes ka meie huvide ulatusse", mis tähendab, et peame arvutama, millega funktsioon on ilmunud punktis võrdne:
Uurime segmendi teist otsa:
Funktsiooni kasutamine 
, kontrollime: 
3) Kõik ilmselt teavad, kuidas uurida ülejäänud külge. Asendame funktsiooni ja teostame lihtsustusi:
Rida lõpeb 
on juba uuritud, kuid kavandil kontrollime siiski, kas leidsime funktsiooni õigesti 
:
– langes kokku esimese lõigu tulemusega;
– langes kokku teise lõigu tulemusega.
Jääb üle välja selgitada, kas segmendis on midagi huvitavat:
- seal on! Asendades võrrandisse sirge, saame selle "huvitava" ordinaat:
Märgime joonisele punkti ja leiame funktsioonile vastava väärtuse:
Kontrollime arvutusi vastavalt "eelarve" versioonile 
:
, tellida.
Ja viimane samm: Vaata HOOLIKALT läbi kõik "paksud" numbrid, soovitan isegi algajatel teha üks nimekiri: 
mille hulgast valime suurima ja väikseima väärtuse. Vastus kirjutage leidmisülesande stiilis segmendi funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused:
Igaks juhuks kommenteerin uuesti. geomeetriline tunne tulemus:
- siin on kõige rohkem kõrgpunkt pinnad piirkonnas;
- siin on piirkonna pinna madalaim punkt.
Analüüsitud ülesandes leidsime 7 “kahtlast” punkti, kuid nende arv on ülesandeti erinev. Kolmnurkse piirkonna puhul koosneb minimaalne "uurimiskomplekt" kolmest punktist. See juhtub näiteks funktsiooni seadistamisel lennuk- on üsna selge, et statsionaarseid punkte pole ja funktsioon võib saavutada maksimaalsed / minimaalsed väärtused ainult kolmnurga tippudes. Aga selliseid näiteid pole üks, kaks korda – tavaliselt tuleb mingisugusega leppida 2. järgu pind.
Kui selliseid ülesandeid veidi lahendada, võivad kolmnurgad pea ringi käima panna ja seetõttu olen koostanud teile ebatavalisi näiteid, et see oleks ruudukujuline :))
Näide 2
Leia funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused 
joontega piiratud kinnisel alal
Näide 3
Leia funktsiooni suurim ja väikseim väärtus piiratud suletud alal.
Erilist tähelepanu pöörake tähelepanu piirkonna piiri uurimise ratsionaalsele järjekorrale ja tehnikale, samuti vahekontrollide ahelale, mis võimaldab peaaegu täielikult vältida arvutusvigu. Üldiselt võite seda lahendada nii, nagu soovite, kuid mõne probleemi puhul, näiteks samas näites 2, on kõik võimalused teie elu oluliselt keerulisemaks muuta. Ligikaudne näide ülesannete lõpetamisest tunni lõpus.
Lahendusalgoritmi süstematiseerime, muidu läks see minu ämbliku püüdlikkusega kuidagi ära 1. näite pika kommentaaride lõime vahele:
- Esimesel etapil ehitame ala, soovitav on see varjutada ja ääris jämeda joonega esile tõsta. Lahendamise käigus ilmuvad punktid, mis tuleb joonisele panna.
– Leidke statsionaarsed punktid ja arvutage funktsiooni väärtused ainult nendes, mis kuuluvad piirkonda . Saadud väärtused on tekstis esile tõstetud (näiteks pliiatsiga ümber). Kui statsionaarne punkt EI kuulu piirkonda, siis märgime selle fakti ikooniga või suuliselt. Kui statsionaarseid punkte pole üldse, siis teeme kirjaliku järelduse, et need puuduvad. Igal juhul ei saa seda üksust vahele jätta!
– Piiriala uurimine. Esiteks on kasulik käsitleda sirgeid, mis on paralleelsed koordinaattelgedega (kui neid on). Samuti on esile tõstetud "kahtlastes" punktides arvutatud funktsioonide väärtused. Lahendustehnikast on ülal palju räägitud ja allpool räägitakse veel midagi - loe, loe uuesti, süvene!
- Valige valitud numbrite hulgast suurim ja väikseim väärtus ning andke vastus. Mõnikord juhtub, et funktsioon jõuab selliste väärtusteni mitmes punktis korraga - sel juhul peaksid kõik need punktid vastuses kajastuma. Olgu näiteks 
ja selgus, et see on väikseim väärtus. Siis me kirjutame selle
Viimased näited on pühendatud teistele kasulikele ideedele, mis tulevad praktikas kasuks:
Näide 4
Leia funktsiooni suurim ja väikseim väärtus suletud piirkonnas 
.
Olen säilitanud autori sõnastuse, milles pindala on antud topeltvõrratusena. Selle tingimuse saab selle probleemi jaoks kirjutada samaväärses süsteemis või traditsioonilisemas vormis: 
Tuletan teile meelde, et koos mittelineaarne kohtasime ebavõrdsust ja kui te ei mõista kande geomeetrilist tähendust, siis ärge viivitage ja tehke olukord kohe selgeks ;-)
Lahendus, nagu alati, algab ala ehitamisega, mis on omamoodi "tald": 
Hmm, mõnikord tuleb närida mitte ainult teadusgraniiti ....
I) Leidke statsionaarsed punktid: 
Idioodi unistuste süsteem :) 
Statsionaarne punkt kuulub piirkonda, nimelt asub selle piiril.
Ja nii, see pole midagi ... lõbus õppetund läks - seda tähendabki õige tee joomine =)
II) Uurime piirkonna piiri. Ilma pikema jututa alustame x-teljega:
1) Kui , siis
Leidke, kus on parabooli tipp:
- Hinda selliseid hetki – "lööge" otse punkti, kust kõik on juba selge. Kuid ärge unustage kontrollida: 
Arvutame segmendi otstes oleva funktsiooni väärtused: 
2) Me käsitleme "talla" alumist osa "ühel istumisel" - ilma kompleksideta asendame selle funktsiooniga, pealegi huvitab meid ainult segment:
Kontroll:
Nüüd toob see juba veidi elavdamist monotoonsesse sõitu rihveldatud rajal. Leiame kriitilised punktid:
Meie otsustame ruutvõrrand kas sa mäletad seda? ... Kuid pidage muidugi meeles, muidu te ei loeks neid ridu =) Kui kahes eelmises näites olid arvutused mugavad kümnendmurrud(mis, muide, on haruldane), siis siin ootame tavalist harilikud murded. Leiame "x" juured ja määrame võrrandi abil "kandidaat" punktide vastavad "mängu" koordinaadid: 
Arvutame leitud punktides funktsiooni väärtused: 
Kontrollige funktsiooni ise.
Nüüd uurime hoolikalt võidetud karikaid ja paneme kirja vastama:
Siin on "kandidaadid", seega "kandidaadid"!
Eraldiseisva lahenduse jaoks:
Näide 5
Leia funktsiooni väikseim ja suurim väärtus 
suletud alal 
Lokkis traksidega kirje kõlab järgmiselt: "punktide komplekt selline".
Mõnikord kasutavad nad sellistes näidetes Lagrange'i kordaja meetod, kuid tegelikku vajadust seda kasutada tõenäoliselt ei teki. Näiteks kui on antud funktsioon sama alaga "de", siis pärast sellesse asendust - raskusteta tuletisega; pealegi on kõik koostatud “ühele reale” (märkidega), ilma et oleks vaja ülemist ja alumist poolringi eraldi käsitleda. Kuid muidugi on keerulisemaid juhtumeid, kus ilma Lagrange'i funktsioonita (kus näiteks on sama ringvõrrand) raske on läbi saada – kui raske on ilma korraliku puhkuseta hakkama saada!
Edu seansi läbimiseks ja kohtumiseni järgmisel hooajal!
Lahendused ja vastused:
Näide 2: Lahendus: joonistage ala joonisele:
\(\blacktriangleright\) Funktsiooni suurima/väikseima väärtuse leidmiseks lõigul \(\) on vaja skemaatiliselt kujutada funktsiooni graafik sellel lõigul.
Selle alateema ülesannetes saab seda teha tuletise abil: leidke suurenemise (\(f">0\) ) ja vähenemise intervallid (\(f"<0\)
) функции, критические точки (где \(f"=0\)
или \(f"\)
не существует).
\(\blacktriangleright\) Ärge unustage, et funktsioon võib võtta maksimaalse/väikseima väärtuse mitte ainult lõigu \(\) sisemistes punktides, vaid ka selle otstes.
\(\blacktriangleright\) Funktsiooni suurim/väikseim väärtus on koordinaadi väärtus \(y=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Kompleksfunktsiooni \(f(t(x))\) tuletist otsitakse reegli järgi: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(massiiv)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(tuletis ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(massiivi) \quad \quad \quad \quad \begin(massiivi)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Tuletis ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(massiiv)\]
Ülesanne 1 #2357
Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga
Leidke funktsiooni \(y = e^(x^2 - 4)\) väikseim väärtus intervallil \([-10; -2]\) .
ODZ: \(x\) - suvaline.
1) \
\ Seega \(y" = 0\), kui \(x = 0\) .
3) Leiame vaadeldaval lõigul \([-10; -2]\) konstantse märgi \(y"\) intervallid:
4) Graafiku visand segmendil \([-10; -2]\) :
Seega saavutab funktsioon oma väikseima väärtuse \([-10; -2]\) juures \(x = -2\) .
\ Kokku: \(1\) on funktsiooni \(y\) väikseim väärtus \([-10; -2]\) .
Vastus: 1
Ülesanne 2 #2355
Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga
\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) segmendil \([-1; 1]\) .
ODZ: \(x\) - suvaline.
1) \
Leiame kriitilised punktid (st funktsiooni domeeni sisemised punktid, milles selle tuletis on võrdne \(0\) või seda pole olemas): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftright nool\qquad x = 0\,.\] Tuletis on olemas mis tahes \(x\) jaoks.
2) Leidke konstantse märgi \(y"\) intervallid:
3) Leiame vaadeldaval lõigul \([-1; 1]\) konstantse märgi \(y"\) intervallid:
4) Graafiku visand segmendil \([-1; 1]\) :
Seega saavutab funktsioon maksimaalse väärtuse \([-1; 1]\) \(x = -1\) või \(x = 1\) . Võrdleme funktsiooni väärtusi nendes punktides.
\ Kokku: \(2\) on funktsiooni \(y\) suurim väärtus \([-1; 1]\) .
Vastus: 2
Ülesanne 3 #2356
Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga
Leidke funktsiooni \(y = \cos 2x\) väikseim väärtus vahemikus \(\) .
ODZ: \(x\) - suvaline.
1) \
Leiame kriitilised punktid (st funktsiooni domeeni sisemised punktid, milles selle tuletis on võrdne \(0\) või seda pole olemas): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Tuletis on olemas mis tahes \(x\) jaoks.
2) Leidke konstantse märgi \(y"\) intervallid:
(siin on lõpmatu arv intervalle, milles tuletise märgid vahelduvad).
3) Leiame vaadeldaval lõigul \(\) püsivuse \(y"\) intervallid:
4) Graafiku visand segmendil \(\) :
Seega saavutab funktsioon oma väikseima väärtuse \(\) juures \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .
\ Kokku: \(-1\) on funktsiooni \(y\) väikseim väärtus \(\) .
Vastus: -1
Ülesanne 4 #915
Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga
Leia funktsiooni suurim väärtus
\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).
ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Otsustame ODZ-i üle:
1) Tähistage \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , siis \(y(t)=-\log_(17)t\) .
Leiame kriitilised punktid (st funktsiooni domeeni sisemised punktid, milles selle tuletis on võrdne \(0\) või seda pole olemas): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftright nool\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– ODZ-l, kust leiame juure \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . Funktsiooni \(y\) tuletist \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) jaoks ei eksisteeri, kuid sellel võrrandil on negatiivne diskriminant, seega pole sellel lahendeid. Funktsiooni suurima / väikseima väärtuse leidmiseks peate mõistma, kuidas selle graafik skemaatiliselt välja näeb.
2) Leidke konstantse märgi \(y"\) intervallid:
3) Graafiline visand:
Seega saavutab funktsioon oma maksimaalse väärtuse \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :
\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),
Kokku: \(0\) on funktsiooni \(y\) suurim väärtus.
Vastus: 0
Ülesanne 5 #2344
Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga
Leia funktsiooni väikseim väärtus
\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).
ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Otsustame ODZ-i üle:
1) Tähistage \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , siis \(y(t)=\log_(3)t\) .
Leiame kriitilised punktid (st funktsiooni domeeni sisemised punktid, milles selle tuletis on võrdne \(0\) või seda pole olemas): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftright nool\qquad 2x+8 = 0\]- ODZ-l, kust leiame juure \ (x \u003d -4 \) . Funktsiooni \(y\) tuletist \(x^2 + 8x + 19 = 0\) jaoks ei eksisteeri, kuid sellel võrrandil on negatiivne diskriminant, mistõttu sellel pole lahendeid. Funktsiooni suurima / väikseima väärtuse leidmiseks peate mõistma, kuidas selle graafik skemaatiliselt välja näeb.
2) Leidke konstantse märgi \(y"\) intervallid:
3) Graafiline visand:
Seega on \(x = -4\) funktsiooni \(y\) miinimumpunkt ja selles saavutatakse väikseim väärtus:
\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .
Kokku: \(1\) on funktsiooni \(y\) väikseim väärtus.
Vastus: 1
Ülesanne 6 #917
Ülesande tase: raskem kui eksam
Leia funktsiooni suurim väärtus
\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).
Selle teenusega saate leida funktsiooni suurim ja väikseim väärtusüks muutuja f(x) lahenduse kujundusega Wordis. Kui funktsioon f(x,y) on antud, siis on vaja leida kahe muutuja funktsiooni ekstreemum. Samuti saate leida funktsiooni suurendamise ja vähendamise intervallid.
Funktsioonide sisestamise reeglid:
Ühe muutuja funktsiooni ekstreemumi vajalik tingimus
Võrrand f" 0 (x *) = 0 on vajalik tingimusühe muutuja funktsiooni ekstreemum, s.o. punktis x * peab funktsiooni esimene tuletis kaduma. See valib statsionaarsed punktid x c, kus funktsioon ei suurene ega vähene.Ühe muutuja funktsiooni ekstreemumi piisav tingimus
Olgu f 0 (x) kaks korda diferentseeruv hulka D kuuluva x suhtes. Kui punktis x * on tingimus täidetud:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Siis on punkt x * funktsiooni lokaalse (globaalse) miinimumi punkt.
Kui punktis x * on tingimus täidetud:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
See punkt x * on lokaalne (globaalne) maksimum.
Näide nr 1. Leia funktsiooni suurim ja väikseim väärtus: segmendil .
Lahendus. 
Kriitiline punkt on üks x 1 = 2 (f'(x)=0). See punkt kuulub segmenti . (Punkt x=0 ei ole kriitiline, kuna 0∉).
Arvutame funktsiooni väärtused segmendi otstes ja kriitilises punktis.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Vastus: f min = 5/2, kui x=2; f max = 9 at x = 1
Näide nr 2. Kasutades kõrgemat järku tuletisi, leidke funktsiooni y=x-2sin(x) ekstreemum.
Lahendus.
Leia funktsiooni tuletis: y’=1-2cos(x) . Leiame kriitilised punktid: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Leiame y''=2sin(x), arvutame , seega x= π / 3 +2πk, k∈Z on funktsiooni miinimumpunktid; 
, seega x=- π / 3 +2πk, k∈Z on funktsiooni maksimumpunktid.
Näide nr 3. Uurige äärmusfunktsiooni punkti x=0 läheduses.
Lahendus. Siin on vaja leida funktsiooni ekstreem. Kui ekstreemum x=0 , siis leia selle tüüp (minimaalne või maksimum). Kui leitud punktide hulgas ei ole x = 0, siis arvuta funktsiooni f(x=0) väärtus.
Tuleb märkida, et kui antud punkti mõlemal küljel olev tuletis ei muuda oma märki, ei ammendu võimalikud olukorrad isegi diferentseeruvate funktsioonide puhul: võib juhtuda, et suvaliselt väikese naabruskonna korral punkti ühel küljel x 0 või mõlemal küljel muudab tuletis märki. Nendel punktidel tuleb äärmuse funktsioonide uurimiseks rakendada muid meetodeid.
Näide nr 4. Jagage arv 49 kaheks liikmeks, mille korrutis on suurim.
Lahendus. Olgu x esimene liige. Siis (49-x) on teine liige.
Toode on maksimaalne: x (49-x) → max
