Kärbitud püramiidi ruumala valem. Täis- ja kärbitud püramiidi mahuvalemid

28.10.2019

22.09.2014
Tööpõhimõte. Kui vajutate SA1 koodi esimese numbri nuppu, lülitub päästik DD1.1 ja päästiku DD1.2 sisendisse D ilmub pinge kõrge tase. Seega, kui vajutate koodi SA2 järgmist nuppu, muudab päästik DD1.2 oma olekut ja valmistab lülitamiseks ette järgmise päästiku. Täiendava õige komplekti korral töötab DD2.2 päästik viimasena ja ...
03.10.2014
Kavandatav seade stabiliseerib lühisekaitsega pinget kuni 24V ja voolu kuni 2A. Stabilisaatori ebastabiilse käivituse korral tuleks kasutada autonoomse impulsi generaatori sünkroniseerimist (joonis 1). 2. Stabilisaatori ahel on näidatud joonisel 1. VT1 VT2-le on kokku pandud Schmitti päästik, mis juhib võimsat reguleerivat transistori VT3. Üksikasjad: VT3 on varustatud jahutusradiaatoriga ...
20.09.2014
Võimendi (vt fotot) on valmistatud traditsioonilise skeemi järgi lampide automaatse eelpingega: väljund - AL5, draiverid - 6G7, kenotron - AZ1. Ühe stereovõimendi kahest kanalist skeem on näidatud joonisel 1. Helitugevuse regulaatorist siseneb signaal 6G7 lambi võrku, seda võimendatakse ja selle lambi anoodist juhitakse eralduskondensaatori C4 kaudu ...
15.11.2017
NE555 - universaalne taimer - seade stabiilsete ajaomadustega üksikute ja korduvate impulsside moodustamiseks (genereerimiseks). See on asünkroonne RS-flip-flop, millel on kindlad sisendläved, täpselt määratletud analoogkomparaatorid ja sisseehitatud pingejagur (täpne Schmitti päästik koos RS-flip-flopiga). Seda kasutatakse erinevate generaatorite, modulaatorite, ajareleede, läveseadmete ja muude ehitamiseks ...

Sarja lahendamisel on oluline ruumikujundite mahu arvutamise oskus praktilisi ülesandeid geomeetria järgi. Üks levinumaid kujundeid on püramiid. Selles artiklis käsitleme nii täis- kui ka kärbitud püramiide.

Püramiid kui kolmemõõtmeline kujund

Kõik teavad umbes Egiptuse püramiidid, seega on hästi esindatud, millist joonist arutatakse. Sellegipoolest on Egiptuse kiviehitised tohutu püramiidide klassi erijuht.

Vaadeldavaks geomeetriliseks objektiks on üldjuhul hulknurkne alus, mille iga tipp on seotud mingi ruumipunktiga, mis ei kuulu alustasandisse. See määratlus viib jooniseni, mis koosneb ühest n-nurgast ja n kolmnurgast.

Iga püramiid koosneb n+1 tahkest, 2*n servast ja n+1 tipust. Kuna vaadeldav joonis on täiuslik hulktahukas, järgivad märgitud elementide arvud Euleri võrrandit:

2*n = (n+1) + (n+1) – 2.

Alusel asuv hulknurk annab püramiidi nime, näiteks kolmnurkne, viisnurkne jne. Erinevate alustega püramiidide komplekt on näidatud alloleval fotol.

Punkti, kus on ühendatud joonise n kolmnurka, nimetatakse püramiidi tipuks. Kui risti langetatakse sellelt alusele ja see lõikub sellega geomeetrilises keskpunktis, nimetatakse sellist kujundit sirgeks. Kui see tingimus ei ole täidetud, on tegemist kaldus püramiidiga.

Sirget kujundit, mille aluse moodustab võrdkülgne (võrdnurkne) n-nurk, nimetatakse korrapäraseks.

Püramiidi mahu valem

Püramiidi ruumala arvutamiseks kasutame integraalarvutust. Selleks jagame joonise alusega paralleelsete risttasapindade järgi lõpmatu arvu õhukesteks kihtideks. Alloleval joonisel on kujutatud nelinurkne püramiid kõrgusega h ja küljepikkusega L, mille õhuke läbilõikekiht on tähistatud nelinurgaga.

Iga sellise kihi pindala saab arvutada järgmise valemiga:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Siin on A 0 aluse pindala, z on vertikaalkoordinaadi väärtus. Näha on, et kui z = 0, siis valem annab väärtuse A 0 .

Püramiidi ruumala valemi saamiseks peaksite arvutama integraali kogu joonise kõrguse ulatuses, see tähendab:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Asendades sõltuvuse A(z) ja arvutades antiderivaadi, saame avaldise:

V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Oleme saanud püramiidi ruumala valemi. V väärtuse leidmiseks piisab, kui korrutada joonise kõrgus aluse pindalaga ja seejärel jagada tulemus kolmega.

Pange tähele, et saadud avaldis kehtib suvalist tüüpi püramiidi ruumala arvutamiseks. See tähendab, et see võib olla kaldu ja selle alus võib olla suvaline n-nurk.

ja selle maht

Saadud ülaltoodud lõigus üldine valem mahu jaoks saab täpsustada tavalise põhjaga püramiidi puhul. Sellise aluse pindala arvutatakse järgmise valemiga:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Siin on L külje pikkus korrapärane hulknurk n tipuga. Sümbol pi on arv pi.

Asendades üldvalemis avaldise A 0, saame ruumala õige püramiid:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Näiteks selleks kolmnurkne püramiid see valem toob kaasa järgmise avaldise:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √ 3 / 12 * L 2 * h.

Tavalise nelinurkse püramiidi puhul on mahuvalem järgmine:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Tavaliste püramiidide mahtude määramiseks on vaja teada nende aluse külge ja kujundi kõrgust.

Püramiid kärbitud

Oletame, et oleme võtnud suvalise püramiidi ja lõiganud ära osa selle külgpinnast, mis sisaldab tippu. Ülejäänud kujundit nimetatakse kärbitud püramiidiks. See koosneb juba kahest n-nurksest alusest ja n trapetsist, mis neid ühendavad. Kui lõiketasand oli joonise põhjaga paralleelne, siis moodustatakse paralleelsete sarnaste alustega kärbitud püramiid. See tähendab, et ühe neist külgede pikkused saab saada, korrutades teise külje pikkused mingi koefitsiendiga k.

Ülaloleval joonisel on näha kärbitud korrapärane Näha on, et selle ülemise aluse, nagu ka alumise, moodustab korrapärane kuusnurk.

Valem, mille saab tuletada ülaltoodud integraalarvutuse abil, on järgmine:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Kus A 0 ja A 1 on vastavalt alumise (suure) ja ülemise (väikese) aluse alad. Muutuja h tähistab kärbitud püramiidi kõrgust.

Cheopsi püramiidi maht

On uudishimulik lahendada Egiptuse suurima püramiidi mahu määramise probleem.

1984. aastal tegid Briti egüptoloogid Mark Lehner ja Jon Goodman kindlaks Cheopsi püramiidi täpsed mõõtmed. Selle algne kõrgus oli 146,50 meetrit (praegu umbes 137 meetrit). Konstruktsiooni nelja külje keskmine pikkus oli 230 363 meetrit. Püramiidi põhi on suure täpsusega ruudukujuline.

Määrame antud arvude abil selle kivihiiglase mahu. Kuna püramiid on tavaline nelinurkne, siis kehtib selle jaoks valem:

Ühendades numbrid, saame:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheopsi püramiidi maht on peaaegu 2,6 miljonit m 3. Võrdluseks märgime, et olümpiabasseini maht on 2,5 tuhat m 3. See tähendab, et kogu Cheopsi püramiidi täitmiseks on vaja rohkem kui 1000 sellist basseini!

- See on hulktahukas, mille moodustavad püramiidi alus ja sellega paralleelne sektsioon. Võib öelda, et kärbitud püramiid on püramiid, mille tipp on ära lõigatud. Sellel joonisel on palju ainulaadseid omadusi:

Püramiidi külgpinnad on trapetsikujulised;
Korrapärase kärbitud püramiidi külgmised ribid on ühepikkused ja aluse suhtes sama nurga all kaldu;
Alused on sarnased hulknurgad;
Tavalisel kärbitud püramiidil on näod samad võrdhaarsed trapetsid, mille pindala on võrdne. Samuti on need ühe nurga all aluse suhtes kaldu.

Tüvipüramiidi külgpinna pindala valem on selle külgede pindalade summa:

Kuna kärbitud püramiidi küljed on trapetsikujulised, peate parameetrite arvutamiseks kasutama valemit trapetsikujuline ala. Tavalise kärbitud püramiidi puhul võib pindala arvutamiseks kasutada teist valemit. Kuna selle kõik küljed, tahud ja nurgad põhjas on võrdsed, on võimalik rakendada aluse ja apoteemi perimeetrit ning tuletada pindala ka aluse nurga kaudu.

Kui vastavalt tingimustele tavalises tüvipüramiidis on antud aluse apoteem (külje kõrgus) ja aluse külgede pikkused, siis saab pindala arvutada ümbermõõtude summa poolkorrutise kaudu. alused ja apoteem:

Vaatame kärbitud püramiidi külgpinna arvutamise näidet.
Antud on korrapärane viisnurkne püramiid. Apoteem l\u003d 5 cm, näo pikkus suures aluses on a\u003d 6 cm ja nägu on väiksemal alusel b\u003d 4 cm. Arvutage kärbitud püramiidi pindala.

Esiteks leiame aluste perimeetrid. Kuna meile on antud viisnurkne püramiid, saame aru, et alused on viisnurgad. See tähendab, et alused on viie identse küljega kujund. Leidke suurema aluse ümbermõõt:

Samamoodi leiame väiksema aluse ümbermõõdu:

Nüüd saame arvutada tavalise kärbitud püramiidi pindala. Asendame andmed valemis:

Seega arvutasime tavalise kärbitud püramiidi pindala läbi perimeetrite ja apoteemi.

Teine võimalus tavalise püramiidi külgpinna arvutamiseks on valem läbi põhja nurkade ja just nende aluste ala.

Vaatame arvutuse näidet. Pidage meeles, et see valem kehtib ainult tavalise kärbitud püramiidi kohta.

Olgu õige nelinurkne püramiid. Alumise aluse tahk on a = 6 cm ja ülemise b = 4 cm. Dihedraalnurk põhjas on β = 60°. Leidke tavalise kärbitud püramiidi külgpindala.

Esiteks arvutame välja aluste pindala. Kuna püramiid on korrapärane, on aluste kõik tahud üksteisega võrdsed. Arvestades, et alus on nelinurk, mõistame, et see on vajalik arvutamiseks ruudu pindala. See on laiuse ja pikkuse korrutis, kuid ruudus on need väärtused samad. Leidke suurema aluse pindala:

Nüüd kasutame leitud väärtusi külgpinna arvutamiseks.

Teades mõnda lihtsat valemit, arvutasime erinevate väärtuste abil hõlpsalt välja kärbitud püramiidi külgmise trapetsi pindala.