Моменты инерции составных сечений. Момент инерции сечения Нахождение момента инерции сложного сечения

При проверке прочности частей конструкций нам приходится встречаться с сечениями довольно сложной формы, для которых нельзя вычислить момент инерции таким простым путем, каким мы пользовались для прямоугольника и круга.

Таким сечением может быть, например, тавр (Рис.5 а ) кольцевое сечение трубы, работающей на изгиб (авиационные конструкции) (Рис.5, б ), кольцевое сечение шейки вала или еще более сложные сечения. Все эти сечения можно разбить на простейшие, как-то: прямоугольники, треугольники, круги и т.д. Можно показать, что момент инерции такой сложной фигуры является суммой моментов инерции частей, на которые мы ее разбиваем.

Рис.5. Сечения типа тавр — а) и кольцо б)

Известно, что момент инерции любой фигуры относительно оси у — у равен:

где z — расстояние элементарных площадок до оси у —у .

Разобьем взятую площадь на четыре части: , , и . Теперь при вычислении момента инерции можно сгруппировать слагаемые в подинтегральной функции так, чтобы отдельно произвести суммирование для каждой из выделенных четырех площадей, а затем эти суммы сложить. Величина интеграла от этого не изменится.

Наш интеграл разобьется на четыре интеграла, каждый из которых будет охватывать одну из площадей, , и :

Каждый из этих интегралов представляет собой момент инерции соответствующей части площади относительно оси у — у ; поэтому

где — момент инерции относительно оси у — у площади , — то же для площади и т. д.

Полученный результат можно формулировать так: момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей. Таким образом, нам необходимо уметь вычислять момент инерции любой фигуры относительно любой оси, лежащей в ее плоскости.

Решение этой задачи и составляет содержание настоящей и последующих двух собеседований.

Моменты инерции относительно параллельных осей.

Задачу — получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.

Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями . Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу , момент инерции относительно этой оси назовем . Проведем в плоскости фигуры осьпараллельно оси у на расстоянии от нее. Найдем зависимость между и — моментом инерции относительно оси . Для этого напишем выражения для и . Разобьем площадь фигуры на площадки ; расстояния каждой такой площадки до осей у и назовем и . Тогда

Из рис.1 имеем:

Первый из этих трех интегралов — момент инерции относительно центральной оси Оу . Второй — статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F . Таким образом,

(1)

т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:

Найдем также центробежный момент инерции относительно осей , параллельных центральным, если известен (Рис.1). Так как по определению

где: , то отсюда следует

Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:

(2)

Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

Зависимость между моментами инерции при повороте осей.

Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол .

Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис.2).

Рис.2. Расчетная модель для определения моментов инерции для повернутых осей.

Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей , , а также центробежный момент инерции . Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом ; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и , через известные моменты инерции и .

Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:

Аналогично:

Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:

где и вычисляются по формулам (14.10); тогда

После преобразований получим:

(7)

Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси , надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz , центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у .

Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О . Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол , независимо от того, центральные это оси или нет.

Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим

т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:

где — расстояние площадок dF от точки О . Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О .

Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции.

Так, для круга:

Так как по симметрии для круга то

что было получено выше путем интегрирования.

Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить:

Главные оси инерции и главные моменты инерции.

Как уже известно, зная для данной фигуры центральные моменты инерции , и , можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси.

При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы существенно упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен.нулю. В самом деле, моменты инерции и всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент

может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси . Эти оси мы будем обозначать и ; для них

Найдем, под каким углом наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) главные оси.

Рис.1. Расчетная модель для определения положения главных осей инерции.

В известном выражении для перехода от осей yz к осям , для центробежного момента инерции дадим углу значение ; тогда оси и , совпадут c главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю:

(1)

Этому уравнению удовлетворяют два значения , отличающиеся на 180°, или два значения , отличающиеся на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение двух осей , составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси и , для которых .

Пользуясь этой формулой, можно по известным , и получить формулы для главных моментов инерции и . Для этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции общего положения. Они определяют значения и если вместо подставить

(2)

Полученными соотношениями можно пользоваться при решении задач. Одним из главных моментов инерции является , другим .

Формулы (2) можно преобразовать к виду, свободному от значения . Выражая и через и подставляя их значения в первую формулу (2), получим, делая одновременно замену из формулы (1):

Заменяя здесь из формулы (1) дробь на

получаем

(3)

К этому же выражению можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (3).

За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz , а главные оси и ; тогда в формулах не будет фигурировать центробежный момент инерции (). Обозначим угол, составленный осью , (Рис.2) с главной осью , через . Для вычисления , и , переходя от осей и нужно в ранее найденных выражениях для , и , заменить угол через , а , и — через , и . В результате получаем:

По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных и касательных напряжений по двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей max J ) от начального положения оси у :

Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты , проходящей на расстоянии (рис.2) от центра тяжести:

Во многих случаях удается сразу провести главные оси фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет одна из главных осей. В самом деле, при выводе формулы мы уже имели дело с интегралом , представляющим собой центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z ; было доказано, что если ось Oz является осью симметрии, этот интеграл обращается в нуль.

Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии — всегда главная центральная ось; вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии.

Пример. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.3) относительно осей и равны:

Моменты инерции относительно осей и равны:

Центробежный момент инерции равен.

Различают следующие виды моментов инерции сечений: осевые; центробежный; полярный; центральные и главные моменты инерции.

Центробежные моменты инерции сечения относительной у и z называют интеграл вида Сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух координатных осей равна полярному моменту инерции относительно начала координат:

Размерность указанных видов моментов инерции сечения (длина 4), т.е. м 4 или см 4 .

Осевые и полярный моменты инерции сечения – величины положительные; центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю (для некоторых осей, являющихся осью симметрии).

Существуют зависимости для моментов инерции при параллельном переносе и повороте координатных осей.

Рисунок 5.4 – Параллельный перенос и поворот координатных осей для произвольного поперечного сечения бруса

Для центробежных моментов инерции

Если известны моменты инерции сечения Iz, Iу, Izу относительно осей z и у , то моменты инерции относительно повернутых осей z 1 и у 1 , на угол α по отношению к исходным осям (рис. 5.4, б ) определяется по формулам:

С понятием главных моментов инерции связывают положение главных осей инерции. Главными осями инерции называют две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты приобретают экстремальные значения (максимум и минимум).

Если главные оси проходят через центр тяжести фигуры, то они называются главными центральными осями инерции.

Положение главных осей инерции находят из следующих зависимостей:

В расчетах прочности элементов конструкций пользуются понятием такой геометрической характеристики как момент сопротивления сечения .

Рассмотрим для примера поперечное сечение бруса (рис. 5.5).

Рисунок 5.5 – Пример поперечного сечения бруса

Отстояние наиболее удаленной т.А от центра тяжести сечения т.С о бозначим h 1 , а отстояние т.В – через h 2 .

(5.16)

Тогда моменты сопротивления сечения относительно горизонтальной оси z точек А , В вычисляются как отношения осевого момента инерции относительно оси z к расстояниям до точек А, В :

Практический интерес в расчетах прочности представляет наименьший момент сопротивления сечения Wmin , соответствующий наиболее удаленной т.А от центра тяжести сечения h 1 = у max .

Размерность элементов сопротивления (длина 3), т.е. м 3 , см 3 .

Таблица 5.1 – Значения моментов инерции и моментов сопротивления простейших сечений относительно центральных осей

Виды наименования сечения	Моменты инерции	Моменты сопротивления
Прямоугольник
Круг

продолжение таблицы 5.1

Нижеприведенные формулы для определения моментов инерции простых сечений относительно их центральных осей получены из интегральных выражений для моментов инерции (5.4), (5.5), (5.6):

1. Прямоугольник

(5.10)

(5.11)

так как оси Z иY– оси симметрии.

2. Круг

(5.12)

(5.13)

Здесь – полярный момент инерции сечения.

3. Полукруг

(5.14)

(5.15)

4. Равнобедренный треугольник

(5.16)

(5.17)

5. Прямоугольный треугольник

(5.18)

(5.19)

(5.20)

Полезно запомнить, что в формулах (5.10), (5.11) и (5.16)–(5.19) возводится в куб размер стороны фигуры, перпендикулярной рассматриваемой оси.

В формуле (5.20) при определении центробежного момента инерции знак "минус" ставится тогда, когда острые углы треугольника находятся в отрицательных четвертях (т.е. 2-й и 4-й). В тех случаях, когда эти углы находятся в положительных четвертях (т.е. 1-й и 3-й), в формуле (5.20) ставится знак "плюс".

5.3. Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции для симметричных сечений определяются в следующем порядке:

1. Сложное сечение разбивается на простые фигуры (круг, прямоугольник, двутавр, уголок и т.п.) и проводятся их центральные оси Z i и Y i (как правило – горизонтально и вертикально).

2. Определяется по формулам (5.3) положение центра тяжести всего сечения и через эту точку проводятся его центральные оси Z и Y. При наличии двух осей симметрии центр тяжести всего сечения находится в точке их пересечения.

Если сечение обладает только одной осью симметрии, то по формулам (5.3) определяется только одна координата центра тяжести. Поясним это для фигуры, показанной на рис. 5.8:

а) оси Z" и Y" выбираем так, чтобы ось Y" совпала с осью симметрии фигуры, а ось Z" – чтобы было удобно определить расстояние до этой оси от центральных осей простых фигур;

б) определяем статический момент площади сечения относительно произвольной оси Z" по формуле:

= А 1 у 1 + А 2 у 2 ,

где А i – площади сечений простых фигур; у i – расстояния от произвольной осиZ" до центральных осей простых фигурZ i . Расстояния у i необходимо брать с учетом знаков;

в) определяем координату у C центра тяжести по формуле (5.3):

=

г) на расстоянии у C от осиZпроводим вторую центральную осьZ. Первой центральной осью является ось симметрии Y.

3. Моменты инерции относительно главных центральных осейZиY(рис. 5.8) определяем по формулам (5.9), которые в развернутом виде запишутся так:

так как одна из рассматриваемых осей

(ось Y) является осью симметрии.

В этих формулах:

– осевые моменты инерции простых фигур относительно своих центральных осей (собственные моменты инерции), которые определяются по формулам (5.10)–(5.19) или по таблицам сортаментов для прокатных элементов;

– расстояния от общих центральных осей сеченияZиYдо центральных осей простых фигур. В рассматриваемом примере
и
показаны на рис. 5.8;

A i – площади простых фигур. Если простой фигурой является фигура, вырезанная от общей, т.е. "пустая" фигура, то в соответствующие формулы площади таких фигурAи их собственные моменты инерции
подставляются со знаком "минус".

ПРИМЕР 5.1

Требуется определить главные центральные моменты инерции сечения, изображенного на рис. 5.9.

1. Разбиваем сечение на простые фигуры и проводим их горизонтальные и вертикальные центральные оси Z i иY i

2. Проводим центральные оси для всей фигуры, т.е. оси симметрии ZиY.

3. Определяем расстояния от общих центральных осей ZиYдо центральных осей простых фигур и площади этих фигур:

4. Вычисляем собственные центральные моменты фигур по формулам (5.10)–(5.17):

5. Определяем осевые моменты инерции всего сечения относительно центральных осей ZиY:

Центробежный момент инерции
так какZиY– оси симметрии. Поэтому вычисленные намиI Z иI Y поэтому являются главными центральными осями:

ПРИМЕР 5.2

Требуется определить главные центральные моменты инерции сечения показанного на (рис. 5.10).

1. Разбиваем сечение на простые фигуры и проводим их центральные оси иY i .

2. Проводим ось симметрии Y. Она является главной центральной осью заданного сечения.

3. Для определения положения 2-й главной центральной оси выбираем произвольную ось Z, перпендикулярную оси симметрии. Пусть эта ось совпадает с осьюZ 3 .

4. По формуле (5.3) определяем ординату у с центра тяжести поперечного сечения по оси Y:

Откладываем размер у C вверх от осиZ" и проводим 2-ю главную центральную осьZ.

5. Определяем осевые моменты инерции простых фигур относи­тельно собственных центральных осей (см. формулы (5.10)–(5.17)):

6. Вычисляем расстояния от центральных осей всего сечения ZиYдо центральных осей отдельных фигур (рис. 5.10):

так как оси Y 1 ,Y 2 ,Y 3 совпадают с осью симметрииY.

7. Вычисляем осевые моменты инерции всего сечения относи­тельно центральных осей ZиYпо формулам (5.9):

Центробежный момент инерции I ZY всего сечения равен нулю, так как ось Y является осью симметрии, т.е. осиZиYявляются главными центральными осями инерции сечения, а вычисленные осевые моменты инерции являются главными центральными моментами инерции:

ПРИМЕР 5.3

Требуется определить главные центральные моменты инерции составного сечения, показанного на (рис. 5.11).

Порядок решения подробно рассмотрен в примере 5.2.

1. Разбиваем сечение на отдельные фигуры, геометрические характеристики которых приводятся в таблице сортаментов (двутавр и швеллер) или легко вычисляются по формулам (5.10)–(5.20) (в данном примере прямоугольник) и проводим их центральные оси.

2. Проводим ось симметрии Y. Центр тяжести всего сечения лежит на этой оси.

3. Выбираем произвольную ось Z. Пусть в данном примере эта ось совпадает с осьюZ 3 .

4. Расстояние у C определяем от произвольной осиZдо центра тяжести всего сечения:

Расстояния от произвольно выбранной оси Z" до центральных осей каждой фигуры (у 1 , у 2 , у 3) показаны на рис. 5.11.

Площади сечений швеллера А 1 и двутавра А 2 выписываем из соответствующих таблиц сортамента, а площадь прямоугольника А 3 вычисляем:

А 1 = 23,4 см 2 , А 2 = 46,5 см 2 , А 3 = 242 = 48 см 2 .

Отложим величину у C вверх от осиZ" (так как у C > 0) и на этом расстоянии проведем главную центральную осьZ.

5. Геометрические характеристики прокатных профилей выписываем из таблицы сортаментов, учитывая различие в ориентации осей в таблице сортаментов и на рис. 5.12а, в.

1. Швеллер № 20

ГОСТ 8240-89

(рис. 5.12а)
;

Двутавр № 30

ГОСТ 8239-89

(рис. 5.12б)
h= 30 см.

Буква "с" в индексе осевых моментов инерции I означает ссылку на обозначение осей в сортаменте.

Моменты инерции прямоугольника (рис. 5.12в) вычисляем отдельно по формулам (5.10) и (5.11):

6. Определяем расстояния от общих центральных осей Y и Z до центральных осей отдельных фигур (они показаны на рис. 5.11):

так как оси Y 1 ,Y 2 ,Y 3 совпадают с осью симметрии всего сеченияY.

7. Определяем осевые моменты инерции сложной фигуры относительно центральных осей ZиYпо формулам (5.9):

Центробежный момент инерции
так как ось Y является осью симметрии. Поэтому оси Z и Y являются главными центральными осями.

Обратите внимание, на этом сайте есть онлайн-сервис для вычисления центра тяжести и моментов инерции составных сечений, которые состоят из прокатных профилей (двутавр, уголок и т.д.) и из простых фигур.

Часто при расчете элементов строительных конструкций приходится определять геометрические характеристики профилей, составленных из элементарных геометрических фигур (прямоугольник, круг и т.п.) и прокатных профилей. Рассмотрим подробно пример расчета.

Необходимо определить геометрические характеристики составного сечения (рис.), который состоит из уголка 20/12,5/1,2, уголка 14/1 и прямоугольника 20х2см.

Определение собственных характеристик отдельных профилей - составляющих сечения

Собственные характеристики прокатных профилей определяются из сортамента.

Для неравнополочного уголка 20/12,5/1,2:

- высота и ширина уголка h = 20 см, b = 12,5 см;

- площадь $A$= 37,9 см 2 ;

- собственные осевые моменты инерции ${I_x}$=1570 см 4 , ${I_y}$= 482 см 4 ;

- собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=505 см 4 ;

- координаты центра тяжести ${x_c}$= 2,83 см, ${y_c}$= 6,51 см.

Для равнополочного уголка 14/1:

- высота и ширина уголка h = b = 14 см;

- площадь $A$= 27,3 см 2 ;

- собственные осевые моменты инерции ${I_x}$= ${I_y}$= 512 см 4 ;

- собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=301 см 4 ;

- координаты центра тяжести ${x_c}$= ${y_c}$= 3,82 см.

Для прямоугольника 20х2см:

- высота и ширина прямоугольника h = 20 см, b = 2 см;

Площадь $A$= 20 ∙ 2 = 40 см 2 ;

- собственные осевые моменты инерции ${I_x} = \frac{{2 \cdot {{20}^3}}}{{12}} = 1330$ см 4 , ${I_y} = \frac{{20 \cdot {2^3}}}{{12}} = 13,3$см 4 ;

- собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$= 0, так как профиль имеет ось симметрии.

Определение центра тяжести сечения

Общая площадь всего сечения A = 37,9+27,3+40 = 105см 2 .

Проводим вспомогательные оси $X$ и $Y$ и определяем относительно них центр тяжести сечения:

${X_c} = \frac{{\sum {{X_i} \cdot {A_i}} }}{A} = \frac{{{\text{37}}{\text{,9}} \cdot {\text{(- 13}}{\text{,5) + 27}}{\text{,3}} \cdot {\text{(- 3}}{\text{,82) + 40}} \cdot {\text{1}}}}{{{\text{105}}}}{\text{ = - 5}}{\text{,49}}$см;

${Y_c} = \frac{{\sum {{Y_i} \cdot {A_i}} }}{A} = \frac{{{\text{37}}{\text{,9}} \cdot {\text{(- 2}}{\text{,83) + 27}}{\text{,3}} \cdot {\text{10}}{\text{,2 + 40}} \cdot {\text{10}}}}{{105}} = 5,44$.

При этом в координатах центров тяжести составных обязанности ’ обязательно учитываем знак. Откладываем оси, которые проходят через центр тяжести - центральные оси $Xc$ и ${Y_c}$.

Определение центральных моментов инерции

Осевые и центробежный моменты инерции сечения определяем по формулам перехода между параллельными осями. Для этого находим и показываем на чертеже расстояния между центральными осями всего сечения и собственными осями каждой из фигур.

$Ix = \sum {\left({I{x_i} + A \cdot {b^2}} \right) = {\text{482 + 8}}{\text{,2}}{{\text{7}}^{\text{2}}} \cdot {\text{37}}{\text{,9 + 512 + 4}}{\text{,7}}{{\text{6}}^{\text{2}}} \cdot {\text{27}}{\text{,3 + 1330 + 4}}{\text{,5}}{{\text{6}}^{\text{2}}} \cdot {\text{40 = 6360}}} $см 4 ;

$Iy = \sum {\left({I{y_i} + A \cdot {a^2}} \right)} = {\text{1570 + 8}}{\text{,0}}{{\text{1}}^{\text{2}}} \cdot {\text{37}}{\text{,9 + 512 + 1}}{\text{,6}}{{\text{7}}^{\text{2}}} \cdot {\text{27}}{\text{,3 + 13}}{\text{,3 + 6}}{\text{,4}}{{\text{9}}^{\text{2}}} \cdot {\text{40 = 6280}}$см 4 ;

${I_{xy}} = \sum {\left({{I_{xy}}_i + A \cdot a \cdot b} \right)} = $

$ = 505 + (- 8,01) \cdot (- 8,27) \cdot 37,9 - 301 + 1,67 \cdot 4,76 \cdot 27,3 + 0 + 6,49 \cdot 4,56 \cdot 40 = 4120$см 4 .

При этом обязанности ’ обязательно учитываем размещения фигур относительно рассматриваемых осей. Так, при определении момента инерции ${I_x}$ в формулу подставляем собственный момент инерции неравнополочного уголка относительно оси, которая параллельна оси ${X_c}$, в сортаменте это ось $Y$, и наоборот.

Определение положения главных осей и главных моментов инерции

Угол поворота главных осей относительно осей, для которых известны моменты инерции, определяется по формуле

\ $\alpha = \frac{{arctg(- 97)}}{2} = - 44,7^\circ $.

Если $\alpha > 0$, главные оси откладываются против часовой стрелки, и наоборот.

Главные моменты инерции определяются так

${I_{x0}} = {I_x} \cdot {\cos ^2}\alpha + {I_y} \cdot {\sin ^2}\alpha - {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha = $

$ = 6360 \cdot {\cos ^2}(- 44,7^\circ) + 6280 \cdot {\sin ^2}(- 44,7^\circ) - 4120 \cdot \sin (- 2 \cdot 44,7^\circ) = 10430$см 4 .

${I_{y0}} = {I_y} \cdot {\cos ^2}\alpha + {I_x} \cdot {\sin ^2}\alpha + {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha = $

$ = 6280 \cdot {\cos ^2}(- 44,7^\circ) + 6360 \cdot {\sin ^2}(- 44,7^\circ) + 4120 \cdot \sin (- 2 \cdot 44,7^\circ) = 2210$см 4 .

Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.

Радиусы инерции. Моменты сопротивления

Радиусы инерции сечения

${i_x} = \sqrt[{}]{{\frac{{{I_x}}}{A}}} = \sqrt[{}]{{\frac{{10430}}{{105}}}} = 9,96$см, ${i_y} = \sqrt[{}]{{\frac{{{I_y}}}{A}}} = \sqrt[{}]{{\frac{{2210}}{{105}}}} = 4,58$см.

Моменты сопротивления сечения определяем относительно центральных осей. Для этого необходимо определить расстояния ${x_{\max }}$ и ${y_{\max }}$ до максимально удаленных точек от главных осей. Сначала необходимо по чертежам определить, какие точки являются наиболее удаленными. В нашем случае это точки $A$ и $B$ (рис.). Искомые расстояния можно определить, имея координаты этих точек в центральных (не возвращенных осям).

${x_{\max }} = {x_A} \cdot \cos \left(\alpha \right) + {y_A} \cdot \sin \left(\alpha \right)$

${y_{\max }} = {y_B} \cdot \cos \left(\alpha \right) - {x_B} \cdot \sin \left(\alpha \right)$

X А = - 8,53см Y A =8,57см

X B = - 14,5см Y B = - 18см

x max = - 12,1см y max = - 23см

Моменты сопротивления

${W_x} = \frac{{{I_x}}}{{{y_{\max }}}} = \frac{{10430}}{{23}} = 454$см 3 ; ${W_y} = \frac{{{I_y}}}{{{x_{\max }}}} = \frac{{2210}}{{12.1}} = 183$см 3 .

При определении моментов инерции составного сечения последнее разбивают на простые фигуры, у которых известны положения центров тяжести и моменты инерции относительно собственных центральных осей. По формулам (2.5) находят координаты центра тяжести всего сечения в системе произвольно выбранных вспомогательных осей. Параллельно этим осям проводят центральные оси, относительно которых определяют осевые и центробежный моменты инерции по формулам (2.6). Моменты инерции относительно главных центральных осей определяются по формуле (2.12), а положение главных центральных осей - по формулам (2.11).

Пример 2.1. Определим моменты инерции относительно главных центральных осей поперечного сечения двутавровой балки 130, усиленной двумя стальными листами сечением 200 х 20 мм (рис. 2.12).

Оси симметрии Ох, Оу являются главными центральными осями всего сечения. Выпишем из сортамента (см. приложение) значения площади и моментов инерции сечения двутавра относительно осей Ох, Оу:

Моменты инерции сечений листов относительно собственных центральных осей определим по формулам (2.14):

Площадь всего сечения равна F = 46,5 + 2 20 2 = 126,5 см 2 .

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей Ох, Оу определяются по формулам (2.6):

Пример 2.2. Определим моменты инерции относительно главных центральных осей поперечного сечения стойки стропильной фермы из двух равнобоких уголков 1_70х70х8, составленных крестообразно (рис. 2.13). Совместная работа уголков обеспечивается соединительными планками.

Координаты центра тяжести сечения уголка, значения площади и моментов инерции относительно собственных центральных осей Ох^ и Оу 0 приведены в сортаменте (см. приложение):

Расстояние от центра тяжести О всего сечения до центра тяжести уголка равно а = (2,02 + 0,4)л/2 = 3,42 см.

Площадь всего сечения равна F = 2 10,7 = 21,4 см 2 .

Моменты инерции относительно главных центральных осей, которыми являются оси симметрии Ох, Оу, определяются по формулам (2.6):

Пример 2.3. Определим положение центра тяжести и моменты инерции относительно главных центральных осей поперечного сечения балки, составленной из двух швеллеров х ] и О х у { . Тогда по формулам (2.5) получим:

Эти величины и координаты центров тяжести швеллера и уголка в системе координат Оху показаны на рис. 2.16 и соответственно равны:

Определим по формулам (2.6) моменты инерции сечения относительно центральных осей Ох и Оу

По формулам (2.12) и (2.11) найдем величины главных моментов инерции и углы наклона главных осей 1 и 2 к оси Ох: