Арифметическая прогрессия (9 класс): формулы, примеры. Урок по алгебре "Арифметическая и геометрическая прогрессии" (9 класс) III
Понимание многих тем по математике и физике связано со знанием свойств числовых рядов. Школьники в 9 классе при изучении предмета "Алгебра" рассматривают одну из важных последовательностей чисел - арифметическую прогрессию. Приведем основные формулы арифметической прогрессии (9 класс), а также примеры их использования для решения задач.
Алгебраическая или арифметическая прогрессия
Числовой ряд, который будет рассмотрен в данной статье, называют двумя разными способами, представленными в названии этого пункта. Итак, под прогрессией арифметической в математике понимают такой числовой ряд, в котором стоящие рядом любые два числа отличаются на одну и ту же величину, носящую название разности. Числа в таком ряду принято обозначать буквами с нижним целочисленным индексом, например, a 1 , a 2 , a 3 и так далее, где индекс указывает номер элемента ряда.
Учитывая данное выше определение прогрессии арифметической, можно записать следующее равенство: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, здесь d - разность прогрессии алгебраической и n - любое целое число. Если d>0, то можно ожидать, что каждый последующий член ряда будет больше предыдущего, в этом случае говорят о возрастающей прогрессии. Если d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .
Формулы арифметической прогрессии (9 класс школы)
Рассматриваемый ряд чисел, поскольку является упорядоченным и подчиняется некоторому математическому закону, обладает двумя важными для его использования свойствами:
- Во-первых, зная всего два числа a 1 и d, можно найти любой член последовательности. Это делается с помощью такой формулы: a n = a 1 +(n-1)*d.
- Во-вторых, для вычисления суммы n членов первых не обязательно складывать их по порядку, поскольку можно воспользоваться следующей формулой: S n = n*(a n +a 1)/2.
Первую формулу понять просто, так как она является прямым следствием того, что каждый член рассматриваемого ряда отличается от своего соседа на одинаковую разность.
Вторая формула арифметической прогрессии может быть получена, если обратить внимание на то, что сумма a 1 +a n оказывается эквивалентной суммам a 2 +a n-1 , a 3 +a n-2 и так далее. Действительно, поскольку a 2 = d+a 1 , a n-2 = -2*d+a n , a 3 = 2*d+a 1 , и a n-1 = -d+a n , то подставляя эти выражения в соответствующие суммы, получим, что они будут одинаковыми. Множитель n/2 во 2-й формуле (для S n) появляется из-за того, что сумм типа a i+1 +a n-i оказывается ровно n/2, здесь i - целое число, пробегающее значения от 0 до n/2-1.
Согласно сохранившимся историческим свидетельствам, формулу для суммы S n впервые получил Карл Гаусс (знаменитый немецкий математик), когда перед ним была поставлена задача школьным учителем сложить первые 100 чисел.
Пример задачи №1: найдите разность
Задачи, в которых ставится вопрос следующим образом: зная формулы арифметической прогрессии, как найти д (d), являются самыми простыми, которые только могут быть для этой темы.
Приведем такой пример: дана числовая последовательность -5,-2, 1, 4, ..., необходимо определить ее разность, то есть d.
Сделать это проще простого: необходимо взять два элемента и из большего по счету вычесть меньший. В данном случае имеем: d = -2 - (-5) = 3.
Чтобы быть наверняка уверенным в полученном ответе, рекомендуется проверить остальные разности, поскольку представленная последовательность может не удовлетворять условию прогрессии алгебраической. Имеем: 1-(-2)=3 и 4-1=3. Эти данные говорят о том, что мы получили правильный результат (d=3) и доказали, что ряд чисел в условии задачи действительно представляет собой прогрессию алгебраическую.
Пример задачи №2: найдите разность, зная два члена прогрессии
Рассмотрим еще одну интересную задачу, которая ставится вопросом, как найти разность. Формулу арифметической прогрессии в этом случае необходимо использовать для n-ного члена. Итак, задача: даны первое и пятое числа ряда, который соответствует всем свойствам алгебраической прогрессии, например, это числа a 1 = 8 и a 5 = -10. Как найти разность d?
Начинать решение этой задачи следует с записи общего вида формулы для n-ного элемента: a n = a 1 +d*(-1+n). Теперь можно пойти двумя путями: либо подставить сразу числа и работать уже с ними, либо выразить d, а затем переходить к конкретным a 1 и a 5 . Воспользуемся последним способом, получаем: a 5 = a 1 +d*(-1+5) или a 5 = 4*d+a 1 , откуда следует, что d = (a 5 -a 1)/4. Теперь можно спокойно подставить известные данные из условия и получить конечный ответ: d = (-10-8)/4 = -4,5.
Заметим, что в данном случае разность прогрессии оказалась отрицательной, то есть имеет место убывающая последовательность чисел. На этот факт необходимо обращать внимание при решении задач, чтобы не перепутать знаки "+" и "-". Все формулы, приведенные выше, являются универсальными, поэтому всегда следует их соблюдать независимо от знака чисел, с которыми осуществляются операции.
Пример решения задачи №3: найдите a1, зная разность и элемент
Изменим немного условие задачи. Пусть имеются два числа: разность d=6 и 9-й элемент прогрессии a 9 = 10. Как найти а1? Формулы арифметической прогрессии остаются неизменными, воспользуемся ими. Для числа a 9 имеем следующее выражение: a 1 +d*(9-1) = a 9 . Откуда легко получаем первый элемент ряда: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.
Пример решения задачи №4: найдите a1, зная два элемента
Этот вариант задачи является усложненной версией предыдущего. Суть заключается в том же самом, необходимо вычислить a 1 , однако теперь разность d не известна, а вместо нее дан еще один элемент прогрессии.
Примером такого типа задач может служить следующий: найдите первое число последовательности, для которой известно, что она является прогрессией арифметической, и что ее 15-й и 23-й элементы равны 7 и 12, соответственно.
Решать эту задачу необходимо с записи выражения для n-ного члена для каждого известного из условия элемента, имеем: a 15 = d*(15-1)+a 1 и a 23 = d*(23-1)+a 1 . Как видно, мы получили два линейных уравнения, которые нужно разрешить относительно a 1 и d. Поступим так: вычтем из второго уравнения первое, тогда получим такое выражение: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d. При получении последнего уравнения были опущены значения a 1 , поскольку они сокращаются при вычитании. Подставляя известные данные, находим разность: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.
Значение d необходимо подставить в любую формулу для известного элемента, чтобы получить первый член последовательности: a 15 = 14*d+a 1 , откуда: a 1 =a 15 -14*d = 7-14*0,625 = -1,75.
Проверим полученный результат, для этого найдем a 1 через второе выражение: a 23 = d*22+a 1 или a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.
Пример решения задачи №5: найдите сумму n элементов
Как можно было заметить, до этого момента для решения использовалась всего одна формула арифметической прогрессии (9 класс). Теперь приведем задачу, для решений которой понадобиться знание второй формулы, то есть для суммы S n .
Имеется следующая упорядоченный ряд чисел -1,1, -2,1, -3,1,..., нужно вычислить сумму ее 11 первых элементов.
Из данного ряда видно, что он является убывающим, и a 1 = -1,1. Его разность равна: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Теперь определим 11-й член: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Выполнив подготовительные вычисления, можно воспользоваться отмеченной выше формулой для суммы, имеем: S 11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Поскольку все слагаемые являлись отрицательными числами, то и их сумма имеет соответствующий знак.
Пример решения задачи №6: найдите сумму элементов от n до m
Пожалуй, этот тип задач является самым сложным для большинства школьников. Приведем типичный пример: дан ряд чисел 2, 4, 6, 8 ..., необходимо найти сумму с 7-го по 13-й членов.
Формулы арифметической прогрессии (9 класс) используются точно такие же, как и во всех задачах ранее. Эту задачу рекомендуется решать поэтапно:
- Сначала найти сумму 13 членов по стандартной формуле.
- Затем рассчитать эту сумму для 6 первых элементов.
- После этого вычесть из 1-й суммы 2-ю.
Приступим к решению. Так же как и в предыдущем случае, проведем подготовительные вычисления: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.
Вычислим две суммы: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Берем разницу и получаем искомый ответ: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Отметим, что при получении этого значения использовалась в качестве вычитаемого именно сумма 6 элементов прогрессии, поскольку 7-й член входит в сумму S 7-13 .
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d .
Так, числовая последовательность а 1 ; а 2 ; а 3 ; а 4 ; а 5 ; … а n будет являться арифметической прогрессией, если а 2 = а 1 + d;
а 3 = а 2 + d;
Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом а n . Записывают: дана арифметическая прогрессия {a n } .
Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a 1 и разность d.
Примеры арифметической прогрессии
Пример 1. 1; 3; 5; 7; 9;… Здесь а 1 = 1; d = 2.
Пример 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;… Здесь а 1 = 8; d =-3.
Пример 3. -16; -12; -8; -4;… Здесь а 1 = -16; d = 4.
Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.
В 1 примере второй член 3 =(1+5): 2 ; т.е. а 2 = (а 1 +а 3): 2; третий член 5 =(3+7): 2;
т. е. а 3 = (а 2 +а 4): 2.
Значит, справедлива формула:
Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.
Обратимся примеру 2 . Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и седьмого членов (а 1 = 8, а 7 = -10).
По формуле (**) имеем:
Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.
Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d ; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d ; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.
Вы уже догадались: а 2 = а 1 + d;
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;
…………………….
a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.
Полученную формулу a n = a 1 + (n -1) d (***)
называют формулой n -го члена арифметической прогрессии.
Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через S n .
От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n и
S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1
Сложим почленно эти два равенства:
2S n = (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …
Значения в скобках равны между собой, так как являются суммами равноотстоящих членов ряда, значит, можно записать: 2S n = n· (a 1 + a n).
Получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Если заменим а n значением а 1 + (n-1) d по формуле (***), то получим еще одну формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Тема
Арифметическая прогрессия
ЦЕЛЬ :
- научить узнавать арифметическую прогрессию, используя её определение и признак;
- научить решать задачи, используя определение, признак, формулу общего члена прогрессии.
ЗАДАЧИ УРОКА:
дать определение арифметической прогрессии, доказать признак арифметической прогрессии и научить применять их в решении задач.
МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:
актуализация знаний учащихся, самостоятельная работа, индивидуальная работа, создание проблемной ситуации.
СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ:
ИКТ, проблемное обучение, дифференцированное обучение, здоровьесберегающие технологии.
ПЛАН УРОКА
Этапы занятия. | Время реализации. |
|
Организационный момент. | 2 минуты |
|
Повторение пройденного | 5минут |
|
Изучение нового материала | 15 минут |
|
Физкультминутка | 3 минуты |
|
Выполнение заданий по теме | 15минут |
|
Домашнее задание | 2минуты |
|
Подведение итогов | 3минуты |
ХОД УРОКА:
- На прошлом уроке мы познакомились с понятием «Последовательность».
Сегодня продолжим изучать числовые последовательности, дадим определение некоторым из них, познакомимся с их свойствами и признаками.
- Ответьте на вопросы: Что такое последовательность?
Какие последовательности бывают?
Какими способами можно задать последовательность?
Что такое числовая последовательность?
Какие способы задания числовой последовательности вы знаете? Какая формула называется рекуррентной?
- Даны числовые последовательности:
- 1, 2, 3, 4, 5, …
- 2, 5, 8, 11, 14,…
- 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
- 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …
Найдите закономерность каждой последовательности и назовите следующие три члена каждой из них.
- a n = a n -1 +1
- a n = a n -1 + 3
- a n = a n -1 + (-2)
- a n = a n -1 + 0,5
Назовите рекуррентную формулу для каждой последовательности.
Слайд 1
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
Число d называется разностью арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия это числовая последовательность, поэтому может быть возрастающей, убывающей, постоянной. Приведите примеры таких последовательностей, назовите разность каждой прогрессии, сделайте вывод.
Выведем формулу общего члена арифметической прогрессии.
На доске: пусть а 1 -первый член прогрессии, d-её разность, тогда
а 2 =а 1 +d
а 3 =(а 1 +d)+d=a 1 +2d
а 4 =(а 1 +2d)+d=a 1 +3d
a 5 =(a 1 +3d)+d=a 1 +4d
a n =a 1 +d (n-1) - формула п-ого члена арифметической прогрессии.
Решите задачу: В арифметической прогрессии первый член равен 5, а разность равна 4.
Найдите 22 член этой прогрессии.
Ученик решает на доске: а n =a 1 +d(n-1)
A 22 =a 1 +21d=5+21*4=89
Физкультминутка.
Встали.
Руки на поясе. Наклоны влево, вправо, (2 раза);
Наклоны вперёд, назад (2 раза);
Подняли руки вверх, глубокий вдох, опустили руки вниз, выдох. (2 раза)
Встряхнули кисти рук. Спасибо.
Сели. Продолжаем урок.
Решаем задачи на применение формулы общего члена арифметической прогрессии.
Учащимся предлагаются следующие задачи:
- В арифметической прогрессии первый член равен -2, d=3, a n =118.
Найти n.
- В арифметической прогрессии первый член равен 7, пятнадцатый член равен –35. Найти разность.
- Известно, что в арифметической прогрессии d=-2, a39=83. Найти первый член прогрессии.
Учащиеся разделены на группы. Задание даётся на 5 минут. Далее первые 3 ученика, решившие задачи, решают их на доске. Решение дублируется на слайдах.
Рассмотрим характеристические свойства арифметической прогрессии.
В арифметической прогрессии
a n -d=a (n-1)
a n +d=a (n+1)
Cложим почленно эти два равенства, получим: 2а n =a (n+1) +a (n-1)
A n =(a (n+1) +a (n-1 ))/2
Это значит, что каждый член арифметической прогрессии, кроме первого и последнего равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
ТЕОРЕМА:
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего- в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии).
Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии
Класс : 9
Система подготовки : материал для подготовки изучения темы по алгебре и подготовительный этап для сдачи экзамена ОГЭ
Цель : формирование понятий арифметической и геометрической прогрессии
Задачи : научить различать виды прогрессии, научить правильно, использовать формулы
Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)
в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.
Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле
1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии
Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.
Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей
В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства
Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.
2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле
Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.
3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы
4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера. Для этого используйте формулу
Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...
Решение:
Согласно условию имеем
Определим шаг прогрессии
По известной формуле находим сороковой член прогрессии
Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.
Решение:
Распишем заданные элементы прогрессии по формулам
Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых .
Решение:
Запишем формулу сотого элемента прогрессии
и найдем первый
На основе первого находим 50 член прогрессии
Находим сумму части прогрессии
и сумму первых 100
Сумма прогрессии равна 250. Найти число членов арифметической прогрессии, если:
а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.
Решение:
Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их
Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме
Выполняем упрощения
и решаем квадратное уравнение
Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом, сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.
Решить уравнение
1+3+5+...+х=307.
Решение:
Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии
Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых
Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение
Выбираем более логичное из двух значений. Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.
Примеры решения задач: Арифметическая прогрессия
Задача1
Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288м2.Приобретая опыт, студенты в каждый следующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м2 больше чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобиться еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки хватает на 1,2 м2 пола, а для замены некачественных плиток понадобиться 3 коробки?
Решение
По условию задачи понятно,что речь идет об арифметической прогрессии в которой пусть
а1=х, Sn=288, n=16
Тогда используем формулу: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200мм рт. ст.
288=(2х+2*15)*16/2
Расчитаем, сколько м2 выложат студенты за 11 дней: S11=(2*3+2*10)*11.2=143м 2
288-143=145м2осталось после 11 дней работы,т.е. на 5дней
145/1,2=121(приближенно) коробок нужно заказать на 5 дней.
121+3=124 коробки нужно заказать с учетом брака
Ответ:124 коробки
Задача2
После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.
Решение
Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха,то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде послеочередного движения поршня, нужно давление предыдущего движения поршня уиножить на 0,8.
Мы имеем геометрическую прогрессию,первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде (в мм. рт. ст.) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно 760*0.86=200мм.рт. ст.
Ответ:200 мм.рт.ст.
Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23. Найти пятнадцатый член прогрессии и сумму ее десяти первых членов.
Решение:
Найти число членой арифметической прогресии 5,14,23,...,, если ее -ый член равен 239.
Решение:
Найти число членов арифметической прогресии 9,12,15,...,, если ее сумма равна 306 .
Решение:
Найдите х, при котором числа х-1, 2х-1, х2-5 составляют арифметическую прогрессию
Решение:
Найдем разность 1 и 2 членов прогрессии:
d=(2x-1)-(x-1)=x
Найдем разность 2 и 3 членов прогрессии:
d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4
Т.к. разность одинакова, то и члены прогрессии можно приравнять:
При проверке в обоих случаях получается арифметическая прогрессия
Ответ: при х=-1 и х=4
Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом a3=5; a7=13. Найти первый член прогрессии и сумму десяти.
Решение:
От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии
a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, значит d=2
Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии
Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии
S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100
Ответ: а1=1; S10=100
В арифметической прогрессии, первый член которой равен -3,4, а разность равна 3, найдите пятый и одиннадцатый члены .
Итак, мы знаем, что a1 = -3,4; d = 3. Найти: a5, a11-.
Решение. Для нахождения n-ого члена арифметической прогрессии воспользуемся формулой: an = a1+ (n – 1)d. Имеем:
a5 = a1 + (5 – 1)d = -3,4 + 4 · 3 = 8,6;
a11 = a1 + (11 – 1)d = -3,4 + 10 · 3 = 26,6.
Как видим, в данном случае, решение не сложное.
Двенадцатый член арифметической прогрессии равен 74, а разность равна -4. Найдите тридцать четвертый член данной прогрессии.
Нам сказано, что a12 = 74; d = -4, а найти надо a34-.
В данной задаче сразу применить формулу an = a1 + (n – 1)d не представляется возможным, т.к. не известен первый член a1. Такая задача может быть решена в несколько действий.
1. С помощью члена a12 и формулы n-ого члена находим a1:
a12 = a1 + (12 – 1)d, теперь упростим и подставм d: a12 = a1 + 11 · (-4). Из этого уравнения находим a1: a1 = a12 – (-44);
Двенадцатый член нам известен из условия задачи, поэтому без проблем вычисляем a1
a1 = 74 + 44 = 118. Переходим ко второму действию – вычислению a34.
2. Опять же по формуле an = a1 + (n – 1)d, так как уже известно a1, будем определять a34-,
a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14.
Ответ: тридцать четвертый член арифметической прогрессии равен -14.
Как видно, решение второго примера более сложное. Два раза используется одна и та же формула для получения ответа. Но все так сложно. Решение можно сократить, если использовать дополнительные формулы.
Как уже отмечалось, если в задаче известно a1, то формулу для определения n-ого члена арифметической прогрессии применять очень удобно. Но, если в условии задан не первый член, то на помощь может прийти формула, которая связывает между собой нужный нам n-ый член и заданный в задаче член ak.
an = ak + (n – k)d.
Решим второй пример, но уже с использованием новой формулы.
Дано: a12 = 74; d = -4. Найти: a34-.
Используем формулу an = ak + (n – k)d. В нашем случае будет:
a34 = a12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14.
Ответ в задаче получен значительно быстрей, потому что не пришлось выполнять дополнительных действий и искать первый член прогрессии.
С помощью приведенных выше формул можно решать задачи по вычислению разности арифметической прогрессии. Так, применяя формулу an = a1 + (n – 1)d можно выразить d:
d = (an – a1) / (n – 1). Однако задачи с заданным первым членом встречаются не так часто, и решать их можно применяя нашу формулу an = ak + (n – k)d, из которой видно, что d = (an – ak) / (n – k). Давайте рассмотрим такую задачу.
Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что a3 = 36; a8 = 106.
Используя полученную нами формулу, решение задачи можно записать в одну строчку:
d = (a8 – a3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14.
Не будь в арсенале этой формулы, решение задачи заняло бы гораздо больше времени, т.к. пришлось бы решать систему двух уравнений.
Геометрические прогрессии
1. Формула -го члена (общего члена прогрессии) .
2. Формула суммы первых членов прогрессии: . При принято говорить о сходящейся геометрической прогрессии; в этом случае можно вычислить сумму всей прогрессии по формуле .
3. Формула "среднего геометрического": если , , - три последовательных члена геометрической прогрессии, то в силу определения имеем соотношения: или или 
.
Класс: 9
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цель урока: Формирование понятия арифметической прогрессии как одного из видов последовательностей, вывод формулы n-го члена, знакомство с характеристическим свойством членов арифметической прогрессии. Решение задач.
Задачи урока:
- Образовательные - ввести понятия арифметической прогрессии; формулы n-го члена; характеристическое свойство, которым обладают члены арифметических прогрессий.
- Развивающие - вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.
- Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация (Приложение 1)
Учебные пособия: Алгебра 9, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.Н.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского, ОАО "Московские учебники", 2010
План урока:
- Организационный момент, постановка задачи
- Актуализация знаний, устная работа
- Изучение нового материала
- Первичное закрепление
- Подведение итогов урока
- Домашнее задание
В целях повышения наглядности и удобства работы с материалом, урок идет в сопровождении презентации. Однако это не является обязательным условием, и тот же урок может быть проведен в классах, не оснащенных мультимедийным оборудованием. Для этого необходимые данные могут быть подготовлены на доске или в виде таблиц и плакатов.
Ход урока
I. Организационный момент, постановка задачи.
Приветствие.
Тема сегодняшнего урока - арифметическая прогрессия. На этом уроке мы узнаем, что такое арифметическая прогрессия, какой общий вид она имеет, выясним, как отличить арифметическую прогрессию от других последовательностей и решим задачи, где используются свойства арифметических прогрессий.
II. Актуализация знаний, устная работа.
Последовательность () задана формулой: =. Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168?
О последовательности () известно, что , 
.
Как называется такой способ задания
последовательности? Найдите первые четыре члена
этой последовательности.
О последовательности () известно, что . Как называется такой способ задания последовательности? Найдите , если?
III. Изучение нового материала.
Прогрессия - последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некоей, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях "арифметическая прогрессия" и "геометрическая прогрессия".
Термин "прогрессия" имеет латинское происхождение (progression, что означает "движение вперед") и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин "прогрессия" в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий - арифметическая и геометрическая - сохранили свои названия.
Рассмотрим последовательности чисел:
- 2, 6, 10, 14, 18, :.
- 11, 8, 5, 2, -1, :.
- 5, 5, 5, 5, 5, :.
Чему равен третий член первой последовательности? Последующий член? Предыдущий член? Чему равна разность между вторым и первым членами? Третьим и вторым членами? Четвертым и третьим?
Если последовательность построена по одному закону, сделайте вывод, какой будет разность между шестым и пятым членами первой последовательности? Между седьмым и шестым?
Назовите два последующих члена каждой последовательности. Почему Вы так считаете?
(Ответы учеников)
Каким общим свойством обладают эти последовательности? Сформулируйте это свойство.
(Ответы учеников)
Числовые последовательности, обладающие этим свойством, называются арифметическими прогрессиями. Предложить учащимся самим попробовать сформулировать определение.
Определение арифметической прогрессии: арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом:
( - арифметическая прогрессия, если , где некоторое число.
Число d , показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии: .
Давайте еще раз посмотрим на последовательности и поговорим о различиях. Какие особенности есть у каждой последовательности и с чем они связаны?
Если в арифметической прогрессии разность положительна , то прогрессия является возрастающей: 2, 6, 10, 14, 18, :. (
Если в арифметической прогрессии разность отрицательна ( , то прогрессия является убывающей: 11, 8, 5, 2, -1, :. (
В случае, если разность равна нулю () и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной: 5, 5, 5, 5, :.
Как задать арифметическую прогрессию? Рассмотрим следующую задачу.
Задача. На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.
Если выписать количество угля, находящегося на складе каждого числа, получим арифметическую прогрессию. Как решить эту задачу? Неужели придется просчитывать количество угля в каждый из дней месяца? Можно ли как-то обойтись без этого? Замечаем, что до 30 числа на склад придет 29 машин с углем. Таким образом, 30 числа на складе будет 50+329=137 тонн угля.
Таким образом, зная только первый член арифметической прогрессии и разность, мы можем найти любой член последовательности. Всегда ли это так?
Проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и разности:
Таким образом, мы получили формулу n-ого члена арифметической прогрессии.
Пример 1. Последовательность ()-арифметическая прогрессия. Найдите , если и .
Воспользуемся формулой n-ого члена 
,
Ответ: 260.
Рассмотрим следующую задачу:
В арифметической прогрессии четные члены оказались затерты: 3, :, 7, :, 13: Можно ли восстановить утраченные числа?
Учащиеся, скорее всего, сначала вычислят разность прогрессии, а затем будут находить неизвестные члены прогрессии. Тогда можно предложить им найти зависимость между неизвестным членом последовательности, предыдущим и последующим.
Решение: Воспользуемся тем, что в арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Пусть - искомый член последовательности. Тогда
Замечание.
Данное свойство арифметической
прогрессии является ее характеристическим
свойством. Это означает, что в любой
арифметической прогрессии каждый член, начиная
со второго равен среднему арифметическому
предыдущего и последующего (
. И, наоборот, любая
последовательность, в которой каждый член,
начиная со второго равен среднему
арифметическому предыдущего и последующего,
является арифметической прогрессией.
IV. Первичное закрепление.
- № 575 аб - устно
- № 576 авд - устно
- № 577б - самостоятельно с проверкой
Последовательность (- арифметическая прогрессия. Найдите , если и
Воспользуемся формулой n-ого члена ,
Ответ: -24,2.
Найдите 23-й и n-ый члены арифметической прогрессии -8; -6,5; :
Решение: Первый член арифметической прогрессии равен -8. Найдем разность арифметической прогрессии, для этого надо из последующего члена последовательности вычесть предыдущий: -6,5-(-8)=1,5.
Воспользуемся формулой n-ого члена:
Найдите первый член арифметической прогрессии
(), если 
.
Вспомним начало нашего урока, ребята. Удалось ли за сегодняшний урок узнать что-то новое, сделать какие-то открытия? А какие цели урока мы ставили перед собой? Как Вы считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей?
Домашнее задание.
Пункт 25, № 578а, № 580б, №582, №586а, №601а.
Творческое задание для сильных учеников:
Докажите, что в арифметической прогрессии для
любых номеров, таких что k
и .
Спасибо за урок, ребята. Вы сегодня хорошо потрудились.
