Neka L – linearni prostor nad poljem R . Neka A1, a2, …, an (*) konačni sustav vektora iz L . Vektor U = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) se zove Linearna kombinacija vektora ( *), ili kažu da vektor U linearno izražen kroz sustav vektora (*).

Definicija 14. Sustav vektora (*) naziva se Linearno ovisan , ako i samo ako postoji skup koeficijenata a1, a2, … različit od nule, takav da je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Ako je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tada se zove sustav (*). Linearno nezavisan.

Svojstva linearne ovisnosti i neovisnosti.

10. Ako sustav vektora sadrži nulti vektor, tada je on linearno ovisan.

Doista, ako je u sustavu (*) vektor A1 = 0, To je 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Ako sustav vektora sadrži dva proporcionalna vektora, tada je on linearno ovisan.

Neka A1 = L×a2. Zatim 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Konačni sustav vektora (*) za n ³ 2 je linearno ovisan ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija preostalih vektora tog sustava.

Þ Neka je (*) linearno ovisan. Zatim postoji različit od nule skup koeficijenata a1, a2, …, an, za koji je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da je a1 ¹ 0. Tada postoji A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Dakle, vektor A1 je linearna kombinacija preostalih vektora.

Ü Neka je jedan od vektora (*) linearna kombinacija ostalih. Možemo pretpostaviti da je ovo prvi vektor, tj. A1 = B2 A2+ … + mlrd A N, dakle (–1)× A1 + b2 A2+ … + mlrd A N= 0 , tj. (*) je linearno ovisan.

Komentar. Pomoću posljednjeg svojstva možemo definirati linearnu ovisnost i neovisnost beskonačnog sustava vektora.

Definicija 15. Vektorski sustav A1, a2, …, an , … (**) Zove se Linearno ovisan, Ako je barem jedan njegov vektor linearna kombinacija nekog konačnog broja drugih vektora. Inače se poziva sustav (**). Linearno nezavisan.

40. Konačni sustav vektora je linearno neovisan ako i samo ako se nijedan od njegovih vektora ne može linearno izraziti preko njegovih preostalih vektora.

50. Ako je sustav vektora linearno neovisan, tada je i svaki njegov podsustav također linearno neovisan.

60. Ako je neki podsustav danog sustava vektora linearno ovisan, onda je i cijeli sustav linearno ovisan.

Neka su dana dva sustava vektora A1, a2, …, an , … (16) i V1, V2, …, Vs, … (17). Ako se svaki vektor sustava (16) može prikazati kao linearna kombinacija konačnog broja vektora sustava (17), tada se kaže da je sustav (17) linearno izražen kroz sustav (16).

Definicija 16. Dva vektorska sustava nazivaju se Ekvivalent , ako se svaki od njih linearno izrazi kroz drugi.

Teorem 9 (osnovni teorem linearne ovisnosti).

Neka bude – dva konačna sustava vektora iz L . Ako je prvi sustav linearno neovisan i linearno izražen kroz drugi, tada N£s.

Dokaz. Hajdemo to pretvarati N> S. Prema uvjetima teorema

(21)

Kako je sustav linearno neovisan, jednakost (18) Û X1=x2=…=xN= 0. Zamijenimo ovdje izraze vektora: …+=0 (19). Stoga (20). Uvjeti (18), (19) i (20) su očito ekvivalentni. Ali (18) je zadovoljeno samo kada X1=x2=…=xN= 0. Pronađimo kada je jednakost (20) istinita. Ako su svi njegovi koeficijenti jednaki nuli, onda je to očito točno. Izjednačujući ih s nulom, dobivamo sustav (21). Budući da ovaj sustav ima nulu, onda je

spojnica Budući da je broj jednadžbi veći od broja nepoznanica, sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Stoga ima vrijednost različitu od nule X10, x20, …, xN0. Za ove vrijednosti bit će istinita jednakost (18), što je u suprotnosti s činjenicom da je sustav vektora linearno neovisan. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. Stoga, N£s.

Posljedica. Ako su dva ekvivalentna sustava vektora konačna i linearno neovisna, tada sadrže isti broj vektora.

Definicija 17. Vektorski sustav naziva se Maksimalni linearno neovisni sustav vektora Linearni prostor L , ako je linearno neovisan, ali kada mu se doda bilo koji vektor iz L , koji nije uključen u ovaj sustav, postaje linearno ovisan.

Teorem 10. Bilo koja dva konačna maksimalna linearno neovisna sustava vektora iz L Sadrži isti broj vektora.

Dokaz slijedi iz činjenice da su svaka dva maksimalna linearno neovisna sustava vektora ekvivalentna .

Lako je dokazati da svaki linearno neovisan sustav prostornih vektora L može se proširiti na maksimalan linearno nezavisan sustav vektora u ovom prostoru.

Primjeri:

1. U skupu svih kolinearnih geometrijskih vektora svaki sustav koji se sastoji od jednog vektora različitog od nule je maksimalno linearno neovisan.

2. U skupu svih koplanarnih geometrijskih vektora svaka dva nekolinearna vektora čine najveći linearno neovisan sustav.

3. U skupu svih mogućih geometrijskih vektora trodimenzionalnog euklidskog prostora svaki sustav od tri nekoplanarna vektora je maksimalno linearno neovisan.

4. U skupu svih polinoma stupnjevi nisu viši od N S realnim (kompleksnim) koeficijentima sustav polinoma 1, x, x2, … , xn Maksimalno je linearno neovisan.

5. U skupu svih polinoma s realnim (kompleksnim) koeficijentima primjeri maksimalnog linearno neovisnog sustava su

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Skup dimenzijskih matrica M´ N je linearni prostor (provjerite ovo). Primjer maksimalnog linearno nezavisnog sustava u ovom prostoru je matrični sustav E11= , E12 =, …, EMn = .

Neka je dan sustav vektora C1, c2, …, usp (*). Podsustav vektora iz (*) naziva se Maksimalno linearno neovisan Podsustav Sustavi ( *) , ako je linearno neovisan, ali kada mu se doda bilo koji drugi vektor ovog sustava, postaje linearno ovisan. Ako je sustav (*) konačan, tada svaki njegov najveći linearno neovisni podsustav sadrži isti broj vektora. (Dokažite sami). Naziva se broj vektora u maksimalnom linearno neovisnom podsustavu sustava (*). Rang Ovaj sustav. Očito, ekvivalentni sustavi vektora imaju iste rangove.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Riješenje. Tražimo opće rješenje sustava jednadžbi

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gaussova metoda. Da bismo to učinili, zapisujemo ovaj homogeni sustav u koordinate:

Matrica sustava

Dopušteni sustav ima oblik: (r A = 2, n= 3). Sustav je kooperativan i nesiguran. Njegovo opće rješenje ( x 2 – slobodna varijabla): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => x o = . Prisutnost posebnog rješenja različitog od nule, na primjer, pokazuje da vektori a 1 , a 2 , a 3 linearno ovisna.

Primjer 2.

Saznajte da li ovaj sustav linearno ovisni ili linearno neovisni vektori:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Riješenje. Promotrimo homogeni sustav jednadžbi a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

ili u proširenom obliku (po koordinatama)

Sustav je homogen. Ako je nedegenerirana, onda ima jedinstveno rješenje. U slučaju homogenog sustava postoji nulto (trivijalno) rješenje. To znači da je u ovom slučaju sustav vektora neovisan. Ako je sustav degeneriran, tada ima rješenja različita od nule i stoga je ovisan.

Provjeravamo sustav za degeneraciju:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sustav je nedegeneriran, a time i vektori a 1 , a 2 , a 3 linearno nezavisan.

Zadaci. Utvrdite je li zadani sustav vektora linearno ovisan ili linearno neovisan:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Dokažite da će sustav vektora biti linearno ovisan ako sadrži:

a) dva jednaka vektora;

b) dva proporcionalna vektora.

Izražavanje oblika nazvao linearna kombinacija vektora A 1 , A 2 ,...,A n s koeficijentima λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Određivanje linearne ovisnosti sustava vektora

Vektorski sustav A 1 , A 2 ,...,A n nazvao linearno ovisna, ako postoji skup brojeva različit od nule λ 1, λ 2 ,...,λ n, u kojoj linearna kombinacija vektora λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n jednak nultom vektoru, odnosno sustav jednadžbi: ima rješenje različito od nule.
Skup brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n nije nula ako je barem jedan od brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n različit od nule.

Određivanje linearne neovisnosti sustava vektora

Vektorski sustav A 1 , A 2 ,...,A n nazvao linearno nezavisan, ako je linearna kombinacija ovih vektora λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n jednak nultom vektoru samo za nulti skup brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n , odnosno sustav jednadžbi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ima jedinstveno nulto rješenje.

Primjer 29.1

Provjerite je li sustav vektora linearno ovisan

Riješenje:

1. Sastavljamo sustav jednadžbi:

2. Rješavamo ga Gaussovom metodom. Jordananove transformacije sustava dane su u tablici 29.1. Prilikom računanja desne strane sustava se ne zapisuju jer su jednake nuli i ne mijenjaju se tijekom Jordanovih transformacija.

3. Iz posljednja tri retka tablice zapišite razriješeni sustav ekvivalentan izvornom sustav:

4. Dobivamo opće rješenje sustava:

5. Nakon što ste postavili vrijednost slobodne varijable x 3 =1 po vlastitom nahođenju, dobivamo partikularno rješenje različito od nule X=(-3,2,1).

Odgovor: Dakle, za skup brojeva različit od nule (-3,2,1), linearna kombinacija vektora jednaka je nultom vektoru -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Stoga, vektorski sustav linearno ovisan.

Svojstva vektorskih sustava

Vlasništvo (1)
Ako je sustav vektora linearno ovisan, tada je barem jedan od vektora proširen u odnosu na ostale i, obrnuto, ako je barem jedan od vektora sustava proširen u smislu ostalih, tada je sustav vektora je linearno ovisan.

Vlasništvo (2)
Ako je bilo koji podsustav vektora linearno ovisan, onda je cijeli sustav linearno ovisan.

Vlasništvo (3)
Ako je sustav vektora linearno neovisan, tada je svaki njegov podsustav linearno neovisan.

Vlasništvo (4)
Svaki sustav vektora koji sadrži nulti vektor je linearno ovisan.

Vlasništvo (5)
Sustav m-dimenzionalnih vektora uvijek je linearno ovisan ako je broj vektora n veći od njihove dimenzije (n>m)

Osnova vektorskog sustava

Osnova vektorskog sustava A 1 , A 2 ,..., A n takav podsustav B 1 , B 2 ,...,B r naziva se(svaki od vektora B 1,B 2,...,B r je jedan od vektora A 1, A 2,..., A n), koji zadovoljava sljedeće uvjete:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r linearno neovisni sustav vektora;
2. bilo koji vektor A j sustav A 1 , A 2 ,..., A n linearno se izražava preko vektora B 1 , B 2 ,..., B r

r— broj vektora uključenih u bazu.

Teorem 29.1 O jediničnoj bazi sustava vektora.

Ako sustav m-dimenzionalnih vektora sadrži m različitih jediničnih vektora E 1 E 2 ,..., E m , tada oni čine osnovu sustava.

Algoritam za pronalaženje baze sustava vektora

Da bi se našla baza sustava vektora A 1 ,A 2 ,...,A n potrebno je:

• Napravite homogeni sustav jednadžbi koji odgovara sustavu vektora A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Donesite ovaj sustav

Linearna ovisnost i linearna neovisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sustav

U dvorani su kolica s čokoladama, a svaki posjetitelj danas će dobiti slatki par - analitičku geometriju s linearnom algebrom. Ovaj će se članak dotaknuti dva dijela više matematike odjednom i vidjet ćemo kako oni koegzistiraju u jednom omotu. Odmorite se, pojedite Twix! ...prokletstvo, kakva hrpa gluposti. Iako, dobro, neću bodovati, na kraju krajeva, treba imati pozitivan stav prema učenju.

Linearna ovisnost vektora, linearna vektorska neovisnost, baza vektora i drugi pojmovi nemaju samo geometrijsko tumačenje, nego, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" s gledišta Linearna algebra- ovo nije uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati u ravnini ili prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor, po koji sam upravo otišao na Gismeteo: temperatura odnosno atmosferski tlak. Primjer je, naravno, netočan s gledišta svojstava vektorskog prostora, ali ipak nitko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću vas zamarati teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumjeti definicije i teoremi. Novi pojmovi (linearna ovisnost, neovisnost, linearna kombinacija, baza itd.) odnose se na sve vektore s algebarskog gledišta, ali bit će navedeni geometrijski primjeri. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i jasno. Osim problema analitičke geometrije, razmotrit ćemo i neke tipični zadaci algebra Da biste svladali gradivo, preporučljivo je upoznati se s lekcijama Vektori za lutke I Kako izračunati determinantu?

Linearna ovisnost i neovisnost ravninskih vektora.
Ravninska baza i afini koordinatni sustav

Razmotrimo ravninu vašeg računalnog stola (samo stol, noćni ormarić, pod, strop, što god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite ravninsku osnovu. Grubo govoreći, ploča stola ima duljinu i širinu, pa je intuitivno da će za konstrukciju baze biti potrebna dva vektora. Jedan vektor očito nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na temelju odabrane osnove postaviti koordinatni sustav(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim objektima na stolu.

Nemojte se iznenaditi, u početku će objašnjenja biti na prstima. Štoviše, na vašem. Molim mjesto lijevi kažiprst na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sada mjesto desni mali prst na rubu stola na isti način – tako da bude usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješi se, super izgledaš! Što možemo reći o vektorima? Vektori podataka kolinearni, što znači linearni izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je neki broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u razredu. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo množenja vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravninu računalnog stola? Očito ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad poprijeko sama pravac, a ravnina ima duljinu i širinu.

Takvi se vektori nazivaju linearno ovisna.

Referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednadžbama i izrazima nema kvadrata, kuba, drugih potencija, logaritama, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stupanj) izrazi i ovisnosti.

Dva vektora u ravnini linearno ovisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da postoji bilo koji kut između njih osim 0 ili 180 stupnjeva. Dva vektora u ravninilinearni Ne ovisni ako i samo ako nisu kolinearni. Dakle, osnova je dobivena. Ne treba se sramiti što je baza ispala "iskrivljena" neokomitim vektorima različitih duljina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da za njegovu konstrukciju nije pogodan samo kut od 90 stupnjeva, a ne samo jedinični vektori jednake duljine

Bilo koje ravninski vektor jedini način proširuje se prema osnovi:
, gdje su realni brojevi. Brojevi se nazivaju vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Također se kaže da vektorpredstavljen kao linearna kombinacija bazni vektori. Odnosno, izraz se zove vektorska dekompozicijapo osnovi ili linearna kombinacija bazni vektori.

Na primjer, možemo reći da je vektor rastavljen duž ortonormirane baze ravnine, ili možemo reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Idemo formulirati definicija osnove formalno: Osnova aviona naziva se par linearno neovisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravninski vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Bitna točka definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redoslijedom. Baze – to su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, ne možete zamijeniti mali prst lijeve ruke umjesto malog prsta desne ruke.

Osnovu smo smislili, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem stolu računala. Zašto nije dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju cijelom ravninom. Dakle, kako dodijeliti koordinate onim malim prljavim mrljama na stolu preostalim od divljeg vikenda? Potrebno je polazište. A takav orijentir je svima poznata točka - ishodište koordinata. Razumimo koordinatni sustav:

Počet ću od “školskog” sustava. Već na uvodnom satu Vektori za lutke Naglasio sam neke razlike između pravokutnog koordinatnog sustava i ortonormirane baze. Evo standardne slike:

Kada govore o pravokutni koordinatni sustav, tada najčešće označavaju ishodište, koordinatne osi i mjerilo po osi. Pokušajte u tražilicu upisati "pravokutni koordinatni sustav" i vidjet ćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osima poznatim iz 5.-6. razreda i kako crtati točke na ravnini.

S druge strane, čini se da se pravokutni koordinatni sustav može u potpunosti definirati u terminima ortonormirane baze. I to je gotovo istina. Formulacija je sljedeća:

podrijetlo, I ortonormalan osnova je postavljena Kartezijev pravokutni ravninski koordinatni sustav . Odnosno, pravokutni koordinatni sustav definitivno definirana je jednom točkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijski problemiČesto (ali ne uvijek) crtaju se i vektori i koordinatne osi.

Mislim da svi razumiju da se koristi točka (ishodište) i ortonormirana baza BILO KOJA TOČKA na ravnini i BILO KOJI VEKTOR na ravnini mogu se dodijeliti koordinate. Slikovito rečeno, “u avionu se sve može nabrojati”.

Trebaju li koordinatni vektori biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu duljinu različitu od nule. Razmotrimo točku i dva ortogonalna vektora proizvoljne duljine različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalni. Ishodište koordinata s vektorima definirano je koordinatnom mrežom, a svaka točka na ravnini, svaki vektor ima svoje koordinate u zadanoj bazi. Na primjer, ili. Očita je neugodnost što koordinatni vektori općenito imati razne dužine, različito od jedinstva. Ako su duljine jednake jedinici, tada se dobiva uobičajena ortonormirana baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, kao i dolje u afinim bazama ravnine i prostora, razmatraju se jedinice duž osi UVJETNA. Na primjer, jedna jedinica duž osi x sadrži 4 cm, a jedna jedinica duž osi ordinata sadrži 2 cm, dovoljan je podatak da, ako je potrebno, pretvorimo "nestandardne" koordinate u "naše uobičajene centimetre".

A drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno, je mora li kut između baznih vektora biti jednak 90 stupnjeva? Ne! Kao što definicija kaže, bazni vektori moraju biti samo nekolinearni. Prema tome, kut može biti bilo što osim 0 i 180 stupnjeva.

Točka na ravnini tzv podrijetlo, I nekolinearni vektori, , set afini ravninski koordinatni sustav :

Ponekad se takav koordinatni sustav naziva kosi sustav. Kao primjer, crtež prikazuje točke i vektore:

Kao što razumijete, afini koordinatni sustav još je manje prikladan; formule za duljine vektora i segmenata, o kojima smo govorili u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu Vektori za lutke, mnoge ukusne formule povezane s skalarni produkt vektora. Ali vrijede pravila za zbrajanje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u ovoj relaciji, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sustava Kartezijev pravokutni sustav. Zato je najčešće moraš vidjeti, draga moja. ...Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima kosi kut (ili neki drugi, npr. polarni) koordinatni sustav. I humanoidima bi se mogli svidjeti takvi sustavi =)

Prijeđimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji vrijede i za pravokutni koordinatni sustav i za opći afini slučaj. Ovdje nema ništa komplicirano; sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravninskih vektora?

Tipična stvar. Da bi dva ravninska vektora bili kolinearni, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne U biti, ovo je pojedinačna koordinata očitog odnosa.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Čine li vektori bazu? ?

Riješenje:
a) Utvrdimo postoji li za vektore koeficijent proporcionalnosti, tako da su zadovoljene jednakosti:

Definitivno ću vam ispričati o "bezobraznoj" verziji primjene ovog pravila, koja u praksi prilično dobro funkcionira. Ideja je odmah napraviti udio i vidjeti je li točan:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

Da skratimo:
, stoga su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Odnos bi mogao biti obrnut; ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje možete koristiti činjenicu da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju dolazi do jednakosti . Njihova valjanost može se lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima:

b) Dva ravninska vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Provjeravamo kolinearnost vektora . Kreirajmo sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi da je , iz druge jednadžbe slijedi da je , što znači sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno neovisni i čine bazu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Napravimo proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora :
, što znači da su ti vektori linearno neovisni i čine bazu.

Tipično, recenzenti ne odbijaju ovu opciju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Kao ovo: . Ili ovako: . Ili ovako: . Kako ovdje raditi kroz proporcije? (zaista, ne možete dijeliti s nulom). Iz tog sam razloga pojednostavljeno rješenje nazvao "špak".

Odgovor: a), b) oblik.

Mali kreativni primjer za neovisna odluka:

Primjer 2

Pri kojoj su vrijednosti parametra vektori hoće li biti kolinearni?

U otopini uzorka parametar se nalazi kroz udio.

Postoji elegantan algebarski način provjere kolinearnosti vektora. Usustavimo naše znanje i dodamo ga kao petu točku:

Za dva vektora u ravnini sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:

2) vektori čine bazu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora je različita od nule.

Odnosno, sljedeće suprotne tvrdnje su ekvivalentne:
1) vektori su linearno ovisni;
2) vektori ne čine bazu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta sastavljena od koordinata tih vektora jednaka je nuli.

Zaista se nadam da ste do sada već razumjeli sve pojmove i izjave s kojima ste se susreli.

Pogledajmo pobliže novu, petu točku: dva vektora u ravnini su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli:. Da biste primijenili ovu značajku, naravno, morate biti u mogućnosti pronaći odrednice.

Odlučimo se Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajmo determinantu koju čine koordinate vektora :
, što znači da su ti vektori kolinearni.

b) Dva ravninska vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, što znači da su vektori linearno neovisni i čine bazu.

Odgovor: a), b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelnost segmenata i ravnih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokažite da je četverokut paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe za izradom crteža u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Prisjetimo se definicije paralelograma:
Paralelogram Četverokut čije su suprotne stranice u parovima paralelne naziva se.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i.

Dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor (“po školi” – jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očita, ali bolje je jasno formalizirati odluku, dogovorom. Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora:
, što znači da su ti vektori kolinearni, i .

Zaključak: Nasuprotne stranice četverokuta su paralelne u parovima, što znači da je on po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i različitih figura:

Primjer 4

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokažite da je četverokut trapez.

Za strožu formulaciju dokaza, bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je jednostavno zapamtiti kako izgleda.

Ovo je zadatak koji morate riješiti sami. Potpuno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se iz aviona polako preselimo u svemir:

Kako odrediti kolinearnost prostornih vektora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva prostorna vektora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Utvrdite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

A) ;
b)
V)

Riješenje:
a) Provjerimo postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sustav nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" je formalizirano provjerom udjela. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

Odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su točke za samostalnu odluku. Isprobajte ga na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora pomoću determinante trećeg reda; ova metoda je obrađena u članku Vektorski produkt vektora.

Slično kao u ravninskom slučaju, razmatrani alati mogu se koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i ravnih linija.

Dobrodošli u drugi odjeljak:

Linearna ovisnost i neovisnost vektora u trodimenzionalnom prostoru.
Prostorna baza i afini koordinatni sustav

Mnogi uzorci koje smo ispitali u avionu vrijedit će za svemir. Pokušao sam minimizirati teorijske bilješke, budući da je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučam da pažljivo pročitate uvod jer će se pojaviti novi pojmovi i pojmovi.

Sada, umjesto ravnine računalnog stola, istražujemo trodimenzionalni prostor. Prvo, stvorimo njegovu osnovu. Netko je sada unutra, netko vani, ali u svakom slučaju ne možemo pobjeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga će za konstrukciju baze biti potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, gledaju u različitim smjerovima, imaju različite duljine i imaju različite kutove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Usput, nema potrebe to demonstrirati učiteljima, koliko god vrtili prstima, ali od definicija se ne može pobjeći =)

Zatim, postavimo važno pitanje: čine li bilo koja tri vektora osnovu trodimenzionalnog prostora? Molimo vas da s tri prsta čvrsto pritisnete gornji dio računala. Što se dogodilo? Tri vektora nalaze se u istoj ravnini i, grubo rečeno, izgubili smo jednu od dimenzija - visinu. Takvi vektori su komplanarni i, sasvim je očito da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da koplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravnini, mogu biti u paralelnim ravninama (samo nemojte to raditi prstima, to je radio samo Salvador Dali =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarni, ako postoji ravnina s kojom su paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravnina ne postoji, vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora uvijek su linearno ovisna, odnosno linearno se izražavaju jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, opet zamislimo da leže u istoj ravnini. Prvo, vektori nisu samo koplanarni, oni mogu biti i kolinearni, zatim se bilo koji vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako npr. vektori nisu kolinearni, tada se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala u prethodnom odjeljku).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora uvijek su linearno neovisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očito, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno neovisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti u određenom redoslijedu, i bilo koji vektor prostora jedini način se razlaže preko zadane baze, gdje su koordinate vektora u ovoj bazi

Dopustite mi da vas podsjetim da također možemo reći da je vektor predstavljen u obliku linearna kombinacija bazni vektori.

Pojam koordinatnog sustava uvodi se na potpuno isti način kao i za slučaj ravnine; nezavisni vektori:

podrijetlo, I nekoplanarni vektori, uzeti u određenom redoslijedu, set afini koordinatni sustav trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, konstruirani koordinatni sustav omogućuje nam definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje točke u prostoru. Slično ravnini, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi u afinom koordinatnom sustavu prostora.

Najpoznatiji i najprikladniji poseban slučaj afinog koordinatnog sustava, kao što svi pretpostavljaju, jest pravokutni prostorni koordinatni sustav:

Točka u prostoru tzv podrijetlo, I ortonormalan osnova je postavljena Kartezijev pravokutni prostorni koordinatni sustav . Poznata slika:

Prije nego što prijeđemo na praktične zadatke, ponovno sistematizirajmo informacije:

Za tri prostorna vektora sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:
1) vektori su linearno neovisni;
2) vektori čine bazu;
3) vektori nisu koplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, različita je od nule.

Mislim da su suprotne izjave razumljive.

Linearna ovisnost/neovisnost prostornih vektora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (točka 5). Preostalo praktičnih zadataka imat će izražen algebarski karakter. Vrijeme je da objesite geometrijsku palicu i zamahnete bejzbolskom palicom linearne algebre:

Tri vektora prostora su komplanarne ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli: .

Želio bih vam skrenuti pozornost na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već i u redovima (vrijednost determinante se od toga neće promijeniti - pogledajte svojstva determinanti). Ali puno je bolje u stupcima, jer je korisnije za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su pomalo zaboravili metode izračunavanja determinanti, ili ih možda uopće ne razumiju, preporučujem jednu od svojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite čine li sljedeći vektori osnovu trodimenzionalnog prostora:

Riješenje: Zapravo se cijelo rješenje svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunajmo determinantu sastavljenu od vektorskih koordinata (determinanta se otkriva u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno neovisni (ne koplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovor: ovi vektori čine bazu

b) Ovo je točka za neovisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Upoznajte i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj će vrijednosti parametra vektori biti komplanarni?

Riješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata tih vektora jednaka nuli:

U biti, trebate riješiti jednadžbu s determinantom. Obrušavamo se na nule kao zmajevi na jerboe - najbolje je otvoriti determinantu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i svodimo stvar na najjednostavnije Linearna jednadžba:

Odgovor: na

Ovdje je lako provjeriti; potrebno je zamijeniti dobivenu vrijednost u izvornu determinantu i uvjeriti se u to , otvarajući ga ponovno.

Zaključno, pogledajmo još jedan tipičan zadatak, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kolegij linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje svoju temu:

Dokažite da 3 vektora čine bazu trodimenzionalnog prostora
te nađi koordinate 4. vektora u ovoj bazi

Primjer 8

Zadani su vektori. Pokažite da vektori čine bazu u trodimenzionalnom prostoru i pronađite koordinate vektora u toj bazi.

Riješenje: Prvo, pozabavimo se stanjem. Po uvjetu su zadana četiri vektora koji, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Što je ta osnova, nas ne zanima. Zanimljiva je sljedeća stvar: tri vektora mogu činiti novu osnovu. I prva faza se u potpunosti podudara s rješenjem primjera 6, potrebno je provjeriti jesu li vektori doista linearno neovisni:

Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora:

, što znači da su vektori linearno neovisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Važno : vektorske koordinate Obavezno Zapiši u stupce odrednica, a ne u nizovima. Inače će doći do zabune u daljnjem algoritmu rješenja.

Vektori, njihova svojstva i djelovanje s njima

Vektori, akcije s vektorima, linearni vektorski prostor.

Vektori su uređeni skup konačnog broja realnih brojeva.

Radnje: 1. Množenje vektora brojem: lambda*vektor x=(lambda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Zbrajanje vektora (pripadaju istom vektorskom prostoru) vektor x + vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-dimenzionalni (linearni prostor) vektor x + vektor 0 = vektor x

Teorema. Da bi sustav od n vektora, n-dimenzionalni linearni prostor, bio linearno ovisan, potrebno je i dovoljno da jedan od vektora bude linearna kombinacija ostalih.

Teorema. Bilo koji skup od n+ 1. vektora n-dimenzionalnog linearnog prostora fenomena. linearno ovisna.

Zbrajanje vektora, množenje vektora brojevima. Oduzimanje vektora.

Zbroj dvaju vektora je vektor usmjeren od početka vektora prema kraju vektora, pod uvjetom da se početak poklapa s krajem vektora. Ako su vektori zadani svojim razlaganjem u bazne jedinične vektore, tada se pri zbrajanju vektora dodaju njihove odgovarajuće koordinate.

Razmotrimo to na primjeru kartezijanskog koordinatnog sustava. Neka

Pokažimo to

Sa slike 3 jasno je da

Zbroj bilo kojeg konačnog broja vektora može se pronaći korištenjem pravila poligona (slika 4): da bi se konstruirao zbroj konačnog broja vektora, dovoljno je spojiti početak svakog sljedećeg vektora s krajem prethodnog. i konstruirajte vektor koji povezuje početak prvog vektora s krajem posljednjeg.

Svojstva operacije zbrajanja vektora:

U ovim izrazima m, n su brojevi.

Razlika između vektora naziva se vektor. Drugi član je vektor suprotan po smjeru, ali mu je jednak po duljini.

Dakle, operacija oduzimanja vektora zamijenjena je operacijom zbrajanja

Vektor čiji je početak u ishodištu, a kraj u točki A (x1, y1, z1) naziva se radijus vektor točke A i označava se jednostavno. Budući da se njegove koordinate poklapaju s koordinatama točke A, njegovo širenje u jedinične vektore ima oblik

Vektor koji počinje u točki A(x1, y1, z1) i završava u točki B(x2, y2, z2) može se napisati kao

gdje je r 2 radijus vektor točke B; r 1 - radijus vektor točke A.

Prema tome, širenje vektora u jedinične vektore ima oblik

Njegova duljina jednaka je udaljenosti između točaka A i B

MNOŽENJE

Dakle, u slučaju ravninskog problema, umnožak vektora s a = (ax; ay) s brojem b nalazi se formulom

a b = (ax b; ay b)

Primjer 1. Nađite umnožak vektora a = (1; 2) s 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Dakle, u slučaju prostornog problema, umnožak vektora a = (ax; ay; az) i broja b nalazi se po formuli

a b = (ax b; ay b; az b)

Primjer 1. Nađite umnožak vektora a = (1; 2; -5) s 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Točkasti umnožak vektora i gdje je kut između vektora i ; ako bilo, onda

Iz definicije skalarnog produkta proizlazi da

gdje je npr. veličina projekcije vektora na pravac vektora.

Vektor skalarnog kvadrata:

Svojstva točkastog produkta:

Točkasti umnožak u koordinatama

Ako Da

Kut između vektora

Kut između vektora – kut između pravaca tih vektora (najmanji kut).

Unakrsni umnožak (Unakrsni umnožak dva vektora.) - ovo je pseudovektor okomit na ravninu konstruiran od dva faktora, koji je rezultat binarne operacije "množenje vektora" nad vektorima u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Produkt nije niti komutativan niti asocijativan (on je antikomutativan) i razlikuje se od točkastog umnoška vektora. U mnogim inženjerskim i fizičkim problemima, morate biti u stanju konstruirati vektor okomit na dva postojeća - vektorski proizvod pruža ovu priliku. Križni umnožak koristan je za "mjerenje" okomitosti vektora - duljina križnog umnoška dvaju vektora jednaka je umnošku njihovih duljina ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Križni umnožak definiran je samo u trodimenzionalnim i sedmerodimenzionalnim prostorima. Rezultat vektorskog umnoška, ​​poput skalarnog umnoška, ​​ovisi o metrici euklidskog prostora.

Za razliku od formule za izračunavanje vektora skalarnog umnoška iz koordinata u trodimenzionalnom pravokutnom koordinatnom sustavu, formula za križni umnožak ovisi o orijentaciji pravokutnog koordinatnog sustava ili, drugim riječima, njegovoj "kiralnosti"

Kolinearnost vektora.

Dva vektora različita od nule (nisu jednaka 0) nazivaju se kolinearnima ako leže na paralelnim pravcima ili na istom pravcu. Prihvatljiv, ali ne preporučljiv, sinonim su "paralelni" vektori. Kolinearni vektori mogu biti identično usmjereni ("kodirekcijski") ili suprotno usmjereni (u potonjem slučaju ponekad se nazivaju "antikolinearni" ili "antiparalelni").

Mješoviti umnožak vektora ( a, b, c)- skalarni umnožak vektora a i vektorskog umnoška vektora b i c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

ponekad se naziva trostruki točkasti umnožak vektora, očito zato što je rezultat skalar (točnije, pseudoskalar).

Geometrijsko značenje: Modul mješovitog produkta brojčano je jednak volumenu paralelopipeda kojeg čine vektori (a,b,c) .

Svojstva

Mješoviti komad koso-simetrična u odnosu na sve svoje argumente: tj. e. preraspodjelom bilo koja dva faktora mijenja se predznak umnoška. Slijedi da je mješoviti produkt u desnom Kartezijevom koordinatnom sustavu (u ortonormiranoj bazi) jednak determinanti matrice sastavljene od vektora i:

Mješoviti produkt u lijevom Kartezijevom koordinatnom sustavu (u ortonormiranoj bazi) jednak je determinanti matrice sastavljene od vektora i, uzet s predznakom minus:

Posebno,

Ako su bilo koja dva vektora paralelna, tada s bilo kojim trećim vektorom čine mješoviti umnožak jednak nuli.

Ako su tri vektora linearno ovisna (tj. koplanarna, leže u istoj ravnini), tada je njihov mješoviti umnožak jednak nuli.

Geometrijsko značenje - Mješoviti umnožak jednak je u apsolutnoj vrijednosti volumenu paralelopipeda (vidi sliku) kojeg čine vektori i; predznak ovisi o tome da li je ta trojka vektora desno ili lijevo.

Koplanarnost vektora.

Tri vektora (ili više) nazivaju se komplanarnima ako oni, svedeni na zajedničko ishodište, leže u istoj ravnini

Svojstva komplanarnosti

Ako je barem jedan od tri vektora nula, tada se tri vektora također smatraju koplanarnima.

Trojka vektora koja sadrži par kolinearnih vektora je komplanarna.

Mješoviti produkt koplanarnih vektora. Ovo je kriterij koplanarnosti triju vektora.

Koplanarni vektori su linearno ovisni. Ovo je također kriterij za komplanarnost.

U 3-dimenzionalnom prostoru, 3 nekoplanarna vektora čine bazu

Linearno ovisni i linearno neovisni vektori.

Linearno ovisni i nezavisni vektorski sustavi.Definicija. Vektorski sustav naziva se linearno ovisna, ako postoji barem jedna netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru. Inače, t.j. ako je samo trivijalna linearna kombinacija zadanih vektora jednaka nultom vektoru, vektori se nazivaju linearno nezavisan.

Teorem (linearni kriterij ovisnosti). Da bi sustav vektora u linearnom prostoru bio linearno ovisan, potrebno je i dovoljno da je barem jedan od tih vektora linearna kombinacija ostalih.

1) Ako među vektorima postoji barem jedan nulti vektor, tada je cijeli sustav vektora linearno ovisan.

Zapravo, ako je, na primjer, , tada, uz pretpostavku , imamo netrivijalnu linearnu kombinaciju .▲

2) Ako među vektorima neki čine linearno ovisan sustav, tada je cijeli sustav linearno ovisan.

Doista, neka su vektori , , linearno ovisni. To znači da postoji netrivijalna linearna kombinacija jednaka nultom vektoru. Ali onda, pod pretpostavkom , također dobivamo netrivijalnu linearnu kombinaciju jednaku nultom vektoru.

2. Osnova i dimenzija. Definicija. Sustav linearno neovisnih vektora zove se vektorski prostor osnova ovog prostora ako se bilo koji vektor iz može prikazati kao linearna kombinacija vektora ovog sustava, tj. za svaki vektor postoje realni brojevi tako da vrijedi jednakost vektorska dekompozicija prema osnovi i brojevima se zovu koordinate vektora u odnosu na bazu(ili u osnovi) .

Teorem (o jedinstvenosti proširenja s obzirom na bazu). Svaki vektor u prostoru može se proširiti u bazu na jedini način, tj. koordinate svakog vektora u bazi određuju se nedvosmisleno.