Kiirenduste tüübid SRT-s.

Seega oleme näidanud, et mõõdetavaid kiirusi on kahte tüüpi. Lisaks on väga huvitav ka kiirus, mõõdetuna samades ühikutes. Väikeste väärtuste korral on kõik need kiirused võrdsed.

Kui palju kiirendusi on? Millise kiirenduse juures peaks olema konstantne ühtlaselt kiirendatud liikumine relativistlik rakett, et astronaut avaldaks raketi põrandale alati sama jõudu, et ta ei muutuks kaalutuks või et ta ei sureks ülekoormustesse?

Tutvustame erinevat tüüpi kiirenduste määratlusi.

Koordinaatide-koordinaatide kiirendus d v/dt on muudatus koordinaatide kiirus, mõõdetuna sünkroniseeritud koordinaatkell

d v/dt=d2 r/dt 2 .

Tulevikku vaadates märgime, et d v/dt = 1 d v/dt = g 0 d v/dt.

Koordineerige enda kiirendus d v/dt on muudatus koordineerida kiirus mõõdetuna oma käekell

d v/dt=d(d r/dt)/dt = gd 2 r/dt 2 .
d v/dt = g 1 d v/dt.

Isekoordineeritud kiirendus d b/dt on muudatus oma kiirus mõõdetuna sünkroniseeritud koordinaatkell, asetatud katsekeha liikumissuunas:

d b/dt = d(d r/dt)/dt = g 3 v(v d v/dt)/c 2 + gd v/dt.
Kui v|| d v/dt, seejärel d b/dt = g 3 d v/dt.
Kui v d-ga risti v/dt, seejärel d b/dt=gd v/dt.

Oma kiirendus d b/dt on muudatus oma kiirus mõõdetuna oma käekell mis on seotud liikuva kehaga:

d b/dt = d(d r/dt)/dt = g 4 v(v d v/dt)/c 2 + g 2 d v/dt.
Kui v|| d v/dt, seejärel d b/dt = g 4 d v/dt.
Kui v d-ga risti v/dt, seejärel d b/dt = g 2 d v/dt.

Võrreldes jõudlust koefitsiendi g juures nelja ülalkirjeldatud kiirendustüübi puhul, märkame, et selles rühmas ei ole paralleelkiirenduse korral ühtegi liiget, mille koefitsient g 2 on. Kuid me pole veel kiiruse tuletisi võtnud. See on ka kiirus. Võtame kiiruse ajatuletise valemiga v/c = th(r/c):

dr/dt = (c arth(v/c))" = g 2 dv/dt.

Ja kui me võtame dr / dt, saame:

dr/dt = g 3 dv/dt,

või dr/dt = db/dt.

Seega on meil kaks mõõdetavat kiirust v ja b, ja veel üks mõõtmatu, kuid kõige sümmeetrilisem kiirus r. Ja kuut tüüpi kiirendusi, millest kaks dr/dt ja db/dt on samad. Milline neist kiirendustest on õige, s.t. mida tunneb kiirenev keha?

Allpool tuleme tagasi meie enda kiirenduse juurde, kuid praegu saame teada, millist kiirendust sisaldab Newtoni teine ​​seadus. Nagu teada, on relativistlikus mehaanikas mehaanika teine ​​seadus, mis on kirjutatud kujul f=m a, osutub valeks. Selle asemel on jõud ja kiirendus seotud võrrandiga

f= m (g 3 v(va)/c 2 + g a),

mis on relativistlike kiirendite tehniliste arvutuste aluseks. Kui võrrelda seda võrrandit äsja kiirenduse d võrrandiga b/dt:

d b/dt = g 3 v(v d v/dt)/c 2 + gd v/dt,

siis märgime, et need erinevad ainult teguri m võrra. See tähendab, et võite kirjutada:

f= m d b/dt.

Viimane võrrand tagastab massile inertsi mõõdu staatuse relativistlikus mehaanikas. Kehale mõjuv jõud on võrdeline kiirendusega d b/dt. Proportsionaalsuse koefitsient on muutumatu mass. Jõuvektorid f ja kiirendus d b/dt on vektorite mis tahes orientatsiooni puhul kaassuunalised v ja a, või b ja d b/dt.

Kiirendusena kirjutatud valem d v/dt sellist proportsionaalsust ei anna. Jõud ja koordinaat-koordinaatkiirendus ei lange üldjuhul suunaga kokku. Need on paralleelsed ainult kahel juhul: kui vektorid v ja d v/dt on üksteisega paralleelsed ja kui nad on üksteisega risti. Aga esimesel juhul võimu f=mg 3 p v/dt ja teises - f=mgd v/dt.

Seega peame Newtoni seaduses kasutama kiirendust d b/dt, st muuta oma kiirust b, mõõdetuna sünkroniseeritud kellaga.

Võib-olla õnnestub sama eduga seda tõestada f= md r/dt, kus d r/dt on sisemise kiirenduse vektor, kuid kiirus on mõõtmatu väärtus, kuigi seda on lihtne arvutada. Ma ei oska öelda, kas vektorvõrdsus on tõene, kuid skalaarvõrdsus on tõene, kuna dr/dt=db/dt ja f=md b/dt.

Kiirendus on väärtus, mis iseloomustab kiiruse muutumise kiirust.

Näiteks suurendab auto eemaldudes liikumiskiirust, see tähendab, et see liigub kiirendatud tempos. Esialgu on selle kiirus null. Alustades paigalt, kiirendab auto järk-järgult teatud kiiruseni. Kui teel süttib punane foorituli, siis auto peatub. Kuid see ei peatu kohe, vaid mõne aja pärast. See tähendab, et selle kiirus väheneb nullini - auto liigub aeglaselt, kuni see täielikult peatub. Füüsikas aga terminit "aeglustus" pole. Kui keha liigub, aeglustub, on see ka keha kiirendus, ainult miinusmärgiga (nagu mäletate, kiirust on vektorkogus).

Keskmine kiirendus

Keskmine kiirendus> on kiiruse muutuse suhe ajavahemikusse, mille jooksul see muutus toimus. Keskmise kiirenduse saab määrata järgmise valemiga:

kus - kiirenduse vektor.

Kiirendusvektori suund langeb kokku kiiruse muutumise suunaga Δ = - 0 (siin 0 on algkiirus ehk kiirus, millega keha hakkas kiirendama).

Ajahetkel t1 (vt joonis 1.8) on keha kiirus 0 . Ajal t2 on kehal kiirus . Vektori lahutamise reegli järgi leiame kiiruse muutumise vektori Δ = - 0 . Seejärel saab kiirenduse määratleda järgmiselt:

Riis. 1.8. Keskmine kiirendus.

SI-s kiirenduse ühik on 1 meeter sekundis sekundis (või meeter sekundis ruudus), see tähendab

Meeter sekundis ruudus võrdub sirgjooneliselt liikuva punkti kiirendusega, mille juures ühe sekundiga selle punkti kiirus suureneb 1 m/s. Teisisõnu, kiirendus määrab, kui palju muutub keha kiirus ühe sekundi jooksul. Näiteks kui kiirendus on 5 m / s 2, tähendab see, et keha kiirus suureneb iga sekundiga 5 m / s.

Instant Boost

Keha hetkeline kiirendus (materiaalne punkt) praegusel ajahetkel on füüsiline kogus, võrdne piiriga, milleni keskmine kiirendus kipub, kui ajavahemik kipub olema null. Teisisõnu, see on kiirendus, mille keha arendab väga lühikese aja jooksul:

Kiirenduse suund langeb kokku ka kiiruse muutumise suunaga Δ väga väikeste ajavahemike väärtuste korral, mille jooksul kiirus muutub. Kiirendusvektorit saab määrata projektsioonidega vastavatele koordinaattelgedele antud tugisüsteemis (projektsioonid a X, a Y , a Z).

Kiirendatud sirgjoonelise liikumise korral suureneb keha kiirus absoluutväärtuses, st

V2 > v1

ja kiirendusvektori suund langeb kokku kiirusvektoriga 2 .

Kui keha moodulkiirus väheneb, st

V 2< v 1

siis on kiirendusvektori suund vastupidine kiirusvektori 2 suunale. Teisisõnu, antud juhul aeglustus, samas kui kiirendus on negatiivne (ja< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Riis. 1.9. Kohene kiirendus.

Liikudes mööda kõverjoonelist trajektoori ei muutu mitte ainult kiirusmoodul, vaid ka selle suund. Sel juhul on kiirendusvektor kujutatud kahe komponendina (vt järgmist jaotist).

Tangentsiaalne kiirendus

Tangentsiaalne (tangentsiaalne) kiirendus on kiirendusvektori komponent, mis on suunatud piki trajektoori puutujat trajektoori antud punktis. Tangentsiaalne kiirendus iseloomustab kiiruse mooduli muutumist kõverjoonelise liikumise ajal.

Riis. 1.10. tangentsiaalne kiirendus.

Tangentsiaalse kiirenduse vektori τ suund (vt joonis 1.10) ühtib joonkiiruse suunaga või on sellele vastupidine. See tähendab, et tangentsiaalkiirenduse vektor asub samal teljel kui puutuja ringjoon, mis on keha trajektoor.

Tavaline kiirendus

Tavaline kiirendus on kiirendusvektori komponent, mis on suunatud piki normaalset liikumistrajektoorile keha liikumistrajektoori antud punktis. See tähendab, et normaalkiirenduse vektor on risti lineaarse liikumiskiirusega (vt joonis 1.10). Tavakiirendus iseloomustab kiiruse muutumist suunas ja seda tähistatakse tähega n. Tavaline kiirendusvektor on suunatud piki trajektoori kõverusraadiust.

Täielik kiirendus

Täielik kiirendus kõverjoonelisel liikumisel koosneb see tangentsiaalsest ja normaalkiirendusest mööda vektori liitmise reegel ja määratakse järgmise valemiga:

(vastavalt Pythagorase teoreemile ristkülikukujulise ristküliku kohta).

Samuti määratakse täiskiirenduse suund vektori liitmise reegel:

= τ + n

Lineaarne liikumine, lineaarne kiirus, lineaarne kiirendus.

liigub(kinemaatikas) - füüsilise keha asukoha muutus ruumis valitud võrdlussüsteemi suhtes. Samuti on nihe seda muutust iseloomustav vektor. Sellel on liiteomadus. Segmendi pikkus on nihkemoodul, mõõdetuna meetrites (SI).

Nihke saab määratleda kui punkti raadiusvektori muutust: .

Nihkemoodul langeb kokku läbitud vahemaaga siis ja ainult siis, kui nihke suund liikumise ajal ei muutu. Sel juhul on trajektoor sirgjooneline segment. Igal muul juhul, näiteks kõverjoonelise liikumise korral, järeldub kolmnurga ebavõrdsusest, et tee on rangelt pikem.

Vektor D r = r -r 0 , mis on tõmmatud liikuva punkti algasendist selle asukohta antud ajahetkel (punkti raadiuse vektori juurdekasv vaadeldava ajavahemiku jooksul), nimetatakse liigub.

Sirgjoonelise liikumise korral langeb nihkevektor kokku trajektoori vastava lõigu ja nihkemooduliga |D r| võrdne läbitud vahemaaga D s.
Keha lineaarkiirus mehaanikas

Kiirus

Materiaalse punkti liikumise iseloomustamiseks võetakse kasutusele vektorsuurus - kiirus, mis on defineeritud kui kiirus liikumine, samuti suunas praegusel ajahetkel.

Laske materiaalsel punktil liikuda mööda mingit kõverjoonelist trajektoori nii, et ajahetkel t see vastab raadiuse vektorile r 0 (joonis 3). Lühikese aja jooksul D t punkt läbib teed D s ja saab elementaarse (lõpmatult väikese) nihke Dr.

Keskmise kiiruse vektor on punkti raadiusvektori juurdekasvu Dr suhe ajavahemikku D t:

Keskmise kiiruse vektori suund langeb kokku Dr. D piiramatu vähenemisega t keskmine kiirus kaldub piirväärtusele, mida nimetatakse hetkkiirus v:

Hetkekiirus v on seega vektorsuurus, mis võrdub liikuva punkti raadiusvektori esimese tuletisega aja suhtes. Kuna sekant kattub piirjoone puutujaga, on kiirusvektor v suunatud liikumissuunalise trajektoori suhtes tangentsiaalselt (joonis 3). Kui D väheneb t tee D s läheneb |Dr| üha enam, seega hetkkiiruse moodul

Seega on hetkekiiruse moodul võrdne tee esimese tuletisega aja suhtes:

Kell mitte ühtlane liikumine - hetkkiiruse moodul muutub ajas. Sel juhul kasutame skalaarsuurust á vñ - keskmine kiirus ebaühtlane liikumine:

Jooniselt fig. 3 sellest järeldub vñ> |ávñ|, sest D s> |Dr| ja ainult sirgjoonelise liikumise korral

Kui avaldis d s = v d t(vt valemit (2.2)) integreeruvad aja jooksul vahemikus t enne t+ D t, siis leiame ajapunkti D poolt läbitud tee pikkuse t:

Millal ühtlane liikumine hetkkiiruse arvväärtus on konstantne; siis võtab avaldis (2.3) kuju

Teekonna pikkus, mille läbis punkt ajavahemikus alates t 1 kuni t 2 on antud integraaliga

Kiirendus ja selle komponendid

Ebaühtlase liikumise korral on oluline teada, kui kiiresti kiirus ajas muutub. Kiiruse absoluutväärtuse ja suuna muutumise kiirust iseloomustav füüsikaline suurus on kiirendus.

Kaaluge tasane liikumine, need. liikumine, mille käigus kõik punkti trajektoori osad asuvad samal tasapinnal. Määratlegu vektor v punkti kiiruse A sellel ajal t. Ajaks D t liikumispunkt teisaldatud asendisse V ja omandas v-st erineva kiiruse nii mooduli kui ka suuna poolest ning võrdub v 1 = v + Dv. Liigutage vektor v 1 punkti A ja leidke Dv (joonis 4).

Keskmine kiirendus ebaühtlane liikumine intervallis alates t enne t+ D t nimetatakse vektorsuuruseks, mis võrdub kiiruse Dv muutuse ja ajaintervalli D suhtega t

Kohene kiirendus materiaalse punkti (kiirendus) ajahetkel t seal on keskmise kiirenduse piir:

Seega on kiirendus a vektorsuurus, mis on võrdne kiiruse esimese tuletisega aja suhtes.

Jagame vektori Dv kaheks komponendiks. Selleks, punktist A(Joonis 4) kiiruse v suunas jätame kõrvale vektori , moodul võrdne v 1-ga. On ilmne, et vektor , võrdne , määrab kiiruse muutuse aja jooksul D t modulo: . Vektori Dv teine ​​komponent iseloomustab kiiruse muutumist ajas D t suunas.

Tangentsiaalne ja normaalkiirendus.

Tangentsiaalne kiirendus- liikumistrajektoorile tangentsiaalselt suunatud kiirenduse komponent. Ühineb kiirusvektori suunaga kiirendatud liikumisel ja vastupidise suunaga aegluubis. Iseloomustab kiirusmooduli muutust. Tavaliselt tähistatakse seda või ( jne, vastavalt sellele, milline täht valitakse selles tekstis kiirenduse tähistamiseks üldiselt).

Mõnikord mõistetakse tangentsiaalset kiirendust kui tangentsiaalse kiirenduse vektori projektsiooni – nagu eespool defineeritud – trajektoori puutuja ühikvektorile, mis langeb kokku (kogu)kiirenduse vektori projektsiooniga ühikulisele puutujavektorile, st. , kaasasolevas aluses vastav laiendustegur. Sel juhul ei kasutata vektori tähistust, vaid “skalaarset” - nagu tavaliselt projektsiooni või vektori koordinaadi puhul - .

Tangentsiaalse kiirenduse suurust – kiirendusvektori projektsiooni mõttes trajektoori ühikulisele puutujavektorile – saab väljendada järgmiselt:

kus - maapinna kiirus mööda trajektoori, mis langeb kokku hetkekiiruse absoluutväärtusega antud hetkel.

Kui kasutame ühiku puutujavektori tähistust, siis saame kirjutada tangentsiaalne kiirendus vektorkujul:

Järeldus

Tangentsiaalse kiirenduse avaldise saab leida, diferentseerides kiirusvektorit aja suhtes, mis on esitatud ühikulise puutujavektorina:

kus esimene liige on tangentsiaalne kiirendus ja teine ​​on normaalkiirendus.

Siin kasutame trajektoori ühikulise normaalvektori ja - trajektoori praeguse pikkuse (); viimane üleminek kasutab ka ilmset

ja geomeetrilistest kaalutlustest lähtudes

Tsentripetaalne kiirendus (tavaline)- osa punkti kogukiirendusest, mis on tingitud trajektoori kõverusest ja materiaalse punkti kiirusest mööda seda. Selline kiirendus on suunatud trajektoori kõveruskeskme poole, mis on termini põhjuseks. Formaalselt ja sisuliselt kattub termin tsentripetaalne kiirendus üldiselt terminiga normaalkiirendus, erinedes pigem ainult stiililiselt (mõnikord ajalooliselt).

Eriti sageli räägitakse tsentripetaalsest kiirendusest, kui me räägimeühtlase liikumise kohta ringis või liikumise kohta enam-vähem sellele konkreetsele juhtumile.

elementaarvalem

kus - normaalne (tsentripetaalne) kiirendus, - (hetkeline) lineaarne liikumiskiirus piki trajektoori, - (hetk) nurkkiirus selle liikumise kohta trajektoori kõveruskeskme suhtes on trajektoori kõverusraadius antud punktis. (Seos esimese ja teise valemi vahel on ilmne, arvestades).

Ülaltoodud avaldised sisaldavad absoluutväärtusi. Neid saab hõlpsasti vektorkujul kirjutada, korrutades - ühikvektoriga trajektoori kõveruskeskmest selle antud punktini:

Need valemid on võrdselt rakendatavad nii konstantse (absoluutväärtuses) kiirusega liikumise kui ka suvalise juhtumi korral. Teise puhul tuleb aga silmas pidada, et tsentripetaalkiirendus ei ole täiskiirenduse vektor, vaid ainult selle trajektooriga risti olev komponent (või mis on sama, hetkkiiruse vektoriga risti); täiskiirenduse vektor sisaldab siis ka tangentsiaalset komponenti (tangentsiaalne kiirendus), mis langeb suunaliselt kokku trajektoori puutujaga (või mis on sama, hetkekiirusega).

Järeldus

See, et kiirendusvektori jaotamine komponentideks – üks piki vektori puutujat trajektoorile (tangentsiaalne kiirendus) ja teine ​​selle suhtes risti (tavaline kiirendus) – võib olla mugav ja kasulik, on iseenesest üsna ilmne. Seda raskendab asjaolu, et konstantsel kiirusel liikudes võrdub tangentsiaalne komponent nulliga, see tähendab, et sellel olulisel konkreetsel juhul jääb järele ainult normaalne komponent. Lisaks, nagu allpool näha, on igal neist komponentidest oma selged omadused ja struktuur ning tavaline kiirendus sisaldab oma valemi struktuuris üsna olulist ja mittetriviaalset geomeetrilist sisu. Rääkimata olulisest ringis liikumise erijuhtumist (mis pealegi on peaaegu muutmata üldistatav üldjuhtumiks).

Nihe (kinemaatikas) on füüsilise keha asukoha muutumine ruumis valitud tugiraamistiku suhtes. Samuti on nihe seda muutust iseloomustav vektor. Sellel on liiteomadus.

Kiirus (sageli tähistatakse inglise keeles velocity või prantsuse vitesse) on vektorfüüsikaline suurus, mis iseloomustab ruumis oleva materiaalse punkti liikumiskiirust ja liikumissuunda valitud võrdlussüsteemi suhtes (näiteks nurkkiirus).

Kiirendus (tavaliselt tähistatakse teoreetilises mehaanikas) - kiiruse aja tuletis, vektorsuurus, mis näitab, kui palju muutub punkti (keha) kiirusvektor selle liikumisel ajaühiku kohta (st kiirendus ei võta arvesse ainult kiiruse muutust , aga ka selle juhised).

Tangentsiaalne (tangentsiaalne) kiirendus on kiirendusvektori komponent, mis on suunatud piki trajektoori puutujat trajektoori antud punktis. Tangentsiaalne kiirendus iseloomustab kiiruse mooduli muutumist kõverjoonelise liikumise ajal.

Riis. 1.10. tangentsiaalne kiirendus.

Tangentsiaalse kiirenduse vektori τ suund (vt joonis 1.10) ühtib joonkiiruse suunaga või on sellele vastupidine. See tähendab, et tangentsiaalkiirenduse vektor asub samal teljel kui puutuja ringjoon, mis on keha trajektoor.

Tavaline kiirendus

Tavaline kiirendus on kiirendusvektori komponent, mis on suunatud piki normaalset liikumistrajektoorile keha liikumistrajektoori antud punktis. See tähendab, et normaalkiirenduse vektor on risti lineaarse liikumiskiirusega (vt joonis 1.10). Tavakiirendus iseloomustab kiiruse muutumist suunas ja seda tähistatakse tähega n. Tavaline kiirendusvektor on suunatud piki trajektoori kõverusraadiust.

Täielik kiirendus

Täielik kiirendus kõverjoonelise liikumise korral koosneb see tangentsiaalsest ja normaalkiirendusest vastavalt vektori liitmise reeglile ja määratakse järgmise valemiga:

(vastavalt Pythagorase teoreemile ristkülikukujulise ristküliku kohta).

Täiskiirenduse suuna määrab ka vektorite liitmise reegel:

Võimsus. Kaal. Newtoni seadused.

Jõud on vektorfüüsikaline suurus, mis on teiste kehade, aga ka väljade antud kehale avalduva löögi intensiivsuse mõõt. Massiivsele kehale rakendatav jõud on selle kiiruse muutumise või selles deformatsioonide tekkimise põhjuseks.

Mass (kreeka keelest μάζα) on skalaarne füüsikaline suurus, üks tähtsamaid suurusi füüsikas. Algselt (XVII-XIX sajand) iseloomustas see "aine kogust" füüsilises objektis, millel tolleaegsete ideede kohaselt oli nii objekti võime vastu panna rakendatavale jõule (inertsile) kui ka gravitatsiooniomadused - kaal sõltus. Tihedalt seotud mõistetega "energia" ja "impulss" (vastavalt kaasaegsed ideed- mass võrdub puhkeenergiaga).

Newtoni esimene seadus

On selliseid tugiraame, mida nimetatakse inertsiaalseteks, mille suhtes materiaalne punkt välismõjude puudumisel säilitab oma kiiruse suuruse ja suuna lõputult.

Newtoni teine ​​seadus

Inertsiaalses võrdlusraamistikus on materiaalse punkti saadav kiirendus võrdeline kõigi sellele rakendatavate jõudude resultandiga ja pöördvõrdeline selle massiga.

Newtoni kolmas seadus

Materiaalsed punktid mõjuvad üksteisele paarikaupa sama laadi jõududega, mis on suunatud piki neid punkte ühendavat sirgjoont, mis on suuruselt võrdsed ja vastassuunalised:

Pulss. Impulsi jäävuse seadus. Elastsed ja mitteelastsed amordid.

Impulss (liikumise arv) on vektorfüüsikaline suurus, mis iseloomustab keha mehaanilise liikumise mõõtu. Klassikalises mehaanikas keha impulss on võrdne tootega selle keha mass m kiiruseni v, impulsi suund langeb kokku kiirusvektori suunaga:

Impulsi jäävuse seadus (Law of Conservation of impulsi) ütleb, et suletud süsteemi kõigi kehade (või osakeste) momentide vektorsumma on konstantne väärtus.

Klassikalises mehaanikas tuletatakse impulsi jäävuse seadus tavaliselt Newtoni seaduste tulemusena. Newtoni seadustest saab näidata, et tühjas ruumis liikudes säilib impulss ajas ning vastastikmõju olemasolul määrab selle muutumise kiiruse rakendatud jõudude summa.

Nagu iga põhiline jäävusseadus, kirjeldab impulsi jäävuse seadus üht põhisümmeetriat – ruumi homogeensust.

Absoluutselt mitteelastne mõju Nimetatakse sellist löökide vastasmõju, mille käigus kehad on omavahel ühendatud (kleepuvad kokku) ja liiguvad edasi ühe kehana.

Täiesti mitteelastse löögi korral mehaaniline energia ei säili. See läheb osaliselt või täielikult üle kehade siseenergiasse (küte).

Absoluutselt elastne löök nimetatakse kokkupõrkeks, mille käigus säilib kehade süsteemi mehaaniline energia.

Paljudel juhtudel järgivad aatomite, molekulide ja elementaarosakeste kokkupõrked absoluutselt elastse löögi seadusi.

Absoluutselt elastse löögiga koos impulsi jäävuse seadusega täidetakse ka mehaanilise energia jäävuse seadus.

4. Mehaanilise energia liigid. Töö. Võimsus. Energia jäävuse seadus.

Mehaanikas on kahte tüüpi energiat: kineetiline ja potentsiaalne.

Kineetiline energia on mis tahes vabalt liikuva keha mehaaniline energia ja seda mõõdetakse tööga, mida keha saaks teha, kui see aeglustub kuni täieliku peatumiseni.

Seega on translatsiooniliselt liikuva keha kineetiline energia võrdne poolega selle keha massi ja kiiruse ruudu korrutisest:

Potentsiaalne energia on kehade süsteemi mehaaniline energia, mille määrab nende vastastikune paigutus ja nendevaheliste vastastikmõju jõudude olemus. Numbriliselt võrdub süsteemi potentsiaalne energia antud asendis tööga, mille tekitavad süsteemile mõjuvad jõud, kui süsteem liigub sellest asendist sinna, kus potentsiaalne energia on tavapäraselt null (E n \u003d 0 ). Mõiste "potentsiaalne energia" toimub ainult konservatiivsete süsteemide puhul, s.t. süsteemid, milles mõjuvate jõudude töö sõltub ainult süsteemi alg- ja lõppasendist.

Seega on koormuse P puhul, mis on tõstetud kõrgusele h, potentsiaalne energia E n = Ph (E n = 0, kui h = 0); vedru külge kinnitatud koormuse korral E n = kΔl 2 / 2, kus Δl on vedru pikenemine (surumine), k on selle jäikuse koefitsient (E n = 0, kui l = 0); kahe osakese jaoks massiga m 1 ja m 2, mis on tõmmatud vastavalt universaalse gravitatsiooniseadusele, , kus γ on gravitatsioonikonstant, r on osakeste vaheline kaugus (E n = 0 kui r → ∞).

Mõistel "töö" on mehaanikas kaks tähendust: töö kui protsess, mille käigus jõud liigutab keha, mis toimib 90°-st erineva nurga all; töö on füüsikaline suurus, mis on võrdne jõu, nihke ja jõu suuna ja nihke vahelise nurga koosinuse korrutisega:

Töö on null, kui keha liigub inertsiga (F = 0), kui liikumist ei toimu (s = 0) või kui liikumise ja jõu vaheline nurk on 90° (cos a = 0). SI tööühik on džaul (J).

1 džaul on töö, mis tehakse jõuga 1 N, kui keha liigub 1 m piki jõu mõjujoont. Töö kiiruse määramiseks sisestage "võimsuse" väärtus.

Võimsus on füüsikaline suurus, mis võrdub teatud aja jooksul tehtud töö ja selle ajaperioodi suhtega.

Eristage keskmist võimsust teatud aja jooksul:

ja hetkevõimsus antud ajahetkel:

Kuna töö on energia muutumise mõõt, võib võimsust määratleda ka kui süsteemi energia muutumise kiirust.

Võimsuse SI-ühik on vatt, mis võrdub ühe džauliga sekundis.

Energia jäävuse seadus on empiiriliselt kehtestatud loodusseadus, mis seisneb selles, et isoleeritud füüsikalise süsteemi jaoks saab kasutusele võtta skalaarse füüsikalise suuruse, mis on süsteemi parameetrite funktsioon ja mida nimetatakse energiaks. aja jooksul säilinud. Kuna energia jäävuse seadus ei viita konkreetsetele suurustele ja nähtustele, vaid peegeldab üldist mustrit, mis on rakendatav kõikjal ja alati, siis võib seda nimetada mitte seaduseks, vaid energia jäävuse põhimõtteks.

Antakse materiaalse punkti kinemaatika põhivalemid, nende tuletamine ja teooria esitamine.

Sisu

Vaata ka: Näide ülesande lahendamisest (punkti liikumise määramise koordinaatide meetod)

Materjali punkti kinemaatika põhivalemid

Esitame materiaalse punkti kinemaatika põhivalemid. Pärast seda anname nende tuletamise ja teooria esituse.

Materjali punkti M raadiuse vektor ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz :
,
kus on ühikvektorid (orths) telgede x, y, z suunas.

Punkti kiirus:
;
.
.
Ühikvektor punkti tee puutuja suunas:
.

Punkti kiirendus:
;
;
;
; ;

Tangentsiaalne (tangentsiaalne) kiirendus:
;
;
.

Tavaline kiirendus:
;
;
.

Ühikvektor, mis on suunatud punkti trajektoori kõveruskeskme poole (piki põhinormaali):
.

.

Raadiuse vektor ja punkti trajektoor

Vaatleme materiaalse punkti M liikumist. Valime fikseeritud ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi Oxyz, mille keskpunkt on mingis fikseeritud punktis O. Siis määratakse punkti M asukoht üheselt selle koordinaatidega (x, y, z). Need koordinaadid on materiaalse punkti raadiusvektori komponendid.

Punkti M raadiusvektor on vektor, mis on tõmmatud fikseeritud koordinaatsüsteemi O alguspunktist punkti M .
,
kus on ühikvektorid telgede x, y, z suunas.

Kui punkt liigub, muutuvad koordinaadid aja jooksul. See tähendab, et need on aja funktsioonid. Siis võrrandisüsteem
(1)
võib vaadelda parameetriliste võrranditega antud kõvera võrrandina. Selline kõver on punkti trajektoor.

Materiaalse punkti trajektoor on joon, mida mööda punkt liigub.

Kui punkt liigub tasapinnal, saate valida teljed ja koordinaatsüsteemid nii, et need asetseksid sellel tasapinnal. Seejärel määratakse trajektoor kahe võrrandiga

Mõnel juhul võib aja nendest võrranditest välja jätta. Siis on trajektoori võrrandil sõltuvus vormist:
,
kus on mingi funktsioon. See sõltuvus sisaldab ainult muutujaid ja . See ei sisalda parameetrit.

Materjali punkti kiirus

Materiaalse punkti kiirus on selle raadiusvektori aja tuletis.

Vastavalt kiiruse määratlusele ja tuletise määratlusele:

Aja tuletised on mehaanikas tähistatud punktiga sümboli kohal. Asendage siin raadiusvektori avaldis:
,
kus oleme selgelt välja toonud koordinaatide sõltuvuse ajast. Saame:

,
kus
,
,

- kiirusprojektsioonid koordinaatide telgedel. Need saadakse raadiusvektori komponentide aja suhtes diferentseerimisel
.

Sellel viisil
.
Kiirusmoodul:
.

Tee puutuja

Matemaatilisest vaatenurgast võib võrrandisüsteemi (1) vaadelda kui parameetriliste võrranditega antud sirge (kõvera) võrrandit. Aeg mängib selles kontekstis parameetri rolli. Kursuselt matemaatiline analüüs on teada, et selle kõvera puutuja suunavektoril on järgmised komponendid:
.
Kuid need on punkti kiirusvektori komponendid. See on materiaalse punkti kiirus on suunatud trajektoorile tangentsiaalselt.

Seda kõike saab otse näidata. Olgu punkt ajahetkel raadiusevektoriga positsioonis (vt joonist). Ja hetkel - raadiusvektoriga asendis . Joonistage läbi punktide sirgjoon. Definitsiooni järgi on puutuja joon, millele joon kaldub, kui .
Tutvustame tähistust:
;
;
.
Seejärel suunatakse vektor piki sirget.

Kaldumisel kaldub sirge puutuja poole ja vektor punkti kiirusele ajahetkel:
.
Kuna vektor on suunatud piki sirgjoont ja sirgjoon on punktis , siis on kiirusvektor suunatud piki puutujat.
See tähendab, et materiaalse punkti kiirusvektor on suunatud piki trajektoori puutujat.

Tutvustame ühiku pikkuse puutuja suunavektor:
.
Näitame, et selle vektori pikkus on võrdne ühega. Tõepoolest, sest
, siis:
.

Seejärel saab punkti kiiruse vektorit esitada järgmiselt:
.

Materjali punkti kiirendus

Materiaalse punkti kiirendus on selle kiiruse tuletis aja suhtes.

Sarnaselt eelmisele saame kiirenduse komponendid (kiirenduse projektsioonid koordinaattelgedel):
;
;
;
.
Kiirendusmoodul:
.

Tangentsiaalsed (tangentsiaalsed) ja normaalkiirendused

Nüüd kaaluge küsimust kiirendusvektori suuna kohta trajektoori suhtes. Selleks rakendage valemit:
.
Eristage seda aja järgi, kasutades toote eristamise reeglit:
.

Vektor on suunatud trajektoorile tangentsiaalselt. Millises suunas on selle ajatuletis suunatud?

Sellele küsimusele vastamiseks kasutame asjaolu, et vektori pikkus on konstantne ja võrdne ühega. Siis on selle pikkuse ruut samuti võrdne ühega:
.
Siin ja allpool tähistavad kaks sulgudes olevat vektorit vektorite skalaarkorrutist. Eristage viimast võrrandit aja suhtes:
;
;
.
Kuna vektorite ja skalaarkorrutis on võrdne nulliga, on need vektorid üksteisega risti. Kuna vektor on tee puutuja, on vektor puutujaga risti.

Esimest komponenti nimetatakse tangentsiaalseks või tangentsiaalseks kiirenduseks:
.
Teist komponenti nimetatakse normaalseks kiirenduseks:
.
Siis on kogukiirendus:
(2) .
See valem on kiirenduse lagunemine kaheks üksteisega risti olevaks komponendiks - trajektoori puutuja ja puutujaga risti.

Sest siis
(3) .

Tangentsiaalne (tangentsiaalne) kiirendus

Korrutage võrrandi mõlemad pooled (2) skalaar kuni:
.
Sest siis. Siis
;
.
Siia paneme:
.
Sellest on näha, et tangentsiaalne kiirendus on võrdne kogukiirenduse projektsiooniga trajektoori puutuja suunale või, mis on sama, punkti kiiruse suunale.

Materiaalse punkti tangentsiaalne (tangentsiaalne) kiirendus on selle täiskiirenduse projektsioon trajektoori puutuja suunale (või kiiruse suunale).

Sümbol tähistab tangentsiaalset kiirendusvektorit, mis on suunatud piki trajektoori puutujat. Seejärel on skalaarväärtus, mis võrdub kogukiirenduse projektsiooniga puutuja suunas. See võib olla nii positiivne kui ka negatiivne.

Asendades on meil:
.

Asendage valemis:
.
Seejärel:
.
See tähendab, et tangentsiaalne kiirendus on võrdne punkti kiiruse mooduli aja tuletisega. Sellel viisil, tangentsiaalne kiirendus viib punkti kiiruse absoluutväärtuse muutumiseni. Kiiruse kasvades on tangentsiaalne kiirendus positiivne (või suunatud piki kiirust). Kiiruse vähenedes on tangentsiaalne kiirendus negatiivne (või vastupidine kiirusele).

Nüüd uurime vektorit.

Vaatleme trajektoori puutuja ühikvektorit . Asetame selle alguspunkti koordinaatsüsteemi alguspunkti. Siis on vektori ots ühiku raadiusega sfääril. Materiaalse punkti liigutamisel liigub vektori ots piki seda sfääri. See tähendab, et see tiirleb oma päritolu ümber. Laskma olema vektori pöörlemise hetkeline nurkkiirus ajahetkel . Siis on selle tuletis vektori lõpu liikumiskiirus. See on suunatud vektori suhtes risti. Rakendame pöörleva liikumise valemit. Vektori moodul:
.

Nüüd kaaluge punkti asukohta kahel tihedal korral. Olgu ajahetkel punkt positsioonis ja ajahetkel - positsioonis. Olgu ja on nendes punktides trajektoorile tangentsiaalselt suunatud ühikvektorid. Läbi punktide ja juhtida lennukid risti vektorid ja . Laskma olema sirgjoon, mis on moodustatud nende tasandite lõikepunktist. Langetage risti punktist sirgele. Kui punktide asukohad ja on piisavalt lähedased, võib punkti liikumist käsitleda kui pöörlemist mööda raadiusega ringi ümber telje, millest saab materiaalse punkti hetkeline pöörlemistelg. Kuna vektorid ja on risti tasapindadega ja , on nende tasandite vaheline nurk võrdne vektorite ja vahelise nurgaga. Siis on punkti hetkeline pöörlemiskiirus ümber telje võrdne vektori hetkelise pöörlemiskiirusega:
.
Siin on punktide ja vaheline kaugus.

Nii leidsime vektori ajatuletise mooduli:
.
Nagu me varem märkisime, on vektor vektoriga risti. Eeltoodud arutlusest on näha, et see on suunatud trajektoori hetkekõveruskeskme poole. Seda suunda nimetatakse põhinormaaliks.

Tavaline kiirendus

Tavaline kiirendus

suunatud piki vektorit . Nagu saime teada, on see vektor suunatud puutujaga risti, trajektoori hetkekõveruskeskme poole.
Olgu ühikvektor, mis on suunatud materiaalsest punktist trajektoori hetkekõveruskeskmesse (piki põhinormaali). Siis
;
.
Kuna mõlemad vektorid ja on sama suunaga - trajektoori kõveruskeskme poole, siis
.

Valemist (2) meil on:
(4) .
Valemist (3) leidke normaalkiirenduse moodul:
.

Korrutage võrrandi mõlemad pooled (2) skalaar kuni:
(2) .
.
Sest siis. Siis
;
.
See näitab, et normaalkiirenduse moodul on võrdne kogukiirenduse projektsiooniga põhinormaali suunas.

Materiaalse punkti normaalkiirendus on selle täiskiirenduse projektsioon suunale, mis on risti trajektoori puutujaga.

Asendame. Siis
.
See tähendab, et tavaline kiirendus põhjustab punkti kiiruse suuna muutuse ja see on seotud trajektoori kõverusraadiusega.

Siit leiate trajektoori kõverusraadiuse:
.

Lõpuks märgime, et valem (4) saab ümber kirjutada järgmisel kujul:
.
Siin oleme rakendanud valemit vektorprodukt kolm vektorit:
,
millesse nad raamisid
.

Nii et saime:
;
.
Võrdleme vasaku ja parema osa moodulid:
.
Kuid vektorid ja on üksteisega risti. Niisiis
.
Siis
.
See on diferentsiaalgeomeetriast hästi tuntud valem kõvera kõveruse jaoks.

Vaata ka:

Tangentsiaalne kiirendus iseloomustab kiiruse mooduli (väärtuse) muutust ja on suunatud tangentsiaalselt trajektoorile:

,

kus on kiirusmooduli tuletis,  puutuja ühikvektor, mis kattub suunaga kiirusega.

Tavaline kiirendus iseloomustab kiiruse muutumist suunas ja on suunatud piki kõverusraadiust trajektoori kõveruskeskmesse antud punktis:

,

kus R on trajektoori kõverusraadius,  ühiknormaalvektor.

Kiirendusvektori mooduli saab leida valemiga

.

1.3. Kinemaatika põhiülesanne

Kinemaatika põhiülesanne on leida materiaalse punkti liikumisseadus. Selleks kasutatakse järgmisi suhteid:

;
;
;
;

.

Sirgjoonelise liikumise erijuhud:

1) ühtlane sirgjooneline liikumine: ;

2) ühtlane sirgjooneline liikumine:
.

1.4. Pöördliikumine ja selle kinemaatilised omadused

Pöörleva liikumise ajal liiguvad kõik keha punktid mööda ringjooni, mille keskpunktid asuvad samal sirgel, mida nimetatakse pöörlemisteljeks. Pöörleva liikumise iseloomustamiseks tutvustatakse järgmisi kinemaatilisi karakteristikuid (joonis 3).

Nurgeline liikumine
 vektor, arvuliselt võrdne nurgaga keha pöörlemine
ajal
ja suunatud piki pöörlemistelge nii, et mööda seda vaadates täheldatakse keha pöörlemist päripäeva.

Nurkkiirus  iseloomustab keha pöörlemiskiirust ja -suunda, on võrdne pöördenurga tuletisega aja suhtes ja on suunatud piki pöörlemistelge nurknihkena.

P Pöörleva liikumise jaoks kehtivad järgmised valemid:

;
;
.

Nurkkiirendus iseloomustab nurkkiiruse muutumise kiirust ajas, on võrdne nurkkiiruse esimese tuletisega ja on suunatud piki pöörlemistelge:

;
;
.

Sõltuvus
väljendab keha pöörlemise seadust.

Ühtlase pöörlemisega:  = 0,  = const,  = t.

Võrdselt muutuva pöörlemisega:  = const,
,
.

Ühtlase pöörleva liikumise iseloomustamiseks kasutatakse pöörlemisperioodi ja pöörlemissagedust.

Pöörlemisperiood T on konstantse nurkkiirusega pöörleva keha ühe pöörde aeg.

Pöörlemissagedus - keha poolt ajaühikus tehtud pöörete arv.

Nurkkiirust saab väljendada järgmiselt:

.

Nurga- ja lineaarkinemaatiliste karakteristikute vaheline seos (joonis 4):

2. Translatsiooniliste ja pöörlevate liikumiste dünaamika

1. Newtoni seadused Newtoni esimene seadus: iga keha on puhkeseisundis või ühtlases sirgjoonelises liikumises, kuni teiste kehade mõju ta sellest olekust välja toob.

Kehasid, mis ei allu välismõjudele, nimetatakse vabakehadeks. Vaba kehaga seotud tugiraamistikku nimetatakse inertsiaalseks tugiraamistikuks (ISR). Selle suhtes liigub iga vaba keha ühtlaselt ja sirgjooneliselt või on puhkeasendis. Liikumise suhtelisusest järeldub, et IFR-i suhtes ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuv tugiraam on samuti IFR. ISO-d mängivad olulist rolli kõigis füüsikaharudes. See on tingitud Einsteini relatiivsusprintsiibist, mille kohaselt matemaatiline vorm mis tahes füüsiline seadus peab olema kõigis inertsiaalsetes tugisüsteemides ühesuguse kujuga.

Translatsioonilise liikumise dünaamikas kasutatavad põhimõisted hõlmavad jõudu, kehamassi, keha (kehade süsteemi) impulssi.

Jõuga nimetatakse vektorfüüsikaliseks suuruseks, mis on ühe keha mehaanilise mõju mõõt teisele. Mehaaniline toime toimub nii vastastikku interakteeruvate kehade kokkupuutel (hõõrdumine, tugireaktsioon, kaal jne) kui ka nende kaudu. jõuväli, eksisteerivad ruumis (gravitatsioon, Coulombi jõud jne). Võimsus mida iseloomustab moodul, suund ja rakenduspunkt.

Mitme jõu samaaegne mõju kehale ,,...,saab asendada tekkiva (tulemusliku) jõu toimega :

=++...+=.

missa keha nimetatakse skalaarsuuruseks, mis on mõõt inerts keha. Under inerts viitab materiaalsete kehade omadusele hoida oma kiirust muutumatuna välismõjude puudumisel ja muuta seda järk-järgult (st lõpliku kiirendusega) jõu toimel.

Impulss keha (materiaalset punkti) nimetatakse vektorfüüsikaliseks suuruseks, mis on võrdne keha massi ja selle kiiruse korrutisega:
.

Süsteemi hoog materiaalsed punktid on võrdne süsteemi moodustavate punktide impulsside vektorsummaga:
.

Newtoni teine ​​seadus: keha impulsi muutumise kiirus on võrdne sellele mõjuva jõuga:

.

Kui keha mass jääb konstantseks, siis on keha poolt saavutatav kiirendus inertsiaalse tugisüsteemi suhtes võrdeline sellele mõjuva jõuga ja pöördvõrdeline keha massiga:

.