Õpime polünoome viima standardvormile. Polünoomide standardvormi viimise õppimine Polünoomi standardvorm

30.11.2020

Polünoomi mõiste

Polünoomi definitsioon: polünoom on monomialide summa. Polünoomi näide:

siin näeme kahe monoomi summat ja see on polünoom, st. monomialide summa.

Polünoomi moodustavaid termineid nimetatakse polünoomi liikmeteks.

Kas monomialide erinevus on polünoom? Jah, on, sest vahe taandatakse lihtsalt summaks, näiteks: 5a - 2b = 5a + (-2b).

Monoome loetakse ka polünoomideks. Kuid monomialis pole summat, siis miks peetakse seda polünoomiks? Ja saate sellele lisada nulli ja saada selle summa nullmonoomiga. Nii et monoom on erijuhtum polünoom, koosneb see ühest liikmest.

Arv null on nullpolünoom.

Polünoomi standardvorm

Mis on standardvormi polünoom? Polünoom on monomialide summa ja kui kõik need polünoomi moodustavad monooomid on kirjutatud standardkujul, lisaks ei tohiks nende hulgas sarnaseid olla, siis kirjutatakse polünoom standardkujul.

Näide polünoomist standardkujul:

siin koosneb polünoom 2 monoomist, millest igaühel on standardvorm, monomialide hulgas pole sarnaseid.

Nüüd näide polünoomist, millel pole standardvormi:

siin on kaks monomi: 2a ja 4a on sarnased. Peame need lisama, siis saab polünoom standardvormi:

Veel üks näide:

Kas see polünoom on taandatud standardkujule? Ei, selle teine liige ei ole kirjutatud standardvormis. Kirjutades selle standardkujul, saame standardvormi polünoomi:

Polünoomi aste

Mis on polünoomi aste?

Polünoomi kraadi määratlus:

Polünoomi aste on suurim aste, mis on antud standardkujulise polünoomi moodustavatel monomidel.

Näide. Mis on polünoomi 5h aste? Polünoomi 5h aste on võrdne ühega, kuna see polünoom sisaldab ainult ühte monomi ja selle aste on võrdne ühega.

Veel üks näide. Mis on polünoomi 5a 2 h 3 s 4 +1 aste? Polünoomi 5a 2 h 3 s 4 + 1 aste on üheksa, kuna see polünoomi sisaldab kahte monoomi, esimene monoom 5a 2 h 3 s 4 on kõrgeima astmega ja selle aste on 9.

Veel üks näide. Mis on polünoomi 5 aste? Polünoomi 5 aste on null. Niisiis, ainult arvust koosneva polünoomi aste, st. ilma tähtedeta on võrdne nulliga.

Viimane näide. Mis on nullpolünoomi aste, s.o. null? Nullpolünoomi aste ei ole määratletud.

Ütlesime, et toimuvad nii standardsed kui ka mittestandardsed polünoomid. Samas kohas märkisime, et mis tahes polünoom standardvormiks. Selles artiklis selgitame kõigepealt välja, mis tähendus sellel fraasil on. Järgmisena loetleme sammud, mis võimaldavad teil teisendada mis tahes polünoomi standardvormiks. Lõpuks kaaluge tüüpiliste näidete lahendusi. Kirjeldame lahendusi väga põhjalikult, et käsitleda kõiki nüansse, mis tekivad polünoomide tüüpvormile toomisel.

Leheküljel navigeerimine.

Mida tähendab polünoomi viimine standardvormile?

Kõigepealt peate selgelt aru saama, mida mõeldakse polünoomi standardvormile viimise all. Tegeleme sellega.

Polünoomidele, nagu ka teistele avaldistele, saab teha identseid teisendusi. Selliste teisenduste tulemusena saadakse avaldised, mis on identselt võrdsed algse avaldisega. Seega võimaldab teatud teisenduste sooritamine mittestandardse kujuga polünoomidega üle minna polünoomidele, mis on nendega identselt võrdsed, kuid juba standardkujul kirjutatud. Sellist üleminekut nimetatakse polünoomi taandamiseks standardkujule.

Niisiis, viia polünoom standardvormile- see tähendab algse polünoomi asendamist sellega identselt võrdväärse standardkujuga polünoomiga, mis on saadud originaalpolünoomist identsete teisenduste läbiviimisel.

Kuidas viia polünoomi standardkujule?

Mõelgem, millised teisendused aitavad meil viia polünoomi standardkujule. Alustame tüüpkuju polünoomi definitsioonist.

Definitsiooni järgi on standardvormi polünoomi iga liige standardvormi monoom ja standardvormi polünoom selliseid termineid ei sisalda. Ebastandardsel kujul kirjutatud polünoomid võivad omakorda koosneda mittestandardsel kujul olevatest monoomidest ja sisaldada sarnaseid termineid. See viib loogiliselt järgmise reeglini. kuidas teisendada polünoomi standardvormiks:

kõigepealt peate viima standardvormile monoomid, mis moodustavad algse polünoomi,
ja seejärel teostage sarnaste terminite taandamine.

Selle tulemusel saadakse standardvormi polünoom, kuna kõik selle liikmed kirjutatakse standardkujul ja see ei sisalda selliseid liikmeid.

Näited, lahendused

Mõelge polünoomide standardvormile toomise näidetele. Lahendamisel järgime samme, mis on ette nähtud eelmise lõigu reegliga.

Siinkohal märgime, et mõnikord kirjutatakse kõik polünoomi liikmed standardkujul korraga, sellisel juhul piisab sarnaste terminite toomisest. Mõnikord pole pärast polünoomi tingimuste taandamist standardvormile sarnaseid liikmeid, seetõttu jäetakse selliste liikmete redutseerimise etapp antud juhul välja. Üldiselt peate tegema mõlemat.

Näide.

Väljendage polünoomid standardkujul: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1, 0,8+2 a 3 0,6-b a b 4 b 5 ja .

Lahendus.

Kõik polünoomi 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 liikmed on kirjutatud standardkujul, tal selliseid liikmeid pole, seetõttu on see polünoom juba standardkujul esitatud.

Liigume edasi järgmise polünoomi juurde 0,8+2 a 3 0,6-b a b 4 b 5. Selle vorm ei ole standardne, mida tõendavad mittestandardse vormi terminid 2·a 3 ·0,6 ja −b·a·b 4 ·b 5. Esitame selle standardvormis.

Algse polünoomi standardvormile viimise esimeses etapis peame esindama kõiki selle liikmeid standardvormil. Seetõttu taandame monoomi 2 a 3 0,6 standardkujule, saame 2 a 3 0,6=1,2 a 3, mille järel monoomi −b a b 4 b 5, saame −b a b 4 b 5 = −a b 1+4+5 = −a b 10. Sellel viisil, . Saadud polünoomis on kõik terminid kirjutatud standardkujul, pealegi on ilmne, et tal selliseid termineid pole. Seetõttu lõpetab see algse polünoomi taandamise standardvormile.

Jääb esitada standardkujul viimane antud polünoomidest. Pärast kõigi selle liikmete tüüpvormi viimist kirjutatakse see kujul . Sellel on sarnased liikmed, seega peate üle kandma sarnaseid liikmeid:

Seega sai algne polünoom standardkuju −x y+1 .

Vastus:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – juba standardkujul, 0,8+2 a 3 0,6-b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 -a b 10, .

Sageli on polünoomi viimine standardvormile vaid vaheetapp ülesande küsimusele vastamisel. Näiteks polünoomi astme leidmine hõlmab selle esialgset esitamist standardkujul.

Näide.

Tooge polünoom tüüpvormile, märgi selle aste ja järjesta terminid muutuja kahanevatesse astmetesse.

Lahendus.

Esiteks toome kõik polünoomi tingimused standardvormile: .

Nüüd anname sarnased liikmed:

Niisiis viisime algse polünoomi standardvormile, mis võimaldab meil määrata polünoomi astme, mis on võrdne selles sisalduvate monomialide suurima astmega. Ilmselgelt on see 5.

Jääb üle korraldada polünoomi liikmed muutujate vähenevates astmetes. Selleks tuleb tüüpvormi tulemuseks olevas polünoomis terminid nõuet arvesse võttes ümber paigutada. Terminil z 5 on kõrgeim aste, liikmete −0,5·z 2 ja 11 astmed on vastavalt 3 , 2 ja 0 . Seetõttu on polünoomil, mille terminid on järjestatud muutuja kahaneva astmega, kuju .

Vastus:

Polünoomi aste on 5 ja pärast selle liikmete järjestamist muutuja kahaneva astmega saab see kuju .

Bibliograafia.

Algebra:õpik 7 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 17. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 240 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovitš A.G. Algebra. 7. klass. Kell 14 1. osa Õpilase õpik õppeasutused/ A. G. Mordkovitš. - 17. väljaanne, lisa. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 lk.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
Algebra ja alusta matemaatiline analüüs. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - M.: Valgustus, 2010.- 368 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusev V. A., Mordkovitš A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

Polünoom on monomialide summa. Kui kõik polünoomi liikmed on kirjutatud tüüpkujul (vt punkt 51) ja sooritada sarnaste liikmete taandamine, siis saadakse tüüpkuju polünoom.

Iga täisarvu avaldise saab teisendada standardkuju polünoomiks – selleks on täisarvuavaldiste teisendused (lihtsustused).

Mõelge näidetele, kus kogu avaldis tuleb taandada polünoomi standardvormiks.

Lahendus. Esiteks toome polünoomi tingimused standardvormile. Saame Pärast sarnaste liikmete redutseerimist saame standardkuju polünoomi

Lahendus. Kui sulgude ees on plussmärk, siis võib sulud ära jätta, jättes alles kõigi sulgudes olevate terminite märgid. Kasutades seda reeglit sulgude avamiseks, saame:

Lahendus. Kui sulgude ees on ziak “miinus”, siis saab sulud ära jätta, muutes kõigi sulgudes olevate terminite märke. Kasutades seda sulgude vältimise reeglit, saame:

Lahendus. Monoomi ja polünoomi korrutis on jaotusseaduse kohaselt võrdne selle monoomi ja polünoomi iga liikme korrutiste summaga. Saame

Lahendus. Meil on

Jääb üle anda sarnased terminid (need on alla joonitud). Saame:

53. Lühendatud korrutamise valemid.

Mõnel juhul tehakse kogu avaldise taandamine polünoomi standardvormiks identiteetide abil:

Neid identiteete nimetatakse lühendatud korrutamisvalemiteks,

Vaatleme näiteid, mille puhul on vaja antud avaldis teisendada standardvormiks myogles.

Näide 1. .

Lahendus. Kasutades valemit (1), saame:

Näide 2. .

Lahendus.

Näide 3. .

Lahendus. Kasutades valemit (3), saame:

Näide 4

Lahendus. Kasutades valemit (4), saame:

54. Polünoomide faktoriseerimine.

Mõnikord saate polünoomi teisendada mitme teguri korrutiseks – polünoomideks või alamliikmeteks. Sellist identiteedi teisendust nimetatakse polünoomi faktoriseerimiseks. Sel juhul öeldakse, et polünoom jagub kõigi nende teguritega.

Mõelge mõnele polünoomide faktoriseerimise viisile,

1) Ühise teguri eemaldamine sulust. See teisendus on jaotusseaduse otsene tagajärg (selguse huvides on vaja see seadus ainult "paremalt vasakule" ümber kirjutada):

Näide 1. Polünoomi faktoriseerimine

Lahendus. .

Tavaliselt võetakse ühisteguri sulgudest välja võttes iga polünoomi kõigis liikmetes sisalduv muutuja välja väikseima astendajaga, mis sellel polünoomil on. Kui polünoomi kõik koefitsiendid on täisarvud, siis võetakse ühisteguri koefitsiendiks suurim moodul ühine jagaja kõik polünoomi koefitsiendid.

2) Lühendatud korrutamisvalemite kasutamine. Valemid (1) - (7) punktist 53, loetuna paremalt vasakule, osutuvad paljudel juhtudel kasulikuks polünoomide faktoriseerimiseks.

Näide 2. Faktoriseerimine .

Lahendus. Meil on . Rakendades valemit (1) (ruutude erinevus), saame . Taotlemine

nüüd valemid (4) ja (5) (kuubikute summa, kuubikute vahe), saame:

Näide 3. .

Lahendus. Võtame kõigepealt sulgusest välja ühisteguri. Selleks leiame koefitsientide 4, 16, 16 suurima ühisjagaja ja väikseimad astendajad, millega muutujad a ja b sisalduvad selle polünoomi moodustavates monomides. Saame:

3) Rühmitamise meetod. See põhineb asjaolul, et see on nihutatav ja assotsiatiivsed seadused täiendused võimaldavad polünoomi tingimusi mitmel viisil rühmitada. Mõnikord on võimalik selline rühmitamine, et pärast iga rühma ühistegurite sulgudesse panemist jääb sulgudesse üks ja seesama polünoom, mida saab omakorda ühise tegurina sulgudesse panna. Vaatleme polünoomi faktoriseerimise näiteid.

Näide 4. .

Lahendus. Rühmitame selle järgmiselt:

Esimesest rühmast võtame välja teisest rühmast ühisteguri - ühisteguri 5. Nüüd saame polünoomi kui ühisteguri, mille võtame sulgudest välja: Seega saame:

Näide 5

Lahendus. .

Näide 6

Lahendus. Siin ei põhjusta ükski rühmitamine sama polünoomi ilmumist kõigis rühmades. Sellistel juhtudel osutub mõnikord kasulikuks esitada polünoomi mis tahes liige summana ja seejärel proovida uuesti rühmitusmeetodit rakendada. Meie näites on soovitatav esitada summana, mille saame

Näide 7

Lahendus. Me liidame ja lahutame monomiaali, saame

55. Polünoomid ühes muutujas.

Polünoomi, kus a, b on muutujad arvud, nimetatakse esimese astme polünoomiks; polünoomi, kus a, b, c on muutujad arvud, nimetatakse teise astme polünoomiks või ruudukujuline kolmik; polünoom, kus a, b, c, d on arvud, muutujat nimetatakse kolmanda astme polünoomiks.

Üldiselt, kui o on muutuja, siis polünoom

nimetatakse lshomogeneaalseks astmeks (x suhtes); , polünoomi m-liikmed, koefitsiendid, polünoomi juhtliige, ja on polünoomi juhtivliikme koefitsient, polünoomi vaba liige. Tavaliselt kirjutatakse polünoom muutuja kahaneva astmega, st muutuja astmed vähenevad järk-järgult, eelkõige on esikohal vanem liige ja viimasel kohal vaba liige. Polünoomi aste on juhtliikme aste.

Näiteks viienda astme polünoom, mille juhtiv liige 1 on polünoomi vaba liige.

Polünoomi juur on väärtus, mille juures polünoom kaob. Näiteks arv 2 on polünoomi juur, sest