Võrrandisüsteemide lahendamise oluline parameeter on. Võrrandite lahendamine parameetriga matemaatikas
1. Süsteemid lineaarvõrrandid parameetriga
Parameetriga lineaarvõrrandisüsteeme lahendatakse samade põhimeetoditega nagu tavalisi võrrandisüsteeme: asendusmeetod, võrrandite liitmise meetod ja graafiline meetod. Graafilise tõlgendamise tundmine lineaarsed süsteemid võimaldab hõlpsalt vastata küsimusele juurte arvu ja olemasolu kohta.
Näide 1.
Leidke kõik parameetri a väärtused, mille jaoks võrrandisüsteemil pole lahendusi.
(x + (a 2–3)y = a,
(x + y = 2.
Lahendus.
Vaatame selle ülesande lahendamiseks mitmeid viise.
1 viis. Kasutame omadust: süsteemil pole lahendusi, kui x ees olevate koefitsientide suhe on võrdne y ees olevate koefitsientide suhtega, kuid mitte võrdne vabade liikmete suhtega (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Siis on meil:
1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 või süsteem
(ja 2–3 = 1,
(a ≠ 2.
Esimesest võrrandist a 2 = 4, seega, võttes arvesse tingimust, et a ≠ 2, saame vastuse.
Vastus: a = -2.
2. meetod. Lahendame asendusmeetodil.
(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,
((a 2–3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.
Pärast ühise teguri y väljavõtmist esimeses võrrandis sulgudest, saame:
((a 2–4)y = a – 2,
(x = 2 – y.
Süsteemil pole lahendeid, kui esimesel võrrandil pole lahendeid, see tähendab
(ja 2–4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.
Ilmselgelt a = ±2, kuid teist tingimust arvesse võttes tuleb vastuseks vaid miinusvastus.
Vastus: a = -2.
Näide 2.
Leidke kõik parameetri a väärtused, mille võrrandisüsteemil on lõpmatu arv lahendusi.
(8x + ay = 2,
(kirves + 2a = 1.
Lahendus.
Omaduse järgi, kui x ja y kordajate suhe on sama ja võrdub süsteemi vabade liikmete suhtega, siis on sellel lõpmatu arv lahendeid (st a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Seetõttu 8/a = a/2 = 2/1. Lahendades kõik saadud võrrandid, leiame, et selle näite vastus on a = 4.
Vastus: a = 4.
2. Ratsionaalvõrrandisüsteemid parameetriga
Näide 3.
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
Lahendus.
Korrutame süsteemi esimese võrrandi 2-ga:
(6|x| + 2a = 4,
(|x| + 2y = a.
Lahutades esimesest teise võrrandi, saame 5|x| = 4 – a. Sellel võrrandil on a = 4 jaoks ainulaadne lahendus. Muudel juhtudel on sellel võrrandil kaks lahendit (a jaoks< 4) или ни одного (при а > 4).
Vastus: a = 4.
Näide 4.
Leidke kõik parameetri a väärtused, mille jaoks võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus.
(x + y = a,
(y – x 2 = 1.
Lahendus.
Lahendame selle süsteemi graafilise meetodi abil. Seega on süsteemi teise võrrandi graafik parabool, mis on tõstetud piki Oy telge ühe ühikulõigu võrra ülespoole. Esimene võrrand määrab sirgega y = -x paralleelsete sirgete hulga (pilt 1). Jooniselt on selgelt näha, et süsteemil on lahendus, kui sirge y = -x + a puutub parabooliga punktis koordinaatidega (-0,5, 1,25). Asendades need koordinaadid sirgjoone võrrandisse x ja y asemel, leiame parameetri a väärtuse: 
1,25 = 0,5 + a;
Vastus: a = 0,75.
Näide 5.
Asendusmeetodi abil saate teada, millise parameetri a väärtuse juures on süsteemil unikaalne lahendus.
(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
Lahendus.
Esimesest võrrandist väljendame y ja asendame selle teisega:
(y = ax – a – 1,
(kirves + (a + 2) (kirves – a – 1) = 2.
Tahandame teise võrrandi kujule kx = b, millel on kordumatu lahendus k ≠ 0 jaoks.
ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;
a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.
Esitame ruutkolminoomi a 2 + 3a + 2 sulgude korrutisena
(a + 2) (a + 1) ja vasakul võtame sulgudest välja x:
(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2) (a + 1).
Ilmselgelt ei tohiks 2 + 3a olla võrdne nulliga, seetõttu
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, mis tähendab a ≠ 0 ja ≠ -3.
Vastus: a ≠ 0; ≠ -3.
Näide 6.
Määrake graafilise lahendusmeetodi abil, millise parameetri a väärtuse juures on süsteemil unikaalne lahendus.
(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.
Lahendus.
Tingimuse põhjal konstrueerime ringi, mille keskpunkt on lähtepunktis ja raadius 3 ühiku segment, see on täpselt see, mis on määratud süsteemi esimese võrrandiga
x 2 + y 2 = 9. Süsteemi teine võrrand (y = |x| + a) on katkendlik joon. Kasutades joonis 2 Vaatleme kõiki võimalikke juhtumeid selle asukoha kohta ringi suhtes. On lihtne näha, et a = 3. 
Vastus: a = 3.
Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas võrrandisüsteeme lahendada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!
veebilehel, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.
Vormi võrrand f(x; a) = 0 kutsutakse võrrand muutujaga X ja parameeter A.
Lahenda võrrand parameetriga A– see tähendab iga väärtuse kohta A leida väärtusi X, mis rahuldab selle võrrandi.
Näide 1. Oh= 0
Näide 2. Oh = A
Näide 3.
x + 2 = ah
x – ah = –2
x(1 – a) = -2
Kui 1- A= 0, st. A= 1, siis X 0 = -2 juurteta
Kui 1- A 0, st. A 1, siis X =
Näide 4.
(A 2 – 1) X = 2A 2 + A – 3
(A – 1)(A + 1)X = 2(A – 1)(A – 1,5)
(A – 1)(A + 1)X = (1A – 3)(A – 1)
Kui A= 1, siis 0 X = 0
X- ükskõik milline tegelik arv
Kui A= -1, siis 0 X = -2
pole juuri
Kui A 1, A-1 siis X= (ainus lahendus).
See tähendab, et iga kehtiva väärtuse puhul A vastab ühele väärtusele X.
Näiteks:
Kui A= 5, siis X = = ;
Kui A= 0, siis X= 3 jne.
Didaktiline materjal
1. Oh = X + 3
2. 4 + Oh = 3X – 1
3. A = +
juures A= 1 juurteta.
juures A= 3 juurteta.
juures A = 1 X– mis tahes reaalarv, välja arvatud X = 1
juures A = -1, A= 0 lahendusi pole.
juures A = 0, A= 2 lahendusi pole.
juures A = -3, A = 0, 5, A= -2 lahendusi pole
juures A = -Koos, Koos= 0 lahendusi pole.
Ruutvõrrandid parameetriga
Näide 1. Lahenda võrrand
(A – 1)X 2 = 2(2A + 1)X + 4A + 3 = 0
Kell A = 1 6X + 7 = 0
Millal A 1, tõstame esile need parameetrite väärtused, mille juures D läheb nulli.
D = (2(2 A + 1)) 2 – 4(A – 1)(4A + 30 = 16A 2 + 16A + 4 – 4(4A 2 + 3A – 4A – 3) = 16A 2 + 16A + 4 – 16A 2 + 4A + 12 = 20A + 16
20A + 16 = 0
20A = -16
Kui A < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Kui A> -4/5 ja A 1, siis D > 0,
X = 
Kui A= 4/5, siis D = 0,
Näide 2. Millistel parameetri a väärtustel võrrand toimib
x 2 + 2( A + 1)X + 9A– 5 = 0 on 2 erinevat negatiivset juurt?
D = 4( A + 1) 2 – 4(9A – 5) = 4A 2 – 28A + 24 = 4(A – 1)(A – 6)
4(A – 1)(A – 6) > 0
t Vieta kaudu: X 1 + X 2 = -2(A + 1)
X 1 X 2 = 9A – 5
Tingimuste järgi X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(A + 1) < 0 и 9A – 5 > 0
| Lõpuks | 4(A – 1)(A – 6) > 0 - 2(A + 1) < 0 9A – 5 > 0 |
A < 1: а > 6 A > - 1 A > 5/9 |
 (Riis. 1) < a < 1, либо a > 6 |
Näide 3. Leidke väärtused A, mille jaoks sellel võrrandil on lahendus.
x 2–2 ( A – 1)X + 2A + 1 = 0
D = 4( A – 1) 2 – 4(2A + 10 = 4A 2 – 8A + 4 – 8A – 4 = 4A 2 – 16A
4A 2 – 16 0
4A(A – 4) 0
A( A – 4)) 0
A( A – 4) = 0
a = 0 või A – 4 = 0
A = 4
(Riis. 2)
Vastus: A 0 ja A 4
Didaktiline materjal
1. Millise väärtusega A võrrand Oh 2 – (A + 1) X + 2A– 1 = 0 on ühe juurega?
2. Millise väärtusega A võrrand ( A + 2) X 2 + 2(A + 2)X+ 2 = 0 on üks juur?
3. Milliste a väärtuste jaoks on võrrand ( A 2 – 6A + 8) X 2 + (A 2 – 4) X + (10 – 3A – A 2) = 0-l on rohkem kui kaks juurt?
4. Milliste a väärtuste korral on võrrand 2 X 2 + X – A= 0-l on vähemalt üks ühine juur koos võrrandiga 2 X 2 – 7X + 6 = 0?
5. Milliste võrrandi väärtuste jaoks X 2 +Oh+ 1 = 0 ja X 2 + X + A= 0 on vähemalt üks ühine juur?
1. Millal A = - 1/7, A = 0, A = 1
2. Millal A = 0
3. Millal A = 2
4. Millal A = 10
5. Millal A = - 2
Eksponentvõrrandid parameetriga
Näide 1.Leia kõik väärtused A, mille jaoks võrrand
9 x – ( A+ 2)*3 x-1/x +2 A*3 -2/x = 0 (1) on täpselt kaks juurt.
Lahendus. Korrutades võrrandi (1) mõlemad pooled 3 2/x-ga, saame samaväärse võrrandi
3 2 (x+1/x) – ( A+ 2)*3 x+1/x + 2 A = 0 (2)
Olgu 3 x+1/x = juures, siis saab võrrand (2) kuju juures 2 – (A + 2)juures + 2A= 0 või
(juures – 2)(juures – A) = 0, kust juures 1 =2, juures 2 = A.
Kui juures= 2, st. 3 x+1/x = 2 siis X + 1/X= log 3 2 või X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.
Sellel võrrandil pole tegelikke juuri, kuna see on D= log 2 3 2 – 4< 0.
Kui juures = A, st. 3 x+1/x = A See X + 1/X= log 3 A, või X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)
Võrrandil (3) on täpselt kaks juurt siis ja ainult siis
D = log 2 3 2 – 4 > 0 või |log 3 a| > 2.
Kui log 3 a > 2, siis A> 9 ja kui logi 3 a< -2, то 0 < A < 1/9.
Vastus: 0< A < 1/9, A > 9.
Näide 2. Millistel a väärtustel on võrrand 2 2х – ( A - 3) 2 x – 3 A= 0 on lahendused?
Selleks, et antud võrrand on lahendused, on vajalik ja piisav, et võrrand t 2 – (a – 3) t – 3a= 0-l oli vähemalt üks positiivne juur. Leiame juured Vieta teoreemi abil: X 1 = -3, X 2 = A = >
a on positiivne arv.
Vastus: millal A > 0
Didaktiline materjal
1. Leidke kõik a väärtused, mille jaoks on võrrand
25 x – (2 A+ 5)*5 x-1/x + 10 A* 5 -2/x = 0 on täpselt 2 lahendust.
2. Milliste a väärtuste jaoks on võrrand
2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 on ühe juurega?
3. Milliste parameetri a väärtuste korral võrrand kehtib
4 x - (5 A-3)2 x +4 A 2 – 3A= 0 on unikaalne lahendus?
Logaritmvõrrandid parameetriga
Näide 1. Otsige üles kõik väärtused A, mille jaoks võrrand
logi 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)
on ainulaadne lahendus.
Lahendus. Võrrand (1) on samaväärne võrrandiga
1 + Oh = 2X juures X > 0, X 1/4 (3)
X = juures
aa 2- juures + 1 = 0 (4)
Tingimus (2) alates (3) ei ole täidetud.
Lase A 0, siis AU 2 – 2juures+ 1 = 0 omab tegelikke juuri siis ja ainult siis D = 4 – 4A 0, st. juures A 1. Ebavõrdsuse (3) lahendamiseks joonistame funktsioonid graafikule Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatilise analüüsi kursuse süvendatud õppimine. – M.: Haridus, 1990
Sihtmärk:
- kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemide kordamine
- defineerida parameetritega lineaarvõrrandisüsteem
- õpetab lahendama parameetritega lineaarvõrrandisüsteeme.
Tundide ajal
- Aja organiseerimine
- Kordamine
- Selgitus uus teema
- Konsolideerimine
- Tunni kokkuvõte
- Kodutöö
2. Kordamine:
I. Ühe muutujaga lineaarvõrrand:
1. Defineerige ühe muutujaga lineaarvõrrand
[Vorrandit kujul ax=b, kus x on muutuja, a ja b on mõned arvud, nimetatakse ühe muutujaga lineaarvõrrandiks]
2. Mitu juurt võib lineaarvõrrandil olla?
[- Kui a=0, b0, siis võrrandil pole lahendeid, x
Kui a=0, b=0, siis x R
Kui a0, siis on võrrandil kordumatu lahend x =
3. Uurige, mitu juurt võrrandil on (vastavalt valikutele)
II. Lineaarvõrrand 2 muutujaga ja lineaarvõrrandi süsteem 2 muutujaga.
1. Defineerige kahe muutujaga lineaarvõrrand. Too näide.
[Kahe muutujaga lineaarvõrrand on võrrand kujul ax + by = c, kus x ja y on muutujad, a, b ja c on mingid arvud. Näiteks x-y=5]
2. Mida nimetatakse kahe muutujaga võrrandi lahendamiseks?
[Kahe muutujaga võrrandi lahendus on muutujate väärtuste paar, mis muudab võrrandi tõeliseks võrduseks.]
3. Kas muutujate x = 7, y = 3 väärtuspaar on võrrandi 2x + y = 17 lahendus?
4. Kuidas nimetatakse kahe muutuja võrrandi graafikut?
[Kahe muutujaga võrrandi graafik on kõigi koordinaattasandi punktide hulk, mille koordinaadid on selle võrrandi lahendid.]
5. Uurige, milline on võrrandi graafik:
[Avaldame muutujat y kuni x: y=-1,5x+3
Valem y=-1,5x+3 on lineaarfunktsioon, mille graafik on sirgjoon. Kuna võrrandid 3x+2y=6 ja y=-1,5x+3 on samaväärsed, on see rida ka võrrandi 3x+2y=6 graafik]
6. Milline on muutujatega x ja y võrrandi ax+bу=c graafik, kus a0 või b0?
[Kahe muutujaga lineaarvõrrandi graafik, milles vähemalt üks muutujate koefitsient ei ole null, on sirgjoon.]
7. Mida nimetatakse kahe muutujaga võrrandisüsteemi lahendamiseks?
[Kahe muutujaga võrrandisüsteemi lahendus on muutujate väärtuste paar, mis muudab süsteemi iga võrrandi tõeliseks võrdsuseks]
8. Mida tähendab võrrandisüsteemi lahendamine?
[Võrrandisüsteemi lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist või tõestamist, et lahendusi pole.]
9. Uurige, kas sellisel süsteemil on alati lahendusi ja kui on, siis kui palju (graafiliselt).
10. Mitu lahendit võib kahe muutujaga kahe lineaarvõrrandi süsteemil olla?
[Ainus lahendus on, kui sirged lõikuvad; ei oma lahendeid, kui sirged on paralleelsed; lõpmata palju, kui read langevad kokku]
11. Milline võrrand defineerib tavaliselt sirge?
12. Loo seos nurgakoefitsientide ja vabade terminite vahel:
I variant:
k 1 = k 2, b 1 b 2, lahendusi pole; |
II variant:
k 1 k 2, üks lahus; |
Valik III:
k 1 = k 2, b 1 = b 2, palju lahendusi. |
Järeldus:
- Kui nende funktsioonide graafikuteks olevate joonte nurkkoefitsiendid on erinevad, siis need sirged lõikuvad ja süsteemil on unikaalne lahendus.
- Kui sirgete nurkkoefitsiendid on samad ja lõikepunktid y-teljega on erinevad, siis on sirged paralleelsed ja süsteemil pole lahendusi.
- Kui nurkkoefitsiendid ja lõikepunktid y-teljega on samad, siis sirged langevad kokku ja süsteemil on lõpmata palju lahendeid.
Tahvlil on tabel, mida õpetaja ja õpilased järk-järgult täidavad.
III. Uue teema selgitus.
Definitsioon: Vaata süsteemi
- A 1 x+B 1 y=C
- A 2 x+B 2 y=C 2
kus A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 on parameetritest sõltuvad avaldised ning x ja y on tundmatud, nimetatakse kahe lineaarse süsteemiks algebralised võrrandid kahe tundmatu parameetriga.
Võimalikud on järgmised juhtumid:
1) Kui , siis on süsteemil ainulaadne lahendus
2) Kui , siis süsteemil pole lahendusi
3) Kui , siis on süsteemil lõpmatult palju lahendeid.
IV. Konsolideerimine
Näide 1.
Millistel parameetri a väärtustel süsteem töötab
- 2x - 3a = 7
- ah - 6a = 14
a) sellel on lõpmatu arv lahendeid;
b) omab ainulaadset lahendust
Vastus:
a) kui a=4, siis on süsteemil lõpmatu arv lahendeid;
b) kui a4, siis on ainult üks lahendus.
Näide 2.
Lahenda võrrandisüsteem
- x+(m+1)y=1
- x+2y=n
Lahendus: a) , s.t. m1 jaoks on süsteemil ainulaadne lahendus.
b), st. m=1 (2=m+1) ja n1 puhul pole algsel süsteemil lahendusi
c) , m=1 ja n=1 korral on süsteemil lõpmatult palju lahendeid.
Vastus: a) kui m=1 ja n1, siis lahendeid pole
b) m=1 ja n=1, siis on lahend lõpmatu hulk
- y – ükskõik milline
- x=n-2y
c) kui m1 ja n on suvalised, siis
Näide 3.
- akh-3ау=2а+3
- x+ay=1
Lahendus: võrrandist II leiame x = 1-аy ja asendame võrrandi I võrrandiga
а(1-ау)-3ау=2а+3
a-a 2 y-3ау=2а+3
A 2 a-3ау=а+3
A(a+3)y=a+3
Võimalikud juhtumid:
1) a = 0. Siis näeb võrrand välja selline: 0*y=3 [y]
Seetõttu ei ole süsteemil a=0 jaoks lahendusi
2) a=-3. Siis 0*y=0.
Seetõttu y. Sel juhul x=1-ау=1+3у
3) a0 ja a-3. Siis y=-, x=1-a(-=1+1=2
Vastus:
1) kui a=0, siis (x; y)
2) kui a=-3, siis x=1+3y, y
3) kui a0 ja a?-3, siis x=2, y=-
Vaatleme süsteemi (1) teist lahendusmeetodit.
Lahendame süsteemi (1) algebralise liitmise meetodil: kõigepealt korrutame süsteemi esimese võrrandi B 2-ga, teise võrrandiga B 1 ja liidame need võrrandid termini haaval, kõrvaldades nii muutuja y:
Sest A 1 B 2 -A 2 B 1 0, siis x =
Nüüd elimineerime muutuja x. Selleks korrutage süsteemi (1) esimene võrrand A 2-ga ja teine A 1-ga ning lisage mõlemad võrrandid termini kaupa:
- A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
- -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y= -A 1 C 2
- y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 - A 1 C 2
sest A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y = 
Süsteemi (1) lahendamise mugavuse huvides tutvustame järgmist tähistust:
- peamine määraja
Nüüd saab süsteemi (1) lahenduse kirjutada determinantide abil:
Antud valemeid nimetatakse Crameri valemiteks.
Kui , siis süsteemil (1) on kordumatu lahendus: x=; y=
Kui , või , siis süsteemil (1) pole lahendusi
Kui , , , , siis süsteemil (1) on lõpmatu arv lahendeid.
Sel juhul tuleb süsteemi täiendavalt uurida. Sel juhul taandatakse see reeglina üheks lineaarvõrrandiks. Sel juhul on sageli mugav süsteemi uurida järgmiselt: võrrandit lahendades leiame parameetrite konkreetsed väärtused või väljendame ühte parameetritest teistega ja asendame need parameetrite väärtused. süsteem. Siis saame kindlate arvuliste koefitsientide või väiksema arvu parameetritega süsteemi, mida tuleb uurida.
Kui süsteemi koefitsiendid A 1 , A 2 , B 1 , B 2 sõltuvad mitmest parameetrist, siis on süsteemi mugav uurida süsteemi determinantide abil.
Näide 4.
Kõigi parameetri a väärtuste jaoks lahendage võrrandisüsteem
- (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
- (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4
Lahendus: leiame süsteemi determinandi:
= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)
= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)
=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)
Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene kasutas võrrandeid iidsetel aegadel ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Matemaatikas on ülesandeid, mille puhul tuleb otsida lahendusi lineaarsele ja ruutvõrrandid V üldine vaade või otsige võrrandil olevate juurte arvu sõltuvalt parameetri väärtusest. Kõigil neil ülesannetel on parameetrid.
Vaatleme illustreeriva näitena järgmisi võrrandeid:
\[y = kx,\] kus \ on muutujad, \ on parameeter;
\[y = kx + b,\] kus \ on muutujad, \ on parameeter;
\[аx^2 + bх + с = 0,\] kus \ on muutuja, \[а, b, с\] on parameeter.
Võrrandi lahendamine parameetriga tähendab reeglina lõpmatu võrrandihulga lahendamist.
Kuid teatud algoritmi järgides saate hõlpsasti lahendada järgmised võrrandid:
1. Määrake parameetri "kontroll" väärtused.
2. Lahendage [\x\] algne võrrand esimeses lõigus määratletud parameetrite väärtustega.
3. Lahendage parameetri [\x\] algne võrrand esimeses lõigus valitud väärtustest erinevate parameetrite väärtuste jaoks.
Oletame, et meile on antud järgmine võrrand:
\[\mid 6 - x \mid = a.\]
Pärast esialgsete andmete analüüsimist on selge, et \[\ge 0.\]
Vastavalt moodulireeglile \ väljendame \
Vastus: \kus\
Kust saab võrgus parameetriga võrrandit lahendada?
Võrrandi saate lahendada meie veebisaidil https://site. Tasuta online lahendaja võimaldab teil mõne sekundiga lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandid. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Meie veebisaidil saate vaadata ka videojuhiseid ja õppida võrrandit lahendama. Ja kui teil on veel küsimusi, võite neid esitada meie VKontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.
1. Lineaarvõrrandisüsteemid parameetriga
Parameetriga lineaarvõrrandisüsteeme lahendatakse samade põhimeetoditega nagu tavalisi võrrandisüsteeme: asendusmeetod, võrrandite liitmise meetod ja graafiline meetod. Lineaarsüsteemide graafilise tõlgendamise tundmine võimaldab hõlpsalt vastata küsimusele juurte arvu ja nende olemasolu kohta.
Näide 1.
Leidke kõik parameetri a väärtused, mille jaoks võrrandisüsteemil pole lahendusi.
(x + (a 2–3)y = a,
(x + y = 2.
Lahendus.
Vaatame selle ülesande lahendamiseks mitmeid viise.
1 viis. Kasutame omadust: süsteemil pole lahendusi, kui x ees olevate koefitsientide suhe on võrdne y ees olevate koefitsientide suhtega, kuid mitte võrdne vabade liikmete suhtega (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Siis on meil:
1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 või süsteem
(ja 2–3 = 1,
(a ≠ 2.
Esimesest võrrandist a 2 = 4, seega, võttes arvesse tingimust, et a ≠ 2, saame vastuse.
Vastus: a = -2.
2. meetod. Lahendame asendusmeetodil.
(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,
((a 2–3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.
Pärast ühise teguri y väljavõtmist esimeses võrrandis sulgudest, saame:
((a 2–4)y = a – 2,
(x = 2 – y.
Süsteemil pole lahendeid, kui esimesel võrrandil pole lahendeid, see tähendab
(ja 2–4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.
Ilmselgelt a = ±2, kuid teist tingimust arvesse võttes tuleb vastuseks vaid miinusvastus.
Vastus: a = -2.
Näide 2.
Leidke kõik parameetri a väärtused, mille võrrandisüsteemil on lõpmatu arv lahendusi.
(8x + ay = 2,
(kirves + 2a = 1.
Lahendus.
Omaduse järgi, kui x ja y kordajate suhe on sama ja võrdub süsteemi vabade liikmete suhtega, siis on sellel lõpmatu arv lahendeid (st a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Seetõttu 8/a = a/2 = 2/1. Lahendades kõik saadud võrrandid, leiame, et selle näite vastus on a = 4.
Vastus: a = 4.
2. Ratsionaalvõrrandisüsteemid parameetriga
Näide 3.
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
Lahendus.
Korrutame süsteemi esimese võrrandi 2-ga:
(6|x| + 2a = 4,
(|x| + 2y = a.
Lahutades esimesest teise võrrandi, saame 5|x| = 4 – a. Sellel võrrandil on a = 4 jaoks ainulaadne lahendus. Muudel juhtudel on sellel võrrandil kaks lahendit (a jaoks< 4) или ни одного (при а > 4).
Vastus: a = 4.
Näide 4.
Leidke kõik parameetri a väärtused, mille jaoks võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus.
(x + y = a,
(y – x 2 = 1.
Lahendus.
Lahendame selle süsteemi graafilise meetodi abil. Seega on süsteemi teise võrrandi graafik parabool, mis on tõstetud piki Oy telge ühe ühikulõigu võrra ülespoole. Esimene võrrand määrab sirgega y = -x paralleelsete sirgete hulga (pilt 1). Jooniselt on selgelt näha, et süsteemil on lahendus, kui sirge y = -x + a puutub parabooliga punktis koordinaatidega (-0,5, 1,25). Asendades need koordinaadid sirgjoone võrrandisse x ja y asemel, leiame parameetri a väärtuse:
1,25 = 0,5 + a;
Vastus: a = 0,75.
Näide 5.
Asendusmeetodi abil saate teada, millise parameetri a väärtuse juures on süsteemil unikaalne lahendus.
(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
Lahendus.
Esimesest võrrandist väljendame y ja asendame selle teisega:
(y = ax – a – 1,
(kirves + (a + 2) (kirves – a – 1) = 2.
Tahandame teise võrrandi kujule kx = b, millel on kordumatu lahendus k ≠ 0 jaoks.
ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;
a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.
Esitame ruutkolminoomi a 2 + 3a + 2 sulgude korrutisena
(a + 2) (a + 1) ja vasakul võtame sulgudest välja x:
(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2) (a + 1).
Ilmselgelt ei tohiks 2 + 3a olla võrdne nulliga, seetõttu
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, mis tähendab a ≠ 0 ja ≠ -3.
Vastus: a ≠ 0; ≠ -3.
Näide 6.
Määrake graafilise lahendusmeetodi abil, millise parameetri a väärtuse juures on süsteemil unikaalne lahendus.
(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.
Lahendus.
Tingimuse põhjal konstrueerime ringi, mille keskpunkt on lähtepunktis ja raadius on 3 ühikulist lõiku, see on määratud süsteemi esimese võrrandiga
x 2 + y 2 = 9. Süsteemi teine võrrand (y = |x| + a) on katkendlik joon. Kasutades joonis 2 Vaatleme kõiki võimalikke juhtumeid selle asukoha kohta ringi suhtes. On lihtne näha, et a = 3.
Vastus: a = 3.
Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas võrrandisüsteeme lahendada?
Juhendajalt abi saamiseks -.
Esimene tund on tasuta!
blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.
