Kako pronaći površinu baze piramide. Kako izračunati površinu piramide: baza, bočna i puna? Što je piramida

28.10.2019

Prije proučavanja pitanja o ovom geometrijskom liku i njegovim svojstvima, potrebno je razumjeti neke pojmove. Kada osoba čuje za piramidu, zamišlja ogromne zgrade u Egiptu. Ovako izgledaju oni najjednostavniji. Ali dolaze u različitim vrstama i oblicima, što znači da će formula za izračun geometrijskih oblika biti drugačija.

piramida - geometrijski lik , koji označava i predstavlja više lica. Zapravo, ovo je isti poliedar, u čijem se dnu nalazi poligon, a na stranama trokuti koji se spajaju u jednoj točki - vrhu. Slika je dvije glavne vrste:

ispravan;
krnji.

U prvom slučaju baza je pravilan poligon. Ovdje su sve bočne površine jednake između sebe i same figure ugodit će oku perfekcionista.

U drugom slučaju, postoje dvije baze - velika na samom dnu i mala između vrha, ponavljajući oblik glavne. Drugim riječima, skraćena piramida je poliedar čiji je presjek formiran paralelno s bazom.

Uvjeti i oznake

Osnovni pojmovi:

Pravilni (jednakostranični) trokut- lik s tri jednaka kuta i jednake strane. U ovom slučaju, svi kutovi su 60 stupnjeva. Slika je najjednostavniji od pravilnih poliedara. Ako ova figura leži u podnožju, tada će se takav poliedar zvati pravilnim trokutastim. Ako je baza kvadrat, piramida će se zvati pravilna četverokutna piramida.
Vertex- najviša točka gdje se spajaju rubovi. Visinu vrha tvori ravna linija koja izvire od vrha do baze piramide.
rub je jedna od ravnina poligona. Može biti u obliku trokuta u slučaju trokutaste piramide ili u obliku trapeza za krnje piramide.
presjek- ravna figura nastala kao rezultat seciranja. Ne treba se brkati s odjeljkom, jer dio također pokazuje što se nalazi iza odjeljka.
Apotema- segment povučen od vrha piramide do baze. To je također visina lica gdje je druga točka visine. Ova definicija vrijedi samo za pravilan poliedar. Na primjer - ako nije skraćena piramida, tada će lice biti trokut. U ovom slučaju, visina ovog trokuta postat će apotema.

Formule površine

Nađite površinu bočne površine piramide bilo koji tip se može izvesti na nekoliko načina. Ako lik nije simetričan i poligon je s različitim stranama, tada je u ovom slučaju lakše izračunati ukupnu površinu kroz ukupnost svih površina. Drugim riječima, morate izračunati površinu svakog lica i zbrojiti ih.

Ovisno o tome koji su parametri poznati, mogu biti potrebne formule za izračunavanje kvadrata, trapeza, proizvoljnog četverokuta itd. Same formule u različitim slučajevima također će biti drugačiji.

U slučaju pravilne figure, pronalaženje područja je puno lakše. Dovoljno je znati samo nekoliko ključnih parametara. U većini slučajeva, izračuni su potrebni upravo za takve brojke. Stoga će odgovarajuće formule biti navedene u nastavku. U protivnom bi morali sve slikati na nekoliko stranica, što će samo zbuniti i zbuniti.

Osnovna formula za izračun bočna površina ispravna piramida izgledat će ovako:

S \u003d ½ Pa (P je perimetar baze i apotema)

Razmotrimo jedan od primjera. Poliedar ima bazu sa segmentima A1, A2, A3, A4, A5, i svi su jednaki 10 cm. Neka je apotem jednak 5 cm. Prvo morate pronaći opseg. Budući da je svih pet lica baze jednaka, može se pronaći na sljedeći način: P = 5 * 10 = 50 cm. Zatim primjenjujemo osnovnu formulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na kvadrat .

Bočna površina pravilne trokutaste piramide najlakše je izračunati. Formula izgleda ovako:

S =½* ab *3, gdje je a apotema, b je faseta baze. Faktor tri ovdje znači broj lica baze, a prvi dio je površina bočne površine. Razmotrimo primjer. Zadan je lik s apotemom od 5 cm i osnovnom pločom od 8 cm. Računamo: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm na kvadrat.

Bočna površina krnje piramide malo je teže izračunati. Formula izgleda ovako: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, gdje su p_01 i p_02 perimetri baza i apotema. Razmotrimo primjer. Pretpostavimo da su za četverokutni lik dimenzije stranica baza 3 i 6 cm, apotema je 4 cm.

Ovdje, za početak, trebali biste pronaći perimetre baza: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Ostaje zamijeniti vrijednosti u glavnu formulu i dobiti: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na kvadrat.

Dakle, moguće je pronaći bočnu površinu pravilne piramide bilo koje složenosti. Pazite da ne zbunite ovi proračuni s ukupnom površinom cijelog poliedra. A ako to i dalje trebate učiniti, dovoljno je izračunati površinu najveće baze poliedra i dodati je površini bočne površine poliedra.

Video

Za konsolidaciju informacija o tome kako pronaći bočnu površinu različitih piramida, ovaj će vam video pomoći.

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.

Ukupna površina bočne površine piramide sastoji se od zbroja površina njezinih bočnih strana.

U četverokutnoj piramidi razlikuju se dvije vrste lica - četverokut na bazi i trokuti sa zajedničkim vrhom, koji tvore bočnu površinu.
Prvo morate izračunati površinu bočnih strana. Da biste to učinili, možete koristiti formule površine trokuta, ili također možete koristiti formulu površine četverokutna piramida(samo ako je poliedar pravilan). Ako je piramida pravilna i u njoj je poznata duljina brida a baze i apoteme koja joj je povučena h, tada je:

Ako su, prema uvjetima, zadane duljina brida c pravilne piramide i duljina stranice baze a, tada možete pronaći vrijednost pomoću sljedeće formule:

Ako se daju duljina rebra na bazi i suprotni oštri kut na vrhu, tada se bočna površina može izračunati omjerom kvadrata stranice a i udvostručenog kosinusa polovice kuta α:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine četverokutne piramide kroz bočni rub i stranu baze.

Problem: Neka je dana pravilna četverokutna piramida. Duljina ruba b = 7 cm, duljina osnovne stranice a = 4 cm. Zamijenite date vrijednosti u formulu:

Prikazali smo izračune površine jedne bočne strane za pravilnu piramidu. Odnosno. Da biste pronašli površinu cijele površine, potrebno je rezultat pomnožiti s brojem lica, odnosno s 4. Ako je piramida proizvoljna i njezina lica nisu jednaka jedna drugoj, tada je potrebno izračunajte površinu za svaku pojedinu stranu. Ako je baza pravokutnik ili paralelogram, onda je vrijedno zapamtiti njihova svojstva. Stranice ovih figura su paralelne u parovima, pa će, sukladno tome, lica piramide također biti identična u parovima.
Formula za površinu baze četverokutne piramide izravno ovisi o tome koji četverokut leži u bazi. Ako je piramida ispravna, tada se površina baze izračunava po formuli, ako je baza romb, onda se morate sjetiti kako se nalazi. Ako je baza pravokutnik, tada će pronaći njegovo područje biti prilično jednostavno. Dovoljno je znati duljine stranica baze. Razmotrimo primjer izračunavanja površine baze četverokutne piramide.

Zadatak: Neka je dana piramida u čijoj osnovi leži pravokutnik sa stranicama a = 3 cm, b = 5 cm. Od vrha piramide na svakoj strani izostavljen je apotem. h-a \u003d 4 cm, h-b \u003d 6 cm. Vrh piramide leži na istoj liniji s točkom presjeka dijagonala. Pronađite ukupnu površinu piramide.
Formula za površinu četverokutne piramide sastoji se od zbroja površina svih strana i površine baze. Prvo, pronađimo površinu baze:

Sada razmotrite lica piramide. Identični su u paru, jer visina piramide siječe točku presjeka dijagonala. To jest, u našoj piramidi postoje dva trokuta s bazom a i visina h-a, kao i dva trokuta s bazom b i visina h-b. Sada nalazimo površinu trokuta koristeći dobro poznatu formulu:

Sada ćemo izvesti primjer izračunavanja površine četverokutne piramide. U našoj piramidi s pravokutnikom na bazi, formula će izgledati ovako:

trokutasta piramida Poliedar se naziva poliedar čija je osnova pravilan trokut.

U takvoj piramidi, lica baze i rubovi stranica jednaki su jedni drugima. Prema tome, površina bočnih strana nalazi se iz zbroja površina tri identična trokuta. Bočnu površinu pravilne piramide možete pronaći pomoću formule. A izračun možete napraviti nekoliko puta brže. Da biste to učinili, primijenite formulu za područje bočne površine trokutaste piramide:

gdje je p opseg baze, čije su sve strane jednake b, a je apotema spuštena s vrha na ovu bazu. Razmotrimo primjer izračunavanja površine trokutaste piramide.

Zadatak: Neka je dana ispravna piramida. Stranica trokuta koja leži u bazi je b = 4 cm. Apotem piramide je a = 7 cm. Nađite površinu bočne površine piramide.
Budući da prema uvjetima zadatka znamo duljine svih potrebnih elemenata, naći ćemo opseg. Zapamtite da su u pravilnom trokutu sve strane jednake, pa se perimetar izračunava po formuli:

Zamijenite podatke i pronađite vrijednost:

Sada, poznavajući perimetar, možemo izračunati bočnu površinu:

Primijeniti formulu površine trokutaste piramide za izračun puna vrijednost, trebate pronaći površinu baze poliedra. Za to se koristi formula:

Formula za područje baze trokutaste piramide može biti drugačija. Dopušteno je koristiti bilo koji izračun parametara za danu brojku, ali najčešće to nije potrebno. Razmotrimo primjer izračunavanja površine baze trokutaste piramide.

Zadatak: U pravilnoj piramidi stranica trokuta koja leži u osnovi je a = 6 cm. Izračunajte površinu baze.
Da bismo izračunali, potrebna nam je samo duljina stranice pravilnog trokuta koji se nalazi u podnožju piramide. Zamijenite podatke u formuli:

Često je potrebno pronaći ukupnu površinu poliedra. Da biste to učinili, morate dodati područje bočne površine i baze.

Razmotrimo primjer izračunavanja površine trokutaste piramide.

Zadatak: neka se da ono ispravno trokutasta piramida. Stranica baze je b = 4 cm, apotema je a = 6 cm. Nađite ukupnu površinu piramide.
Prvo, pronađimo bočnu površinu pomoću već poznate formule. Izračunaj opseg:

Podatke zamjenjujemo u formulu:
Sada pronađite površinu baze:
Znajući površinu baze i bočne površine, nalazimo ukupnu površinu piramide:

Prilikom izračunavanja površine pravilne piramide, ne treba zaboraviti da je baza pravilan trokut i da su mnogi elementi ovog poliedra međusobno jednaki.

Učenici se s konceptom piramide susreću mnogo prije proučavanja geometrije. Okriviti slavna velika egipatska čuda svijeta. Stoga, započevši proučavanje ovog prekrasnog poliedra, većina studenata to već jasno zamišlja. Svi navedeni nišani su u ispravnom obliku. Što se dogodilo desna piramida, te koja svojstva ima i o čemu će se dalje raspravljati.

U kontaktu s

Definicija

Postoje mnoge definicije piramide. Od davnina je vrlo popularan.

Na primjer, Euklid ga je definirao kao čvrstu figuru, koja se sastoji od ravnina, koje se, počevši od jedne, konvergiraju u određenoj točki.

Heron je dao precizniju formulaciju. Inzistirao je da je to brojka koja ima bazu i ravnine u obliku trokuta, konvergirajući u jednoj točki.

Na temelju suvremene interpretacije, piramida je predstavljena kao prostorni poliedar, koji se sastoji od određenog k-kuta i k ravnih trokutastih figura koje imaju jednu zajedničku točku.

Pogledajmo pobliže, Od kojih se elemenata sastoji?

k-kut se smatra osnovom figure;
3-kutne figure strše kao stranice bočnog dijela;
gornji dio, iz kojeg potječu bočni elementi, naziva se vrh;
svi segmenti koji povezuju vrh nazivaju se bridovi;
ako se ravna crta spusti od vrha do ravnine figure pod kutom od 90 stupnjeva, tada je njezin dio zatvoren u unutarnjem prostoru visina piramide;
u bilo kojem bočnom elementu na strani našeg poliedra, možete nacrtati okomicu, nazvanu apotema.

Broj bridova se izračunava pomoću formule 2*k, gdje je k broj stranica k-kuta. Koliko strana ima poliedar poput piramide može se odrediti izrazom k + 1.

Važno! Piramida pravilnog oblika je stereometrijski lik čija je osnovna ravnina k-kut s jednakim stranicama.

Osnovna svojstva

Ispravna piramida ima mnoga svojstva koji su jedinstveni za nju. Nabrojimo ih:

Baza je lik ispravnog oblika.
Rubovi piramide, koji ograničavaju bočne elemente, imaju jednake numeričke vrijednosti.
Bočni elementi su jednakokračni trokuti.
Osnova visine figure pada u središte poligona, a istovremeno je središnja točka upisanog i opisanog.
Sva bočna rebra su nagnuta prema ravnini baze pod istim kutom.
Sve bočne površine imaju isti kut nagiba u odnosu na bazu.

Hvala svima navedena svojstva, što uvelike olakšava izračune elemenata. Na temelju navedenih svojstava obraćamo pažnju na dva znaka:

U slučaju kada se poligon uklapa u krug, bočne strane će imati bazu jednakih kutova.
Kada se opisuje kružnica oko poligona, svi rubovi piramide koji izlaze iz vrha imat će jednake duljine i jednakih kutova s bazom.

Kvadrat se temelji

Pravilna četverokutna piramida - poliedar na temelju kvadrata.

Ima četiri bočne strane, koje su po izgledu jednakokračne.

Na ravnini je prikazan kvadrat, ali se temelje na svim svojstvima pravilnog četverokuta.

Na primjer, ako je potrebno spojiti stranu kvadrata s njegovom dijagonalom, tada se koristi sljedeća formula: dijagonala je jednaka umnošku stranice kvadrata i kvadratnog korijena od dva.

Na temelju pravilnog trokuta

Pravilna trokutasta piramida je poliedar čija je baza pravilan trokut.

Ako je baza pravokutni trokut, a bočni rubovi jednaki su rubovima baze, onda takav lik nazvan tetraedar.

Sva lica tetraedra su jednakostranični 3-kuti. U ovom slučaju morate znati neke točke i ne gubiti vrijeme na njih prilikom izračunavanja:

kut nagiba rebara prema bilo kojoj bazi je 60 stupnjeva;
vrijednost svih unutarnjih lica je također 60 stupnjeva;
bilo koje lice može djelovati kao baza;
nacrtani unutar figure su jednaki elementi.

Presjeci poliedra

U bilo kojem poliedru postoje nekoliko vrsta sekcija avion. Često u školski tečaj geometrije rade s dva:

aksijalni;
paralelna osnova.

Aksijalni presjek se dobiva presjekom poliedra s ravninom koja prolazi kroz vrh, bočne bridove i os. U ovom slučaju, os je visina povučena iz vrha. Rezna ravnina ograničena je linijama presjeka sa svim plohama, što rezultira trokutom.

Pažnja! U pravilnoj piramidi aksijalni presjek je jednakokraki trokut.

Ako rezna ravnina ide paralelno s bazom, rezultat je druga opcija. U ovom slučaju imamo u kontekstu lik sličan bazi.

Na primjer, ako je baza kvadrat, tada će presjek paralelan s bazom također biti kvadrat, samo manje veličine.

Prilikom rješavanja zadataka pod ovim uvjetom koriste se znakovi i svojstva sličnosti slika, na temelju Talesovog teorema. Prije svega, potrebno je odrediti koeficijent sličnosti.

Ako se ravnina povuče paralelno s bazom, a ona odsiječe gornji dio poliedra, onda se u donjem dijelu dobije pravilna skraćena piramida. Tada se kaže da su osnovice skraćenog poliedra slični poligoni. U ovom slučaju, bočne strane su jednakokračni trapezi. Aksijalni presjek je također jednakokračan.

Da bi se odredila visina krnjeg poliedra, potrebno je visinu nacrtati u aksijalnom presjeku, odnosno u trapezu.

Površinske površine

Glavni geometrijski zadaci koji se moraju rješavati u školskom kolegiju geometrije su nalaženje površine i volumena piramide.

Postoje dvije vrste površine:

područje bočnih elemenata;
cijelu površinu.

Iz samog naslova je jasno o čemu se radi. Bočna površina uključuje samo bočne elemente. Iz ovoga slijedi da da biste ga pronašli, jednostavno trebate zbrojiti površine bočnih ravnina, odnosno područja jednakokračnih 3-kuta. Pokušajmo izvesti formulu za područje bočnih elemenata:

Površina jednakokračnog 3-kuta je Str=1/2(aL), gdje je a stranica baze, L je apotema.
Broj bočnih ravnina ovisi o vrsti k-kuta u bazi. Na primjer, pravilna četverokutna piramida ima četiri bočne ravnine. Stoga je potrebno zbrojiti površine četiri figure Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Izraz je na ovaj način pojednostavljen jer je vrijednost 4a=POS, gdje je POS opseg baze. A izraz 1/2 * Rosn je njegov poluperimetar.
Dakle, zaključujemo da je površina bočnih elemenata pravilne piramide jednaka umnošku poluperimetra baze i apotema: Sside \u003d Rosn * L.

Površina pune površine piramide sastoji se od zbroja površina bočnih ravnina i baze: Sp.p. = Sside + Sbase.

Što se tiče površine baze, ovdje se formula koristi prema vrsti poligona.

Volumen pravilne piramide jednak je umnošku površine osnovne ravnine i visine podijeljene s tri: V=1/3*Sbase*H, gdje je H visina poliedra.

Što je pravilna piramida u geometriji

Svojstva pravilne četverokutne piramide

tipično geometrijski problemi na ravnini i u trodimenzionalnom prostoru su problemi određivanja površina različitih figura. U ovom članku predstavljamo formulu za površinu bočne površine pravilne četverokutne piramide.

Što je piramida?

Dajemo strogu geometrijska definicija piramide. Pretpostavimo da postoji neki poligon s n strana i n kutova. birajmo proizvoljna točka prostor koji neće biti u ravnini navedenog n-kuta, te ga povezati sa svakim vrhom poligona. Dobit ćemo lik koji ima neki volumen, koji se naziva n-kutna piramida. Na primjer, na slici ispod pokažimo kako izgleda peterokutna piramida.

Dva važna elementa svake piramide su njena baza (n-kut) i vrh. Ti su elementi međusobno povezani s n trokuta, koji općenito nisu međusobno jednaki. Okomica spuštena s vrha na bazu naziva se visina figure. Ako siječe bazu u geometrijskom središtu (poklapa se sa središtem mase poligona), tada se takva piramida naziva ravna linija. Ako je pored ovog uvjeta tlo pravilan poligon, tada se cijela piramida naziva ispravnom. Slika ispod prikazuje kako izgledaju pravilne piramide s trokutastim, četverokutnim, peterokutnim i šesterokutnim bazama.

Površina piramide

Prije nego se prijeđemo na pitanje površine bočne površine pravilne četverokutne piramide, treba se detaljnije zadržati na pojmu same površine.

Kao što je gore spomenuto i prikazano na slikama, svaka piramida se sastoji od skupa lica ili stranica. Jedna strana je baza, a n stranica su trokuti. Površina cijelog lika zbroj je površina svake njegove strane.

Prikladno je proučavati površinu na primjeru lika koji se odvija. Skeniranje pravilne četverokutne piramide prikazano je na slikama ispod.

Vidimo da je njegova površina jednaka zbroju četiri područja identičnih jednakokračnih trokuta i površini kvadrata.

Ukupna površina svih trokuta koji tvore stranice figure naziva se površina bočne površine. Zatim ćemo pokazati kako ga izračunati za pravilnu četverokutnu piramidu.

Bočna površina pravokutne pravilne piramide

Da bismo izračunali bočnu površinu navedene figure, ponovno se okrećemo gore navedenom zamahu. Pretpostavimo da znamo stranu kvadratne baze. Označimo ga simbolom a. Može se vidjeti da svaki od četiri identična trokuta ima bazu duljine a. Da biste izračunali njihovu ukupnu površinu, morate znati ovu vrijednost za jedan trokut. Iz tečaja geometrije poznato je da je površina trokuta S t jednaka umnošku baze i visine, koju treba podijeliti na pola. tj.:

Gdje je h b - visina jednakokračan trokut privučeni bazi a. Za piramidu, ova visina je apotema. Sada ostaje pomnožiti rezultirajući izraz sa 4 da dobijete površinu S b bočne površine za dotičnu piramidu:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Ova formula sadrži dva parametra: apotemu i stranu baze. Ako je potonje poznato u većini uvjeta problema, onda se prvo mora izračunati znajući druge veličine. Evo formula za izračun apoteme h b za dva slučaja:

kada je poznata duljina bočnog rebra;
kada je poznata visina piramide.

Ako duljinu bočnog ruba (stranicu jednakokračnog trokuta) označimo simbolom L, tada je apotema h b određena formulom:

h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).

Ovaj izraz je rezultat primjene Pitagorinog teorema za trokut bočne površine.

Ako je visina h piramide poznata, tada se apotema h b može izračunati na sljedeći način:

h b = √(h 2 + a 2 /4).
Također nije teško dobiti ovaj izraz ako promatramo unutar piramide pravokutni trokut, koju čine kraci h i a/2 i hipotenuza h b .
Pokazat ćemo kako primijeniti ove formule rješavanjem dva zanimljiva problema.

Problem s poznatom površinom

Poznato je da je površina bočne površine četverokutnika 108 cm 2 . Potrebno je izračunati vrijednost duljine njezine apoteme h bi ako je visina piramide 7 cm.
Zapisujemo formulu za površinu S b bočne plohe kroz visinu. Imamo:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Ovdje smo jednostavno zamijenili odgovarajuću formulu apoteme u izraz za S b . Kvadirajmo obje strane jednadžbe:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

Da bismo pronašli vrijednost a, vršimo promjenu varijabli:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Uključite poznate vrijednosti i riješite kvadratna jednadžba:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Napisali smo samo pozitivni korijen ove jednadžbe. Tada će stranice baze piramide biti jednake:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Da biste dobili duljinu apoteme, samo koristite formulu:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) = √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.

Bočna površina Keopsove piramide

Odredimo vrijednost bočne površine za najveću egipatska piramida. Poznato je da u njegovom podnožju leži kvadrat sa dužinom stranice od 230,363 metra. Visina strukture izvorno je bila 146,5 metara. Zamijenimo ove brojeve u odgovarajuću formulu za S b , dobivamo:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Pronađena vrijednost je nešto veća od površine 17 nogometnih igrališta.