Vektorite skalaarne liitmine. Vektorid arvutimängudes
VEKTORID... TEGEVUSEDÜLALVEKTORID. SKALAAR,
VEKTOR, VEKTORITE SEGAtoode.
1. VEKTORID, TOIMINGUD VEKTORIDELE.
Põhimääratlused.
Definitsioon 1. Nimetatakse suurust, mida iseloomustab täielikult selle arvväärtus valitud ühikute süsteemis skalaar või skalaar .
(Kehakaal, maht, aeg jne)
Definitsioon 2. Nimetatakse suurust, mida iseloomustavad arvväärtus ja suund vektor või vektor .
(Nihe, tugevus, kiirus jne)
Nimetused:, või,.
Geomeetriline vektor on suundjoon.
Vektori jaoks - punkt A- algus, punkt V- vektori lõpp.
3. määratlus.Moodul vektor on lõigu AB pikkus.
4. definitsioon. Kutsutakse vektorit, mille moodul on võrdne nulliga null , tähistas.
Definitsioon 5. Kutsutakse vektoreid, mis asuvad paralleelsel sirgel või ühel sirgel kollineaarne ... Kui kaks kollineaarne vektor on sama suund, siis neid kutsutakse kaasrežissöör .
Definitsioon 6. Arvestatakse kahte vektorit võrdne , kui nad kaasrežissöör ja on absoluutväärtuses võrdsed.
Toimingud vektoritele.
1) Vektorite liitmine.
Def. 6.Summa kaks vektorit ja on nendele vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaal, alustades nende rakenduse ühisest punktist (parallelogrammi reegel).
Joonis 1.
Def. 7. Kolme vektori summat nimetatakse nendele vektoritele ehitatud rööptahuka diagonaaliks (kasti reegel).
Def. kaheksa. Kui A, V, KOOS - suvalised punktid, siis + = (kolmnurga reegel).
joonis 2
Lisamise omadused.
1 O . + = + (ülevõtmise seadus).
2 O . + (+) = (+) + = (+) + (kombinatsiooniseadus).
3 O . + (– ) + .
2) Vektorite lahutamine.
Def. 9. Under erinevus vektoreid ja mõista vektorit = - selline, et + = .
Rööpkülikukujulises on see teine diagonaal SD (vt joonis 1).
3) Vektori korrutamine arvuga.
Def. 10. Toote järgi vektoreid skalaari kohta k nimetatakse vektoriks
= k = k ,
pikk ka , ja mille suund:
1. langeb kokku vektori suunaga, kui k > 0;
2.Vektori suuna vastas, kui k < 0;
3. meelevaldselt kui k = 0.
Vektori arvuga korrutamise omadused.
1 O . (k + l ) = k + l .
k ( + ) = k + k .
2 o . k (l ) = (kl ) .
3 o . 1 = , (–1) = – , 0 = .
Vektori omadused.
Def. üksteist. Kaks vektorit ja nimetatakse kollineaarne kui need asuvad paralleelsed jooned või kell üks sirgjoon.
Nullvektor on mis tahes vektori suhtes kollineaarne.
1. teoreem. Kaks nullist erinevat vektorit ja kollineaarne, kui need on proportsionaalsed s.t.
= k , k Kas skalaar.
Def. 12. Nimetatakse kolm vektorit, koplanaarne kui need on paralleelsed mõne tasapinnaga või asetsevad selles.
2. teoreem. Kolm nullist erinevat vektorit,, tasapinnaline, kui üks neist on ülejäänud kahe lineaarne kombinatsioon, s.o.
= k + l , k , l - skalaarid.
Vektori projektsioon telje suhtes.
3. teoreem. Vektori projektsioon teljele (suunatud sirgjoon) l on võrdne vektori pikkuse ja vektori suuna ja telje suuna vahelise nurga koosinuse korrutisega, s.o. = a c os , = ( , l).
2. VEKTORKOORDINAADID
Def. kolmteist. Vektorprojektsioonid koordinaatide telgedel Oh, OU, Оz kutsutakse vektori koordinaadid. Nimetus: a x , a y , a z .
Vektori pikkus: 
Näide: Arvutage vektori pikkus.
Lahendus:
Punktide vaheline kaugus 
ja 
arvutatakse valemiga: .
Näide: Leidke punktide M (2,3, -1) ja K (4,5,2) vaheline kaugus.
Toimingud vektoritele koordinaatide kujul.
Antud vektorid = a x , a y , a z ja = b x , b y , b z .
1. ( )= a x b x , a y b y , a z b z .
2. = a x , a y , a z, kus Kas skalaar.
Vektorite punktkorrutis.
Definitsioon: Kahe vektori punktkorrutis ja
mõistetakse arvuna võrdne toode nende vektorite pikkused nendevahelise nurga koosinuse võrra, s.o. = , on nurk vektorite ja vahel.
Dot toote omadused:
1. =
2. ( + ) =
3.
4.
5. , kus on skalaarid.
6.kaks vektorit on risti (ortogonaalsed), kui .
7.kui ja ainult siis 
.
Punktkorrutis koordinaatide kujul on: 
,
kus ja .
Näide: Leia vektorite punktkorrutis ja
Lahendus:
Vektorid hoidvad vektorid.
Definitsioon: Kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mille puhul:
Moodul on võrdne nendele vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga, st. 
, kus nurk vektorite ja
See vektor on korrutatavate vektoritega risti, st.
Kui vektorid ei ole kollineaarsed, siis moodustavad nad vektorite õige kolmiku.
Vektortoote omadused:
(1) Tegurite järjekorra muutmisel muudab vektorkorrutis oma märgi vastupidiseks, säilitades mooduli, s.o. 
2 .Vektori ruut võrdub nullvektoriga, st.
3
Skalaartegurit saab nihutada vektorkorrutise märgist väljapoole, s.t. 
4
Iga kolme vektori korral on võrdsus 
5 Vajalik ja piisav tingimus kahe vektori kollineaarsuse ja:
Vektorprodukt koordinaatide kujul.
Kui vektorite koordinaadid ja , siis nende ristkorrutis leitakse järgmise valemiga:
.
Siis vektori korrutise määratlusest järeldub, et vektoritele ehitatud rööpküliku pindala arvutatakse järgmise valemiga:
Näide: Arvutage kolmnurga pindala tippudega (1; -1; 2), (5; -6; 2), (1; 3; -1).
Lahendus: 
.
Siis ala kolmnurk ABC arvutatakse järgmiselt:
,
Vektorite segakorrutis.
Definitsioon: Vektorite segakorrutis (vektori-skalaar) on arv, mis määratakse järgmise valemiga: 
.
Segatud tööomadused:
1.
Segatud toode ei muutu oma tegurite tsüklilise permutatsiooni korral, st. 
.
2. Kahe külgneva teguri permutatsioonil muudab segaprodukt oma märgi vastupidiseks, s.o. ...
3 Vajalik ja piisav tingimus kolme vektori koplanaarsuseks : =0.
4 Kolme vektori segakorrutis on võrdne nendele vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga, mis on võetud plussmärgiga, kui need vektorid moodustavad parempoolse kolmiku, ja miinusmärgiga, kui nad moodustavad vasakpoolse kolmiku, s.t. .
Kui on teada koordinaadid vektorid ,
siis segatöö leitakse valemiga: 
Näide: Arvutage vektorite segakorrutis.
Lahendus: 
3. Vektorite süsteemi alused.
Definitsioon. Vektorite süsteemi all mõistetakse mitut samasse ruumi kuuluvat vektorit R.
kommenteerida. Kui süsteem koosneb lõplikust arvust vektoritest, siis tähistatakse neid sama tähega erinevate indeksitega.
Näide. 
Definitsioon. Mis tahes vektor kujul = 
nimetatakse vektorite lineaarseks kombinatsiooniks. Arvud on lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid.
Näide. 
.
Definitsioon... Kui vektor on vektorite lineaarne kombinatsioon , siis öeldakse, et vektor on lineaarselt väljendatud vektorites .
Definitsioon. Vektorsüsteemi nimetatakse lineaarselt sõltumatu kui ükski süsteemi vektor ei saa olla nagu ülejäänud vektorite lineaarne kombinatsioon. Vastasel juhul nimetatakse süsteemi lineaarselt sõltuvaks.
Näide... Vektorsüsteem 
lineaarselt sõltuv, kuna vektor 
.
Aluse määramine. Vektorite süsteem on aluseks, kui:
1) see on lineaarselt sõltumatu,
2) mis tahes ruumi vektor on selle kaudu lineaarselt väljendatud.
Näide 1. Ruumi alus:.
2.
Vektorite süsteemis 
vektorid on aluseks: 
väljendatakse lineaarselt vektorites.
kommenteerida. Antud vektorsüsteemi aluse leidmiseks peate:
1) kirjutage maatriksisse vektorite koordinaadid,
2) kasutades elementaarteisendusi, et viia maatriks kolmnurksele kujule,
3) süsteemi aluseks on maatriksi nullist erinevad read,
4) vektorite arv baasis on võrdne maatriksi auastmega.
Loomise kuupäev: 2009-04-11 15:25:51
Viimati muudetud: 2012-02-08 09:19:45
Ma ei tahtnud pikka aega seda artiklit kirjutada - mõtlesin, kuidas materjali esitada. Samuti peate joonistama pilte. Aga näete, tähed on täna edukalt moodustunud ja vektorite kohta tuleb artikkel. Kuigi see on vaid umbkaudne mustand. Edaspidi jagan selle artikli mitmeks eraldi - materjali on piisavalt. Samuti muutub artikkel järk-järgult paremaks: teen selles muudatusi. ühe istungiga ei ole võimalik kõiki aspekte paljastada.
Vektorid võeti matemaatikas kasutusele 19. sajandil, et kirjeldada suurusi, mida oli skalaarväärtuste abil raske kirjeldada.
Arvutimängude arendamisel kasutatakse laialdaselt vektoreid. Neid ei kasutata mitte ainult traditsiooniliselt – kirjeldamaks selliseid suurusi nagu tugevus või kiirus, vaid ka valdkondades, millel justkui pole vektoritega mingit pistmist: värvide salvestamine, varjude loomine.
Skalaarid ja vektorid
Kõigepealt tuletan teile meelde, mis on skalaar ja kuidas see vektorist erineb.
Skalaarsed väärtused salvestavad teatud koguse: mass, maht. See tähendab, et see on üksus, mida iseloomustab ainult üks arv (näiteks millegi kogus).
Vektorit kirjeldatakse erinevalt skalaarist kahe väärtusega: suurusjärk ja suund.
Oluline erinevus vektorite ja koordinaatide vahel: vektorid ei ole seotud kindla asukohaga! Taaskord on vektoris peamine pikkus ja suund.
Vektorit tähistatakse ladina tähestiku paksus kirjas. Näiteks: a, b, v.
Esimesel joonisel näete, kuidas vektor on tasapinnal tähistatud.
Vektorid ruumis
Ruumis saab vektoreid väljendada koordinaatide abil. Kuid kõigepealt peate tutvustama ühte kontseptsiooni:
Punkti raadiuse vektor
Võtke ruumis mõni punkt M (2,1). Punkti raadiuse vektor on vektor, mis algab lähtepunktist ja lõpeb punktis.
Meil pole siin muud kui vektor OM... Vektori alguskoordinaadid (0,0), lõpukoordinaadid (2,1). Me tähistame seda vektorit kui a.
Sel juhul saab vektori kirjutada järgmiselt a = <2, 1>... See on vektori koordinaatvorm a.
Vektori koordinaate nimetatakse selle komponentideks telgede suhtes. Näiteks 2 on vektorkomponent a x-telje kohta.
Vaatame veel kord, mis on punkti koordinaadid. Punkti koordinaat (näiteks x) on punkti projektsioon teljele, s.o. perpendikulaari alus langes punktist teljele. Meie näites 2.
Aga tagasi esimese pildi juurde. Siin on kaks punkti A ja B. Olgu punktide koordinaadid (1,1) ja (3,3). Vektor v sel juhul võib tähistada järgmiselt v = <3-1, 3-1>... Kolmemõõtmelise ruumi kahes punktis asuv vektor näeb välja järgmine:
v =
Ma arvan, et siin pole raskusi.
Vektori korrutamine skalaariga
Vektorit saab korrutada skalaarväärtustega:
k v =
See korrutab skalaarväärtuse vektori iga komponendiga.
Kui k> 1, siis vektor suureneb, kui k on väiksem kui üks, kuid suurem kui null, siis vektor väheneb. Kui k on väiksem kui null, siis vektor muudab suunda.
Ühikvektorid
Ühikvektorid on vektorid, mille pikkus on võrdne ühega. Märka koordinaatidega vektorit<1,1,1>ei võrdu ühega! Vektori pikkuse leidmist kirjeldatakse allpool tekstis.
On olemas nn ühikvektorid - need on ühikvektorid, mis langevad suunalt kokku koordinaatide telgedega. i- x-telje ühikvektor, j- y-telje ühikvektor, k on z-telje ühikvektor.
Kus i = <1,0,0>, j = <0,1,0>, k = <0,0,1>.
Nüüd teame, mis on vektori korrutamine skalaariga ja mis on ühikvektorid. Nüüd saame kirjutada v vektori kujul.
v= v x i+ v y j+ v z k, kus v x, v y, v z on vektori vastavad komponendid
Vektori lisamine
Eelmise valemi täielikuks mõistmiseks peate mõistma, kuidas vektorite liitmine toimib.
Siin on kõik lihtne. Võtke kaks vektorit v1 =
v 1 + v 2 =
Me lihtsalt liidame kahe vektori vastavad komponendid.
Erinevus arvutatakse samal viisil.
See puudutab matemaatilist vormi. Täielikkuse huvides tasub kaaluda, kuidas vektorite liitmine ja lahutamine graafiliselt välja näevad.
Kahe vektori liitmiseks a+b... Peate sobima vektori algusega b ja vektori lõpp a... Siis vektori alguse vahel a ja vektori lõpp b joonistada uus vektor. Selguse huvides vaadake teist joonist (täht "a").
Vektorite lahutamiseks peate ühendama kahe vektori algused ja joonistama uue vektori teise vektori lõpust esimese lõpuni. Teine pilt (täht "b") näitab, kuidas see välja näeb.
Vektori pikkus ja suund
Vaatame kõigepealt pikkust.
Pikkus on vektori arvväärtus, välja arvatud suund.
Pikkus määratakse järgmise valemiga (kolmemõõtmelise vektori jaoks):
vektori komponentide ruutude summa ruutjuur.
Tuttav valem, kas pole? Üldiselt on see segmendi pikkuse valem
Vektori suund määratakse vektori ja koordinaatide telgede vahele moodustatud nurkade suunakoosinuste järgi. Suunakoosinuste leidmiseks kasutatakse vastavaid komponente ja pikkust (pilt tuleb hiljem).
Vektorite kujutamine programmides
Vektorite kujutamiseks programmides on erinevaid viise. Nii tavaliste muutujate abil, mis ei ole efektiivne, kui ka massiivide, klasside ja struktuuride abil.
Ujukvektor3 = (1,2,3); // massiiv vektori salvestamiseks struct vector3 // struktuur vektorite salvestamiseks (float x, y, z;);
Suurimad võimalused vektorite salvestamiseks pakuvad klassid. Klassides saame kirjeldada mitte ainult vektorit ennast (muutujaid), vaid ka vektoroperatsioone (funktsioone).
Vektorite punktkorrutis
Vektorkorrutamist on kahte tüüpi: vektor- ja skalaarkorrutis.
Punktkorrutise eripäraks on see, et tulemuseks on alati skalaarväärtus, st. number.
Siin tasub pöörata tähelepanu järgmisele punktile. Kui selle toimingu tulemus on null, siis on kaks vektorit risti – nendevaheline nurk on 90 kraadi. Kui tulemus on suurem kui null, on nurk väiksem kui 90 kraadi. Kui tulemus on nullist väiksem, on nurk suurem kui 90 kraadi.
See toiming on esitatud järgmise valemiga:
a · b= a x * b x + a y * b y + a z * b z
Punktkorrutis on kahe vektori vastavate komponentide korrutiste summa. Need. Võtke kahe vektori x "s", korrutage need, seejärel lisage need y" s korrutisega jne.
Vektorite vektorkorrutis
Kahe vektori vektorkorrutis annab vektori, mis on nende vektoritega risti.
Me ei käsitle seda valemit veel üksikasjalikult. Lisaks on seda üsna raske meelde jätta. Selle punkti juurde tuleme tagasi pärast determinantidega tutvumist.
Noh, üldiseks arenguks on kasulik teada, et saadud vektori pikkus on võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga a ja b.
Vektori normaliseerimine
Normaliseeritud vektor on vektor, mille pikkus on üks.
Normaliseeritud vektori leidmise valem on järgmine - kõik vektori komponendid tuleb jagada selle pikkusega:
v n = v/ | v | =
Järelsõna
Nagu olete ilmselt näinud, pole vektoreid raske mõista. Oleme käsitlenud mitmeid vektoroperatsioone.
"Matemaatika" rubriigi järgmistes artiklites käsitleme maatrikse, determinante, lineaarvõrrandisüsteeme. See kõik on teooria.
Pärast seda vaatame maatriksiteisendusi. Siis saad aru, kui oluline on matemaatika arvutimängude loomisel. Sellest teemast saab lihtsalt praktika kõigi eelnevate teemade puhul.
Sellist kontseptsiooni kui vektorit käsitletakse peaaegu kõigis loodusteadustes ja sellel võib olla täiesti erinev tähendus, seetõttu on võimatu anda vektori ühemõttelist määratlust kõigi valdkondade jaoks. Aga proovime sellest aru saada. Nii et vektor - mis see on?
Vektorkontseptsioon klassikalises geomeetrias
Vektor on geomeetrias segment, mille jaoks on näidatud, milline selle punktidest on algus ja milline lõpp. See tähendab, et lihtsamalt öeldes on vektor suunatud segment.
Sellest lähtuvalt tähistatakse vektorit (mis on - ülalpool arutatud), nagu segment, see tähendab kaks ladina tähestiku suurtähte, millele on lisatud ülaosas paremale osutav joon või nool. Selle võib allkirjastada ka ladina tähestiku väikese (väikese) tähega, millel on joon või nool. Nool on alati suunatud paremale ja ei muutu sõltuvalt vektori asukohast.
Seega on vektoril suund ja pikkus.
Vektori tähistus sisaldab ka selle suunda. Seda väljendatakse nagu alloleval joonisel.
Suuna muutmine muudab vektori väärtuse vastupidiseks.
Vektori pikkus on selle segmendi pikkus, millest see moodustatakse. Seda nimetatakse vektori mooduliks. See on näidatud alloleval joonisel.
Vastavalt sellele on vektor, mille pikkus on võrdne nulliga, null. Sellest järeldub, et nullvektor on punkt ning algus- ja lõpp-punkt langevad selles kokku.
Vektori pikkus – väärtus ei ole alati negatiivne. Teisisõnu, kui segment on olemas, siis on sellel tingimata teatud pikkus või see on punkt, siis selle pikkus on null.
Punkti mõiste on põhiline ja sellel puudub definitsioon.
Vektori lisamine
Vektorite jaoks on olemas spetsiaalsed valemid ja reeglid, mida saate liitmiseks kasutada.
Kolmnurga reegel. Selle reegli järgi vektorite lisamiseks piisab, kui kombineerida paralleeltõlke abil esimese vektori lõpp ja teise algus ning need ühendada. Saadud kolmas vektor võrdub kahe ülejäänud vektoriga.
Parallelogrammi reegel. Selle reegli järgi liitmiseks on vaja ühest punktist tõmmata mõlemad vektorid ja seejärel kummagi lõpust teine vektor. See tähendab, et teine joonistatakse esimesest vektorist ja esimene teisest. Tulemuseks on uus lõikepunkt ja rööpkülik. Kui ühendada vektorite alguse ja lõpu lõikepunktid, on saadud vektor liitmise tulemus.
Sarnasel viisil on võimalik ka lahutada.
Erinevusvektorid
Sarnaselt vektorite liitmisele on võimalik teostada ka nende lahutamist. See põhineb alloleval joonisel näidatud põhimõttel.
See tähendab, et piisab lahutatava vektori esitamisest sellele vastandliku vektori kujul ja arvutamisest liitmise põhimõtete järgi.
Samuti saab absoluutselt iga nullist erineva vektori korrutada mis tahes arvuga k, see muudab selle pikkust k korda.
Lisaks nendele on ka teisi vektorvalemeid (näiteks vektori pikkuse väljendamiseks selle koordinaatides).
Positsioneerimisvektorid
Kindlasti on paljud kohanud sellist mõistet nagu kollineaarne vektor. Mis on kollineaarsus?
Vektorite kollineaarsus on samaväärne sirgete paralleelsusega. Kui kaks vektorit asuvad sirgel, mis on üksteisega paralleelne, või ühel sirgel, nimetatakse selliseid vektoreid kollineaarseteks.
Suund. Kollineaarsed vektorid üksteise suhtes võivad olla nii kaas- kui ka vastassuunalised, selle määrab vektorite suund. Seega, kui vektor on teisega samasuunaline, siis sellele vastandlik vektor on vastassuunas.
Esimesel joonisel on kujutatud kaks vastandsuunalist vektorit ja kolmandal, mis ei ole nende suhtes kollineaarne.
Pärast ülaltoodud omaduste tutvustamist on võimalik anda definitsioon võrdsetele vektoritele - need on vektorid, mis on suunatud ühes suunas ja millel on sama pikkusega lõigud, millest need on moodustatud.
Paljudes teadustes kasutatakse ka raadiusvektori mõistet. Selline vektor kirjeldab ühe punkti asukohta tasapinnal teise fikseeritud punkti suhtes (sageli on see alguspunkt).
Vektorid füüsikas
Oletame, et probleemi lahendamisel tekkis tingimus: keha liigub kiirusega 3 m / s. See tähendab, et keha liigub kindlas suunas mööda ühte sirget joont, seega on see muutuja vektori väärtus. Lahenduse jaoks on oluline teada nii väärtust kui ka suunda, kuna olenevalt kaalutlusest võib kiirus olla võrdne nii 3 m / s kui ka -3 m / s.
Üldjuhul kasutatakse füüsikas vektorit kehale mõjuva jõu suuna näitamiseks ja resultandi määramiseks.
Kui need jõud on joonisel näidatud, tähistatakse neid nooltega, mille kohal on vektori signatuur. Klassikaliselt on sama oluline noole pikkus, mille abil näitavad nad, milline jõud mõjub tugevamalt, kuid see omadus on teisejärguline, sellele ei tohiks loota.
Vektor lineaaralgebras ja arvutuses
Lineaarruumide elemente nimetatakse ka vektoriteks, kuid antud juhul on tegemist järjestatud arvude süsteemiga, mis kirjeldab mõnda elementi. Seetõttu ei oma suund antud juhul enam tähtsust. Klassikalises geomeetrias ja matemaatilises analüüsis on vektori definitsioon väga erinev.
Projekteerivad vektorid
Projekteeritud vektor - mis see on?
Üsna sageli on korrektseks ja mugavaks arvutamiseks vaja kahe- või kolmemõõtmelises ruumis paiknevat vektorit koordinaattelgede suunas laiendada. See toiming on vajalik näiteks mehaanikas kehale mõjuvate jõudude arvutamisel. Vektorit kasutatakse füüsikas üsna sageli.
Projektsiooni tegemiseks piisab, kui kukutada ristid vektori algusest ja lõpust igale koordinaatteljele, nendel saadud segmente nimetatakse vektori projektsiooniks teljele.
Projektsiooni pikkuse arvutamiseks piisab, kui korrutada selle algne pikkus kindlaga trigonomeetriline funktsioon, mis saadakse miniülesande lahendamisel. Tegelikult on olemas täisnurkne kolmnurk, kus hüpotenuus on algvektor, üks jalg on projektsioon ja teine jalg on risti langenud vektor.
MÄÄRATLUS
Vektor(alates lat. " vektor"-" laager ") - sirgjoone suunatud segment ruumis või tasapinnal.
Graafiliselt kujutatakse vektorit teatud pikkusega suunatud sirglõiguna. Vektorit, mille algus on punktis ja lõpp punktis, tähistatakse kui (joonis 1). Samuti saab vektorit tähistada näiteks ühe väikese tähega.
Kui koordinaatide süsteem on määratud ruumis, saab vektori üheselt määrata selle koordinaatide hulgaga. See tähendab, et vektorina mõistetakse objekti, millel on suurus (pikkus), suund ja rakenduspunkt (vektori algus).
Vektorarvutuse alged ilmusid töödesse 1831. aastal saksa matemaatiku, mehaaniku, füüsiku, astronoomi ja geodeedi Johann Karl Friedrich Gaussi (1777-1855) töödes. Iiri matemaatik, mehaanik ja teoreetiline füüsik Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) avaldas vektoritega tehteid käsitlevad ettekanded oma kvaterniooniarvutuse raames. Teadlane pakkus välja mõiste "vektor" ja kirjeldas mõningaid toiminguid vektoritega. Vektorarvutus sai oma edasine areng tänu Briti füüsiku, matemaatiku ja mehaaniku James Clerk Maxwelli (1831-1879) elektromagnetismialasele tööle. 1880. aastatel ilmus Ameerika füüsiku, füüsikakeemiku, matemaatiku ja mehaaniku Josiah Willard Gibbsi (1839-1903) raamat "Elements of Vector Analysis". Kaasaegset vektoranalüüsi kirjeldas 1903. aastal inglise iseõppinud teadlane, insener, matemaatik ja füüsik Oliver Heaviside (1850-1925).
MÄÄRATLUS
Pikkus või vektormoodul on vektori defineeriva suunatud segmendi pikkus. See on märgitud kui.
Põhilised vektorite tüübid
Nullvektor on vektor, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku. Nullvektori pikkus on null.
Nimetatakse vektoreid, mis on paralleelsed ühe sirgega või asuvad ühel sirgel kollineaarne(joon. 2).
kaasrežissöör kui nende suunad on samad.
Joonisel 2 on need vektorid ja. Vektorite kaassuunalisust tähistatakse järgmiselt:.
Nimetatakse kahte kollineaarset vektorit vastupidiselt suunatud kui nende suunad on vastupidised.
Joonisel 3 on need vektorid ja. Määramine:.
1. lehekülg 2-st
Küsimus 1. Mis on vektor? Kuidas vektoreid tähistatakse?
Vastus. Vektorit nimetame suunatud segmendiks (joonis 211). Vektori suund määratakse selle alguse ja lõpu määramisega. Joonisel on vektori suund näidatud noolega. Vektorite tähistamiseks kasutame väikeseid ladina tähti a, b, c, .... Samuti saate vektori määrata, määrates selle alguse ja lõpu. Sel juhul asetatakse esikohale vektori algus. Sõna "vektor" asemel asetatakse mõnikord vektori tähemärgi kohale nool või riba. Vektorit joonisel 211 saab tähistada järgmiselt:
\ (\ ülejoon (a) \), \ (\ ülejoon (a) \) või \ (\ ülejoon (AB) \), \ (\ ülejoon (AB) \).
2. küsimus. Milliseid vektoreid nimetatakse võrdselt suunatud (vastupidiselt suunatud)?
Vastus. Vektoreid \ (\ overline (AB) \) ja \ (\ overline (CD) \) nimetatakse identselt suunatud, kui pooljooned AB ja CD on identse suunatud.
Vektoreid \ (\ overline (AB) \) ja \ (\ overline (CD) \) nimetatakse vastandsuunaliseks, kui poolsirged AB ja CD on vastassuunalised.
Joonisel 212 on vektorid \ (\ overline (a) \) ja \ (\ overline (b) \) samas suunas ning vektorid \ (\ overline (a) \) ja \ (\ overline (c) ) \) on vastassuunalised.
3. küsimus. Mis on vektori absoluutväärtus?
Vastus. Vektori absoluutväärtus (või moodul) on vektorit esindava segmendi pikkus. Vektori \ (\ ülejoon (a) \) absoluutväärtust tähistatakse | \ (\ ülejoon (a) \) |.
4. küsimus. Mis on nullvektor?
Vastus. Vektori algus võib kokku langeda selle lõpuga. Sellist vektorit nimetatakse nullvektoriks. Nullvektorit tähistatakse nulliga sidekriipsuga (\ (\ ülejoon (0) \)). Nullvektori suunast ei räägita. Nullvektori absoluutväärtus loetakse nulliks.
5. küsimus. Milliseid vektoreid nimetatakse võrdseteks?
Vastus. Kaht vektorit peetakse võrdseks, kui need on paralleelse translatsiooni teel joondatud. See tähendab, et toimub paralleeltõlge, mis viib ühe vektori alguse ja lõpu vastavalt teise vektori algusesse ja lõppu.
6. küsimus. Tõesta, et võrdsed vektorid on võrdselt suunatud ja võrdsed absoluutväärtuses. Ja vastupidi: identse suunaga vektorid, mis on absoluutväärtuses võrdsed, on võrdsed.
Vastus. Paralleeltõlke korral säilitab vektor nii oma suuna kui ka absoluutväärtuse. See tähendab, et võrdsed vektorid on suunatud ühtemoodi ja on absoluutväärtuses võrdsed.
Olgu \ (\ overline (AB) \) ja \ (\ overline (CD) \) absoluutväärtuselt võrdsed ühesuunalised vektorid (joonis 213). Paralleeltõlge, mis viib punkti C punkti A, joondab pooljoone CD pooljoonega AB, kuna need on samas suunas. Ja kuna lõigud AB ja CD on võrdsed, siis punkt D ühtib punktiga B, st. paralleeltõlge teisendab vektori \ (\ overline (CD) \) vektoriks \ (\ overline (AB) \). Seega on vektorid \ (\ overline (AB) \) ja \ (\ overline (CD) \) vastavalt vajadusele võrdsed.
7. küsimus. Tõesta, et igast punktist saab edasi lükata antud vektoriga võrdse vektori ja ainult ühe.
Vastus. Olgu CD sirge ja vektor \ (\ overline (CD) \) sirge CD osa. Olgu AB sirge, kuhu joon CD läheb paralleelülekande all, \ (\ overline (AB) \) - vektor, millesse vektor \ (\ overline (CD) \) läheb paralleelülekande alla ja seetõttu vektorid \ (\ overline (AB) \) ja \ (\ overline (CD) \) on võrdsed ning sirged AB ja CD on paralleelsed (vt joonis 213). Teatavasti ei saa antud sirgel mitte asuva punkti kaudu tasapinnale tõmmata rohkem kui ühte antud sirgega paralleelset sirget (paralleelsete sirgete aksioom). Seega saab punkti A kaudu tõmmata ühe sirgjoonega CD paralleelse sirge. Kuna vektor \ (\ ülejoon (AB) \) on osa sirgest AB, saab läbi punkti A tõmmata ühe vektori \ (\ ülejoon (AB) \), mis on võrdne vektoriga \ (\ ülejoon (CD) \).
8. küsimus. Mis on vektori koordinaadid? Kui suur on vektori, mille koordinaadid on a 1, a 2, absoluutväärtus?
Vastus. Algab vektor \ (\ ülejoon (a) \) punktist A 1 (x 1; y 1) ja lõpeb punktiga A 2 (x 2; y 2). Vektori \ (\ ülejoon (a) \) koordinaate nimetatakse numbriteks a 1 = x 2 - x 1, a 2 = y 2 - y 1. Vektori koordinaadid paigutatakse vektori tähetähise kõrvale, antud juhul \ (\ ülejoon (a) \) (a 1; a 2) või lihtsalt \ ((\ ülejoon (a 1; a 2)) ) \). Nullvektori koordinaadid on võrdsed nulliga.
Valemist, mis väljendab kahe punkti vahelist kaugust nende koordinaatide kaudu, järeldub, et koordinaatidega a 1, a 2 vektori absoluutväärtus on \ (\ sqrt (a ^ 2 1 + a ^ 2 2) \).
9. küsimus. Tõesta, et võrdsetel vektoritel on vastavalt võrdsed koordinaadid ja vastavalt võrdsete koordinaatidega vektorid on võrdsed.
Vastus. Olgu A 1 (x 1; y 1) ja A 2 (x 2; y 2) vektori \ (\ ülejoon (a) \) algus ja lõpp. Kuna sellega võrdne vektor \ (\ overline (a ") \) saadakse vektorist \ (\ overline (a) \) paralleeltõlke teel, on selle algus ja lõpp vastavalt A" 1 (x 1 + c; y 1 + d ), A "2 (x 2 + c; y 2 + d). See näitab, et mõlemal vektoritel \ (\ ülejoon (a) \) ja \ (\ ülejoon (a") \) on samad koordinaadid: x 2 - x 1, y 2 - y 1.
Tõestame nüüd vastupidist väidet. Olgu vektorite \ (\ overline (A 1 A 2) \) ja \ (\ overline (A "1 A" 2) \) vastavad koordinaadid võrdsed. Tõestame, et vektorid on võrdsed.
Olgu x "1 ja y" 1 - punkti A koordinaadid "1 ja x" 2, y "2 - punkti A koordinaadid" 2. Teoreemi hüpoteesi kohaselt x 2 - x 1 = x "2 - x" 1, y 2 - y 1 = y "2 - y" 1. Seega x "2 = x 2 + x" 1 - x 1, y "2 = y 2 + y" 1 - y 1. Valemitega määratletud paralleelülekanne
x "= x + x" 1 - x 1, y "= y + y" 1 - y 1,
kannab punkti A 1 üle punkti A "1, ja punkti A 2 punkti A" 2, st. vektorid \ (\ overline (A 1 A 2) \) ja \ (\ overline (A "1 A" 2) \) on vastavalt vajadusele võrdsed.
10. küsimus. Andke vektorite summa definitsioon.
Vastus. Vektorite \ (\ ülejoon (a) \) ja \ (\ ülejoon (b) \) summa koordinaatidega a 1, a 2 ja b 1, b 2 on vektor \ (\ ülejoon (c) \) koordinaatidega a 1 + b 1, a 2 + ba 2, s.o.
\ (\ overline (a) (a 1; a 2) + \ overline (b) (b 1; b 2) = \ overline (c) (a 1 + b 1; a 2 + b 2) \).
