Juhuslikud sündmused on tõenäosuse klassikaline ja statistiline määratlus. Tõenäosuse klassikalised, statistilised ja geomeetrilised definitsioonid

Kendalli auaste korrelatsiooninäitaja, mis testib vastavat hüpoteesi seose olulisuse kohta.

2. Tõenäosuse klassikaline definitsioon. Tõenäosuse omadused.
Tõenäosus on tõenäosusteooria üks põhimõisteid. Sellel mõistel on mitu määratlust. Anname definitsiooni, mida nimetatakse klassikaliseks. Järgnevalt toome välja selle definitsiooni nõrkused ja anname teisi definitsioone, mis võimaldavad klassikalise definitsiooni puudustest üle saada.

Kaaluge näidet. Olgu ühes urnis 6 ühesugust, põhjalikult segatud palli, neist 2 punast, 3 sinist ja 1 valge. Ilmselgelt on võimalus joonistada urnist juhuslikult värviline (s.o punane või sinine) pall suurem kui valge palli joonistamise võimalus. Kas seda võimalust saab iseloomustada numbriga? Selgub, et saate. Seda arvu nimetatakse sündmuse (värvilise palli ilmumise) tõenäosuseks. Seega on tõenäosus arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkuse astet.

Seadkem endale ülesandeks anda kvantitatiivne hinnang võimalusele, et juhuslikult võetud pall on värviline. Värvilise palli ilmumist käsitletakse kui sündmust A. Testi kõiki võimalikke tulemusi (katse seisneb palli urnist väljavõtmises) nimetatakse nn. elementaarne tulemus (elementaarsündmus). Tähistage elementaarsed tulemused w 1 , w 2 , w 3 jne. Meie näites on võimalikud järgmised 6 elementaarset tulemust: w 1 - ilmus valge pall; w 2, w 3 - ilmus punane pall; w 4 , w 5 , w 6 - ilmus sinine pall. On lihtne näha, et need tulemused moodustavad paarikaupa tervikliku rühma kokkusobimatud sündmused(ilmub tingimata ainult üks pall) ja need on võrdselt tõenäolised (pall võetakse välja juhuslikult, pallid on samad ja põhjalikult segatud).

Need elementaarsed tulemused, mille puhul meid huvipakkuv sündmus aset leiab, helistame soodne see sündmus. Meie näites eelistavad sündmust A (värvilise palli ilmumist) järgmised 5 tulemust: w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 .

Seega täheldatakse sündmust A, kui katses ilmneb üks A-d soodustavatest elementaarsetest tulemustest, olenemata sellest, milline; meie näites täheldatakse A, kui esineb w 2 või w 3 või w 4 või w 5 või w 6. Selles mõttes jaguneb sündmus A mitmeks elementaarsündmuseks (w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ); elementaarsündmust ei jaotata muudeks sündmusteks. See on erinevus sündmuse A ja elementaarsündmuse (elementaartulemus) vahel.

Sündmusele A soodsate elementaartulemuste arvu suhe nendesse koguarv nimetatakse sündmuse A tõenäosuseks ja tähistatakse P (A). Vaadeldavas näites on 6 elementaarset tulemust; neist 5 pooldab sündmust A. Seetõttu on tõenäosus, et võetud pall värvitakse, võrdne P (A) \u003d 5/6. See arv annab kvantitatiivse hinnangu värvilise palli ilmumise tõenäosuse kohta mida tahtsime leida. Nüüd anname tõenäosuse definitsiooni.

Sündmuse A tõenäosus on sellele sündmusele soodsate tulemuste arvu suhe kõigi võrdselt võimalike kokkusobimatute elementaartulemuste koguarvuga, mis moodustavad tervikliku rühma. Niisiis, sündmuse A tõenäosus määratakse valemiga

kus m on A-d soodustavate elementaartulemuste arv; n on kõigi võimalike elementaartesti tulemuste arv.

Siin eeldatakse, et elementaarsed tulemused on kokkusobimatud, võrdselt võimalikud ja moodustavad tervikliku rühma. Tõenäosuse definitsioonist tulenevad järgmised omadused:

Umbes y-ga ja t-ga umbes 1-s. Teatud sündmuse tõenäosus on võrdne ühega.

Tõepoolest, kui sündmus on usaldusväärne, siis iga testi elementaarne tulemus soosib sündmust. Sel juhul m = n, seega

P(A)=m/n=n/n=1.

Umbes y-ga ja t-ga umbes 2-s. Võimatu sündmuse tõenäosus on null.

Tõepoolest, kui sündmus on võimatu, ei soosi ükski kohtuprotsessi elementaarsetest tulemustest sündmust. Sel juhul m = 0, seega

P (A) \u003d m / n \u003d 0 / n \u003d 0.

Umbes y-ga ja t-ga umbes 3-s. Juhusliku sündmuse tõenäosus on positiivne arv nulli ja ühe vahel.

Tõepoolest, ainult osa testi elementaarsete tulemuste koguarvust soosib juhuslikku sündmust. Sel juhul 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

Niisiis, mis tahes sündmuse tõenäosus rahuldab kahekordse ebavõrdsuse

Märkus. Kaasaegsed ranged tõenäosusteooria kursused on üles ehitatud hulgateoreetilisel alusel. Piirdume nende mõistete esitamisega hulgateooria keeles, mida eespool käsitleti.

Sündmustest w i , (i = 1, 2, ..., n) toimugu testi tulemusena üks ja ainult üks. Üritused w i nimetatakse elementaarsed sündmused (elementaarsed tulemused). Sellest juba järeldub, et elementaarsündmused on paarisühildamatud. Nimetatakse kõigi elementaarsete sündmuste kogum, mis võivad katses esineda elementaarne sündmusruum W ja elementaarsed sündmused ise - ruumi punktid W.

Sündmus A identifitseeritakse (ruumi W) alamhulgaga, mille elemendid on A-d soodustavad elementaarsed tulemused; sündmus B on W alamhulk, mille elemendid on B-le soodsad tulemused jne. Seega on kõigi katses esineda võivate sündmuste hulk kõigi alamhulkade W hulk. W ise esineb mis tahes katsetulemusega, seega on W teatud sündmus; tühi alamhulk ruumist W on võimatu sündmus (seda ei esine ühegi testi tulemuse korral).

Pange tähele, et elementaarsündmusi eristab kõigist sündmustest asjaolu, et igaüks neist sisaldab ainult ühte elementi W.

Igale elementaartulemusele w i omistatakse positiivne arv lk i on selle tulemuse tõenäosus ja

Definitsiooni järgi on sündmuse A tõenäosus P(A) võrdne A-d soodustavate elementaarsete tulemuste tõenäosuste summaga. Sellest on lihtne järeldada, et usaldusväärse sündmuse tõenäosus on võrdne ühega, võimatu on null, suvaline on nulli ja ühe vahel.

Pea oluliseks erijuhtum kui kõik tulemused on võrdselt tõenäolised. Tulemuste arv on n, kõigi tulemuste tõenäosuste summa on võrdne ühega; seega on iga tulemuse tõenäosus 1/n. Olgu sündmust A eelistatud m tulemusel. Sündmuse A tõenäosus on võrdne A soosivate tulemuste tõenäosuste summaga:

P(A) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.

Arvestades, et liikmete arv on võrdne m-ga, on meil

P (A) \u003d m / n.

Saadakse tõenäosuse klassikaline definitsioon.

Loogiliselt täieliku tõenäosusteooria konstrueerimine põhineb juhusliku sündmuse ja selle tõenäosuse aksiomaatilisel definitsioonil. A. N. Kolmogorovi pakutud aksioomide süsteemis on elementaarsündmus ja tõenäosus määratlematud mõisted. Siin on aksioomid, mis määravad tõenäosuse:

1. Igale sündmusele A omistatakse mittenegatiivne reaalarv P(A). Seda arvu nimetatakse sündmuse A tõenäosuseks.

2. Teatud sündmuse tõenäosus on võrdne ühega:

3. Vähemalt ühe paarikaupa kokkusobimatu sündmuse toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga.

Nende aksioomide põhjal tuletatakse teoreemidena tõenäosuste omadused ja nendevahelised seosed.

3. Tõenäosuse staatiline määratlus, suhteline sagedus.

Klassikaline määratlus ei nõua eksperimenti. Kuigi tegelikel rakendusprobleemidel on lõpmatu arv tulemusi ja klassikaline määratlus ei saa antud juhul vastust anda. Seetõttu kasutame selliste probleemide korral tõenäosuste staatiline määramine, mis arvutatakse pärast katset või katset.

staatiline tõenäosus w(A) ehk suhteline sagedus on antud sündmusele soodsate tulemuste arvu ja tegelikult läbiviidud katsete koguarvu suhe.

w(A)=nm

Sündmuse suhteline sagedus on stabiilsusomadus:

lim n→∞P(∣ ∣ nm−lk∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)

4.Geomeetrilised tõenäosused.

Kell geomeetriline lähenemine määratluse juurde tõenäosused suvalist hulka loetakse elementaarsündmuste ruumiks Lebesgue'i lõplik mõõt sirgel, tasapinnal või ruumis.Üritused kutsutakse kõikvõimalikud mõõdetavad hulga alamhulgad.

Sündmuse A tõenäosus määratakse valemiga

kus tähistab hulga A Lebesgue'i mõõt. Selle sündmuste ja tõenäosuste määratlusega kõik A.N.Kolmogorovi aksioomid on täidetud.

Konkreetsetes ülesannetes, mis on taandatud ülaltoodule tõenäosusskeem, testi tõlgendatakse kui juhuslikku valikut mingis piirkonnas punktist ja sündmusest AGA– mõnel valitud punkti tabamusena piirkonna alampiirkond A. See eeldab, et kõik piirkonna punktid on olemas sama võimalus olla valitud. Seda nõuet väljendatakse tavaliselt terminites "juhuslikult", "juhuslikult" jne.

Sündmuste toimumise juhuslikkus on seotud konkreetse testi tulemuse ette ennustamise võimatusega. Kui aga võtta arvesse näiteks testi: mündi mitmekordne viskamine, ω 1 , ω 2 , … , ω n , siis selgub, et ligikaudu pooltel tulemustest ( n / 2) leitakse teatud muster, mis vastab tõenäosuse mõistele.

Under tõenäosus arenguid AGA mõistetakse mingi sündmuse toimumise võimalikkuse numbriline tunnus AGA. Tähistame seda arvulist tunnust R(AGA). Tõenäosuse määramiseks on mitu lähenemisviisi. Peamised on statistiline, klassikaline ja geomeetriline.

Lase toota n testid ja samas mingi sündmus AGA tuli n A korda. Number n A kutsutakse absoluutne sagedus(või lihtsalt sündmuse sagedus). AGA, ja seost nimetatakse sündmuse A esinemise suhteline sagedus. Mis tahes sündmuse suhteline sagedus mida iseloomustavad järgmised omadused:

Tõenäosusteooria meetodite rakendamise aluseks reaalsete protsesside uurimisel on juhuslike sündmuste objektiivne olemasolu, millel on sageduse stabiilsuse omadus. Uuritava sündmuse arvukad katsed AGA näita seda suurelt n suhteline sagedus ( AGA) jääb ligikaudu konstantseks.

Tõenäosuse statistiline määratlus seisneb selles, et sündmuse A tõenäosuseks peetakse konstantset väärtust p(A), mille ümber suhteliste sageduste väärtused kõiguvad. (AGA) katsete arvu piiramatu kasvugan.

Märkus 1. Pange tähele, et juhusliku sündmuse tõenäosuse muutumise piirid nullist üheni valib B. Pascal selle arvutamise ja rakendamise mugavuse huvides. Kirjavahetuses P. Fermat'ga tõi Pascal välja, et näidatud intervalliks võib valida mis tahes intervalli, näiteks nullist sajani ja muud intervallid. Selle õpetuse allolevates ülesannetes on tõenäosused mõnikord antud protsentides, st. nullist sajani. Sel juhul tuleb ülesannetes antud protsendid ümber arvestada aktsiateks, s.o. jaga 100-ga.

Näide 1 Läbi 10 seeriat mündiviskeid, igas 1000 viset. Väärtus ( AGA) igas reas on 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Need sagedused koonduvad ümber R(AGA) = 0,5.

See näide kinnitab, et suhteline sagedus ( AGA) on ligikaudu võrdne R(AGA), st.

Tõenäosuse klassikaline ja statistiline määratlus. geomeetriline tõenäosus.

Tõenäosusteooria põhikontseptsioon on juhusliku sündmuse mõiste. Juhuslik sündmus on sündmus, mis teatud tingimustel võib toimuda või mitte. Näiteks objekti tabamine või vahelejäämine antud relvaga selle objekti pihta tulistamisel on juhuslik sündmus.

Sündmust nimetatakse kindlaks, kui see testi tulemusena tingimata toimub. Võimatu sündmus on sündmus, mis testi tulemusena ei saa toimuda.

Juhuslikud sündmused on antud katses ebajärjekindlad, kui kaks neist ei saa koos esineda.

Juhuslikud sündmused moodustavad tervikliku rühma, kui igal katsel võib ilmneda mõni neist ja ükski teine ​​sündmus, mis on nendega vastuolus, ei saa ilmneda.

Mõelge võrdselt võimalike kokkusobimatute juhuslike sündmuste täielikule rühmale. Selliseid sündmusi nimetatakse tulemusteks. Tulemust nimetatakse sündmuse A toimumisele soodsaks, kui selle sündmuse toimumine toob kaasa sündmuse A toimumise.

Sündmuse A tõenäosus on sellele sündmusele soodsate tulemuste arvu m suhe kõigi võrdselt võimalike kokkusobimatute elementaartulemuste koguarvusse n, mis moodustavad tervikliku rühma

Geomeetriline tõenäosus on üks tõenäosuse määramise viise; olgu Ω eukleidilise ruumi piiratud hulk ruumalaga λ(Ω) (vastavalt pikkus või pindala ühe- või kahemõõtmelises olukorras), olgu ω punkt, mis on võetud juhuslikult Ω-st, tõenäosus, et punkt on alamhulgast võetud olema võrdeline selle ruumalaga λ (x), siis defineeritakse alamhulga geomeetriline tõenäosus mahtude suhtena: Tõenäosuse geomeetrilist definitsiooni kasutatakse sageli näiteks Monte Carlo meetodites väärtuste lähendamiseks ​mitmest kindlast integraalist.

Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid

Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid

Kahe sündmuse A ja B summa on sündmus C, mis seisneb vähemalt ühe sündmuse A või B toimumises.

Liitumise teoreem

Kahe kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga:

P (A + B) = P (A) + P (B).

Juhul, kui sündmused A ja B on ühised, väljendatakse nende summa väärtust valemiga

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB),

kus AB on sündmuste A ja B korrutis.

Kaht sündmust nimetatakse sõltuvaks, kui neist ühe tõenäosus sõltub teise toimumisest või mittetoimumisest. sõltuvate sündmuste puhul võetakse kasutusele sündmuse tingimusliku tõenäosuse mõiste.

Sündmuse A tingimuslik tõenäosus P(A/B) on sündmuse A tõenäosus, mis arvutatakse eeldusel, et sündmus B on aset leidnud. Samamoodi tähistab P(B/A) sündmuse B tingimuslikku tõenäosust, eeldusel, et sündmus A on toimunud.

Kahe sündmuse A ja B korrutis on sündmus C, mis seisneb sündmuse A ja sündmuse B ühises toimumises.

Tõenäosuse korrutamise teoreem

Kahe sündmuse korrutise tõenäosus on võrdne neist ühe tõenäolisusega, korrutatuna teise tingimusliku tõenäosusega esimese olemasolu korral:

P (AB) \u003d P (A) P (B / A) või P (AB) \u003d P (B) P (A / B).

Tagajärg. Kahe sõltumatu sündmuse A ja B ühise toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega:

P (AB) \u003d P (A) P (B).

Tagajärg. Kui n identset sõltumatut katset, milles igas sündmuses A esineb tõenäosusega p, on sündmuse A vähemalt korra toimumise tõenäosus võrdne 1 - (1 - p)n

Tõenäosus, et toimub vähemalt üks sündmus. Näide. Bayesi valem.

Tõenäosus teha märkmiku lehel vähemalt üks viga on p=0,1. Märkmikus on 7 kirjutatud lehekülge. Kui suur on tõenäosus P, et märkmikus on vähemalt üks viga?

Sündmuse A toimumise tõenäosus, mis koosneb sündmustest A1, A2, ..., An, mis on agregaadis sõltumatud, on võrdne ühtsuse ja vastandlike sündmuste tõenäosuste korrutise vahega Ǡ1, Ǡ2, ... Ǡn.

P(A) = 1 - q1q2…qn

Vastupidise sündmuse tõenäosus q = 1 - p.

Täpsemalt, kui kõigil sündmustel on sama tõenäosus, mis on võrdne p-ga, on vähemalt ühe sündmuse toimumise tõenäosus võrdne:

P(A) = 1 - qn = 1 - (1 - p)n = 1 - (1 - 0,1) 7 = 0,522

Vastus: 0,522

Bayesi valem.

Oletame, et tehakse mingi eksperiment ja selle läbiviimise tingimuste kohta saab püstitada n unikaalset ja ebajärjekindlat hüpoteesi hüpoteeside tõenäosuste tõenäosustega, kui saaks teada, et juhtus sündmus A? Teisisõnu, meid huvitavad tõenäosused. Seoste (4) ja (5) põhjal saame teada, kust Aga kogutõenäosuse valemi järgi seega Valemit (12) nimetatakse Bayesi valemiks*.

6. Bernoulli valem. Näited.

Bernoulli valem on tõenäosusteooria valem, mis võimaldab sõltumatute katsete käigus leida sündmuse A toimumise tõenäosust. Bernoulli valem võimaldab vabaneda suurest arvust arvutustest – tõenäosuste liitmisest ja korrutamisest – piisavalt suure hulga testidega. Nimetatud väljapaistva Šveitsi matemaatiku Jacob Bernoulli järgi, kes valemi välja töötas.

Sõnastus

Teoreem: Kui sündmuse Α toimumise tõenäosus p igas katses on konstantne, siis tõenäosus, et sündmus A toimub k korda n sõltumatus katses, on võrdne: kus. .

Tõestus

Kuna samadel tingimustel läbiviidud sõltumatute testide tulemusena toimub sündmus tõenäosusega , siis vastupidine sündmus tõenäosusega Tähistame sündmuse toimumist testis arvuga Kuna katsete läbiviimise tingimused on samad, on need tõenäosused võrdsed. Laske sündmus korduda katsete tulemusena, siis ülejäänud kordadel seda sündmust ei toimu. Sündmus võib esineda testides ühe korra erinevates kombinatsioonides, mille arv on võrdne elementide kombinatsioonide arvuga by. See kombinatsioonide arv leitakse valemiga: Iga kombinatsiooni tõenäosus on võrdne tõenäosuste korrutisega: Rakendades kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste liitmise teoreemi, saame lõpliku Bernoulli valemi:

Laplace'i lokaalsed ja integraalteoreemid. Näited.

Lokaalsed ja integraalsed Laplace'i teoreemid

Kohalik Laplace'i teoreem. Tõenäosus, et n sõltumatus katses, millest igaühes on sündmuse toimumise tõenäosus võrdne p(0< р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)
φ(x) väärtuste määramiseks võite kasutada spetsiaalset tabelit.

Laplace'i integraalteoreem. Tõenäosus, et n sõltumatus katses, millest igaühes on sündmuse toimumise tõenäosus võrdne p (0< р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна

P(k1;k2)=Φ(x"") - Φ(x")

Siin -Laplace'i funktsioon Laplace'i funktsiooni väärtused leitakse spetsiaalse tabeli järgi.

Näide. Leidke tõenäosus, et sündmus A toimub täpselt 70 korda 243 katses, kui selle sündmuse toimumise tõenäosus igas katses on 0,25.

Lahendus. Tingimuse järgi n = 243; k = 70; p = 0,25; q = 0,75. Kuna n=243 on üsna suur arv, kasutame kohalikku Laplace'i teoreemi: kus x = (k-np)/ √npq.

Leidke x väärtus Tabeli n järgi leiame f (1,37) \u003d 0,1561. Soovitud tõenäosus

P(243)(70) = 1/6,75*0,1561 = 0,0231.

Diskreetsete suuruste arvulised karakteristikud. Näited

Diskreetsete juhuslike suuruste arvulised karakteristikud

Jaotusseadus iseloomustab juhuslikku suurust täielikult. Kui aga jaotusseadust ei ole võimalik leida või seda ei nõuta, võib piirduda väärtuste leidmisega, mida nimetatakse juhusliku suuruse arvkarakteristikuteks. Need suurused määravad mingi keskmise väärtuse, mille ümber juhusliku suuruse väärtused rühmitatakse, ja nende hajumise astme selle keskmise väärtuse ümber.

Definitsioon. Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutis.

Matemaatiline ootus on olemas, kui võrdsuse paremal küljel olevad jadad lähenevad absoluutselt.

Tõenäosuse seisukohalt võime öelda, et matemaatiline ootus on ligikaudu võrdne juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega.

teoreetilised hetked. Näited.

Selle meetodi mõte on võrdsustada teoreetilised ja empiirilised hetked. Seetõttu alustame nende mõistete arutamist.

Lase -- jaotusest sõltumatu valim, mis sõltub tundmatust parameetrist Järjekorra teoreetiline moment on funktsioon kus on jaotusfunktsiooniga juhuslik suurus . Märgime eriti, et teoreetiline moment on tundmatute parameetrite funktsioon, kui jaotus sõltub nendest parameetritest. Eeldame, et matemaatilised ootused eksisteerivad vähemalt empiirilise hetke kohta, mil järjekorra nimetatakse Pange tähele, et definitsiooni järgi on empiirilised momendid valimi funktsioonid. Märka seda on üldtuntud valimi keskmine.

Tundmatute parameetrite hinnangute leidmiseks hetkemeetodi abil tuleks:

arvutage selgesõnaliselt teoreetilised momendid ja koostage tundmatute muutujate jaoks järgmine võrrandisüsteem

Selles süsteemis peetakse neid fikseeritud parameetriteks.

lahendage süsteem (35) muutujate suhtes Kuna süsteemi parem pool sõltub valimist, on tulemuseks funktsioonid Need on parameetrite soovitud hinnangud hetkede meetodil.

12. Tšebõševi ebavõrdsus. Suurte arvude seadus.

Tšebõševi ebavõrdsus, tuntud ka kui Bieneme-Tšebõševi ebavõrdsus, on mõõtmisteoorias ja tõenäosusteoorias levinud ebavõrdsus. Selle hankis esmakordselt 1853. aastal Biename (prantsuse keel) ja hiljem ka Tšebõšev. Mõõtmisteoorias kasutatav ebavõrdsus on üldisem, tõenäosusteoorias kasutatakse selle järelmõju.

Tšebõševi ebavõrdsus mõõtmisteoorias

Tšebõševi ebavõrdsus mõõtmisteoorias kirjeldab Lebesgue’i integraali ja mõõdu vahelist suhet. Selle ebavõrdsuse analoog tõenäosusteoorias on Markovi võrratus. Tšebõševi ebavõrdsust kasutatakse ka ruumi kinnitumise tõestamiseks nõrgas ruumis

Sõnastus

Olgu ruum koos mõõduga. Lase ka

liidetav funktsiooni kohta

Siis on ebavõrdsus tõsi:

Üldisemalt:

Kui on mittenegatiivne reaalne mõõdetav funktsioon, mis definitsioonipiirkonnas ei kahane, siis ruumi osas olgu siis

Tšebõševi ebavõrdsus tõenäosusteoorias

Tšebõševi ebavõrdsus tõenäosusteoorias väidab, et juhuslik suurus võtab põhimõtteliselt oma keskmisele lähedased väärtused. Täpsemalt annab see hinnangu tõenäosusele, et juhuslik muutuja omandab väärtuse, mis on kaugel selle keskmisest. Tšebõševi ebavõrdsus on Markovi ebavõrdsuse tagajärg.

Sõnastus

Olgu tõenäosusruumil defineeritud juhuslik suurus, mille matemaatiline ootus ja dispersioon on lõplikud. Siis kus Kui , kus on standardhälve ja , siis saame Eelkõige hälbib lõpliku dispersiooniga juhuslik suurus keskmisest rohkem kui standardhälve tõenäosusega kui . See erineb keskmisest standardhälbete võrra tõenäosusega, mis on väiksem kui .

Suurte arvude seadus

Tõenäosusteooria põhimõisted on juhusliku sündmuse ja juhusliku muutuja mõisted. Samas on võimatu ette ennustada testi tulemust, milles üks või teine ​​sündmus või mõni konkreetne juhusliku suuruse väärtus võib ilmneda või mitte, kuna testi tulemus sõltub paljudest juhuslikest põhjustest, mis võivad ilmneda. ei saa arvesse võtta.

Testide korduval kordamisel täheldatakse aga massijuhuslikele nähtustele omaseid seaduspärasusi. Nendel mustritel on stabiilsuse omadus. Selle omaduse olemus seisneb selles, et iga üksiku juhusliku nähtuse spetsiifilised tunnused peaaegu ei mõjuta suure hulga sarnaste nähtuste keskmist tulemust ning katsetes täheldatud juhuslike sündmuste ja juhuslike muutujate omadusi, kusjuures juhusliku nähtuse piiramatu suurenemine testide arvu, muutuda praktiliselt mittejuhuslikuks.

Laske läbi viia suur seeria sama tüüpi katseid. Iga individuaalse kogemuse tulemus on juhuslik, määramatu. Kuid vaatamata sellele kaotab kogu katseseeria keskmine tulemus oma juhusliku iseloomu ja muutub korrapäraseks.

Praktika jaoks on väga oluline teada, millistel tingimustel väga paljude juhuslike põhjuste kumulatiivne toime viib juhusest peaaegu sõltumatu tulemuseni, kuna see võimaldab nähtuste kulgu ette näha. Need tingimused on näidatud teoreemides, mis kannavad suurte arvude seaduse üldnimetust.

Suurte arvude seadust ei tohiks mõista kui üht üldist seadust, mis on seotud suurte arvudega. Suurte arvude seadus on mitme teoreemi üldistatud nimetus, millest järeldub, et katsete arvu piiramatu suurenemise korral kalduvad keskmised väärtused teatud konstantidele.

Nende hulka kuuluvad Tšebõševi ja Bernoulli teoreemid. Tšebõševi teoreem on kõige üldisem suurte arvude seadus, Bernoulli teoreem on kõige lihtsam.

Teoreemide tõestuse aluseks, mida ühendab mõiste "suurte arvude seadus", on Tšebõševi ebavõrdsus, mis määrab kindlaks selle matemaatilisest ootusest kõrvalekaldumise tõenäosuse:

Matemaatiline sõnastus

Tingimustel on vaja määrata lineaarse sihtfunktsiooni maksimum (lineaarne vorm). Mõnikord kehtestatakse ka teatud piirangute kogum võrdsuste kujul, kuid neist saab vabaneda, kui väljendada järjestikku ühte muutujat teiste kaudu ja asendada see kõigis teistes võrdsustes ja ebavõrdsustes (nagu ka funktsioonis ). Sellist probleemi nimetatakse lineaarses programmeerimises "põhiliseks" või "standardseks".

Geomeetriline meetod kahe muutuja lineaarse programmeerimise ülesannete lahendamiseks. Näide.

Kahe muutujaga lineaarse ebavõrdsuse lahendusala on poollennuk. Selleks, et määrata, milline kahest pooltasandist vastab sellele ebavõrdsusele, peate selle viima vormile või Siis asub soovitud pooltasand esimesel juhul sirge a0 + a1x1 + a2x2 = 0 kohal ja teine ​​- selle all. Kui a2=0, siis on võrratus (8) kujul ; sel juhul saame kas - parempoolse pooltasandi või - vasakpoolse pooltasandi.

Võrratussüsteemi lahendusvaldkond on iga üksiku võrratuse poolt kirjeldatud lõpliku arvu pooltasandite lõikekoht. See lõikepunkt on hulknurkne piirkond G. See võib olla nii piiratud kui ka piiramata ja isegi tühi (kui võrratuste süsteem on vastuolus).
Riis. 2

Lahendusdomeenil G on oluline kumerusomadus. Piirkonda nimetatakse kumeraks, kui selle mis tahes kahte punkti saab ühendada lõiguga, mis kuulub täielikult sellele alale. Joonisel fig. 2 on kujutatud kumerat piirkonda G1 ja mittekumerat piirkonda G2. Piirkonnas G1 saab selle kahte suvalist punkti A1 ja B1 ühendada segmendiga, mille kõik punktid kuuluvad piirkonda G1. Piirkonnas G2 saab valida kaks selle punkti A2 ja B2 nii, et kõik lõigu A2B2 punktid ei kuuluks piirkonda G2.

Võrdlusjoon on joon, millel on piirkonnaga vähemalt üks ühine punkt, samas kui kogu piirkond asub selle joone ühel küljel. Joonisel fig. Joonisel 2 on kujutatud kaks võrdlusjoont l1 ja l2, st sel juhul läbivad jooned vastavalt hulknurga tippu ja selle ühe külje.

Samamoodi võib anda geomeetrilise tõlgenduse kolme muutujaga võrratussüsteemile. Sel juhul kirjeldab iga võrratus poolruumi ja kogu süsteem kirjeldab poolruumide lõikepunkti, st hulktahukat, millel on ka kumerusomadus. Siin läbib võrdlustasand hulktahuka piirkonna tippu, serva või tahku.

Tutvutud mõistete põhjal käsitleme geomeetrilist meetodit lineaarse programmeerimise ülesande lahendamiseks. Olgu antud kahe sõltumatu muutuja lineaarne sihtfunktsioon f = c0 + c1x1 + c2x2 ning mõni lineaarsete võrratuste liitsüsteem, mis kirjeldab lahenduste piirkonda G. Võimalike lahenduste hulgast tuleb leida selline, mille jaoks lineaarne sihtfunktsioon f võtab väikseima väärtuse.

Seadke funktsioon f võrdseks mingi konstantse väärtusega C: f = c0 + c1x1 + c2x2 = C. See väärtus saavutatakse joone punktides, mis rahuldavad võrrandit. Kui see sirge tõlgitakse paralleelselt joone positiivses suunas. normaalvektori n(c1,c2) ​​korral lineaarfunktsioon f suureneb ja vastupidises suunas ülekandmisel väheneb.

Oletame, et kujul (9) kirjutatud sirge paralleeltõlkega vektori n positiivses suunas kohtub esmalt mõnes selle tipus võimalike lahenduste piirkonnaga G, samas kui sihtfunktsiooni väärtus on võrdne C1 ja sirgest saab võrdlusjoon. Siis on C1 väärtus minimaalne, kuna sirgjoone edasine liikumine samas suunas suurendab f väärtust.

Seega lineaarse sihtfunktsiooni optimeerimine teostatavate lahenduste hulknurgal toimub selle hulknurga lõikepunktides antud sihtfunktsioonile vastavate tugijoontega. Sel juhul võib lõikepunkt olla ühes punktis (hulknurga tipus) või lõpmatus arvus punktides (hulknurga serval).

Simpleksmeetodi algoritm üldise lineaarse programmeerimise ülesande lahendamiseks. Tabel.

Lahendusalgoritmid

Kõige kuulsam ja praktikas laialdasemalt kasutatav lineaarse programmeerimise (LP) üldise probleemi lahendamiseks on simpleksmeetod. Vaatamata sellele, et simpleksmeetod on üsna tõhus algoritm, mis on näidanud häid tulemusi rakenduslike LP-ülesannete lahendamisel, on tegu eksponentsiaalse keerukusega algoritmiga. Selle põhjuseks on simpleksmeetodi kombinatoorne olemus, mis optimaalset lahendust otsides loetleb järjestikku lubatavate lahenduste hulktahuka tipud.

Esimese polünoomialgoritmi, ellipsoidimeetodi, pakkus 1979. aastal välja Nõukogude matemaatik L. Khachiyan, lahendades nii kauaks lahendamata jäänud ülesande. Ellipsoidmeetodil on täiesti erinev, mittekombinatsiooniline olemus kui simpleksmeetodil. Arvutuslikus mõttes osutus see meetod aga vähetõotavaks. Sellegipoolest viis probleemide polünoomilise keerukuse tõsiasi terve klassi tõhusate LP-algoritmide loomiseni - sisepunktimeetodid, millest esimene oli 1984. aastal välja pakutud N. Karmarkari algoritm. Seda tüüpi algoritmid kasutavad LP-ülesande pidevat tõlgendamist, kui LP-ülesande lahenduste polütoobi tippude loendamise asemel otsitakse ülesande muutujate ruumis trajektoore, mis ei läbi tippe. polütoobist. Sisepunkti meetod, mis erinevalt simpleksmeetodist möödub punktidest tolerantsivahemiku sisemusest, kasutab mittelineaarse programmeerimise logaritmilise barjääri funktsiooni meetodeid, mille töötasid välja 1960. aastatel Fiacco ja McCormick.

24. Erijuhud simpleksmeetodil: degenereerunud lahend, lõpmatu lahendite hulk, lahendus puudub. Näited.

Kunstliku baasmeetodi kasutamine üldise lineaarse programmeerimise probleemi lahendamiseks. Näide.

Kunstlik alusmeetod.

Kunstlikku alusmeetodit kasutatakse lineaarse programmeerimisprobleemi vastuvõetava põhilahenduse leidmiseks, kui tingimuses on võrdsuse tüüpi piirangud. Mõelge probleemile:

max(F(x)=∑cixi|∑ajixi=bj, j=1,m; xi≥0).

Niinimetatud "kunstlikud muutujad" Rj sisestatakse piirangutesse ja eesmärgifunktsiooni järgmiselt:

∑ajix+Rj=bj, j=1,m;F(x)=∑cixi-M∑Rj

Tehismuutujate sisseviimisel kunstlikul baasmeetodil omistatakse sihtfunktsioonile piisavalt suur koefitsient M, millel on tehismuutujate sisseviimise karistuse tähendus. Minimeerimise korral lisatakse sihtfunktsioonile tehismuutujad koefitsiendiga M. Tehismuutujate kasutuselevõtt on lubatud, kui ülesande lahendamise käigus need järjekindlalt hääbuvad.

Simplekstabelit, mis koostatakse lahendusprotsessi käigus kunstliku baasmeetodi abil, nimetatakse laiendatuks. See erineb tavapärasest selle poolest, et sisaldab kahte rida eesmärgifunktsiooni jaoks: üks komponendile F = ∑cixi ja teine ​​komponendile M ∑Rj Vaatleme konkreetse näite abil ülesande lahendamise protseduuri.

Näide 1. Leidke funktsiooni F(x) = -x1 + 2x2 - x3 maksimum piirangute all:

x1≥0, x2≥0, x3≥0.

Kasutame kunstliku aluse meetodit. Toome ülesande piirangutesse kunstlikud muutujad

2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3;

x1 + 3x3 + R2 = 2;

Eesmärgifunktsioon F(x)-M ∑Rj= -x1 + 2x2 - x3 - M(R1+R2).

Avaldame piirangusüsteemist summa R1 + R2: R1 + R2 = 5 - 3x1 - 3x2 - 4x3, siis F(x) = -x1 + 2x2 - x3 - M(5 - 3x1 - 3x2 - 4x3) .

Esimese simplekstabeli (tabel 1) koostamisel eeldame, et algmuutujad x1, x2, x3 on mittepõhilised ja kasutusele võetud tehismuutujad on põhilised. Maksimeerimisülesannetes on F- ja M-ridade mittepõhiliste muutujate koefitsientide märk vastupidine. Konstantse väärtuse märk M-real ei muutu. Optimeerimine viiakse kõigepealt läbi mööda M-joont. Juhtveeru ja rea ​​valik, kõik simpleksteisendused kunstliku baasmeetodi kasutamisel toimub nagu tavalises simpleksmeetodis. Maksimaalne negatiivne koefitsient (-4) absoluutväärtuses määrab juhtiva veeru ja muutuja x3, mis läheb baasi. Minimaalne simplekssuhe (2/3) vastab tabeli teisele reale, seetõttu tuleb muutuja R2 baasist välja jätta. Juhtelement on välja toodud.
Kunstliku baasmeetodi puhul ei tagastata enam baasist välja jäetud tehismuutujaid, mistõttu selliste muutujate elementide veerud jäetakse välja. Tab. 2. vähendatud 1 veeru võrra. Selle tabeli ümberarvutamisel minge tabeli juurde. 3., milles rida M on seatud nulli, saab selle eemaldada. Pärast kõigi tehismuutujate baasist väljajätmist saame algülesande vastuvõetava põhilahenduse, mis vaadeldavas näites on optimaalne:

x1 = 0; x2 = 7/9; Fmax = 8/9.

Kui M-rea elimineerimisel ei ole lahendus optimaalne, siis optimeerimisprotseduur jätkub ja see viiakse läbi tavalisel simpleksmeetodil. Vaatleme näidet, kus on igat tüüpi piiranguid: ≤,=,≥

Lineaarse programmeerimise topeltsümmeetrilised probleemid. Näide.

Kahe probleemi määratlus

Iga lineaarse programmeerimise probleemi saab teatud viisil seostada mõne teise (lineaarse programmeerimise) probleemiga, mida nimetatakse algse või otsese probleemi suhtes duaalseks või adjootseks. Defineerime duaalprobleemi seoses üldise lineaarse programmeerimise ülesandega, mis, nagu me juba teame, seisneb funktsiooni maksimaalse väärtuse leidmises tingimustes

ülesande (32) – (34) suhtes nimetatakse duaalseks. Ülesanded (32) - (34) ja (35) - (37) moodustavad ülesannete paari, mida lineaarses programmeerimises nimetatakse kaksikpaariks. Võrreldes kahte sõnastatud ülesannet, näeme, et duaalülesanne on koostatud järgmiste reeglite järgi:

1. Algülesande (32) - (34) eesmärkfunktsioon on seatud maksimumile ja duaali (35) - (37) sihtfunktsioon on seatud miinimumile.

2. Maatriks koosneb tundmatute piirangute koefitsientidest algülesande (32) – (34) süsteemis (33) ja sarnasest maatriksist duaalülesandes (35) - (37) saadakse üksteisest transponeerimise teel (st ridade asendamine veergudega ja veerud ridadega).

3. Muutujate arv topeltülesandes (35) - (37) võrdub piirangute arvuga algülesande (32) - (34) süsteemis (33) ja piirangute arvuga süsteemis (36) duaalülesanne on võrdne muutujate arvuga algses ülesandes.

4. Duaalülesande (35) - (37) sihtfunktsiooni (35) tundmatute koefitsiendid on algülesande (32) - (34) süsteemis (33) vabad liikmed ja õiged osad. duaalülesande süsteemi (36) suhetes on koefitsiendid tundmatute jaoks algülesande eesmärgifunktsioonis (32).

5. Kui algülesande (32) - (34) muutuja xj võib võtta ainult positiivseid väärtusi, siis duaalülesande (35) - (37) süsteemis (36) on j-s tingimus vormi ebavõrdsus. “? ". Kui muutuja xj võib võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi, siis 1 - suhe süsteemis (54) on võrrand. Sarnased seosed leiavad aset algülesande (32) – (34) piirangute (33) ja duaalülesande (35) – (37) muutujate vahel. Kui i - algülesande süsteemis (33) olev suhe on ebavõrdsus, siis duaalülesande i-s muutuja . Vastasel juhul võib muutuja yj võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi.

Topeltülesannete paarid jagunevad tavaliselt sümmeetrilisteks ja asümmeetrilisteks. Duaalprobleemide sümmeetrilises paaris on algprobleemi piirangud (33) ja duaalprobleemi seosed (36) ebavõrdsused kujul " ". Seega võivad mõlema ülesande muutujad võtta ainult mittenegatiivseid väärtusi.

Otsese ja duaalse probleemi muutujate vaheline seos. Näide.

30.Kaheülesannete majanduslik tõlgendamine. Nullhinnangu väärtus majandusprobleemi lahendamisel. Näited.

Algsel ülesandel I oli konkreetne majanduslik tähendus: peamised muutujad xi tähistasid i-ndat tüüpi toodete kogust, lisamuutujad tähistasid vastavat tüüpi ressursi ülejäägi suurust, iga ebavõrdsus väljendas teatud ressursi tarbimist. tooraine tüüp võrreldes selle tooraine laoseisuga. Sihtfunktsioon määras kasumi kõigi toodete müügist. Oletame nüüd, et ettevõttel on võimalus toorainet kõrvale müüa. Milline miinimumhind tuleks kehtestada iga tooraineliigi ühiku kohta, tingimusel et kõigi selle varude müügist saadav tulu ei ole väiksem sellest toorainest toodetavate toodete müügist saadavast tulust.

Muutujad y1, y2, y3 tähistavad vastavalt ressursi 1, 2, 3 tingimuslikku hinnangulist hinda. Siis on ühe toodanguühiku I tootmiseks kasutatud tooraine müügist saadav tulu võrdne: 5y1 + 1 · y3. Kuna I tüüpi toodete hind võrdub 3 ühikuga, siis 5y1 + y3 3, tuleneb asjaolust, et ettevõtte huvid nõuavad, et tooraine müügist saadav tulu ei oleks väiksem kui toodete müügist. Just selle majandusliku tõlgenduse tõttu saab duaalprobleemi piirangute süsteem järgmise kuju: Ja sihtfunktsioon G = 400y1 + 300y2 + 100y3 arvutab kõigi saadaolevate toorainete tingimusliku kogumaksumuse. On selge, et I duaalsuse teoreemi kohaselt tähendab F(x*) = G(y*) võrdsus seda, et kõigi valmistoodete müügist saadav maksimaalne kasum langeb kokku ressursside minimaalse tingimusliku hinnaga. Tingimuslikud optimaalsed hinnad yi näitavad ressursside madalaimat maksumust, mille juures on tulus neid ressursse toodeteks muuta, toota.

Pöörame veel kord tähelepanu asjaolule, et yi on ainult tingimuslikud, oletatavad, mitte tegelikud toorainehinnad. Muidu võib lugejale tunduda imelik, et näiteks y1* = 0. See fakt ei tähenda sugugi, et esimese ressursi reaalne hind on null, siin maailmas pole midagi tasuta. Tingimusliku hinna nulliga võrdsus tähendab ainult seda, et see ressurss pole täielikult ära kulutatud, see on ülejäägis, mitte puudus. Tõepoolest, vaatame ülesande I piirangute süsteemi esimest ebavõrdsust, milles arvutatakse esimese ressursi tarbimine: 5x1* + 0,4x2* + 2x3* + 0,5x4* = 66< 400. его избыток составляет х5 = 334 ед. при данном оптимальном плане производства. Этот ресурс имеется в избытке, и поэтому для производителя он недефицитен, его условная цена равна 0, его не надо закупать. Наоборот, ресурс 2 и 3 используются полностью, причем у3 = 4 а у2 = 1, т. е. сырье третьего вида более дефицитно, чем второго, его условная цена больше. Если производитель продукции имел бы возможность приобретать дополнительно сырье к уже имеющемуся, с целью получения максимального дохода от производства, то увеличив сырье второго вида на единицу, он бы получил дополнительно доход в у2 денежных единиц, с увеличением на единицу сырья третьего вида, значение целевой функции увеличилось бы еще на у3 единицы.

Kui tootja seisab silmitsi küsimusega, "kas on tulus toota mis tahes toodet, kui tootmisühiku maksumus on vastavalt 3, 1, 4 ühikut 1., 2. ja 3. tüüpi toorainet ja kasum müügist on 23 ühikut", siis probleemi majandusliku tõlgenduse tõttu ei ole sellele küsimusele raske vastata, kuna ressursside kulud ja tinglikud hinnad on teada. Kulud on 3, 1, 4 ja hinnad y1* = 0, y2* = 1, y3* = 4. Seega saame arvutada selle uue toote tootmiseks vajalike ressursside tingliku kogumaksumuse: 3 0 + 1 1 + 4 4 = 17< 23. значит продукцию производить выгодно, т. к. прибыль от реализации превышает затраты на ресурсы, в противном случае ответ бы на этот вопрос был отрицательным.

31. Optimaalse plaani ja simplekstabeli kasutamine algandmete tundlikkusvahemike määramiseks.

32.Optimaalse disaini ja simplekstabeli kasutamine sihtfunktsiooni tundlikkusanalüüsiks. Näide.

Transpordiprobleem ja selle omadused. Näide.

Majanduses, nagu ka muudes inimtegevuse valdkondades või looduses, peame pidevalt tegelema sündmustega, mida ei ole võimalik täpselt ennustada. Seega sõltub kaupade müügimaht nõudlusest, mis võib oluliselt erineda, ja mitmetest muudest teguritest, mida on peaaegu võimatu arvesse võtta. Seetõttu tuleb tootmise ja müügi korraldamisel ennustada selliste tegevuste tulemust kas enda varasema kogemuse või teiste inimeste sarnase kogemuse või intuitsiooni põhjal, mis samuti suuresti põhineb eksperimentaalsetel andmetel.

Selleks, et vaadeldavat sündmust kuidagi hinnata, on vaja arvestada või spetsiaalselt korraldada tingimused, milles see sündmus salvestatakse.

Nimetatakse teatud tingimuste või toimingute rakendamine kõnealuse sündmuse tuvastamiseks kogemusi või katse.

Üritus on nn juhuslik kui eksperimendi tulemusena võib see tekkida või mitte.

Üritus on nn usaldusväärne, kui see ilmneb tingimata selle kogemuse tulemusena ja võimatu kui see selles kogemuses ilmneda ei saa.

Näiteks lumesadu Moskvas 30. novembril on juhuslik sündmus. Igapäevast päikesetõusu võib pidada kindlaks sündmuseks. Lumesadu ekvaatoril võib pidada võimatuks sündmuseks.

Tõenäosusteooria üks peamisi probleeme on sündmuse toimumise võimalikkuse kvantitatiivse mõõdu määramise probleem.

Sündmuste algebra

Sündmusi nimetatakse kokkusobimatuteks, kui neid ei saa ühes kogemuses koos vaadelda. Seega on kahe ja kolme auto korraga müügil olemine ühes kaupluses kaks kokkusobimatut sündmust.

summa sündmused on sündmus, mis seisneb vähemalt ühe neist sündmustest

Sündmuste summa näiteks on kahest tootest vähemalt ühe olemasolu poes.

tööd sündmusi nimetatakse sündmuseks, mis seisneb kõigi nende sündmuste samaaegses toimumises

Sündmus, mis seisneb kahe kauba samaaegses poes ilmumises, on sündmuste produkt: - ühe toote ilmumine, - teise toote ilmumine.

Sündmused moodustavad tervikliku sündmuste rühma, kui vähemalt üks neist esineb tingimata kogemuses.

Näide. Sadamas on kaks kaid laevadele. Arvesse võib võtta kolme sündmust: - laevade puudumine kaide ääres, - ühe laeva viibimine ühe kai ääres, - kahe laeva olemasolu kahe kai ääres. Need kolm sündmust moodustavad tervikliku sündmuste rühma.

Vastupidi nimetatakse kahte ainulaadset võimalikku sündmust, mis moodustavad tervikliku rühma.

Kui üht vastandlikku sündmust tähistatakse tähega , siis vastupidist sündmust tähistatakse tavaliselt tähega .

Sündmuse tõenäosuse klassikalised ja statistilised definitsioonid

Kõiki võrdselt võimalikke katsetulemusi (katseid) nimetatakse elementaarseks tulemuseks. Tavaliselt tähistatakse neid tähtedega . Näiteks visatakse täringut. Põhitulemusi võib olla kuus vastavalt külgedel olevate punktide arvule.

Elementaarsete tulemuste põhjal saate koostada keerukama sündmuse. Seega määratakse paarisarv punktide sündmus kolme tulemusega: 2, 4, 6.

Vaadeldava sündmuse toimumise võimalikkuse kvantitatiivne mõõde on tõenäosus.

Sündmuse tõenäosuse kohta kasutatakse kõige enam kahte definitsiooni: klassikaline ja statistiline.

Klassikaline tõenäosuse määratlus on seotud soodsa tulemuse mõistega.

Exodus nimetatakse soodne see sündmus, kui selle toimumine toob kaasa selle sündmuse toimumise.

Antud näites on vaadeldav sündmus paarisarv punkte langenud serval, sellel on kolm soodsat tulemust. Sel juhul kindral
võimalike tulemuste arv. Niisiis, siin saate kasutada sündmuse tõenäosuse klassikalist määratlust.

Klassikaline määratlus võrdub soodsate tulemuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu suhtega

kus on sündmuse tõenäosus , on sündmuse soodsate tulemuste arv, on võimalike tulemuste koguarv.

Vaadeldavas näites

Tõenäosuse statistiline definitsioon on seotud sündmuse toimumise suhtelise sageduse mõistega katsetes.

Sündmuse suhteline esinemissagedus arvutatakse valemiga

kus on sündmuse esinemise arv katsete (testide) seerias.

Statistiline määratlus. Sündmuse tõenäosus on arv, mille suhtes suhteline sagedus stabiliseerub (kehtestab) katsete arvu piiramatu suurenemisega.

Praktilistes ülesannetes võetakse sündmuse tõenäosusena suhtelist sagedust piisavalt suure arvu katsete puhul.

Nendest sündmuse tõenäosuse definitsioonidest on näha, et ebavõrdsus kehtib alati

Sündmuse tõenäosuse määramiseks valemi (1.1) alusel kasutatakse sageli kombinatoorika valemeid soodsate tulemuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu leidmiseks.

Tõenäosusteooria - matemaatikateadus, mis uurib juhuslike nähtuste mustreid. Juhuslikud nähtused on ebakindla tulemusega nähtused, mis tekivad teatud tingimuste kogumi kordumisel.

Näiteks kui viskate münti, ei saa te ennustada, kummale küljele see kukub. Mündi viskamise tulemus on juhuslik. Kuid piisavalt suure hulga mündiviskamiste korral on teatud muster (vapp ja võre kukuvad välja umbes sama palju kordi).

Tõenäosusteooria põhimõisted

test (katse, katse) - teatud tingimuste kogumi rakendamine, milles seda või teist nähtust täheldatakse, see või see tulemus fikseeritakse.

Näiteks: täringu viskamine punktide kaotusega; õhutemperatuuri erinevus; haiguse ravimeetod; mingi periood inimese elust.

Juhuslik sündmus (või lihtsalt sündmus) - testi tulemus.

Näited juhuslikest sündmustest:

ühe punkti langetamine täringuheites;

südame isheemiatõve ägenemine koos õhutemperatuuri järsu tõusuga suvel;

haiguse tüsistuste tekkimine vale ravimeetodi valikuga;

vastuvõtt ülikooli eduka õppimisega koolis.

Sündmused on näidatud ladina tähestiku suurtähtedega: A , B , C , …

Üritus on nn usaldusväärne kui testi tulemusena peab see tingimata ilmnema.

Üritus on nn võimatu kui testi tulemusena ei saa see üldse tekkida.

Näiteks kui kõik partiis olevad tooted on standardsed, siis standardtoote sealt väljavõtmine on usaldusväärne sündmus ja defektse toote väljavõtmine samadel tingimustel võimatu.

TÕENÄOSUSE KLASSIKALINE MÄÄRATLUS

Tõenäosus on tõenäosusteooria üks põhimõisteid.

Sündmuse klassikaline tõenäosus on sündmusele soodsate juhtumite arvu suhe , juhtumite koguarvule, s.o.

, (5.1)

kus
- sündmuse tõenäosus ,

- soodsate sündmuste arv ,

on juhtumite koguarv.

Sündmuse tõenäosuse omadused

Iga sündmuse tõenäosus jääb nulli ja ühe vahele, s.t.

Teatud sündmuse tõenäosus on võrdne ühega, s.t.

.

Võimatu sündmuse tõenäosus on null, s.t.

.

(Paku paar lihtsat ülesannet suuliselt lahendada).

TÕENÄOSUSE STATISTILINE MÄÄRATLUS

Praktikas lähtutakse sündmuste tõenäosuste hindamisel sageli sellest, kui sageli antud sündmus tehtud testides aset leiab. Sel juhul kasutatakse tõenäosuse statistilist määratlust.

Sündmuse statistiline tõenäosus nimetatakse suhtelise sageduse piiriks (juhtumite arvu suhteks m, sündmuse toimumisele soodsalt , koguarvuni tehtud katsed), kui katsete arv kipub lõpmatuseni, s.t.

kus
- sündmuse statistiline tõenäosus ,
- katsete arv, mille käigus sündmus ilmnes , - katsete koguarv.

Erinevalt klassikalisest tõenäosusest on statistiline tõenäosus eksperimentaalsele tunnuseks. Klassikalist tõenäosust kasutatakse sündmuse tõenäosuse teoreetiliseks arvutamiseks etteantud tingimustes ja see ei nõua testide läbiviimist tegelikkuses. Statistilise tõenäosuse valemit kasutatakse sündmuse tõenäosuse katseliseks määramiseks, s.o. eeldatakse, et katsed viidi läbi.

Statistiline tõenäosus on ligikaudu võrdne juhusliku sündmuse suhtelise sagedusega, mistõttu praktikas võetakse statistilise tõenäosusena suhteline sagedus, kuna statistilist tõenäosust on peaaegu võimatu leida.

Tõenäosuse statistiline määratlus kehtib juhuslike sündmuste kohta, millel on järgmised omadused:

Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid

Põhimõisted

a) Ainsad võimalikud sündmused

Arengud
nimetatakse ainuvõimalikeks, kui iga testi tulemusena vähemalt üks neist kindlasti teoks saab.

Need sündmused moodustavad tervikliku sündmuste rühma.

Näiteks täringut veeretades on ainsad võimalikud sündmused näovisked ühe, kahe, kolme, nelja, viie ja kuue punktiga. Need moodustavad tervikliku sündmuste rühma.

b) Sündmusi nimetatakse kokkusobimatuteks kui neist ühe toimumine välistab teiste sündmuste toimumise samas kohtuprotsessis. Vastasel juhul nimetatakse neid liigesteks.

c) vastupidine nimeta kaks ainulaadselt võimalikku sündmust, mis moodustavad tervikliku rühma. määrama ja .

G) Sündmusi nimetatakse sõltumatuteks, kui ühe neist esinemise tõenäosus ei sõltu teiste tellimisest või mittetäitmisest.

Sündmuste toimingud

Mitme sündmuse summa on sündmus, mis koosneb vähemalt ühe neist sündmustest.

Kui a ja on ühisüritused, siis nende summa
või
tähistab sündmuse A või B või mõlema sündmuse toimumist koos.

Kui a ja on kokkusobimatud sündmused, siis nende summa
tähendab sündmust või sündmust või sündmused .

Summa sündmused on:

Mitme sündmuse korrutis (ristumiskoht) on sündmus, mis seisneb kõigi nende sündmuste ühises toimumises.

Kahe sündmuse tulemus on
või
.

Töö sündmused tähistavad

Ühildumatute sündmuste tõenäosuste liitmise teoreem

Kahe või enama kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga:

Kahe ürituse jaoks;

- jaoks sündmused.

Tagajärjed:

a) Vastandlike sündmuste tõenäosuste summa ja on võrdne ühega:

Tähistatakse vastupidise sündmuse tõenäosust :
.

b) Tõenäosuste summa sündmused, mis moodustavad tervikliku sündmuste rühma, on võrdne ühega: või
.

Liitumisteoreem ühissündmuste tõenäosuste kohta

Kahe ühissündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga ilma nende lõikumistõenäosusteta, s.t.

Tõenäosuse korrutamise teoreem

a) Kahe sõltumatu sündmuse puhul:

b) Kahe sõltuva sündmuse puhul

kus
on sündmuse tingimuslik tõenäosus , st. sündmuse tõenäosus , arvutatakse tingimusel, et sündmus juhtus.

c) Sest iseseisvad üritused:

.

d) vähemalt ühe sündmuse toimumise tõenäosus , moodustades iseseisvate sündmuste täieliku rühma:

Tingimuslik tõenäosus

Sündmuse tõenäosus , arvutatakse eeldusel, et sündmus on toimunud , nimetatakse sündmuse tingimuslikuks tõenäosuseks ja tähistatud
või
.

Klassikalise tõenäosusvalemi abil tingimusliku tõenäosuse arvutamisel tulemuste arv ja
arvutatakse, võttes arvesse asjaolu, et enne üritust juhtus sündmus .