Mida tähendab avaldise väärtuse hindamine. Kuidas hinnata avaldise väärtust? Hinnangute saamise meetodid, näited
Meie "Reshebnik" sisaldab vastuseid kõikidele ülesannetele ja harjutustele saidilt " Didaktilised materjalid Algebra 8. klass”; üksikasjalikult analüüsitakse nende lahendamise meetodeid ja meetodeid. "Reshebnik" on adresseeritud eranditult õpilaste vanematele, kodutööde kontrollimiseks ja probleemide lahendamisel abistamiseks.
Lühikese ajaga võivad vanematest saada üsna tõhusad koduõpetajad.
1. võimalus 4
polünoomile (kordusele) 4
C-2. Faktooring (ülevaade) 5
C-3. Täis- ja murdosa avaldised 6
C-4. Murru põhiomadus. Fraktsiooni vähendamine. 7
C-5; Fraktsiooni vähendamine (jätkub) 9
Koos samad nimetajad 10
erinevate nimetajatega 12
nimetajad (jätkub) 14
C-9. Murdude korrutamine 16
C-10. Murdude jagamine 17
C-11. Kõik toimingud murdarvudega 18
C-12. Funktsioon 19
C-13. Ratsionaal- ja irratsionaalarvud 22
C-14. Aritmeetiline ruutjuur 23
C-15. Võrrandite lahendamine kujul x2=a 27
C-16. Ligikaudsete väärtuste leidmine
ruutjuur 29
C-17. Funktsioon y=d/x 30
Juuretoode 31
Erajuured 33
S-20. Ruutjuur 34-st
C-21. Juuremärgi faktoristamine Juuremärgi faktoristamine 37
C-23. Võrrandid ja nende juured 42
Mittetäielikud ruutvõrrandid 43
S-25. Ruutvõrrandite lahendamine 45
(jätkub) 47
C-27. Vieta teoreem 49
C-28. Probleemide lahendamine koos
ruutvõrrandid 50
tegurid. Bikvadraatvõrrandid 51
S-30. Murdratsionaalvõrrandid 53
C-31. Probleemide lahendamine koos
ratsionaalvõrrandid 58
S-32. Numbrite võrdlus (ülevaade) 59
C-33. Arvuliste võrratuste omadused 60
S-34. Ebavõrdsuse liitmine ja korrutamine 62
S-35. Ebavõrdsuse tõestus 63
S-36. Avaldise väärtuse hindamine 65
C-37. Ligikaudne vea hinnang 66
S-38. Numbrite ümardamine 67
S-39. Suhteline viga 68
S-40. Ristmik ja komplektide liit 68
C-41. Numbrivahed 69
S-42. Ebavõrdsuse lahendamine 74
C-43. Ebavõrdsuse lahendamine (jätkub) 76
C-44. Väärtussüsteemide lahendamine 78
S-45. Ebavõrdsuse lahendamine 81
muutuja mooduli märgi 83 all
C-47. Kraad täisarvu eksponendiga 87
aste täisarvu eksponendiga 88
C-49. standardvaade number 91
S-50. Ligikaudsete väärtuste salvestamine 92
S-51. Statistika elemendid 93
(korda) 95
S-53. Definitsioon ruutfunktsioon 99
S-54. Funktsioon y=ax2 100
S-55. Funktsiooni y \u003d ax2 + bx + c 101 graafik
S-56. Ruutvõrratuste lahendamine 102
S-57. Vahe meetod 105
2. võimalus 108
C-1. Täisarvulise avaldise teisendamine
polünoomile (kordusele) 108
C-2. Faktooring (ülevaade) 109
C-3. Täis- ja murdosa avaldised 110
C-4. Murru põhiomadus.
Fraktsiooni vähendamine 111
C-5. Fraktsiooni vähendamine (jätkub) 112
C-6. Murdude liitmine ja lahutamine
samade nimetajatega 114
C-7. Murdude liitmine ja lahutamine
erinevad nimetajad 116
C-8. Erinevatega murdude liitmine ja lahutamine
nimetajad (jätkub) 117
C-9. Murdude korrutamine, 118
C-10. Murdude jagamine 119
C-11. Kõik toimingud murdarvudega 120
C-12. Funktsioon 121
C-13. Ratsionaal- ja irratsionaalarvud 123
C-14. Aritmeetiline ruutjuur 124
C-15. Võrrandite lahendamine kujul x2-a 127
C-16. Ligikaudsete ruutjuurte leidmine 129
C-17. Funktsioon y=\/x" 130
C-18. Toote ruutjuur.
Juuretoode 131
C-19. Murru ruutjuur.
Erajuured 133
S-20. Ruutjuur 134-st
C-21. Võttes kordaja juure märgi alt välja
Koefitsiendi sisestamine juure 137 märgi alla
C-22. Avaldise teisendamine,
C-23. Võrrandid ja nende juured 141
S-24. Ruutvõrrandi definitsioon.
Mittetäielikud ruutvõrrandid 142
S-25. Ruutvõrrandite lahendamine 144
C-26. Ruutvõrrandite lahendamine
(jätkub) 146
C-27. Vieta teoreem 148
C-28. Probleemide lahendamine koos
ruutvõrrandid 149
C-29. Ruuttrinoomi lagunemine järgmiseks
tegurid. Bikvadraatvõrrandid 150
S-30. Murdratsionaalvõrrandid 152
C-31. Probleemide lahendamine koos
ratsionaalvõrrandid 157
S-32. Numbrite võrdlus (arvustus) 158
C-33. Arvvõrratuste omadused 160
S-34. Ebavõrdsuse liitmine ja korrutamine 161
S-35. Ebavõrdsuse tõestus 162
S-36. Avaldise väärtuse hindamine 163
C-37. Ligikaudne vea hinnang 165
S-38. Numbrite ümardamine 165
S-39. Suhteline viga 166
S-40. Ristmik ja komplektide liit 166
C-41. Numbrivahed 167
S-42. Ebavõrdsuse lahendamine 172
C-43. Ebavõrdsuse lahendamine (jätkub) 174
C-44. Väärtussüsteemide lahendamine 176
S-45. Ebavõrdsuse lahendamine 179
S-46. Sisaldavad võrrandid ja võrratused
muutuja mooduli märgi 181 all
C-47. Kraad täisarvu eksponendiga 185
C-48. Avaldiste teisendamine, mis sisaldavad
kraadi täisarvu eksponendiga 187
C-49. Numbri 189 standardvorm
S-50. Ligikaudsete väärtuste salvestamine 190
S-51. Statistika elemendid 192
S-52. Funktsiooni mõiste. Funktsioonigraafik
(kordus) 193
S-53. Ruutfunktsiooni definitsioon 197
S-54. Funktsioon y=ax2 199
S-55. Funktsiooni y \u003d ax24-bzh + c 200 graafik
S-56. Ruutvõrratuste lahendamine 201
S-57. Vahe meetod 203
Eksamid 206
Variant 1 206
K-10 (finaal) 232
Variant 2 236
K-2A 238
K-ZA 242
K-9A (finaal) 257
Lõplik kordus teemade kaupa 263
Sügisolümpiamängud 274
Kevadolümpiamängud 275
M.: 2014 - 288s. M.: 2012 - 256s.
"Reshebnik" sisaldab vastuseid kõigile ülesannetele ja harjutustele "Didaktilised materjalid algebra klassile 8"; üksikasjalikult analüüsitakse nende lahendamise meetodeid ja meetodeid. "Reshebnik" on adresseeritud eranditult õpilaste vanematele, kodutööde kontrollimiseks ja probleemide lahendamisel abistamiseks. Lühikese ajaga võivad vanematest saada üsna tõhusad koduõpetajad.
Vorming: pdf (201 4 , 28 8s., Erin V.K.)
Suurus: 3,5 MB
Vaata, lae alla: drive.google
Vorming: pdf (2012 , 256 lk, Morozov A.V.)
Suurus: 2,1 MB
Vaata, lae alla: lingid eemaldatud (vaata märkust!!)
Vorming: pdf(2005 , 224 lk, Fedoskina N.S.)
Suurus: 1,7 MB
Vaata, lae alla: drive.google
Sisukord
Iseseisev töö 4
1. võimalus 4
polünoomile (kordusele) 4
C-2. Faktooring (ülevaade) 5
C-3. Täis- ja murdosa avaldised 6
C-4. Murru põhiomadus. Fraktsiooni vähendamine 7
C-5. Fraktsiooni vähendamine (jätkub) 9
samade nimetajatega 10
erinevate nimetajatega 12
nimetajad (jätkub) 14
C-9. Murdude korrutamine 16
C-10. Murdude jagamine 17
C-11. Kõik toimingud murdarvudega 18
C-12. Funktsioon 19
C-13. Ratsionaal- ja irratsionaalarvud 22
C-14. Aritmeetiline ruutjuur 23
C-15. Võrrandite lahendamine kujul x2=a 27
ruutjuur 29
C-17. Funktsioon y=\/x 30
Juuretoode 31
Erajuured 33
S-20. Ruutjuur 34-st
Koefitsiendi sisestamine juure märgi alla 37
sisaldab ruutjuuri 39
C-23. Võrrandid ja nende juured 42
Mittetäielikud ruutvõrrandid 43
S-25. Ruutvõrrandite lahendamine 45
(jätkub) 47
C-27. Vieta teoreem 49
ruutvõrrandid 50
tegurid. Bikvadraatvõrrandid 51
S-30. Murdratsionaalvõrrandid 53
ratsionaalvõrrandid 58
S-32. Numbrite võrdlus (ülevaade) 59
C-33. Arvuliste võrratuste omadused 60
S-34. Ebavõrdsuse liitmine ja korrutamine 62
S-35. Ebavõrdsuse tõestus 63
S-36. Avaldise väärtuse hindamine 65
C-37. Ligikaudne vea hinnang 66
S-38. Numbrite ümardamine 67
S-39. Suhteline viga 68
S-40. Ristmik ja komplektide liit 68
C-41. Numbrivahed 69
S-42. Ebavõrdsuse lahendamine 74
C-43. Ebavõrdsuse lahendamine (jätkub) 76
C-44. Väärtussüsteemide lahendamine 78
S-45. Ebavõrdsuse lahendamine 81
muutuja mooduli märgi 83 all
C-47. Kraad täisarvu eksponendiga 87
aste täisarvu eksponendiga 88
C-49. Numbri 91 standardvorm
S-50. Ligikaudsete väärtuste salvestamine 92
S-51. Statistika elemendid 93
(korda) 95
S-53. Ruutfunktsiooni definitsioon 99
S-54. Funktsioon y=ax2 100
S-55. Funktsiooni y \u003d ax2 + bx + c 101 graafik
S-56. Ruutvõrratuste lahendamine 102
S-57. Vahe meetod 105
2. võimalus 108
C-1. Täisarvulise avaldise teisendamine
polünoomile (kordusele) 108
C-2. Faktooring (ülevaade) 109
C-3. Tarkvaralised täis- ja murdarvud
C-4. Murru põhiomadus.
Fraktsiooni vähendamine 111
C-5. Fraktsiooni vähendamine (jätkub) 112
C-6. Murdude liitmine ja lahutamine
samade nimetajatega 114
C-7. Murdude liitmine ja lahutamine
erinevate nimetajatega 116
C-8. Erinevatega murdude liitmine ja lahutamine
nimetajad (jätkub) 117
C-9. Murdude 118 korrutamine
C-10. Murdude jagamine 119
C-11. Kõik toimingud murdarvudega 120
C-12. Funktsioon 121
C-13. Ratsionaal- ja irratsionaalarvud 123
C-14. Aritmeetiline ruutjuur 124
C-15. Võrrandite lahendamine kujul x2=a 127
C-16. Ligikaudsete väärtuste leidmine
ruutjuur 129
C-17. Funktsioon y=Vx 130
C-18. Toote ruutjuur.
Juuretoode 131
C-19. Murru ruutjuur.
Erajuured 133
S-20. Ruutjuur 134-st
C-21. Võttes kordaja juure märgi alt välja
Koefitsiendi sisestamine juure 137 märgi alla
C-22. avaldise teisendamine,
sisaldab ruutjuuri 138
C-23. Võrrandid ja nende juured 141
S-24. Ruutvõrrandi definitsioon.
Mittetäielikud ruutvõrrandid 142
S-25. Ruutvõrrandite lahendamine 144
C-26. Ruutvõrrandite lahendamine
(jätkub) 146
C-27. Vieta teoreem 148
C-28. Probleemide lahendamine koos
ruutvõrrandid 149
C-29. Ruuttrinoomi lagunemine järgmiseks
tegurid. Bikvadraatvõrrandid 150
S-30. Murdratsionaalvõrrandid 152
C-31. Probleemide lahendamine koos
ratsionaalvõrrandid 157
S-32. Numbrite võrdlus (arvustus) 158
C-33. Arvvõrratuste omadused 160
S-34. Ebavõrdsuse liitmine ja korrutamine 161
S-35. Ebavõrdsuse tõestus 162
S-36. Avaldise väärtuse hindamine 163
C-37. Ligikaudne vea hinnang 165
S-38. Numbrite ümardamine 165
S-39. Suhteline viga 166
S-40. Ristmik ja komplektide liit 166
C-41. Numbrivahed 167
S-42. Ebavõrdsuse lahendamine 172
C-43. Ebavõrdsuse lahendamine (jätkub) 174
C-44. Väärtussüsteemide lahendamine 176
S-45. Ebavõrdsuse lahendamine 179
S-46. Sisaldavad võrrandid ja võrratused
muutuja mooduli märgi 181 all
C-47. Kraad täisarvu eksponendiga 185
C-48. Avaldiste teisendamine, mis sisaldavad
kraadi täisarvu eksponendiga 187
C-49. Numbri 189 standardvorm
S-50. Ligikaudsete väärtuste salvestamine 190
S-51. Statistika elemendid 192
S-52. Funktsiooni mõiste. Funktsioonigraafik
(kordus) 193
S-53. Ruutfunktsiooni definitsioon 197
S-54. Funktsioon y=ax2 199
S-55. Funktsiooni y=ax2+txr+c 200 graafik
S-56. Ruutvõrratuste lahendamine 201
S-57. Vahe meetod 203
Eksamid 206
Variant 1 206
K-1 206
K-2 208
K-3 212
K-4 215
K-5 218
K-6 221
K-7 223
K-8 226
K-9 229
K-10 (finaal) 232
Variant 2 236
K-1A 236
K-2A 238
K-ZA 242
K-4A 243
K-5A 246
K-6A 249
K-7A 252
K-8A 255
K-9A (finaal) 257
Lõplik kordus teemade kaupa 263
Sügisolümpiamängud 274
Kevadolümpiamängud 275
Selles artiklis analüüsime esiteks, mida mõeldakse avaldise või funktsiooni väärtuste hindamise all, ja teiseks, kuidas avaldiste ja funktsioonide väärtusi hinnatakse. Esiteks tutvustame vajalikke definitsioone ja mõisteid. Pärast seda kirjeldame üksikasjalikult peamisi hinnangute saamise meetodeid. Teekonnal anname lahendusi tüüpilistele näidetele.
Mida tähendab avaldise väärtuse hindamine?
Me ei leidnud kooliõpikutest selgesõnalist vastust küsimusele, mida mõeldakse väljendi väärtuse hindamise all. Proovime sellega ise tegeleda, alustades nendest selleteemalistest infokildudest, mis sellegipoolest sisalduvad õpikutes ja ühtseks riigieksamiks valmistumise ja ülikoolidesse astumise ülesannete kogumites.
Vaatame, mida meid huvitaval teemal raamatutest leida võib. Siin on mõned tsitaadid:
Esimesed kaks näidet hõlmavad arvude ja arvavaldiste hindamist. Siin käsitleme avaldise üksiku väärtuse hindamist. Ülejäänud näited sisaldavad muutujatega avaldistega seotud hinnanguid. Igal muutuja väärtusel avaldise ODZ-st või mõnest meid huvitavast komplektist X (mis on loomulikult vastuvõetavate väärtuste vahemiku alamhulk) on oma avaldise väärtus. See tähendab, et kui ODZ (või komplekt X ) ei koosne ainsus, siis vastab muutujaga avaldis avaldise väärtuste komplektile. Sel juhul peame rääkima mitte ühe väärtuse hindamisest, vaid kõigi avaldise väärtuste hindamisest ODZ-s (või komplektis X). Selline hinnang leiab aset avaldise mis tahes väärtuse puhul, mis vastab ODZ (või hulga X ) muutuja mõnele väärtusele.
Arutlemiseks oleme pisut hajunud vastuse otsimisest küsimusele, mida tähendab avaldise väärtuse hindamine. Ülaltoodud näited edendavad meid selles küsimuses ja võimaldavad meil aktsepteerida kahte järgmist määratlust:
Definitsioon
Hinnake arvavaldise väärtust- see tähendab hinnatavat väärtust sisaldava numbrikomplekti määramist. Sel juhul on määratud numbriline komplekt arvavaldise väärtuse hinnang.
Definitsioon
Hinda avaldise väärtusi muutujaga ODZ-l (või komplektil X) - see tähendab arvulise komplekti määramist, mis sisaldab kõiki väärtusi, mille avaldis ODZ-s (või komplektis X) võtab. Sel juhul on määratud komplekt avaldise väärtuste hinnang.
On lihtne näha, et ühe avaldise jaoks saab määrata rohkem kui ühe hinnangu. Näiteks võib arvavaldise väärtus olla , või 
, või 
, või jne. Sama kehtib ka muutujatega avaldiste kohta. Näiteks väljend 
ODZ-l saab hinnata kui 
, või 
, või 
, jne. Sellega seoses tasub salvestatud definitsioonidele lisada täpsustus antud numbrilise hulga kohta, mis on hinnang: hinnang ei tohiks olla niikuinii, see peab vastama eesmärkidele, mille jaoks see on leitud. Näiteks võrrandi lahendamiseks 
sobiv skoor 
. Kuid see hinnang ei sobi enam võrrandi lahendamiseks 
, siin on avaldise väärtused 
tuleks hinnata erinevalt, näiteks: 
.
Eraldi tasub märkida, et üks avaldise f(x) väärtuste hinnangutest on vastava funktsiooni y=f(x) vahemik.
Selle lõigu lõpetuseks pöörame tähelepanu hinnangute salvestamise vormile. Tavaliselt kirjutatakse hinnangud ebavõrdsust kasutades. Kindlasti olete seda märganud.
Avaldise väärtuste hindamine ja funktsiooni väärtuste hindamine
Analoogiliselt avaldise väärtuste hindamisega saame rääkida funktsiooni väärtuste hindamisest. See tundub üsna loomulik, eriti kui mõeldakse valemitega defineeritud funktsioone, sest avaldise f(x) väärtuste hindamine ja funktsiooni y=f(x) väärtuste hindamine on sisuliselt samad. asi, mis on ilmselge. Lisaks on sageli mugav kirjeldada hinnangute saamise protsessi funktsiooni väärtuste hindamise mõttes. Eelkõige tehakse teatud juhtudel avaldise hinnangu saamine vastava funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmisega.
Hinnangute täpsuse kohta
Selle artikli esimeses lõigus ütlesime, et väljendi puhul võib selle väärtusi hinnata palju. Kas mõned neist on paremad kui teised? See sõltub lahendatavast probleemist. Selgitame näitega.
Näiteks kasutades avaldiste väärtuste hindamise meetodeid, mida on kirjeldatud järgmistes lõikudes, on võimalik saada kaks hinnangut avaldise väärtustele. 
: esimene on 
, teine on 
. Nende hinnangute saamise tööjõukulud erinevad oluliselt. Esimene neist on praktiliselt ilmne, samas kui teise hinnangu saamine hõlmab leidmist väikseim väärtus juuravaldis ja ruutjuurfunktsiooni monotoonsuse omaduse edasine kasutamine. Mõnel juhul saab mis tahes hinnangutest probleemi lahendamisega hakkama. Näiteks võimaldab iga meie hinnang võrrandit lahendada 
. On selge, et sel juhul piirduksime esimese ilmse hinnangu leidmisega ja loomulikult ei pingutaks end teise hinnangu leidmisega. Kuid muudel juhtudel võib selguda, et üks hinnangutest ei sobi probleemi lahendamiseks. Näiteks meie esimene hinnang ei lahenda võrrandit 
ja hinnang võimaldab teil seda teha. See tähendab, et antud juhul ei piisaks meile esimesest ilmsest hinnangust ja me peaksime leidma teise hinnangu.
Seega lähenesime hinnangute täpsuse küsimusele. Täpsemalt on võimalik määratleda, mida mõeldakse hinnangu täpsuse all. Kuid meie vajaduste jaoks pole see eriti vajalik, meile piisab lihtsustatud ettekujutusest hinnangu täpsusest. Lepime kokku, et tajuma hinnangu täpsust mingi analoogina ligikaudne täpsus. See tähendab, et vaatleme mõne avaldise f(x) väärtuste kahe hinnangu põhjal seda, mis on funktsiooni y=f(x) vahemikule "lähemal", täpsemaks. Selles mõttes skoor on avaldise väärtuste kõigist võimalikest hinnangutest kõige täpsem , kuna see langeb kokku vastava funktsiooni vahemikuga 
. On selge, et hindamine täpsemaid hinnanguid . Teisisõnu skoor karmimad hinnangud .
Kas on mõtet alati otsida kõige täpsemaid hinnanguid? Ei. Ja siin on mõte selles, et probleemide lahendamiseks piisab sageli suhteliselt umbkaudsetest hinnangutest. Ja selliste hinnangute peamine eelis täpsete hinnangute ees on see, et neid on sageli palju lihtsam saada.
Põhimeetodid hinnangute saamiseks
Põhiliste elementaarfunktsioonide väärtuste hinnangud
Funktsiooni väärtuste y=|x| hinnang
Lisaks peamisele elementaarsed funktsioonid, hästi uuritud ja hinnangute saamise seisukohalt kasulik funktsioon y=|x|. Teame selle funktsiooni ulatust: ; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
"Algebraliste murdude liitmine ja lahutamine" - Algebralised murrud. 4a?b. Uuring uus teema. Eesmärgid: pidage meeles! Kravchenko G. M. Näited:
"Kraadid täisarvu indikaatoriga" - Feoktistov Ilja Jevgenievitš Moskva. 3. Kraad täisarvu indikaatoriga (5 tundi) lk.43. Algebra õpetamine 8. klassis koos süvaõpe matemaatika. Negatiivse täisarvulise astendajaga astendaja viivitus... Teadke negatiivse täisarvuga eksponendi määratlust. 2.
"Ruutvõrrandi tüübid" – mittetäielikud ruutvõrrandid. Küsimused... Täielikud ruutvõrrandid. Ruutvõrrandid. Ruutvõrrandi definitsioon Ruutvõrrandite liigid Ruutvõrrandite lahendus. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid. Rühm "Diskriminant": Mironov A., Migunov D., Zaitsev D., Sidorov E, Ivanov N., Petrov G. Redutseeritud ruutvõrrand. Lõpetanud: 8. "in" klassi õpilased. Täisruudu valiku meetod. Ruutvõrrandite tüübid. Lase. Graafiline viis.
"Arvulise ebavõrdsuse hinne 8" – A-c> 0. Ebavõrdsused. A<0 означает, что а – отрицательное число. >= "Suurem või võrdne." b>c. Kirjutage a>b või a
"Ruutvõrrandite lahendus Vieta teoreem" - Üks võrrandi juurtest on 5. Ülesanne number 1. SM "Kislovskaja keskkool". Juhendaja: matemaatikaõpetaja Barannikova E. A. Kislovka - 2008 (Esitlus algebra tunni jaoks 8. klassis). Leia x2 ja k Töö tegi: 8. klassi õpilane Slinko V. Ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil.
