Delta funktsiooni Fourier' teisendus. Funktsiooni Dirac definitsioon

Föderaalne agentuur haridusest

osariik haridusasutus kõrgemale kutseharidus
Vjatka osariik Humanitaarülikool

matemaatikateaduskond

osakond matemaatiline analüüs ja matemaatika õpetamise meetodid

Lõplik kvalifikatsioonitöö

Diraci funktsioon

Lõpetanud viienda kursuse üliõpilane

matemaatikateaduskond Prokasheva E.V.

______________________________________/allkiri/

Teadusnõustaja:

Onchukova L.V.

allkiri/

Ülevaataja:

Matemaatilise analüüsi ja MMM-i osakonna vanemõppejõud Faleleeva S.A.

________________________________/ allkiri/

Võeti riigikaitsesse sertifitseerimiskomisjon

"___" __________2005 Juhataja. Osakond M.V. Krutihhin


Sissejuhatus.................................................. ...................................................... .......................... 3

Peatükk 1. Funktsiooni Dirac definitsioon................................................ ...................... 4

1.1. Põhimõisted................................................ ...................................... 4

1.2. Probleemid, mis viivad Diraci deltafunktsiooni defineerimiseni…………10

1.2.1. Momendi probleem……………………………………………….10

1.2.2.Materiaalse punkti tiheduse probleem……………………………..11

1.3. Deltafunktsiooni matemaatiline määratlus…………………………..16

Peatükk 2. Funktsiooni Dirac rakendamine………………………………………………………19

2.1. Katkendlikud funktsioonid ja nende tuletised…………………………………….19

2.2. Katkenduvate funktsioonide tuletiste leidmine……………………………21

Järeldus………………………………………………………………………………………25


Sissejuhatus

Teaduse areng nõuab oma teoreetiliseks põhjenduseks üha enam “kõrgmatemaatikat”, mille üheks saavutuseks on üldistatud funktsioonid, eelkõige Diraci funktsioon. Praegu on üldistatud funktsioonide teooria asjakohane füüsikas ja matemaatikas, kuna sellel on mitmeid tähelepanuväärsed omadused, mis laiendab klassikalise matemaatilise analüüsi võimalusi, laiendab vaadeldavate probleemide ringi ja toob kaasa ka arvutuste olulise lihtsustuse, automatiseerides elementaartehteid.

Selle töö eesmärgid:

1) uurib Diraci funktsiooni mõistet;

2) kaalub selle määratlemisel füüsikalisi ja matemaatilisi lähenemisviise;

3) näidata rakendust katkendlike funktsioonide tuletiste leidmiseks.

Töö eesmärgid: näidata deltafunktsiooni kasutamise võimalusi matemaatikas ja füüsikas.

Teos esitleb erinevaid viise Diraci delta funktsiooni defineerimine ja kasutuselevõtt, selle rakendamine ülesannete lahendamisel.


1. peatükk

Funktsiooni Dirac definitsioon

1.1. Põhimõisted.

Matemaatilise analüüsi erinevates küsimustes tuleb mõistet “funktsioon” mõista erineva üldsõnalisusega. Mõnikord käsitletakse pidevaid, kuid mitte diferentseeruvaid funktsioone, teistes küsimustes tuleb seda eeldada me räägime funktsioonide kohta, mis on üks või mitu korda diferentseeritavad jne. Kuid paljudel juhtudel tõlgendatakse klassikalist funktsiooni mõistet isegi oma olemuselt laiemas mõttes, st. suvalise reeglina, mis omistab igale väärtusele x selle funktsiooni definitsioonipiirkonnast teatud arvu y=f(x), osutub ebapiisavaks.

Siin oluline näide: matemaatilise analüüsi aparatuuri rakendades teatud probleemidele, tuleb silmitsi seista olukorraga, kus teatud analüüsitoimingud osutuvad võimatuks; Näiteks funktsiooni, millel ei ole tuletist (mõnes kohas või isegi kõikjal), ei saa eristada, kui tuletist mõista kui elementaarne funktsioon. Seda tüüpi raskusi saab vältida, piirdudes ainult kaalumisega analüütilised funktsioonid. Lubatud funktsioonide ulatuse selline kitsendamine on aga paljudel juhtudel väga ebasoovitav. Eriti teravaks on muutunud vajadus funktsiooni mõistet veelgi laiendada.

1930. aastal lahendas teoreetilise füüsika probleeme suurim inglise teoreetiline füüsik P. Dirac, üks asutajatest. kvantmehaanika, klassikalise matemaatika aparaadist ei piisanud ja ta tutvustas uut objekti, mida nimetatakse deltafunktsiooniks, mis ületas ulatuse. klassikaline määratlus funktsioonid.

P. Dirac oma raamatus “Principles of Quantum Mechanics” defineeris deltafunktsiooni δ(x) järgmiselt:

.

Lisaks on seatud tingimus:

Saate selgelt ette kujutada δ(x)-ga sarnase funktsiooni graafikut, nagu on näidatud joonisel 1. Seda enam

muuta riba vasaku ja parema oksa vahel õhukeseks, seda kõrgem peab see riba olema, et riba pindala (st integraal) säilitaks antud väärtuse 1. Riba kitsenedes jõuame lähemale tingimuse täitmine δ(x) = 0 juures x ≠ 0 , funktsioon läheneb deltafunktsioonile.

See idee on füüsikas üldiselt aktsepteeritud.

Tuleb rõhutada, et δ(x) ei ole funktsioon tavalises tähenduses, kuna see definitsioon eeldab funktsiooni ja integraali klassikalise definitsiooni seisukohalt kokkusobimatuid tingimusi:

Ja .

Klassikalises analüüsis ei ole ühtegi funktsiooni, millel oleks Diraci poolt ette nähtud omadused. Vaid paar aastat hiljem S.L. Sobolev ja L. Schwartz, sai deltafunktsioon oma matemaatilise kujunduse, kuid mitte tavalise, vaid üldistatud funktsioonina.

Enne Diraci funktsiooni kaalumise juurde asumist tutvustame põhilisi määratlusi ja teoreeme, mida vajame:

Definitsioon 1. Funktsiooni f(t) või L kujutis - antud funktsiooni f(t) kujutis on kompleksmuutuja p funktsioon, mis on defineeritud võrrandiga:

, Kus M Ja A- mõned positiivsed konstandid.

2. definitsioon. Funktsioon f(t) , määratletud järgmiselt:

, kutsus Heaviside üksuse funktsiooni abil ja seda tähistatakse . Selle funktsiooni graafik on näidatud joonisel 2

Me leiame L– Heaviside funktsiooni pilt:


. (1)

Olgu funktsioon f(t) punktis t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t

Pildi δ(x) leidmiseks abifunktsiooni abil kaaluge viiteteoreemi:

1. teoreem.KuiF(lk) on funktsiooni piltf(t), see tähendab funktsiooni kujutistf(t- t 0 ), see tähendab, kuiL{ f(t)}= F(lk), See

.

Tõestus.

Meil oleva pildi määratluse järgi

Sissejuhatus

Teaduse areng nõuab oma teoreetiliseks põhjenduseks üha enam “kõrgmatemaatikat”, mille üheks saavutuseks on üldistatud funktsioonid, eelkõige Diraci funktsioon. Praegu on üldistatud funktsioonide teooria füüsikas ja matemaatikas asjakohane, kuna sellel on mitmeid tähelepanuväärseid omadusi, mis laiendavad klassikalise matemaatilise analüüsi võimalusi, laiendavad vaadeldavate probleemide ulatust ning toob kaasa ka arvutuste olulise lihtsustuse, automatiseerides elementaarseid. operatsioonid.

Selle töö eesmärgid:

1) uurib Diraci funktsiooni mõistet;

2) kaalub selle määratlemisel füüsikalisi ja matemaatilisi lähenemisviise;

3) näidata rakendust katkendlike funktsioonide tuletiste leidmiseks.

Töö eesmärgid: näidata deltafunktsiooni kasutamise võimalusi matemaatikas ja füüsikas.

Töös tutvustatakse erinevaid võimalusi Diraci delta funktsiooni defineerimiseks ja juurutamiseks ning selle rakendamist probleemide lahendamisel.

Funktsiooni Dirac definitsioon

Põhimõisted.

Matemaatilise analüüsi erinevates küsimustes tuleb mõistet “funktsioon” mõista erineva üldsõnalisusega. Mõnikord käsitletakse pidevaid, kuid mitte diferentseeruvaid funktsioone, teiste küsimuste puhul tuleb eeldada, et räägitakse funktsioonidest, mis on üks või mitu korda diferentseeruvad jne. Kuid mitmel juhul on klassikaline funktsiooni mõiste isegi kõige laiemas tähenduses tõlgendatud, s.o. suvalise reeglina omistades igale väärtusele x selle funktsiooni definitsioonipiirkonnast teatud arv y=f(x) osutub ebapiisavaks.

Siin on oluline näide: matemaatilise analüüsi aparatuuri rakendades teatud probleemidele, peame seisma silmitsi olukorraga, kus teatud analüüsitoimingud osutuvad võimatuks; näiteks funktsiooni, millel ei ole tuletist (mõnes punktis või isegi kõikjal), ei saa eristada, kui tuletist mõista elementaarfunktsioonina. Seda tüüpi raskusi saab vältida, piirdudes ainult analüütiliste funktsioonide arvestamisega. Lubatud funktsioonide ulatuse selline kitsendamine on aga paljudel juhtudel väga ebasoovitav. Eriti teravaks on muutunud vajadus funktsiooni mõistet veelgi laiendada.

1930. aastal ei olnud suurimal inglise teoreetilisel füüsikul, ühel kvantmehaanika rajajatest P. Diracil teoreetilise füüsika probleemide lahendamiseks piisavalt klassikalist matemaatikat ja ta võttis kasutusele uue objekti, mida nimetatakse deltafunktsiooniks. palju kaugemale funktsiooni klassikalisest määratlusest.

P. Dirac defineeris oma raamatus “Kvantmehaanika põhimõtted” deltafunktsiooni d(x) järgmiselt:

Lisaks on seatud tingimus:

Saate selgelt ette kujutada d(x)-ga sarnase funktsiooni graafikut, nagu on näidatud joonisel 1. Mida kitsamaks teete riba vasaku ja parema haru vahel, seda kõrgem peab see riba olema, et selle pindala saaks riba (st integraal) jääma selle antud väärtuseks, mis on võrdne 1-ga. Riba kitsenedes jõuame tingimuse täitmisele lähemale d(x) = 0 juures x? 0, funktsioon läheneb deltafunktsioonile.

See idee on füüsikas üldiselt aktsepteeritud.

Tuleb rõhutada, et d(x) ei ole funktsioon tavalises tähenduses, kuna see definitsioon eeldab funktsiooni ja integraali klassikalise definitsiooni seisukohalt kokkusobimatuid tingimusi:

juures Ja.

Klassikalises analüüsis ei ole ühtegi funktsiooni, millel oleks Diraci poolt ette nähtud omadused. Vaid paar aastat hiljem S.L. Sobolev ja L. Schwartz, sai deltafunktsioon oma matemaatilise kujunduse, kuid mitte tavalise, vaid üldistatud funktsioonina.

Enne Diraci funktsiooni kaalumise juurde asumist tutvustame põhilisi määratlusi ja teoreeme, mida vajame:

Definitsioon 1. Funktsiooni f(t) või L kujutis - antud funktsiooni f(t) kujutis on kompleksmuutuja p funktsioon, mis on defineeritud võrrandiga:

2. definitsioon. Funktsioon f(t), määratletud järgmiselt:

helistas Heaviside üksuse funktsiooni abil ja seda tähistatakse. Selle funktsiooni graafik on näidatud joonisel 2

Me leiame L- Heaviside funktsiooni pilt:

Olgu funktsioon f(t) punktis t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t

Pildi d(x) leidmiseks abifunktsiooni abil kaaluge viiteteoreemi:

1. teoreem. Kui F(p) on funktsiooni f(t) kujutis, siis on olemas funktsiooni f(t-t) kujutis 0 ), st kui L(f(t))=F(p), siis .

Tõestus.

Meil oleva pildi määratluse järgi

Esimene integraal on võrdne nulliga, kuna f(t-t 0 )=0 juures t 0 . Viimases integraalis muudame muutujat t-t 0 =z:

Seega,.

Heaviside üksuse funktsiooni puhul leiti, et. Tõestatud teoreemi põhjal järeldub, et funktsiooni puhul L- pilt saab olema, see tähendab

3. definitsioon. Pidev või osade kaupa pidev funktsioon d(t,l) argument t, olenevalt parameetrist l, kutsus nõelakujuline, Kui:

4. määratlus. Numbriline funktsioon f, mis on määratletud mingis lineaarruumis L, kutsus funktsionaalsust.

Määratleme funktsioonide komplekti, millel funktsionaalid toimivad. Selle kollektsioonina kaaluge komplekti K kõik reaalsed funktsioonid c(x), millest igaühel on pidevad tuletised kõikidest järkudest ja see on lõplik, see tähendab, et see kaob väljaspool teatud piiratud ala (iga funktsiooni jaoks oma c(x)). Nimetame neid funktsioone peamine ja kogu nende komplekt TO - põhiruum.

Definitsioon 5. Üldine funktsioon on mis tahes lineaarne pidev funktsioon, mis on määratletud aluseks olevas ruumis TO.

Dešifreerime üldistatud funktsiooni definitsiooni:

1) üldistatud funktsioon f põhifunktsioonidel on funktsionaalsus ts st iga ts vastab (kompleks)arvule (f, c);

2) funktsionaalsus f lineaarne, see tähendab mis tahes kompleksarvude jaoks l 1 Ja l 2 ja kõik põhifunktsioonid ts 1 Ja ts 2 ;

3) funktsionaalsus f pidev, see tähendab, kui.

Definitsioon 6.Pulss- ühekordne lühiajaline elektrivoolu või pinge tõus.

Definitsioon 7.Keskmine tihedus- kehamassi suhe m selle mahuni V, see on .

2. teoreem.(Generaliseeritud keskmise väärtuse teoreem).

Kui f(t) on pidev ja on integreeritav funktsioon ja ei muuda sellel intervallil märki, siis kus.

3. teoreem.Olgu funktsioon f(x) piiratud ja sellel on maksimaalselt piiratud arv katkestuspunkte. Siis on funktsioon intervalli funktsiooni f(x) antituletis ja mis tahes antituletise Ф(x) korral kehtib valem.

Definitsioon 8. Kõikide pidevate lineaarsete funktsionaalide hulk, mis on määratletud mingis lineaarses ruumis E, moodustab lineaarse ruumi. Seda nimetatakse ruumiks konjugaat Koos E, ja on tähistatud E * .

Definitsioon 9. Lineaarne ruum E, milles mingi norm on määratud, kutsutakse normaliseeritud ruum.

Definitsioon 10. Jada nimetatakse nõrgalt koonduv k, kui iga seos on täidetud.

4. teoreem.Kui (x n ) on normruumis nõrgalt konvergentne jada, siis on olemas konstantne arv C, nii et .

Definitsioon. Delta funktsioon

,

modelleerib punkthäiret ja on määratletud kui

(2.1)

Funktsioon on kõigis punktides võrdne nulliga, välja arvatud
, kus selle argument on null ja kus funktsioon on lõpmatu, nagu on näidatud joonisel fig. 1, A. Harjutus
argumendi punktides olevad väärtused on lõpmatusse pöördumise tõttu mitmetähenduslikud, seetõttu on deltafunktsioon üldistatud funktsioon ja nõuab täiendavat definitsiooni normaliseerimise vormis.

Joonis 1. Delta funktsioon

Normaliseerimise seisund

,
. (2.2)

Funktsiooni graafiku alune pindala on võrdne ühega mis tahes punkti sisaldavas intervallis a, nagu on näidatud joonisel 1, b. Seetõttu modelleerib deltafunktsioon ühikulise suurusjärgu punkthäiret.

Funktsiooni paarsus tuleneb (2.1)

,

. (2.2a)

Sümmeetriast
punkti suhtes
saame

, (2.2b)

nagu on näidatud jooniselt 1, b.

Ortonormaalsus. Palju funktsioone

,
,

moodustab ortonormaalse lõpmatu mõõtme aluse.

Delta funktsiooni kasutas optikas 1882. aastal Kirchhoff ja 19. sajandi 90ndatel Heaviside elektromagnetiteoorias.

Gustav Kirchhoff (1824–1887) Oliver Heaviside (1850–1925)

Oliver Heaviside, iseõppinud teadlane, võttis esimesena kasutusele vektorid füüsikas, arendas vektoranalüüsi, tutvustas operaatori mõistet ja töötas välja operatiivarvutuse – operaatorimeetodi diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Ta tutvustas lülitusfunktsiooni, mis sai hiljem tema nime, ja kasutas punktimpulssfunktsiooni - delta funktsiooni. Rakendatud kompleksarvud elektriahelate teoorias. Esimest korda pani ta Maxwelli võrrandid kirja 20 võrrandi asemel 4 võrrandi kujul, nagu Maxwell tegi. Kasutusele võetud terminid: juhtivus, impedants, induktiivsus, elektret . Töötas välja pikkade vahemaade telegraafi side teooria, ennustas ionosfääri olemasolu Maa lähedal - Kennelly-Heaviside kiht .

Üldistatud funktsioonide matemaatilise teooria töötas välja Sergei Lvovitš Sobolev 1936. aastal. Ta oli üks Novosibirski akadeemilise linnaku asutajatest. Tema järgi on nime saanud SB RASi matemaatikainstituut, mille asutaja ja juhataja ta oli aastatel 1957–1983.

Sergei Lvovitš Sobolev (1908–1989)

Delta funktsiooni Filter atribuudi omadused

Sujuva funktsiooni tagamiseks
, millel puuduvad katkestused, alates (2.1)

saame deltafunktsiooni filtreerimisomadus diferentsiaalkujul , mis mõjutab ühte punkti
:

Meie usume
ja kasutage deltafunktsiooni piirangut
, näidatud joonisel fig. 1, b. Leiame

,

. (2.4)

Integreerime (2.3) üle intervalli
, sealhulgas punkt a, võtame arvesse normaliseerimist (2.2) ja saame deltafunktsiooni filtreerimisomadus integraalsel kujul

,
. (2.5)

Aluse ortonormaalsus

Punktis (2.5) eeldame

,
,

ja saame tingimuse, et alus on ortonormaalne
pideva väärtusvahemikuga

. (2.7)

Diraci delta funktsioon

Delta funktsiooni (5-funktsiooni) võttis inglise füüsik P. A. M. Dirac kasutusele “vajadusest”, kui ta lõi kvantmehaanika matemaatilise aparaadi. Matemaatikud “ei tundnud seda ära” mõnda aega, misjärel nad lõid üldistatud funktsioonide teooria, mille erijuhtum on δ-funktsioon.

(Naiivse) definitsiooni järgi on δ-funktsioon null kõikjal peale ühe punkti, kuid selle funktsiooniga kaetud ala on võrdne ühega:

Need vastuolulised

nõudeid ei saa täita "tavalise" tüüpi funktsiooniga.

Zeldovitš Ya.B. Kõrgem matemaatika alustavatele füüsikutele ja tehnikutele. -M.: Nauka, 1982.

Tegelikult nagu diferentsiaal δх ei ole arv (võrdne nulliga) ja fraasi "lõpmata väike kogus" on raske kvalitatiivselt mõista, õigesti mõista δх mitte arvuna, vaid piirina (protsessina) ja δ-funktsiooni võib õigesti mõista ka piirina (protsessina). Joonisel fig. 3.7.1 ja 3.7.2 näitavad mitut funktsiooni (olenevalt parameetrist), mille piiriks on δ-funktsioon. Selliseid funktsioone on lõpmatu arv – igaüks saab ise valida.

Funktsioonil δ on palju kasulikke omadusi, olles eelkõige Kroneckeri sümboli kontiinum analoog δкк

Võrdle

Veel üks hämmastav suhe näitab, kuidas eristuda integreerimise teel:

Kus 8 - tuletis 8- funktsioonid.

Riis. 3.7.1 - Kaks järjestikust lähendust δ-

Diraci funktsioonid. Funktsioon näidatud

Riis. 3.7.2 - Kaks funktsiooni, mis on piiratud A ->∞ anna δ-funktsioonid:

Lõpuks pange tähele, et intervall funktsioonist δ:

Kus punktis (x)- Heaviside funktsioon,

samm, vaheajaga punktis x = 0 .

Faasi üleminekud

Et rääkida faasisiiretest, on vaja defineerida, mis on faasid. Faaside mõistet leidub paljudes nähtustes, seetõttu toome üldise määratluse andmise asemel (mida üldisem, seda abstraktsem ja ebaselgem, nagu peakski olema), toome mitu näidet.

Esiteks näide nende füüsikast. Tavalise, meie elus kõige tavalisema vedeliku – vee – puhul on teada kolm faasi: vedel, tahke (jää) ja gaasiline (aur). Igaüht neist iseloomustavad oma parameetrite väärtused. Oluline on see, et välistingimuste muutumisel muutub üks faas (jää) teiseks (vedelikuks). Teine teoreetikute lemmikobjekt on ferromagnetid (raud, nikkel ja paljud teised puhtad metallid ja sulamid). Madalatel temperatuuridel (nikli puhul allpool T= 3600 KOOS) nikliproov on välise magnetvälja eemaldamisel ferromagnetiline, s.t. saab kasutada püsimagnetina. Kõrgematel temperatuuridel Ts see omadus kaob, kui väline magnetväli on välja lülitatud, läheb see paramagnetilisse olekusse ega ole püsimagnet. Temperatuuri muutumisel toimub üleminek – faasiüleminek – ühest faasist teise.

Toome veel ühe geomeetrilise näite perkolatsiooni teooriast. Sidemete juhuslik väljalõikamine võrgust, lõpuks siis, kui ülejäänud sidemete kontsentratsioon on R on väiksem kui teatud väärtus rs, ei ole enam võimalik mööda võrku "ühest otsast teise" kõndida. Seega läheb voolu olekust – "lekkivast" faasist pärit võrk "mittelekiva" faasi olekusse.

Nendest näidetest on selge, et iga vaadeldava süsteemi jaoks on olemas nn järjestusparameeter, mis määrab, millises faasis süsteem on. Ferromagnetismis on järjekorra parameetriks magnetiseerimine nullvälises väljas, see on perkolatsiooniteoorias võrgu ühenduvus või näiteks selle juhtivus või lõpmatu klastri tihedus.

Faasiüleminekuid on erinevat tüüpi. Esimest järku faasisiirded on sellised, kus süsteemis võib korraga eksisteerida mitu faasi. Näiteks temperatuuril 0° C jää hõljub vees. Kui süsteem on termodünaamilises tasakaalus (puudub soojusvarustus ega soojuse eemaldamine), siis jää ei sula ega kasva. Teist järku faasiüleminekute puhul on mitme faasi samaaegne olemasolu võimatu. Niklitükk on kas paramagnetilises või ferromagnetilises olekus. Suvaliselt lõigatud ühendustega võrk on kas ühendatud või mitte.

Otsustav teist järku faasisiirete teooria loomisel, mille algatas L.D. Landau, seal tutvustati tellimuse parameetrit (tähistame seda G]) kui süsteemifaasi eripära. Ühes faasis, näiteks paramagnetiline, r] = 0 ja teises ferromagnetiline, G ^ 0. Magnetnähtuste korral järjekorra parameeter ] on süsteemi magnetiseerimine.

Faasiüleminekute kirjeldamiseks võetakse kasutusele teatud parameetrite funktsioon, mis määravad süsteemi oleku - G(n, T,...). Füüsilistes süsteemides on see Gibbsi energia. Igas nähtuses (perkolatsioon, “väikeste maailmade” võrgustik jne) määratakse see funktsioon “sõltumatult”. Selle funktsiooni peamine omadus, L.D. esimene eeldus. Landau - tasakaaluseisundis võtab see funktsioon minimaalse väärtuse:

Füüsikalistes süsteemides räägime termodünaamilisest tasakaalust, keeruliste ahelate teoorias stabiilsusest. Pange tähele, et miinimumtingimus määratakse tellimuse parameetri muutmisega.

Teine oletus L.D. Landau - faasiteisendusel n = 0. Selle eelduse kohaselt saab faasisiirdepunkti lähedal asuva funktsiooni b(n,T,...) laiendada järjestusparameetri n astmete jadaks:

kus ühes faasis n = 0 (paramagnetiline, kui räägime magnetismist ja inkoherentne, kui me räägime võrgust) ja n ^ 0 teises (ferromagnetiline või ühendatud).

Seisundist

mis annab meile kaks lahendust

Sest T > Tc lahendus n = 0 peab toimuma ja jaoks T< Тс lahendus n ^ 0. Selle võib rahuldada juhul T > Tc ja n = 0 valige A > 0 . Sel juhul teist juurt ei ole. Ja selleks puhuks T < Ts peab olema teine ​​lahendus, st. tuleb täita A< 0. Seega:

A > 0 kl T > Tc, A< 0 kl T< Тс ,

Landau teine ​​eeldus nõuab A(Tc) = 0 täitmist. Funktsiooni A(T) lihtsaim vorm, mis neid nõudeid rahuldab, on

Niinimetatud kriitiline indeks ja funktsioon C(g],T) võtab kujul:

Joonisel fig. 3.8.1 näitab sõltuvust b(n, T) for T > Tc Ja T< Тс .

Riis. 3.8.1 - Parameetrite funktsioonide graafikud G(n, T) Sest T > Tc Ja T< Тс

Poston T., Stewart I. Katastroofiteooria ja selle rakendused. - M.: Mir, 1980. Gilmore R. Katastroofide rakendusteooria. - M.: Mir, 1984.

Parameetrite kvalitatiivne sõltuvus G(j], T) tellimuse parameetril ] on näidatud joonisel fig. 3.8.1 (G0 = 0). Järjestusparameetri ] sõltuvus temperatuurist on näidatud joonisel fig. 3.8.2.

Arenenum teooria võtab arvesse, et millal T > Tc järjekorra parameeter ], kuigi see on väga väike, ei ole täpselt võrdne nulliga.

Süsteemi üleminek olekust koos h = 0 kl T > Tc olekus koos h- 0 vähendamisel T ja jõuda väärtusteni T £ Tc võib mõista positsiooni stabiilsuse kaotusena h = 0 kl T £ Tc. Hiljuti ilmus matemaatiline teooria

kõlava nimega “Katastroofide teooria”, mis kirjeldab paljusid erinevaid nähtusi ühest vaatenurgast. Katastroofiteooria seisukohalt on teist järku faasiüleminek "koostukatastroof".

Riis. 3.8.2 - Tellimuse parameetri sõltuvus n temperatuurist: kl T< Tc ja läheduses Tc tellimuse parameeter n Käitu nagu toitefunktsioon, ja millal T> Tc n = 0

Sarnased artiklid