Brojne piramide. Ostala važna svojstva

06.03.2020

Nakon što ste dobili opću ideju o jednakosti u matematici, možete nastaviti s detaljnijim proučavanjem ovog pitanja. U ovom ćemo članku, prvo, objasniti što su numeričke jednakosti, a drugo, proučavat ćemo.

Navigacija po stranici.

Što je numerička jednakost?

Upoznavanje s brojčanim jednakostima počinje na samom početno stanje studira matematiku u školi. Obično se to događa u 1. razredu odmah nakon što prvi brojevi od 1 do 9 postanu poznati i nakon što izraz "isti iznos" postane smislen. Tada se pojavljuju prve numeričke jednakosti, na primjer, 1 = 1, 3 = 3, itd., koje se u ovoj fazi obično nazivaju jednostavno jednakostima bez precizne definicije "numeričke".

Jednakosti navedenog tipa u ovoj fazi daje se kvantitativno ili redno značenje koje je ugrađeno u. Na primjer, brojčana jednakost 3 = 3 odgovarala je slici koja prikazuje dvije grane stabla, na svakoj od kojih su 3 ptice. Ili kada su naši drugovi Petya i Kolya treći po redu u dva reda.

Nakon proučavanja aritmetičkih operacija pojavljuju se raznovrsniji zapisi. brojčane jednakosti, na primjer, 3 + 1 = 4, 7−2 = 5, 3 2 = 6, 8: 4 = 2, itd. Nadalje, brojčane jednakosti počinju se javljati još više zanimljiva vrsta koji sadrže različite dijelove u svojim dijelovima, na primjer, (2 + 1) + 3 = 2 + (1 + 3), 4 (4− (1 + 2)) + 12: 4−1 = 4 1 + 3−1 i slično. Zatim dolazi do upoznavanja s drugim vrstama brojeva, a brojevne jednakosti poprimaju sve raznolikije oblike.

Dakle, dovoljno je tući se, vrijeme je da damo definiciju brojčane jednakosti:

Definicija.

Brojčana jednakost Je li jednakost, u čijim se dijelovima nalaze brojevi i/ili brojčani izrazi.

Svojstva numeričke jednakosti

Načela rada s brojčanim jednakostima određena su njihovim svojstvima. I puno je vezano za svojstva brojčanih jednakosti u matematici: od svojstava rješavanja jednadžbi i nekih metoda za rješavanje sustava jednadžbi do pravila za rad s formulama koje povezuju različite veličine. To objašnjava potrebu za detaljnim proučavanjem svojstava brojčanih jednakosti.

Svojstva brojčanih jednakosti u potpunosti su u skladu s načinom na koji su definirane radnje s brojevima, a također su u skladu s definicija jednakih brojeva kroz razliku: broj a jednak je broju b ako i samo ako je razlika a - b jednaka nuli. U nastavku, kada opisujemo svako svojstvo, pratit ćemo ovu vezu.

Osnovna svojstva brojevnih jednakosti

Pregled svojstava brojčanih jednakosti trebao bi započeti s tri glavna svojstva koja su karakteristična za sve jednakosti bez iznimke. Tako, osnovna svojstva brojevnih jednakosti to:

svojstvo refleksivnosti: a = a;
svojstvo simetrije: ako je a = b, onda je b = a;
i svojstvo tranzitivnosti: ako je a = b i b = c, tada je a = c,

gdje su a, b i c proizvoljni brojevi.

Svojstvo refleksivnosti numeričkih jednakosti odnosi se na činjenicu da je broj jednak samom sebi. Na primjer, 5 = 5, −2 = −2, itd.

Lako je pokazati da je za bilo koji broj a istinita jednakost a - a = 0. Doista, razlika a - a može se prepisati kao zbroj a + (- a), a iz svojstava zbrajanja brojeva znamo da za svaki broj a postoji jedinstveni -a, a zbroj suprotnih brojeva je jednaka nuli.

Svojstvo simetrije numeričkih jednakosti kaže da ako je broj a jednak broju b, onda je broj b jednak broju a. Na primjer, ako je 2 3 = 8 (pogledajte), onda je 8 = 2 3.

Opravdajmo ovo svojstvo u smislu razlike u brojevima. Uvjet a = b odgovara jednakosti a - b = 0. Pokažimo da je b - a = 0. Pravilo za proširene zagrade kojima prethodi znak minus dopušta da se razlika b − a prepiše kao - (a − b), što je zauzvrat −0, a broj suprotan nuli je nula. Dakle, b - a = 0, što implicira da je b = a.

Svojstvo tranzitivnosti brojčanih jednakosti tvrdi da su dva broja jednaka kada su oba jednaka trećem broju. Na primjer, iz jednakosti (vidi) i 4 = 2 2 slijedi da.

Ovo svojstvo je također u skladu s definicijom jednakih brojeva u smislu razlike i svojstava radnji s brojevima. Doista, jednakosti a = b i b = c odgovaraju jednakostima a - b = 0 i b - c = 0. Pokažimo da je a - c = 0, odakle slijedi jednakost brojeva a i c. Budući da dodavanje nule ne mijenja broj, a − c se može prepisati kao a + 0 − c. Zamijenite nulu zbrojem suprotnih brojeva −b i b, a posljednji izraz ima oblik a + (- b + b) −c. Sada možete grupirati pojmove na sljedeći način: (a - b) + (b - c). A razlike u zagradama su nule, dakle, zbroj (a - b) + (b - c) jednak je nuli. To dokazuje da pod uvjetom a - b = 0 i b - c = 0 vrijedi jednakost a - c = 0, odakle je a = c.

Ostala važna svojstva

Iz osnovnih svojstava brojevnih jednakosti, analiziranih u prethodnom odlomku, slijedi niz svojstava koja imaju opipljivu praktičnu vrijednost. Razbijmo ih.

Počnimo s ovim svojstvom: ako dodate (ili oduzmete) isti broj objema stranama točne brojčane jednakosti, dobit ćete ispravnu brojčanu jednakost. Uz pomoć slova može se napisati na sljedeći način: ako je a = b, gdje su a i b neki brojevi, tada je a + c = b + c za bilo koji broj c.

Da bismo to opravdali, sastavimo razliku (a + c) - (b + c). Može se transformirati u oblik (a - b) + (c - c). Budući da je a = b prema hipotezi, tada je a - b = 0, a c - c = 0, dakle (a - b) + (c - c) = 0 + 0 = 0. To dokazuje da je (a + c) - (b + c) = 0, dakle, a + c = b + c.

Idemo dalje: ako se obje strane točne brojčane jednakosti pomnože s bilo kojim brojem ili podijele brojem različitom od nule, tada ćete dobiti ispravnu brojčanu jednakost. To jest, ako je a = b, tada je a c = b c za bilo koji broj c, a ako je c broj različit od nule, tada je a: c = b: c.

Doista, a c - b c = (a - b) c = 0 c = 0, odakle slijedi jednakost proizvoda a c i b c. A dijeljenje nenultim brojem c može se promatrati kao množenje s 1 / c.

Jedna korisna posljedica proizlazi iz analiziranog svojstva numeričkih jednakosti: ako su a i b različiti od nule i jednaki brojevi, tada su i njihovi inverzni brojevi jednaki. To jest, ako je a ≠ 0, b ≠ 0 i a = b, tada je 1 / a = 1 / b. Posljednju je jednakost lako dokazati: za to je dovoljno obje strane izvorne jednakosti a = b podijeliti brojem koji nije nula, jednak proizvod a b.

I zadržimo se na još dva svojstva koja vam omogućuju zbrajanje i množenje odgovarajućih dijelova točnih brojčanih jednakosti.

Ako zbrojimo točne numeričke jednakosti pojam po član, dobivamo istinska jednakost... To jest, ako je a = b i c = d, tada je a + c = b + d za sve brojeve a, b, c i d.

Opravdajmo ovo svojstvo brojčanih jednakosti, polazeći od već poznatih svojstava. Poznato je da objema stranama prave jednakosti možemo dodati bilo koji broj. U jednakosti a = b dodajemo broj c, a u jednakosti c + d dodajemo broj b, kao rezultat dobivamo točne numeričke jednakosti a + c = b + c i c + b = d + b, od kojih posljednji prepisujemo kao b + c = b + d. Iz jednakosti a + c = b + c i b + c = b + d, po svojstvu tranzitivnosti, slijedi da je a + c = b + d, što smo morali dokazati.

Imajte na umu da je moguće zbrajati član po član ne samo dvije točne brojčane jednakosti, već i tri, i četiri, i bilo koji njihov konačni broj.

Pregled svojstava numeričkih jednakosti zaključujemo sa sljedećim svojstvom: ako dvije točne brojčane jednakosti pomnožite pojam po članu, dobit ćete pravu jednakost. Formulirajmo to formalno: ako je a = b i c = d, onda je a c = b d.

Dokaz ovog svojstva sličan je dokazu prethodnog. Obje strane jednakosti možemo pomnožiti s bilo kojim brojem, a = b pomnožimo s c, a c = d s b, dobićemo točne numeričke jednakosti a c = b c i c b = d b, od kojih posljednju prepisujemo kao bc = b d. Tada, po svojstvu tranzitivnosti, iz jednakosti a c = b c i b c = b d slijedi tražena jednakost a c = b d.

Imajte na umu da zvučno svojstvo vrijedi za pojam množenja tri ili više točnih brojčanih jednakosti. Iz ove tvrdnje slijedi da ako je a = b, onda je a n = b n za sve brojeve a i b, i bilo koji prirodni broj n.

U zaključku ovog članka zapisujemo sva raščlanjena svojstva brojčanih jednakosti u tablicu:

Bibliografija.

Moro M.I.... Matematika. Udžbenik. za 1 cl. rano shk. U 2 sata, dio 1. (prva polovina godine) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - 6. izd. - M .: Prosvjeta, 2006 .-- 112 str .: ilustr. + App. (2 odvojena l. Ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
Algebra: studija. za 7 cl. opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008 .-- 240 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Sada pogledajmo pobliže ovaj zadatak.

Razmotrite sljedeću ćeliju u piramidi.

Znamo da je 11 zbroj 7 i još jednog nepoznatog broja. Očito, drugi broj je 4, tako da možemo popuniti ćeliju s desne strane u prvom redu.

U piramidi je ostala samo jedna prazna ćelija. U njemu bi trebao biti broj, dodajući mu 7 trebao bi biti 12. Dakle. prazna ćelija lijevo u prvom redu treba sadržavati broj 5.

Razmotrite ćelije u drugom redu. Trebala bi postojati dva broja u čiji zbroj bi trebao biti jednak 24. Pritom napominjemo da da biste dobili tražena dva broja u drugom stupcu, trebate dodati 3 i 5 nekom nepoznatom broju koji se nalazi u srednja ćelija prvog reda, odnosno razlika ova dva broja trebala bi biti 2. Za ove uvjete prikladni su brojevi 11 i 13, jer je 11 + 13 = 24, a s druge strane 13 - 11 = 2. Tako možemo ispuniti ćelije 2. reda.

I ostaje pronaći posljednji broj u prvom redu. Ovaj se broj može dobiti tako da se zbroji s 3 i onda dobijemo 11. Dakle. ovaj broj je 8.

Nakon primanja opće informacije o jednakostima u matematici, prelazimo na uže teme. Materijal u ovom članku će dati ideju o svojstvima brojčanih jednakosti.

Što je brojčana jednakost

Prvi put nailazimo na brojčane jednakosti unatrag osnovna škola, kada dolazi do upoznavanja s brojevima i pojmom "isto". Oni. najprimitivnije numeričke jednakosti su: 2 = 2, 5 = 5, itd. I na toj razini proučavanja nazvali smo ih jednostavno jednakostima, ne navodeći "brojčane", i u njih položili kvantitativno ili redno značenje (koje nose prirodni brojevi). Na primjer, jednakost 2 = 2 odgovarat će slici s dva cvijeta i dva bumbara na svakom. Ili, na primjer, dvije linije, gdje su Vasya i Vanya drugi po redu.

Kako se znanje o aritmetičkim operacijama pojavljuje, numeričke jednakosti postaju sve kompliciranije: 5 + 7 = 12; 6 - 1 = 5; 2 1 = 2; 21:7 = 3, itd. Tada se počinju javljati jednakosti u čijem bilježenju sudjeluju različite vrste brojevnih izraza. Na primjer, (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2); 4 (4 - (1 + 2)) + 12: 4 - 1 = 4 1 + 3 - 1, itd. Dalje se upoznajemo s drugim vrstama brojeva, a brojevne jednakosti dobivaju sve zanimljiviji i raznolikiji oblik.

Definicija 1

Brojčana jednakost Je jednakost, čije se obje strane sastoje od brojeva i/ili numeričkih izraza.

Svojstva numeričke jednakosti

Teško je precijeniti važnost svojstava brojčanih jednakosti u matematici: one podupiru mnoge stvari, određuju princip rada s brojčanim jednakostima, metode rješenja, pravila za rad s formulama i još mnogo toga. Očito postoji potreba za detaljno proučavanje svojstava brojevnih jednakosti.

Svojstva brojčanih jednakosti apsolutno su u skladu s načinom na koji se definiraju radnje s brojevima, kao i s definicijom jednakih brojeva kroz razliku: broj a jednak broju b samo u slučajevima kada je razlika a - b postoji nula. Dalje u opisu svake nekretnine pratit ćemo tu vezu.

Osnovna svojstva brojevnih jednakosti

Počinjemo proučavati svojstva brojčanih jednakosti s tri osnovna svojstva koja su svojstvena svim jednakostima. Navedimo glavna svojstva brojčanih jednakosti:

svojstvo refleksivnosti: a = a;
svojstvo simetrije: ako a = b, onda b = a;
svojstvo tranzitivnosti: ako a = b i b = c, onda a = c gdje su a, b i c- proizvoljni brojevi.

Definicija 2

Svojstvo refleksivnosti označava činjenicu da je broj jednak samom sebi: na primjer, 6 = 6, - 3 = - 3, 4 3 7 = 4 3 7, itd.

Dokaz 1

Lako je pokazati da je jednakost pravedna a - a = 0 za bilo koji broj a: razlika a - a može se napisati kao zbroj a + (- a), a svojstvo zbrajanja brojeva daje nam priliku da tvrdimo da bilo koji broj a odgovara jedinom suprotnom broju - a, a njihov zbroj je nula.

Definicija 3

Prema svojstvu simetričnosti brojevnih jednakosti: ako je broj a jednak broju b,
taj broj b jednak broju a... Na primjer, 4 3 = 64 , onda 64 = 4 3 .

Dokaz 2

Ovo svojstvo može se potkrijepiti kroz razliku u brojevima. Stanje a = b odgovara jednakosti a - b = 0... Dokažimo to b - a = 0.

Napišimo razliku b - a kao - (a - b), oslanjajući se na pravilo otvaranja zagrada kojem prethodi znak minus. Novi zapis izraza je - 0, a suprotnost nuli je nula. Na ovaj način, b - a = 0, stoga: b = a.

Definicija 4

Svojstvo tranzitivnosti brojevnih jednakosti govori da su dva broja jednaka jedan drugom ako su istovremeno jednaki trećem broju. Na primjer, ako 81 = 9 i 9 = 3 2 , onda 81 = 3 2 .

Svojstvo tranzitivnosti također zadovoljava definiciju jednakih brojeva kroz razliku i svojstva radnji s brojevima. Jednakosti a = b i b = c odgovaraju jednakosti a - b = 0 i b - c = 0.

Dokaz 3

Dokažimo jednakost a - c = 0, iz čega slijedi jednakost brojeva a i c... Budući da dodavanje broja s nulom ne mijenja sam broj a - c može se napisati u obliku a + 0 - c... Umjesto nule, zamijenite zbroj suprotnih brojeva - b i b, tada ekstremni izraz postaje: a + (- b + b) - c... Grupirajmo pojmove: (a - b) + (b - c)... Razlike u zagradama jednake su nuli, zatim zbroju (a - b) + (b - c) postoji nula. To dokazuje da kada a - b = 0 i b - c = 0, jednakost je istinita a - c = 0, gdje a = c.

Ostala bitna svojstva brojevnih jednakosti

Osnovna svojstva brojčanih jednakosti, koja su prethodno razmotrena, temelj su za niz dodatnih svojstava koja su vrlo vrijedna u kontekstu prakse. Nabrojimo ih:

Definicija 5

Dodavanjem (ili oduzimanjem) objema stranama brojčane jednakosti koja je istinita, isti broj, dobivamo pravu brojčanu jednakost. Napišimo doslovno: ako a = b, gdje a i b- onda neke brojke a + c = b + c za bilo koje c.

Dokaz 4

Kao opravdanje pišemo razliku (a + c) - (b + c).
Ovaj izraz se lako pretvara u oblik (a - b) + (c - c).
Iz a = b po hipotezi slijedi da a - b = 0 i c - c = 0, onda (a - b) + (c - c) = 0 + 0 = 0... Ovo dokazuje to (a + c) - (b + c) = 0, stoga, a + c = b + c;

Definicija 6

Ako se obje strane točne brojčane jednakosti pomnože s bilo kojim brojem ili podijele s brojem koji nije jednak nuli, tada ćemo dobiti točnu brojčanu jednakost.
Napišimo doslovno: kada a = b, onda a c = b c za bilo koji broj c. Ako je c ≠ 0, onda a: c = b: c.

Dokaz 5

Jednakost je istinita: a c - b c = (a - b) c = 0 c = 0, a iz njega slijedi jednakost proizvoda a c i b c... A dijeljenje nenultim brojem c može se napisati kao množenje s recipročnim brojem 1 c;

Definicija 7

Na a i b, različiti od nule i međusobno jednaki, jednaki su i njihovi inverzni brojevi.
Pišemo: kada je a ≠ 0, b ≠ 0 i a = b, onda 1 a = 1 b... Ekstremnu jednakost nije teško dokazati: u tu svrhu dijelimo obje strane jednakosti a = b brojem jednak umnošku a b a nije jednaka nuli.

Istaknimo nekoliko svojstava koja omogućuju zbrajanje i množenje odgovarajućih dijelova točnih brojčanih jednakosti:

Definicija 8

Zbrajanje točnih brojčanih jednakosti po članu rezultira ispravnom jednakošću. Evidencija ove imovine je sljedeća: ako a = b i c = d, onda a + c = b + d za bilo koje brojeve a, b, c i d.

Dokaz 6

Opravdajte ovo korisno svojstvo eventualno oslanjajući se na prethodno naznačena svojstva. Znamo da je objema stranama istinske jednakosti moguće dodati bilo koji broj.
Prema jednakosti a = b dodajte broj c, i jednakost c = d- broj b, rezultat će biti točne numeričke jednakosti: a + c = b + c i c + b = d + b... Zadnju ćemo napisati u obliku: b + c = b + d... Od jednakosti a + c = b + c i b + c = b + d prema svojstvu tranzitivnosti slijedi jednakost a + c = b + d.Što je trebalo dokazati.

Potrebno je pojasniti da pojam po članu možete dodati ne samo dvije točne brojčane jednakosti, već i tri ili više;

Definicija 7

Na kraju ćemo opisati takvo svojstvo: množenje dviju točnih brojčanih jednakosti po članu daje ispravnu jednakost. Zapišimo to slovima: ako a = b i c = d, onda a c = b d.

Dokaz 7

Dokaz ovog svojstva sličan je dokazu prethodnog. Pomnožite obje strane jednakosti bilo kojim brojem, pomnožite a = b na c, a c = d na b, dobivamo točne brojčane jednakosti a c = b c i c b = d b... Zapišimo posljednju kao b c = b d... Svojstvo tranzitivnosti to omogućuje iz jednakosti a c = b c i b c = b d zaključiti jednakost a c = b dšto smo trebali dokazati.

I opet, pojasnimo da je ovo svojstvo primjenjivo za dvije, tri ili više brojčanih jednakosti.
Dakle, možete napisati: ako a = b, onda a n = b n za bilo koje brojeve a i b, i bilo koji prirodni broj n.

Zaključit ćemo ovaj članak prikupljanjem svih razmatranih svojstava radi jasnoće:

Ako je a = b, onda je b = a.

Ako je a = b i b = c, tada je a = c.

Ako je a = b, tada je a + c = b + c.

Ako je a = b, tada je a c = b c.

Ako je a = b i c ≠ 0, tada je a: c = b: c.

Ako je a = b, a = b, a ≠ 0 i b ≠ 0, tada je 1 a = 1 b.

Ako je a = b i c = d, tada je a c = b d.

Ako je a = b, tada je a n = b n.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter