Linn Suurbritannias, mis on tuntud oma iidse ülikooli poolest. Suurepärane strateeg Nick Leeson on geniaalne kaupleja, kes hävitas Briti vanima panga

Jõuvalemid kasutatakse vähendamise ja lihtsustamise protsessis keerulised väljendid, võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Number c on an n-arvu aste a millal:

Tehted kraadidega.

1. Korrutades kraadid sama baasiga, saadakse nende näitajad kokku:

olena n = a m + n .

2. Sama alusega kraadide jaotuses lahutatakse nende näitajad:

3. Kahe või enama arvu korrutise aste kordajad võrdub nende tegurite võimsuste korrutisega:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Kraad fraktsioonid võrdub dividendi ja jagaja astmete suhtega:

(a/b) n = a n/bn.

5. Tõsttes astme astmeks, korrutatakse astendajad:

(am) n = a m n .

Iga ülaltoodud valem on õige suunaga vasakult paremale ja vastupidi.

Näiteks. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operatsioonid juurtega.

1. Mitme teguri korrutise juur on võrdne tööd Nende tegurite juured:

2. Suhtarvu juur võrdub dividendi ja juurte jagaja suhtega:

3. Juure tõstmisel astmele piisab, kui tõsta juurarv sellele astmele:

4. Kui suurendame juure astet sisse nüks kord ja samal ajal tõsta kuni n aste on juurarv, siis juure väärtus ei muutu:

5. Kui me vähendame juure astet sisse n juur samal ajal n kraadi võrra radikaalarvust, siis juure väärtus ei muutu:

Kraad negatiivse astendajaga. Teatud mittepositiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui jagamine sama arvu astmega, mille aste on võrdne mittepositiivse astendaja absoluutväärtusega:

Valem olen:a n = a m - n saab kasutada mitte ainult m> n, aga ka kl m< n.

Näiteks. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Valemile olen:a n = a m - n sai õiglaseks m = n, vajate nullkraadi olemasolu.

Kraad nullastendajaga. Iga nullist erineva arvu nullastendajaga aste on võrdne ühega.

Näiteks. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kraad murdosa astendajaga. Ehitama tegelik arv aga mingil määral m/n, peate juure ekstraheerima n aste m selle arvu võimsus aga.

Kalkulaator aitab teil võrgus numbri kiiresti võimsuseks tõsta. Kraadi baasiks võib olla mis tahes arv (nii täis- kui reaalarv). Eksponent võib olla ka täis- või reaalarv ning nii positiivne kui ka negatiivne. Tuleb meeles pidada, et negatiivsete arvude puhul ei ole mittetäisarvulise astmeni tõstmine määratletud ja seetõttu teatab kalkulaator veast, kui proovite seda siiski teha.

Kraadikalkulaator

Tõstke võimsuseks

Astendused: 28399

Mis on arvu loomulik võimsus?

Arvu p nimetatakse arvu a n-ndaks astmeks, kui p on võrdne arvuga a korrutatuna iseendaga n korda: p \u003d a n \u003d a ... a
n - kutsus eksponent ja number a - kraadi alus.

Kuidas tõsta arv loomuliku astmeni?

Et mõista, kuidas tõsta erinevaid numbreid loomulike jõududeni, kaaluge mõnda näidet:

Näide 1. Tõstke number kolm neljanda astmeni. See tähendab, et on vaja arvutada 3 4
Lahendus: nagu eespool mainitud, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Vastus: 3 4 = 81 .

Näide 2. Tõstke number viis viienda astmeni. See tähendab, et on vaja arvutada 5 5
Lahendus: samamoodi 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Vastus: 5 5 = 3125 .

Seega, et tõsta numbrit loomulik aste, lihtsalt korrutage see iseendaga n korda.

Mis on arvu negatiivne võimsus?

A negatiivne võimsus -n on jagatud a-ga n astmega: a -n = .

Sel juhul eksisteerib negatiivne aste ainult nullist erinevate arvude puhul, kuna vastasel juhul toimuks nulliga jagamine.

Kuidas tõsta arv negatiivseks täisarvuks?

Nullist erineva arvu tõstmiseks negatiivse astmeni peate arvutama selle arvu väärtuse samale positiivsele astmele ja jagama ühe tulemusega.

Näide 1. Tõstke arv kaks miinus neljanda astmeni. See tähendab, et on vaja arvutada 2 -4

Lahendus: nagu eespool mainitud, 2 -4 = = = 0,0625 .

Vastus: 2 -4 = 0.0625 .

Millal arv korrutab ise iseendale, tööd helistas kraadi.

Seega 2,2 = 4, 2 ruut või teine ​​aste
2.2.2 = 8, kuup või kolmas aste.
2.2.2.2 = 16, neljas aste.

Samuti 10,10 = 100, teine ​​aste on 10.
10.10.10 = 1000, kolmas aste.
10.10.10.10 = 10000 neljas aste.

Ja a.a = aa, a teine ​​aste
a.a.a = aaa, a kolmas aste
a.a.a.a = aaaa, a neljas aste

Helistatakse algsele numbrile juur selle arvu kraadid, sest see on arv, millest kraadid loodi.

See pole aga eriti mugav, eriti juhul kõrged kraadid, kirjutage üles kõik kraadid moodustavad tegurid. Seetõttu kasutatakse lühendatud märkimismeetodit. Kraadijuur kirjutatakse ainult üks kord ja paremale ja selle kõrvale veidi kõrgemale, aga veidi väiksema kirjaga kirjutatakse mitu korda juur toimib tegurina. Seda numbrit või tähte kutsutakse eksponent või kraadi numbrid. Seega on 2 võrdne a.a või aa-ga, sest aa astme saamiseks tuleb a juur korrutada iseendaga kaks korda. Samuti tähendab 3 aaa, see tähendab, et siin kordub a kolm korda kordajana.

Esimese astme astendaja on 1, kuid seda tavaliselt ei kirjutata üles. Niisiis, 1 kirjutatakse kui a.

Te ei tohiks kraade segamini ajada koefitsiendid. Koefitsient näitab, kui sageli väärtust võetakse osa terve. Eksponent näitab, kui sageli väärtust võetakse faktor tööl.
Niisiis, 4a = a + a + a + a. Aga a 4 = a.a.a.a

Eksponentsiaalsel tähistusel on eriline eelis, mis võimaldab meil väljendada teadmata kraadi. Selleks kirjutatakse arvu asemel eksponent kiri. Probleemi lahendamise käigus võime saada väärtuse, mis, nagu me teame, on mõned teise suurusjärgu aste. Kuid siiani me ei tea, kas see on ruut, kuup või mõni muu kõrgem aste. Seega tähendab avaldis a x astendaja, et sellel avaldisel on mõned kraadi, kuigi pole määratletud mis kraad. Seega b m ja d n tõstetakse m ja n astmetesse. Kui eksponent on leitud, number asendatakse kirjaga. Seega, kui m = 3, siis b m = b 3 ; aga kui m = 5, siis b m =b 5 .

Kasutamisel on suureks eeliseks ka väärtuste kirjutamise meetod eksponenditega väljendid. Seega (a + b + d) 3 on (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), see tähendab trinoomi (a + b + d) kuup. . Aga kui me kirjutame selle avaldise pärast kuubikut, näeb see välja selline
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Kui võtame astmete jada, mille eksponendid suurenevad või vähenevad 1 võrra, leiame, et korrutis suureneb ühine tegur või vähendatud võrra ühine jagaja , ja see tegur või jagaja on algarv, mis tõstetakse astmeni.

Niisiis, sarjas aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
või a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
indikaatorid, kui neid loetakse paremalt vasakule, on 1, 2, 3, 4, 5; ja nende väärtuste erinevus on 1. Kui alustame paremal korrutada a, saame edukalt mitu väärtust.

Seega a.a = a 2 , teine ​​liige. Ja 3 .a = 4
a 2 .a = a 3 , kolmas liige. a 4 .a = a 5 .

Kui hakkame vasakule jagama peal,
saame 5:a = a 4 ja 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Kuid sellist jagamisprotsessi saab jätkata ja saame uued väärtushinnangud.

Niisiis, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Täisrida saab olema: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Või 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a , 1 , 1/a , 1/a 2 , 1/a 3 .

Siin on väärtused paremalühikust on tagurpidi väärtused ühest vasakule. Seetõttu võib neid kraade nimetada pöördvõimsused a. Võib ka öelda, et vasakpoolsed astmed on pöördvõrdelised parempoolsete astmetega.

Niisiis, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Ja 1:(1/a 3) = a 3 .

Sama salvestusplaani saab rakendada polünoomid. Nii et a + b korral saame hulga,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3.

Mugavuse huvides kasutatakse teist pöördvõimsuste kirjutamise vormi.

Selle vormi järgi 1/a või 1/a 1 = a -1 . Ja 1/aaa või 1/a 3 = a -3 .
1/aa või 1/a 2 = a -2. 1/aaaa või 1/a 4 = a -4 .

Ja selleks, et astendajad saaksid täisreaks, mille koguerinevuseks on 1, loetakse a/a või 1 selliseks, millel puudub aste ja mis kirjutatakse 0-na.

Seejärel, võttes arvesse otsest ja pöördvõimsust
asemel aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
saab kirjutada 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Või a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

Ja ainult eraldi võetud kraadide seerial on vorm:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Kraadijuure võib väljendada rohkem kui ühe tähega.

Seega on aa.aa või (aa) 2 aa teine ​​aste.
Ja aa.aa.aa või (aa) 3 on aa kolmas aste.

Kõik arvu 1 astmed on samad: 1,1 või 1,1,1. on võrdne 1-ga.

Astendamine on mis tahes arvu väärtuse leidmine selle arvu endaga korrutamise teel. Astendusreegel:

Korrutage väärtus iseendaga nii mitu korda, kui on näidatud arvu astmes.

See reegel on ühine kõigile näidetele, mis võivad esile kerkida astendamise protsessis. Kuid oleks õige selgitada, kuidas see konkreetsetel juhtudel kehtib.

Kui astmeks tõsta ainult üks liige, korrutatakse see iseendaga nii palju kordi, kui astendaja näitab.

Neljas aste a on 4 või aaaa. (Art. 195.)
Y kuues aste on y 6 või yyyyyy.
X n-s aste on x n või xxx..... n korda korratud.

Kui astmeks on vaja tõsta mitmest mõistest koosnev avaldis, siis põhimõte, et mitme teguri korrutise aste on võrdne nende tegurite korrutisega tõstetud astmeni.

Seega (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Aga ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Niisiis, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Seetõttu saame toote astme leidmisel opereerida kas kogu tootega korraga või iga teguriga eraldi ja seejärel korrutada nende väärtused kraadidega.

Näide 1. Dhy neljas aste on (dhy) 4 või d 4 h 4 y 4 .

Näide 2. 4b kolmas aste on (4b) 3 või 4 3 b 3 või 64b 3 .

Näide 3. 6ad n-s aste on (6ad) n või 6 n a n d n.

Näide 4. 3m.2y kolmas aste on (3m.2y) 3 või 27m 3 .8y 3.

Binoomi aste, mis koosneb + ​​ja - abil ühendatud terminitest, arvutatakse selle liikmete korrutamisega. jah,

(a + b) 1 = a + b, esimene aste.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, teine ​​aste (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, kolmas aste.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, neljas aste.

Ruut a - b, seal on 2 - 2ab + b 2 .

Ruut a + b + h on a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Harjutus 1. Leia kuup a + 2d + 3

Harjutus 2. Leia neljas aste b + 2.

Harjutus 3. Leidke x + 1 viies aste.

Harjutus 4. Leia kuues aste 1 - b.

Summa ruudud summad Ja erinevus binoomid on algebras nii levinud, et neid on vaja väga hästi tunda.

Kui korrutame a + h iseendaga või a - h iseendaga,
saame: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 samuti, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

See näitab, et mõlemal juhul on esimene ja viimane liige a ja h ruudud ning keskmine liige on a ja h kahekordne korrutis. Seega saab binoomarvude summa ja erinevuse ruudu leida järgmise reegli abil.

Binoomi ruut, mille mõlemad liikmed on positiivsed, on võrdne esimese liikme ruuduga + mõlema liikme kahekordne korrutis + viimase liikme ruut.

Ruut erinevus binoom on võrdne esimese liikme ruuduga, millest on lahutatud mõlema liikme kahekordne korrutis pluss teise liikme ruut.

Näide 1. Ruut 2a + b, seal on 4a 2 + 4ab + b 2 .

Näide 2. Ruut ab + cd on a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Näide 3. Ruut 3d - h on 9d 2 + 6dh + h 2 .

Näide 4. Ruut a - 1 on 2 - 2a + 1.

Binoomarvude suuremate astmete leidmise meetodi kohta vaadake järgmisi jaotisi.

Paljudel juhtudel on kirjutamine tõhus kraadi korrutamist pole.

Seega ruut a + b on (a + b) 2 .
N-s aste bc + 8 + x on (bc + 8 + x) n

Sellistel juhtudel katavad sulgud kõik kraadi all olevad liikmed.

Aga kui astme juur koosneb mitmest kordajad, võivad sulud katta kogu avaldise või kasutada neid teguritele eraldi, olenevalt mugavusest.

Seega on ruut (a + b)(c + d) kas [(a + b).(c + d)] 2 või (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Neist esimese avaldise puhul on tulemuseks kahe teguri korrutis ja teise puhul nende ruutude korrutis. Kuid nad on üksteisega võrdsed.

Kuubik a.(b + d), on 3 või a 3 .(b + d) 3 .

Arvestada tuleb ka asjassepuutuvate liikmete ees oleva märgiga. Väga oluline on meeles pidada, et kui väe juur on positiivne, on positiivsed ka kõik selle positiivsed jõud. Aga kui juur on negatiivne, siis väärtused alates kummaline võimsused on negatiivsed, samas kui väärtused isegi kraadid on positiivsed.

Teine aste (-a) on +a 2
Kolmas aste (-a) on -a 3
Neljas aste (-a) on +a 4
Viies aste (-a) on -a 5

Seega mis tahes kummaline eksponendil on sama märk kui arvul. Aga isegi aste on positiivne, sõltumata sellest, kas arv on negatiivse või positiivse märgiga.
Niisiis, +a.+a = +a 2
JA -a.-a = +a 2

Juba astmeks tõstetud väärtus tõstetakse eksponentide korrutamisega uuesti astmeks.

2 kolmas aste on a 2,3 = a 6 .

a 2 jaoks = aa; kuubik aa on aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; mis on a kuues aste, kuid a 2 kolmas aste.

Neljas aste a 3 b 2 on a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

4a 2 x kolmas aste on 64a 6 x 3 .

(a + b) 2 viies aste on (a + b) 10 .

N-s 3 aste on 3n

(x - y) m n-s aste on (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Reegel kehtib samaväärselt negatiivne kraadid.

Näide 1. A -2 kolmas aste on -3.3 =a -6 .

Kui a -2 = 1/aa, ja selle kolmas aste
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Neljas aste a 2 b -3 on 8 b -12 või 8 / b 12 .

Ruut b 3 x -1 on b 6 x -2 .

N-s aste ax -m on x -mn või 1/x .

Siinkohal tuleb aga meeles pidada, et kui märk eelmine aste on "-", siis tuleks see muuta väärtuseks "+", kui aste on paarisarv.

Näide 1. Ruut -a 3 on +a 6 . -a 3 ruut on -a 3 .-a 3 , mis vastavalt korrutamismärkide reeglitele on +a 6 .

2. Kuid kuup -a 3 on -a 9 . Kui -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. -a 3 N aste on 3n .

Siin võib tulemus olla positiivne või negatiivne sõltuvalt sellest, kas n on paaris või paaritu.

Kui murdosa tõstetakse astmeni, tõstetakse lugeja ja nimetaja astmeni.

Ruut a/b on a 2 /b 2 . Vastavalt murdude korrutamise reeglile,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

1/a teine, kolmas ja n-s aste on 1/a 2 , 1/a 3 ja 1/a n .

Näited binoomid kus üks terminitest on murd.

1. Leidke ruut x + 1/2 ja x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Ruut a + 2/3 on a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Ruut x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Ruut x - b/m on x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Varem näidati, et murdosa koefitsient saab liigutada lugejast nimetajasse või nimetajast lugejasse. Kasutades pöördvõimsuste kirjutamise skeemi, on näha, et mis tahes kordaja saab ka teisaldada kui kraadi märki muudetakse.

Seega saame murdosas ax -2 /y liigutada x lugejalt nimetajani.
Siis ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Murrus a/x 3 saame y liigutada nimetajalt lugejale.
Siis a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Samamoodi saame positiivse astendajaga teguri liigutada lugejaks või teguriks koos negatiivne aste nimetaja juurde.

Niisiis, ax 3 / b = a / bx -3 . Kui x 3 on pöördväärtus x -3 , mis on x 3 = 1/x -3 .

Seetõttu saab mis tahes murdosa nimetaja täielikult eemaldada või lugeja taandada üheks ilma avaldise tähendust muutmata.

Niisiis, a/b = 1/ba -1 või ab -1.