Silinder kui geomeetriline kujund. Geomeetrilised kehad

"Kaldprisma ruumala" – lahendage probleem. Kuidas määrata keha ruumala, kui selle osade maht on teada. Tel maht mahu omadus. Leidke kaldprisma ruumala. Võrdsete kehade ruumala on võrdne. Kaldprisma ruumala. Kaldprisma ruumala on võrdne tootega külgserv ruudu külge. Kaldprisma alus on täisnurkne kolmnurk.

"Kuidas leida keha mahtu" - eesmärk. mõõdud risttahukas. kolmnurkne prisma. alumiinium traat. Silindri maht võrdub aluse pindala ja kõrguse korrutisega. Silindrisse on kirjutatud prisma. Kui keha koosneb mitmest kehast, siis selle maht on võrdne summaga. Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala. Mahuühikud.

"Kalduva rööptahuka maht" - Kõrgus. Edge. Viltuse maht. Valmis prisma. Mis on rööptahukas. Mis on maht. Rööptorudel ja ainult neil on paralleelsete tahkude paar. Kaldus rööptahuka ruumala. Muutumine. Baaspindala. Kui keha on jagatud osadeks, mis on lihtsad kehad, siis selle maht.

"Ruumikujude mahud" – püramiidi maht. Hulknurk. Koonuse maht. Keha, mis saadakse ringikujulise sektori pööramisel. Keha. Tagajärg. Sirge prisma maht. Servaga risti oleva lõigu pindala. Mahu mõiste. Hulktahuka ruumala. Geomeetriliste kehade mahtude arvutamine. Kaldprisma ruumala. Lähendamine. Suhtlusringid. Palli maht.

"Mahuprobleemide lahendamine" - B11 tüüpi ülesanded. Leidke koonuse ruumala. Täisnurkne kolmnurk. Ühe palli maht. Laev. Silindri osa ruumala. Leidke helitugevus. Raadius. Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala. Ruut. Silindrit kirjeldatakse kuuli kõrval. Sfääri sisse on kirjutatud koonus. Kera kirjeldatakse servaga kuubi lähedal. Vedeliku tase. Koonuse osa maht.

"Sfääri maht ja sfääri pindala" - sfäär. ringikujuline sektor. Valemid mahu arvutamiseks. Pall. Mõisted. Kera ruumala ja sfääri pindala. pallikiht. ringikujuline segment. Palli sektor. palli segment.

Teemas on kokku 35 ettekannet

Silinder (ringsilinder) - keha, mis koosneb kahest paralleelse ülekandega ühendatud ringist ja kõigist nende ringide vastavaid punkte ühendavatest segmentidest. Ringe nimetatakse silindri alusteks ja ringide ringide vastavaid punkte ühendavaid segmente silindri generaatoriteks.

Silindri põhjad on võrdsed ja asetsevad paralleelsetes tasandites ning silindri generaatorid on paralleelsed ja võrdsed. Silindri pind koosneb alustest ja külgpinnast. Külgpinna moodustavad generaatorid.

Silindrit nimetatakse sirgeks, kui selle generaatorid on risti aluse tasanditega. Silindrit võib pidada kehaks, mis saadakse ristküliku pööramisel ümber selle ühe külje kui telje. On ka teist tüüpi silindreid - elliptilised, hüperboolsed, paraboolsed. Prismat peetakse ka omamoodi silindriks.

Joonisel 2 on kujutatud kaldsilindrit. Ringid tsentritega O ja O 1 on selle alused.

Silindri raadius on selle aluse raadius. Silindri kõrgus on aluste tasandite vaheline kaugus. Silindri telg on sirgjoon, mis läbib aluste keskpunkte. See on generaatoritega paralleelne. Silindri läbilõiget silindri telge läbiva tasapinna järgi nimetatakse telglõikeks. Tasapinda, mis läbib sirge silindri generatriksi ja on risti läbi selle generaatori tõmmatud teljesuunalise lõiguga, nimetatakse silindri puutujatasandiks.

Silindri teljega risti olev tasapind lõikub selle külgpinnaga ringis, võrdne ring põhjustel.

Silindrisse kantud prisma on prisma, mille alused on silindri põhjadesse kantud võrdsed hulknurgad. Selle külgmised servad on silindri generatriksid. Prisma nimetatakse silindri lähedalt piiritletuks, kui selle põhjad on silindri põhjade lähedalt ümbritsetud võrdsed hulknurgad. Selle pindade tasapinnad puudutavad silindri külgpinda.

Silindri külgpinna pindala saab arvutada, korrutades generaatori pikkuse silindri sektsiooni perimeetriga generatriksiga risti oleva tasapinnaga.

Parempoolse silindri külgpindala on võimalik leida selle arendusest. Silindri arendus on ristkülik kõrgusega h ja pikkusega P, mis on võrdne aluse ümbermõõduga. Seetõttu on silindri külgpinna pindala võrdne selle arenduspinnaga ja arvutatakse järgmise valemiga:

Eelkõige parempoolse ringikujulise silindri puhul:

P = 2πR ja Sb = 2πRh.

Silindri kogupindala on võrdne selle külgpinna ja aluste pindalade summaga.

Sirge ümmarguse silindri jaoks:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Kaldsilindri ruumala leidmiseks on kaks valemit.

Helitugevuse leiate, korrutades generaatori pikkuse silindri ristlõike pindalaga generatriksiga risti oleva tasapinnaga.

Kaldsilindri maht võrdub aluse pindala ja kõrguse korrutisega (tasapindade vaheline kaugus, milles alused asuvad):

V = Sh = S l sin α,

kus l on generatriksi pikkus ja α on generatriksi ja aluse tasandi vaheline nurk. Sirge silindri puhul h = l.

Ringsilindri ruumala leidmise valem on järgmine:

V \u003d π R 2 h \u003d π (d 2/4) h,

kus d on aluse läbimõõt.

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Silindriline pind tekib endaga paralleelse sirgjoone liigutamisel. Valitud sirge punkt liigub mööda etteantud tasapinnakõverat - giid. Seda rida nimetatakse silindrilise pinna generatriks.

Otse silinder on silinder, milles generaatorid on aluse suhtes risti. Kui silindri generaatorid ei ole alusega risti, siis see nii on kaldus silinder.

ringikujuline silinder- silinder, mille alus on ring.

ümmargune silinder- silinder, mis on nii sirge kui ka ringikujuline.

Sirge ringikujuline silinder määratakse aluse raadiusega R ja genereerimine L, mis on võrdne silindri kõrgusega H.

Prisma on erijuhtum silinder.

Valemid silindri elementide leidmiseks.

Parempoolse ringikujulise silindri külgpindala:

S-külg = 2πRH

Parempoolse ringikujulise silindri kogupindala:

S=Spool+ 2Speamine = 2 π R(H+R)

Sirge ümmarguse silindri maht:

V = S peamine H = πR 2 H

Sirge faasitud põhjaga või lühidalt faasitud silinder määratakse aluse raadiusega R, minimaalne kõrgus h1 ja maksimaalne kõrgus h2.

Kaldsilindri külgpindala:

S-külg \u003d πR (h 1 + h 2)

Kaldussilindri aluste pindala.

Teaduse nimetus "geomeetria" on tõlgitud kui "maa mõõtmine". See sündis kõige esimeste iidsete maamõõtjate pingutuste kaudu. Ja juhtus nii: püha Niiluse üleujutuste ajal uhtusid veejoad mõnikord põllumeeste kruntide piirid minema ja uued piirid ei pruugi vanade piiridega ühtida. Maksud maksid talupojad vaarao riigikassasse võrdeliselt maaeraldise suurusega. Pärast leket tegelesid uutes piirides põllumaa pindalade mõõtmisega spetsiaalsed inimesed. See oli nende tegevuse tulemusena uus teadus, välja töötatud aastal Vana-Kreeka. Seal sai ta nime ja omandas praktiliselt kaasaegne välimus. Tulevikus sai sellest terminist lame- ja teaduse rahvusvaheline nimetus mahulised arvud Oh.

Planimeetria on geomeetria haru, mis tegeleb tasapinnaliste kujundite uurimisega. Teine teadusharu on stereomeetria, mis käsitleb ruumiliste (mahuliste) kujundite omadusi. Ka käesolevas artiklis kirjeldatud silinder kuulub selliste kujundite hulka.

Näited objektide olemasolust silindriline kuju v Igapäevane elu piisav. Peaaegu kõik pöörlemisosad - võllid, puksid, kaelad, teljed jne on silindrilise (palju harvemini - koonilise) kujuga. Silindrit kasutatakse laialdaselt ehituses: tornid, tugi-, dekoratiivsambad. Ja peale roogade ka mõned pakenditüübid erineva läbimõõduga torud. Ja lõpuks - kuulsad mütsid, millest on pikka aega saanud meeste elegantsi sümbol. Nimekiri on lõputu.

Silindri kui geomeetrilise kujundi definitsioon

Silindriks (ringsilindriks) nimetatakse tavaliselt kujundit, mis koosneb kahest ringist, mis soovi korral kombineeritakse paralleeltõlke abil. Just need ringid on silindri alused. Kuid vastavaid punkte ühendavaid jooni (sirgelõike) nimetatakse "generaatoriteks".

Oluline on, et silindri põhjad oleksid alati võrdsed (kui see tingimus ei ole täidetud, siis on meie ees kärbikoonus, midagi muud, aga mitte silinder) ja asuksid paralleelsetes tasandites. Ringidel olevaid vastavaid punkte ühendavad segmendid on paralleelsed ja võrdsed.

Lõpmatu generaatorite kogum pole midagi muud kui külgpind silinder on selle üks elemente geomeetriline kujund. Selle teine ​​oluline komponent on eespool käsitletud ringid. Neid nimetatakse alusteks.

Silindrite tüübid

Lihtsaim ja levinuim silindrite tüüp on ringikujuline. Selle moodustavad kaks korrapärast ringi, mis toimivad alustena. Kuid nende asemel võivad olla teised kujundid.

Silindrite põhjad võivad moodustada (v.a ringid) ellipse ja muid suletud kujundeid. Kuid silindril ei pruugi olla suletud kuju. Näiteks võib silindri aluseks olla parabool, hüperbool või mõni muu avatud funktsioon. Selline silinder on avatud või kasutusele võetud.

Vastavalt generatrite kaldenurgale aluste suhtes võivad silindrid olla sirged või kaldu. Parempoolse silindri puhul on generaatorid aluse tasapinnaga rangelt risti. Kui see nurk erineb 90°-st, on silinder kaldu.

Mis on revolutsiooni pind

Parempoolne ringsilinder on kahtlemata kõige levinum inseneritöös kasutatav pöördepind. Mõnikord kasutatakse vastavalt tehnilistele näidustustele koonuse-, sfäärilisi ja mõnda muud tüüpi pindu, kuid 99% kõigist pöörlevatest võllidest, telgedest jne. valmistatud silindrite kujul. Selleks, et paremini mõista, mis on pöördepind, võime kaaluda, kuidas silinder ise moodustub.

Oletame, et seal on rida a asetatud vertikaalselt. ABCD on ristkülik, mille üks külgedest (lõik AB) asub sirgel a. Kui pöörame ristkülikut ümber sirgjoone, nagu on näidatud joonisel, on selle pöörlemise ajal hõivatav ruumala meie pöördekeha - parempoolne ringsilinder kõrgusega H = AB = DC ja raadiusega R = AD = BC.

Sel juhul saadakse kujundi - ristküliku - pöörlemise tulemusena silinder. Kolmnurka pöörates saate koonuse, poolringi pöörates - palli jne.

Silindri pindala

Selleks, et arvutada pindala tavalise sirge ringikujulise silindri korral on vaja arvutada aluste ja külgpinna pindalad.

Kõigepealt vaatame, kuidas arvutatakse külgpindala. See töö ümbermõõt silindri kõrgusele. Ümbermõõt on omakorda võrdne universaalarvu kahekordse korrutisega P ringi raadiuses.

Ringi pindala on teadaolevalt võrdne tootega P raadiuse ruudule. Niisiis, lisades külgpinna määramise pindala valemid kahekordse baaspinna avaldisega (neid on kaks) ja tehes lihtsaid algebralisi teisendusi, saame lõpliku avaldise pinna pindala määramiseks. silinder.

Figuuri mahu määramine

Silindri maht määratakse standardskeemi järgi: aluse pindala korrutatakse kõrgusega.

Sellel viisil, lõplik valem näeb välja selline: soovitud on defineeritud kui keha kõrguse korrutis universaalarvuga P ja aluse raadiuse ruut.

Peab ütlema, et saadud valem on rakendatav kõige ootamatumate probleemide lahendamiseks. Samamoodi nagu näiteks silindri maht, määratakse elektrijuhtmete maht. See võib olla vajalik juhtmete massi arvutamiseks.

Ainus erinevus valemis on see, et ühe silindri raadiuse asemel on juhtmesüdamiku läbimõõt jagatud kaheks ja avaldises on juhtmesüdamike arv N. Samuti kasutatakse kõrguse asemel traadi pikkust. Seega ei arvutata "silindri" mahtu mitte ühe, vaid punutises olevate juhtmete arvu järgi.

Selliseid arvutusi on praktikas sageli vaja. Lõppude lõpuks on märkimisväärne osa veepaakidest valmistatud toru kujul. Ja sageli on vaja isegi majapidamises ballooni mahtu arvutada.

Kuid nagu juba mainitud, võib silindri kuju olla erinev. Ja mõnel juhul on vaja arvutada, millega kaldsilindri maht on võrdne.

Erinevus seisneb selles, et aluse pindala korrutatakse mitte generaatori pikkusega, nagu sirge silindri puhul, vaid tasapindade vahelise kaugusega - nende vahele ehitatud risti segmendiga.

Nagu jooniselt näha, on selline segment võrdne generatriksi pikkuse korrutisega generatriksi kaldenurga siinusega tasapinna suhtes.

Kuidas ehitada silindripuhastit

Mõnel juhul on vaja silindrihõõri välja lõigata. Alloleval joonisel on toodud reeglid, mille järgi ehitatakse toorik etteantud kõrguse ja läbimõõduga silindri valmistamiseks.

Pange tähele, et joonis on näidatud ilma õmblusteta.

Kaldsilindrite erinevused

Kujutagem ette sirget silindrit, mis on ühelt poolt piiratud generaatoritega risti oleva tasapinnaga. Kuid teiselt poolt silindrit piirav tasapind ei ole generaatoritega risti ega ole paralleelne esimese tasapinnaga.

Joonisel on kujutatud kaldsilindrit. Lennuk a generaatorite suhtes mõne muu nurga all kui 90°, lõikub joonisega.

See geomeetriline kujund on praktikas tavalisem torujuhtmete ühenduste (põlvede) kujul. Kuid on isegi hooneid, mis on ehitatud kaldsilindri kujul.

Kaldsilindri geomeetrilised omadused

Kaldsilindri ühe tasapinna kalle muudab veidi nii sellise kujundi pindala kui ka ruumala arvutamise järjekorda.