Võrdhaarse kolmnurga aluse valem külgede järgi. Kuidas leida kujundi pindala, kui üks nurk on täisnurk? Vaadeldavates valemites kasutatavate suuruste tähistused

28.10.2019

Ülaltoodud joonise külgede ja nurkade tähetähised vastavad valemites näidatud tähistele. Nii et see aitab teil neid elementidega sobitada võrdhaarne kolmnurk. Tehke ülesande olukorrast teada, millised elemendid on teada, leidke jooniselt nende tähised ja valige sobiv valem.

Võrdhaarse kolmnurga pindala valem

Järgmised on valemid võrdhaarse kolmnurga pindala leidmiseks: läbi külgede, külje ja nendevahelise nurga, läbi külje, aluse ja nurga ülaosas, läbi aluse külje ja nurga allosas jne. Lihtsalt leia vasakpoolselt pildilt kõige sobivam. Kõige uudishimulikumatele selgitab parempoolne tekst, miks valem on õige ja kuidas seda täpselt ala leidmiseks kasutatakse.

võib leida teades selle külge ja alust. See väljend saadi üldisema universaalse valemi lihtsustamisel. Kui võtta aluseks Heroni valem ja seejärel võtta arvesse, et kolmnurga kaks külge on üksteisega võrdsed, siis avaldis lihtsustatakse pildil näidatud valemiga.
Sellise valemi kasutamise näide on toodud allolevas ülesande lahendamise näites.
Teine valem võimaldab teil leida selle ala läbi külgede ja nendevahelise nurga on pool külje ruudust, korrutatuna külgedevahelise nurga siinusega
Kui alandame vaimselt kõrgust võrdhaarse kolmnurga küljele, siis märgime, et selle pikkus võrdub * sin β. Kuna külgmise külje pikkus on meile teada, on nüüd teada sellele langetatud kõrgus, pool nende korrutisest ja võrdub antud võrdhaarse kolmnurga pindalaga (Selgitus: täielik töö annab ristküliku pindala, mis on ilmne. Kõrgus jagab selle ristküliku kaheks väikeseks ristkülikuks, samas kui kolmnurga küljed on nende diagonaalid, mis jagavad need täpselt pooleks. Seega võrdub võrdhaarse kolmnurga pindala poolega külgmise külje korrutisest kõrgusega). Vaata ka Vormel 5
Kolmas valem näitab pindala läbi külje, aluse ja tipunurga.
Rangelt võttes, teades üht võrdhaarse kolmnurga nurka, leiate ka ülejäänud, nii et selle või eelmise valemi rakendamine on maitse küsimus (muide, võite neist meelde jätta ainult ühe).
Kolmandal valemil on ka teine huvitav omadus- töö a patt annab meile alusele langetatud kõrguse pikkuse. Selle tulemusena saame lihtsa ja ilmse valemi 5.
Võrdhaarse kolmnurga pindala võib ka leida läbi aluse külje ja nurga aluse juures(nurgad aluse juures on võrdsed) kui aluse ruut jagatud nelja puutujaga poole nurgast, mille moodustavad selle küljed. Kui vaatate tähelepanelikult, selgub, et pool baasist (b/2) korrutatuna tg(β/2) annab meile kolmnurga kõrguse. Kuna võrdhaarse kolmnurga kõrgus on nii poolitaja kui ka mediaan, siis tg(β/2) on poole aluse (b/2) ja kõrguse suhe - tg(β/2) = (b/2) /h. kust h = b / (2 tg(β/2)). Selle tulemusena taandatakse valem taas lihtsamale vormel 5-le, mis on üsna ilmne.
Muidugi võrdhaarse kolmnurga pindala saab leida, kukutades kõrguse tipust alusele, mille tulemuseks on kaks täisnurkset kolmnurka. Lisaks - kõik on ilmne. Pool kõrguse korrutisest alusega ja see on vajalik ala. Selle valemi kasutamise näide, vaadake allolevat probleemi (2. lahendusmeetod)
See valem saadakse, püüdes leida võrdhaarse kolmnurga pindala kasutades Pythagorase teoreemi. Selleks väljendame kõrgust eelmisest valemist, mis on samal ajal jalg täisnurkne kolmnurk, mille moodustab külg, pool selle alusest ja kõrgusest Pythagorase teoreemi kaudu. Külgkülg on hüpotenuus, seetõttu lahutame külgmise külje ruudust (a) teise jala ruudu. Kuna see võrdub poolega alusest (b / 2), on selle ruut võrdne b 2 / 4. Selle väljendi juure eraldamine annab meile kõrguse. Nagu on näha valemist 6. Kui lugeja ja nimetaja korrutada kahega ning seejärel sisestada lugeja kaks juurmärgi alla, saame sama valemi teise versiooni, mis kirjutatakse läbi "võrdne" märk.
Muide, targemad näevad, et kui vormel 1 avada sulud, siis muutub see vormeliks 6. Või vastupidi, kahe arvu ruutude erinevus, mis on teguriks lagunenud, annab meile originaali, esiteks üks.

Märge, mida rakendati joonisel olevates valemites:

a- kolmnurga ühe kahest võrdsest küljest pikkus

b- põhja pikkus

α - ühe kahest võrdsest nurgast aluses

β - vaheline nurk võrdsed küljed kolmnurk ja selle vastandalus

h- kõrguse pikkus, langetatud võrdhaarse kolmnurga tipust alusele

Tähtis. Pöörake tähelepanu muutujate tähistusele! Ärge ajage segadusse α Ja β, sama hästi kui a Ja b!

Märge. See on osa õppetunnist, kus on geomeetria ülesanded (lõikake võrdhaarse kolmnurga pindala). Siin on ülesanded, mis põhjustavad raskusi lahendamisel. Kui teil on vaja lahendada geomeetria probleem, mida siin pole - kirjutage sellest foorumisse. Ruutjuure eraldamise toimingu tähistamiseks ülesannete lahendamisel kasutatakse sümbolit √ või sqrt () ja radikaalavaldis on näidatud sulgudes.

Ülesanne

Võrdhaarse kolmnurga külje pikkus on 13 cm ja põhi on 10 cm. Leia piirkond võrdhaarne kolmnurk.

Lahendus.

1. viis. Rakendame Heroni valemit. Kuna kolmnurk on võrdhaarne, on sellel lihtsam vorm (vt ülaltoodud valemite loendis valemit 1):

kus a on külgede pikkus ja b on aluse pikkus.
Asendades kolmnurga külgede pikkuste väärtused ülesande tingimusest, saame:
S \u003d 1/2 * 10 * √ ((13 + 5) (13 - 5)) \u003d 5 √ (18 * 8) \u003d 60 cm 2

2. viis. Rakendame Pythagorase teoreemi
Oletame, et me ei mäleta esimeses lahenduses kasutatud valemit. Seetõttu langetame kõrguse BK tipust B alusele AC.
Kuna võrdhaarse kolmnurga kõrgus poolitab selle aluse, on poole aluse pikkus võrdne
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 cm.

Võrdhaarse kolmnurga poole aluse ja küljega kõrgus merepinnast moodustab täisnurkse kolmnurga ABK. Selles kolmnurgas tunneme hüpotenuusi AB ja jalga AK. Avaldame teise jala pikkust Pythagorase teoreemi kaudu.

Matemaatika on hämmastav teadus. Selline mõte tuleb aga alles siis, kui sellest aru saad. Selle saavutamiseks tuleb lahendada ülesandeid ja näiteid, joonistada diagramme ja jooniseid, tõestada teoreeme.

Geomeetria mõistmise tee kulgeb probleemide lahendamise kaudu. Suurepärane näide on ülesanded, mille puhul peate leidma võrdhaarse kolmnurga pindala.

Mis on võrdhaarne kolmnurk ja mille poolest see teistest erineb?

Selleks, et mitte hirmutada mõisted "kõrgus", "pindala", "alus", "võrdhaarne kolmnurk" ja teised, peate alustama teoreetilistest alustest.

Kõigepealt kolmnurgast. See on tasane kujund, mis on moodustatud kolmest punktist - tippudest, mis on omakorda ühendatud segmentidega. Kui kaks neist on üksteisega võrdsed, muutub kolmnurk võrdhaarseks. Neid külgi nimetati küljeks ja ülejäänutest sai alus.

Olemas erijuhtum võrdhaarne kolmnurk - võrdkülgne, kui kolmas külg on võrdne kahe küljega.

Kuju omadused

Nad osutuvad ustavateks abilisteks probleemide lahendamisel, mis nõuavad võrdhaarse kolmnurga pindala leidmist. Seetõttu on vaja neid teada ja meeles pidada.

Esimene neist: võrdhaarse kolmnurga nurgad, mille üks külg on alus, on alati üksteisega võrdsed.
Oluline on ka omadus lisaehituste kohta. Paarimata poolele tõmmatud kõrgus, mediaan ja poolitaja on samad.
Kolmnurga aluse nurkadest tõmmatud samad lõigud on paarides võrdsed. See muudab ka sageli lahenduse leidmise lihtsamaks.
Kaks võrdsed nurgad selle väärtus on alati väiksem kui 90º.
Ja viimane asi: sisse kirjutatud ja piiritletud ringid on ehitatud nii, et nende keskpunktid asuvad kolmnurga aluse kõrgusel, mis tähendab mediaani ja poolitajat.

Kuidas ülesandes ära tunda võrdhaarne kolmnurk?

Kui ülesande lahendamisel tekib küsimus, kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala, peate kõigepealt mõistma, et see kuulub sellesse rühma. Ja see aitab teatud märke.

Kolmnurga kaks nurka või kaks külge on võrdsed.
Poolitaja on ka mediaan.
Kolmnurga kõrgus osutub mediaaniks või poolitajaks.
Figuuri kaks kõrgust, mediaani või poolitajat on võrdsed.

Vaadeldavates valemites kasutatavate suuruste tähistused

Võrdhaarse kolmnurga pindala valemite abil leidmise lihtsustamiseks on kasutusele võetud selle elementide asendamine tähtedega.

Tähelepanu! Tähtis on mitte segi ajada "a"-ga "A" ja "b"-ga "B". Need on erineva suurusega.

Valemid, mida saab kasutada erinevates ülesannetes

Külgede pikkused on teada ja selleks on vaja leida võrdhaarse kolmnurga pindala.

Sel juhul peavad mõlemad väärtused olema ruudus. Külje muutmisel saadud arv korrutage 4-ga ja lahutage sellest teine. Võtke saadud erinevuse ruutjuur. Jagage aluse pikkus 4-ga. Korrutage kaks arvu. Kui kirjutame need toimingud tähtedega, saame järgmise valemi:

Salvestage see numbri 1 alla.

Leidke võrdhaarse kolmnurga pindala külgedelt. Valem, mis võib mõnele tunduda lihtsam kui esimene.

Esimene samm on leida pool alusest. Seejärel leidke selle arvu summa ja vahe küljega. Korrutage kaks viimast väärtust ja eraldage Ruutjuur. Viimane samm on korrutada kõik poole baasiga. Sõnasõnaline võrdsus näeks välja selline:

See on valem nr 2.

Võimalus leida võrdhaarse kolmnurga pindala, kui teate selle alust ja kõrgust.

Üks lühemaid valemeid. Selles peate need mõlemad väärtused korrutama ja jagama 2-ga. See kirjutatakse järgmiselt:

Selle valemi number on 3.

Ülesandes on teada kolmnurga küljed ning aluse ja külje vahele jääva nurga väärtus.

Siin, et teada saada, milline on võrdhaarse kolmnurga pindala, koosneb valem mitmest tegurist. Esimene on nurga siinuse väärtus. Teine on võrdne külje ja aluse korrutisega. Kolmas on murdosa ½. Üldine matemaatika tähistus:

Valemi järjekorranumber on 4.

Ülesanne on antud: võrdhaarse kolmnurga külgkülg ja nurk selle külgmiste külgede vahel.

Nagu ka eelmisel juhul, leitakse ala kolme teguri järgi. Esimene on võrdne tingimuses määratud nurga siinuse väärtusega. Teine on külje ruut. Ja viimane on samuti võrdne poole ühikuga. Selle tulemusena kirjutatakse valem järgmiselt:

Tema number on 5.

Valem, mis võimaldab leida võrdhaarse kolmnurga pindala, kui on teada selle alus ja selle vastasnurk.

Kõigepealt peate arvutama poole teadaoleva nurga puutuja. Korrutage saadud arv 4-ga. Külje pikkus ruuduga, mis seejärel jagatakse eelmise väärtusega. Seega selgub järgmine valem:

Viimase valemi number on 6.

Ülesannete näited

Esimene ülesanne: on teada, et võrdhaarse kolmnurga põhi on 10 cm ja kõrgus 5 cm, tuleb määrata selle pindala.

Selle lahendamiseks on loogiline valida valem number 3. Selles on kõik teada. Ühendage numbrid ja loendage. Selgub, et pindala on 10 * 5/2. See tähendab, et 25 cm 2.

Teine ülesanne: võrdhaarses kolmnurgas on antud külg ja alus, mis on vastavalt 5 ja 8 cm.Leia selle pindala.

Esimene viis. Vormel 1. Aluse ruudustamisel on arv 64 ja külje neljakordne ruut on 100. Pärast esimese lahutamist teisest on esimene 36. Juur, mis võrdub 6, on sellest suurepäraselt eraldatud. alus jagatud 4-ga võrdub 2-ga. Lõppväärtus määratakse 2 ja 6 korrutisena, see tähendab 12. Vastus on järgmine: soovitud pindala on 12 cm 2.

Teine viis. Vormel nr 2. Pool alust on 4. Külje ja leitud arvu summa annab 9, nende vahe on 1. Pärast korrutamist selgub 9. Ruutjuure eraldamine annab 3. Ja viimane tegevus, korrutades 3 4-ga, mis annab sama 12 cm 2.

Geomeetria ülesandeid lahendades ja võrdhaarse kolmnurga pindala leidmise määramisel saate hindamatuid kogemusi. Mida rohkem erinevaid ülesannete valikuid on täidetud, seda lihtsam on sealt vastust leida uus olukord. Seetõttu on kõigi ülesannete regulaarne ja iseseisev täitmine viis materjali edukaks assimilatsiooniks.

Siit saate teada, kuidas leida rööpküliku pindala. Ruudud ja ristkülikud on rööpkülikud, nagu iga teine neljatahuline kujund, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpküliku pindala arvutatakse järgmise valemiga: S=bh, kus "b" on alus (rööpküliku alumine külg), "h" on kõrgus (kaugus ülaosast alumisse külge; kõrgus lõikub alati alusega 90° nurga all).

Ruududes ja ristkülikutes on kõrgus võrdne küljega, kuna küljed lõikuvad ülemise ja alumise küljega täisnurga all.

Võrdle kolmnurki ja rööpkülikuid. Nende arvude vahel on lihtne ühendus. Kui mõni rööpkülik lõigatakse diagonaalselt, saame kaks võrdne kolmnurk. Samamoodi, kui lisate kaks võrdset kolmnurka, saate rööpküliku. Seetõttu arvutatakse mis tahes kolmnurga pindala järgmise valemiga: S = ½ bh mis on pool rööpküliku pindalast.

Leidke võrdhaarse kolmnurga alus. Nüüd teate kolmnurga pindala arvutamise valemit; jääb üle välja selgitada, mis on "alus" ja "kõrgus". Alus (tähistatud kui "b") on külg, mis ei ole võrdne kahe teise (võrdse) poolega.
Langetage risti aluse suhtes. Tehke seda kolmnurga ülaosast, mis on aluse vastas. Pidage meeles, et risti lõikub alusega täisnurga all. Selline risti on kolmnurga kõrgus (tähistatakse kui "h"). Kui leiate väärtuse "h", saate arvutada kolmnurga pindala.
- Võrdhaarses kolmnurgas lõikub kõrgus põhjaga täpselt keskel.
Vaadake poolt võrdhaarsest kolmnurgast. Pange tähele, et kõrgus jagas võrdhaarse kolmnurga kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks. Vaadake ühte neist ja leidke selle küljed:
- Lühike külg on pool alust: b 2 (\displaystyle (\frac (b)(2))).
- Teine külg on kõrgus "h".
- Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on võrdhaarse kolmnurga külgkülg; tähistame seda tähega "s".
Kasutage Pythagorase teoreemi. Kui on teada täisnurkse kolmnurga kaks külge, saab selle kolmanda külje arvutada Pythagorase teoreemi abil: (külg 1) 2 + (külg 2) 2 = (hüpotenuus) 2 . Meie näites kirjutatakse Pythagorase teoreem järgmiselt:.
- Tõenäoliselt teate Pythagorase teoreemi järgmises kirjes: a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Kasutame sõnu "külg 1", "külg 2" ja "hüpotenuus", et vältida segiajamist näite muutujatega.
Arvutage "h" väärtus. Pidage meeles, et kolmnurga pindala arvutamise valemis on muutujad "b" ja "h", kuid "h" väärtus pole teada. H arvutamiseks kirjutage valem ümber:
- (b 2) 2 + h 2 = s 2 (\displaystyle ((\frac (b)(2)))^(2)+h^(2)=s^(2))
  h 2 = s 2 − (b 2) 2 (\displaystyle h^(2)=s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2))
  .
Asendage teadaolevad väärtused valemiga ja arvutage "h". Seda valemit saab rakendada mis tahes võrdhaarsele kolmnurgale, mille küljed on teada. Asendage "b" aluse väärtusega ja "s" külje väärtusega, et leida "h".
- Meie näites: b = 6 cm; s = 5 cm.
- Asendage valemis olevad väärtused:
  h = (s 2 − (b 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2)))
  h = (5 2 − (6 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())5^(2)-((\frac (6)(2)))^(2)))
  h = (25–3 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-3^(2)))
  h = (25–9) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-9))
  h = (16) (\displaystyle h=(\sqrt (()))16))
  h = 4 (\displaystyle h = 4) cm.
Kolmnurga pindala arvutamiseks sisestage valemisse aluse ja kõrguse väärtused. Valem: S = ½bh; sisestage väärtused "b" ja "h" ning arvutage pindala. Ärge unustage oma vastusesse kirjutada ruutühikuid.
- Meie näites on alus 6 cm ja kõrgus 4 cm.
- S = ½ bh
  S = ½ (6 cm) (4 cm)
  S \u003d 12 cm 2.
Vaatame keerukamat näidet. Enamikul juhtudel antakse teile meie näites käsitletust raskem ülesanne. Kõrguse arvutamiseks peate võtma ruutjuure, mida reeglina ei võeta täielikult. Sel juhul kirjutage kõrguse väärtus lihtsustatud ruutjuurena. Siin on uus näide:
- Arvutage võrdhaarse kolmnurga pindala, mille küljed on 8 cm, 8 cm, 4 cm.
- Aluse "b" jaoks valige külg, mis on 4 cm.
- Kõrgus: h = 8 2 − (4 2) 2 (\displaystyle h=(\sqrt (8^(2)-((\frac (4)(2)))^(2))))
  = 64 − 4 (\displaystyle =(\sqrt(64-4)))
  = 60 (\displaystyle =(\sqrt(60)))
- Ruutjuure lihtsustamine kordajate abil: h = 60 = 4 ∗ 15 = 4 15 = 2 15 . (\displaystyle h=(\sqrt (60))=(\sqrt (4*15))=(\sqrt (4))(\sqrt (15))=2(\sqrt (15)).)
- S = 1 2 b h (\displaystyle =(\frac (1) (2))bh)
  = 1 2 (4) (2 15) (\displaystyle =(\frac (1) (2))(4)(2(\sqrt (15))))
  = 4 15 (\displaystyle =4(\sqrt (15)))
- Saate kirjutada vastuse ruutjuurega või arvutada juure kalkulaatoril ja kirjutada vastuse kujul kümnendmurd(S ≈ 15,49 cm 2).

See ei teki mitte ainult kooliõpilaste või üliõpilaste ees, vaid ka tegelikus, praktilises elus. Näiteks ehituse käigus tekib vajadus viimistleda katusealune fassaadiosa. Kuidas arvutada vajaliku materjali kogust?

Sageli seisavad selliste ülesannetega silmitsi käsitöölised, kes töötavad kanga või nahaga. Tõepoolest, paljud detailid, mida meister peab välja lõikama, on just võrdhaarse kolmnurga kujulised.

Seega on võrdhaarse kolmnurga pindala leidmiseks mitu võimalust. Esimene on selle arvutamine aluse ja kõrguse järgi.

Lahenduse jaoks peame selguse huvides konstrueerima kolmnurga MNP alusega MN ja kõrgusega PO. Nüüd lõpetame joonisel millegi ehitamise: punktist P tõmmake alusega paralleelne joon ja punktist M - kõrgusega paralleelne joon. Nimetagem ristumispunktiks Q. Et teada saada, kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala, peame arvestama saadud nelinurka MOPQ, milles meile antud kolmnurga MP külgkülg on juba selle diagonaal.

Esmalt tõestame, et see on ristkülik. Kuna ehitasime selle ise, siis teame, et MO ja OQ küljed on paralleelsed. Ja ka QM ja OP pool on paralleelsed. POM-i nurk on õige, seega on ka nurk OPQ õige. Seetõttu on saadud nelinurk ristkülik. Selle pindala leidmine pole keeruline, see võrdub PO ja OM korrutisega. OM on pool selle kolmnurga MPN alusest. Sellest järeldub, et meie konstrueeritud ristküliku pindala on võrdne poolega täisnurkse kolmnurga ja selle aluse kõrguse korrutisest.

Meie ees oleva ülesande teine etapp, kuidas määrata kolmnurga pindala, on tõestada, et saadud ristkülik vastab pindalalt antud võrdhaarsele kolmnurgale, st et kolmnurga pindala. kolmnurk on samuti võrdne aluse ja kõrguse poolkorrutisega.

Esmalt võrdleme kolmnurka PON ja PMQ. Mõlemad on ristkülikukujulised, kuna ühes neist moodustab täisnurga kõrgus ja teises täisnurga on ristküliku nurk. Nendes olevad hüpotenuusid on võrdhaarse kolmnurga küljed, seega on need ka võrdsed. Jalad PO ja QM on samuti võrdsed ristküliku paralleelsete külgedega. Seega on kolmnurga PON ja kolmnurga PMQ pindala üksteisega võrdsed.

Ristküliku QPOM pindala on võrdne kolmnurkade PQM ja MOP summaga. Asendades sisseehitatud kolmnurga QPM kolmnurgaga PON, saame kokku kolmnurga, mis on meile antud teoreemi tuletamiseks. Nüüd teame, kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala aluse ja kõrguse alusel – arvutage välja nende poolkorrutis.

Kuid võite õppida, kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala, võttes aluseks aluse ja külje. Siin on ka kaks võimalust: Heroni ja Pythagorase teoreem. Kaaluge lahendust Pythagorase teoreemi abil. Näiteks võtame sama PMN-i kõrgusega PO.

Täisnurkses kolmnurgas on POM MP hüpotenuus. Tema ruut on võrdne summaga ruudud PO ja OM. Ja kuna OM on pool meile teadaolevast baasist, leiame hõlpsalt OM-i ja arvu ruutu. Lahutades saadud arvu hüpotenuusi ruudust, saame teada, millega võrdub teise jala ruut, mis on kõrgus võrdhaarses kolmnurgas. Erinevusest leides ja täisnurkse kolmnurga kõrgust teades saame anda vastuse meie ees püstitatud ülesandele.

Peate lihtsalt korrutama kõrguse alusega ja jagama tulemuse pooleks. Miks seda teha, selgitasime tõestuse esimeses versioonis.

See juhtub, et peate tegema arvutusi küljel ja nurgal. Seejärel leiame siinuste ja koosinustega valemi abil kõrguse ja aluse ning korrutame need uuesti ja jagame tulemuse pooleks.