Određivanje ugiba i kutova zakreta mora metodom. Određivanje progiba i kutova zakreta mora metodom Čvrstoća stijena
Teorija čvrstoće graničnih stanja naprezanja, koju je predložio Mohr (početak dvadesetog stoljeća), temelji se na pretpostavci da čvrstoća materijala u općem slučaju napregnutog stanja ovisi uglavnom o veličini i predznaku najvećeg s 1 a najmanji s 3 od glavnih naprezanja. Prosječno glavno naprezanje samo malo utječe na čvrstoću.
Ako se pri zadanim vrijednostima s 1 i s 3 naruši čvrstoća materijala, tada se krug izgrađen na tim naprezanjima naziva ograničavajućim. Mijenjajući stanje graničnog naprezanja, dobivamo za dati materijal familiju graničnih krugova (slika 39):
Eksperimenti pokazuju da kako prelazimo iz područja napetosti u područje pritiska, snaga raste. To odgovara povećanju promjera graničnih krugova kako se pomiče ulijevo. Omotnica ABCD obitelji graničnih kružnica ograničava područje jakosti.
U prisutnosti ograničavajuće ovojnice, izračun čvrstoće je vrlo jednostavan. Koristeći pronađene vrijednosti glavnih naprezanja s 1 i s 3, konstruiramo krug. Čvrstoća će biti osigurana ako u potpunosti leži unutar omotnice. Omotnica se određuje konstruiranjem nekoliko krugova iz eksperimentalnih podataka pri različitim kombinacijama glavnih naprezanja.
O primjenjivosti jedne ili druge teorije čvrstoće za praktične proračune može se reći sljedeće. Razaranje materijala nastaje kidanjem zbog vlačnih naprezanja i smicanjem zbog najvećih tangencijalnih naprezanja. U tom slučaju može doći do loma odvajanjem s vrlo malim zaostalim deformacijama ili bez njih uopće (krti lom). Lom smicanjem događa se tek nakon neke zaostale deformacije (duktilni lom). Iz ovoga je jasno da prvu i drugu teoriju čvrstoće, koje odražavaju slom kidanjem, treba primijeniti na materijale u krtom stanju. Treću i četvrtu teoriju čvrstoće, koje odražavaju početak popuštanja i slom uslijed smicanja, treba primijeniti na materijale u plastičnom stanju. Mohrova teorija čvrstoće je univerzalna i primjenjiva na sve materijale.
Budući da prva i druga teorija čvrstoće imaju značajne nedostatke, danas se sve više uvriježilo mišljenje da je njihova uporaba nepoželjna.
Stoga se za praktične izračune preporučuje:
a) treća teorija (ili četvrta) - za materijale koji su jednako otporni na napetost i pritisak;
b) Mohrova teorija - za materijale koji imaju različitu otpornost na napetost i pritisak.
Treba naglasiti da je krhko ili plastično stanje materijala određeno ne samo njegovom prirodom, već i vrstom stanja naprezanja, temperaturom i brzinom opterećenja. Kao što eksperimenti pokazuju, plastični materijali kada određenim uvjetima pod opterećenjem i temperaturom ponašaju se kao krti, dok se istovremeno krti materijali pod određenim stanjima naprezanja ponašaju kao duktilni.
Tako se, primjerice, u napregnutim stanjima, kada su sva tri glavna naprezanja vlačna i bliska po veličini, plastični materijali ponašaju kao krti.
U stanjima naprezanja koja su bliska svestranoj kompresiji, krti materijali mogu se ponašati kao duktilni. Kada su potpuno stisnuti, materijali mogu izdržati vrlo visoke pritiske bez kolapsa.
Mohrov integral omogućuje određivanje otklona i kutova rotacije danog dijela grede pomoću integralnog računa. Iako je ova metoda poželjnija od metode početnih parametara, nezgodna je zbog potrebe za izračunavanjem integrala. Iz Mohrovog integrala dobili smo prikladno rješenje za praktična aplikacija Vereščaginovo pravilo, u kojem nema potrebe izračunavati integrale, već samo treba pronaći površinu i težište dijagrama.
Dobivanje Mohrove integralne formule
Razmotrite gredu prikazanu na sl. 15.6, a. Označimo i, redom, moment savijanja i poprečnu silu koja nastaje u određenoj gredi od skupine opterećenja P koja na nju djeluju. Neka je potrebno odrediti progib grede () u točki K.
Uvedimo u razmatranje pomoćnu gredu (istu gredu, ali opterećenu samo jediničnom silom ili jediničnim momentom savijanja). Opteretimo ga samo jednom silom (Sl. 15.6, b). Djelujemo jediničnom silom u točki K, gdje trebamo odrediti otklon.
Označavamo unutarnje sile koje nastaju u pomoćnoj gredi i .
Poslužimo se sada teoremom reciprociteta rada, prema kojem rad vanjske sile primijenjen na pomoćnu gredu pri odgovarajućim pomacima dane grede jednak je radu uzetom sa suprotnim predznakom unutarnje sile zadane grede na odgovarajuća kretanja pomoćne grede. Zatim 
.
Pri određivanju pomaka u gredi u pravilu se može zanemariti utjecaj transverzalne sile (zanemariti drugi član).
Zatim, uzimajući u obzir da , konačno dobivamo Mohrova integralna formula: 
.
Određivanje pomaka pomoću Mohrove integralne formule često se naziva određivanje pomaka Mohrovom metodom, a sama formula – Mohrovim integralom.
Momenti savijanja uključeni u Mohrov integral uzeti su u proizvoljnom presjeku i stoga predstavljaju analitičke funkcije od trenutne z koordinate.
Imajte na umu da ako želimo odrediti kut rotacije poprečnog presjeka () u istoj točki K, tada ne trebamo primijeniti jediničnu silu, već jedinični moment na pomoćnu gredu (slika 15.6, c).
postupak izračuna pomaka Mohrovom metodom:
· djelovati jediničnom silom na pomoćnu gredu na mjestu gdje je potrebno odrediti pomak. Pri određivanju otklona primjenjujemo jediničnu silu, a pri određivanju kuta zakreta jedinični moment;
· za svaki presjek grede sastavljamo izraze za momente savijanja zadane () i pomoćne () grede;
· izračunati Mohrov integral za cijelu gredu u odgovarajućim presjecima;
· ako izračunati pomak ima pozitivan predznak, to znači da se njegov smjer poklapa sa smjerom jedinične sile. Negativan predznak označava da je stvarni smjer željenog pomaka suprotan smjeru jedinične sile.
Izračun primjera Mohrovog integrala
Pretpostavimo da je za jednostavno poduprtu gredu konstantne krutosti na savijanje, duljine l, opterećenu jednoliko raspodijeljenim opterećenjem intenziteta q (slika 15.7, a), potrebno odrediti progib u sredini raspona () i kut rotacije na lijevom nosaču ().
određivanje progiba pomoću Mohrovog integrala
Na mjestu gdje trebamo odrediti otklon, primjenjujemo jediničnu silu na pomoćnu gredu (slika 15.7, b).
Zapisujemo izraze za momente savijanja za svaki od dva presjeka () zadane i pomoćne grede:
.
Ova teorija koristi se u proračunu čvrstoće konstrukcijskih elemenata izrađenih od materijala koji su nejednako otporni na napetost i pritisak. Uvjet za nastanak opasnog stanja ispisuje se u sljedećem obliku:
Gdje Do =
Za poseban slučaj dvoosnog stanja naprezanja (o x = o, Oy = 0, x^ = x, c z = x xz = x yz= 0) uvjet čvrstoće pomoću metode graničnog stanja pomoću formule (11.35) ima oblik Za materijale koji su jednako otporni na napetost i pritisak, Do= 1 i formule za izračun prema Mohrovoj teoriji podudaraju se sa sličnim formulama teorije maksimalnih tangencijalnih naprezanja. Mohrova teorija čvrstoće dobro je eksperimentalno potvrđena i za duktilne i za lomljive materijale, posebno za a, > 0, a 3 Zaključno, napominjemo da su za procjenu čvrstoće konstrukcija izrađenih od anizotropnih materijala, na primjer, plastike od stakloplastike, koja se nedavno široko koristi, predložene nove teorije čvrstoće. Međutim, te teorije zahtijevaju daljnje pojašnjenje i eksperimentalnu provjeru. Primjer 11.10. Provjerimo čvrstoću I-grede 130 prikazane na sl. 11.34, A. U izračunima uzimamo L = 210 MPa = 21 kN/cm 2, R s = 130 MPa = 13 kN/cm 2 (proračunska posmična čvrstoća), y c = 1.0. Smatramo da je vrijednost opterećenja izračunata. Određujemo reakcije podrške i gradimo dijagrame Q I M(Sl. 11.34, A). Opasni dio je C, gdje se primjenjuje koncentrirana sila. Za valjanu I-gredu 130 (Sl. 11.34, 6)
imamo: h = 30 cm, b= 13,5 cm, d= 0,65 cm, t= 1,02 cm, Jz= 7080 cm 4, W z= 472 cm 3, Sj 1= 268 cm 3 (statički moment polupresjeka). Čvrstoću grede provjeravamo najvećim normalnim naprezanjima u krajnjim vlaknima i najvećim posmičnim naprezanjima na razini neutralne osi: Osigurana je čvrstoća grede pri najvećim naprezanjima. Međutim, potrebno je provjeriti čvrstoću na točkama zida I-grede na mjestima gdje se spaja s policama (razina y = h/2 - t -= 15 - 1,02 = 13,98 cm). Odredite napon na donjem spoju M ( riža. 11.34, b) opasni dio: Gdje S™- statički moment površine poprečnog presjeka prirubnice I-grede u odnosu na os Oz. Pri njegovom određivanju poprečni presjek police približno se smatra pravokutnim: Jer u točki M normalni i posmični naponi su prilično veliki; za provjeru čvrstoće grede potrebno je koristiti odgovarajuću teoriju čvrstoće. Uz pretpostavku da je zid I-nosača u dvoosnom stanju naprezanja pri = 0 (Sl. 11.34, V), a korištenjem energetske teorije čvrstoće, pomoću formule (11.42) dobivamo Snaga snopa u točki M također je predviđeno. Primjer 11.11. Za čeličnu konzolnu slomljenu šipku kružnog poprečnog presjeka, podložnu savijanju torzijom (Sl. 11.35, A), Odredimo promjer iz uvjeta čvrstoće prema teoriji maksimalnih tangencijalnih naprezanja. U izračunima ćemo prihvatiti [o] = 160 MPa = 16 kN/cm2. Konstruirajmo dijagrame normalnih i tangencijalnih naprezanja u opasnom presjeku. Vertikalna sila uzrokuje savijanje šipki AB I Sunce u avionu Ohoo i torzija štapa AB. Horizontalna sila uzrokuje savijanje dijela štapa AB u avionu Oxz. Imajte na umu da pri proračunu šipki AB I Sunce korišten je pokretni koordinatni sustav. Gradimo dijagrame momenata savijanja M z I M i okretni moment M k(vidi sl. 11.35, A). Dimenzija momenata data je u kNcm. Sva tri boda su negativna. Presjek šipke je opasan AB u ormaru, gdje su trenuci M z, M y I M k imati najviše vrijednosti. Izračunajmo vrijednost ukupnog momenta savijanja u ugradnji: Ukupni moment savijanja uzrokuje kompresiju u točkama presjeka u prvoj četvrtini koordinatnog sustava. Opasne točke su točke konture poprečnog presjeka u kojima su normalna naprezanja od savijanja i posmična naprezanja od torzije najveća. Koristeći teoriju čvrstoće najvećih tangencijalnih naprezanja i formule (11.19) i (11.22) za najveći ai, dobivamo, uzimajući u obzir jednakost fV p = 2 W M sljedeći uvjet: Koristeći formulu (11.20) za F i okrugli puni presjek, određujemo potrebni promjer šipke: Prihvacamo D= 4,8 cm i odredite najveće vrijednosti normalnih i tangencijalnih naprezanja u presjeku A: Za konstruiranje dijagrama o in section A odrediti kut nagiba nulte crte prema osi Oz S obzirom da za kružni isječak J z = J y , pronašli smo: Odvojite kut sjekira 0 od osi Oz suprotno od kazaljke na satu i konstruirajte dijagrame o i t u presjeku A(Sl. 11.35, b).
Prema ovoj teoriji, slom čvrstoće nastaje kada se na određenom mjestu pojavi najnepovoljnija kombinacija normalnog i posmičnog naprezanja.
U izvornoj formulaciji Mohrove teorije, pitanje prirode razaranja ostaje otvoreno; ovisno o tome koja je to nepovoljna kombinacija, možemo govoriti o nastanku fluidnosti ili destrukcije u doslovno riječi. Napišimo Mohrov uvjet čvrstoće na sljedeći način:
U ravnini je ova jednadžba prikazana nekom krivuljom (slika 265). Za procjenu snage potrebno je uzeti u obzir sve vrste platformi koje prolaze ovu točku, te provjeriti je li barem na jednom od njih zadovoljena jednakost (182.1).
Svako mjesto odgovara točki s koordinatama na ravnini crtanja; skup tih točaka ispunjava određenu figuru. Pokažimo da je krivulja koja ograničava vanjsku stranu ove figure Mohrova kružnica izgrađena na naprezanjima. Doista, točke ove kružnice predstavljaju napregnuta stanja na područjima paralelnim s osi i stoga pripadaju željenoj slici. Sada nam je dovoljno pokazati da točka M, koja se nalazi izvan Mohrove kružnice, izgrađena na naprezanjima, ne može predstavljati napregnuto stanje ni na jednom mjestu.
Da bismo to dokazali, pretpostavimo suprotno. Tada je segment MC veći od polumjera Mohrove kružnice i imamo sljedeću nejednakost:
Ovdje su koordinate točke M.
Nakon elementarnih transformacija ova će nejednakost poprimiti sljedeći oblik:
Prema pretpostavci, to su normalni i posmični naponi na određenom području. Neka kosinusi smjera njegove normale s obzirom na glavne osi budu Tada, prema formulama iz § 39.
Uvodeći ove izraze za s i u nejednadžbu (181.2), dobivamo:
Ali kosinusi smjera povezani su uvjetom
Stoga je prva zagrada jednaka . Smanjujući ovu vrijednost, konačno dolazimo do sljedeće nejednakosti:
Ali ova nejednakost je nemoguća. Doista, lijeva strana jest kvadratni trinom u odnosu na korijene ovog trinoma. Budući da je at trinom jednako tada at i trinom je pozitivan, dakle, pri , mora biti negativan, a po definiciji to je prosječni napon.
Posljedično, metoda provjere čvrstoće ispada da je ista kao u prethodnom odlomku: koristeći naprezanja, konstruira se Mohrov krug, čvrstoća je osigurana u slučaju kada ovaj krug ne siječe graničnu krivulju.
Oblik granične krivulje nalazi se iz iskustva. Za različita stanja naprezanja koja odgovaraju stanju sloma konstruiraju se Mohrove kružnice. Granična krivulja bit će njihova ovojnica. Kao što je već više puta navedeno, eksperimentalni podaci o lomu uglavnom se odnose na ravno stanje naprezanja. Ako su poznata prekidna naprezanja pri vlačnom, tlačnom i čistom posmiku, možemo s dovoljnim stupnjem pouzdanosti konstruirati dio granične krivulje koji nam omogućuje prosuđivanje čvrstoće u svim slučajevima ravnog stanja naprezanja. Doista, s ravnim stanjem naprezanja, ako tada inače stanje naprezanja ne bi bilo ravno; slučaj kada je , nemoguće, tada . Stoga, za ravno napregnuto stanje, Mohrova kružnica izgrađena na naprezanjima ili sadrži ishodište koordinata ili prolazi kroz njega.
Konstruirajmo Mohrove krugove koji odgovaraju graničnom stanju napetosti, kompresije i čistog smicanja, kao što je prikazano na sl. 266. Omotnica ovih kružnica AB dio je granične krivulje, koja je time sasvim pouzdano određena. Mohrove granične kružnice za sva moguća ravninska stanja naprezanja će, u skladu s navedenim, dodirivati graničnu krivulju u presjeku AB. Kako bi se granična krivulja nastavila ulijevo, potrebno je imati podatke eksperimentalnog ispitivanja pod nametnutom ravnomjernom kompresijom. Takvi su eksperimenti provedeni mnogo puta, a odgovarajući rezultati su dostupni. Nastavak krivulje udesno od točke B je hipotetski; trebalo bi očekivati da ona siječe os u točki .
Apscisa ove točke predstavlja otpor kidanju pod svestranim naprezanjem, odnosno u potpunoj odsutnosti plastične deformacije. Oblik krivulje u blizini točke D potpuno je nepoznat.
Krhki materijali obično imaju veću tlačnu čvrstoću od vlačne čvrstoće; odgovarajuće vrijednosti najlakše je pronaći iz iskustva. Za izračunavanje čvrstoće u uvjetima ravnog stanja naprezanja, u prvoj aproksimaciji, možete zamijeniti krivulju ravnom linijom tangentnom na Mohrove granične krugove za napetost i kompresiju. Stvarna krivulja kao što je prikazano na sl. 266, usmjeren je konveksno prema gore, tako da napravljena pretpostavka ulazi u sigurnosnu granicu.
Uzimajući u obzir sve moguće Mohrove kružnice tangente na ravnu liniju AB (slika 267), nalazimo da su vrijednosti za te kružnice povezane linearnim odnosom. Doista, iz sličnosti trokuta OAB i KSV slijedi:
Budući da su - radijus Mohrove kružnice, segmenti AO, OB i AB fiksirani određivanjem granične ravne linije, gornja proporcija ima sljedeći oblik:
Ali ovo je linearni odnos između a i koji se može napisati na sljedeći način:
(182.3)
U vlačnom i graničnom stanju, privremena vlačna čvrstoća); Zato . Pod pritiskom i u graničnom stanju - privremeni otpor pod pritiskom); Zato . Uvjet za postizanje graničnog stanja (182.3) bit će napisan na sljedeći način:
Uvođenjem sigurnosne granice dobivamo sljedeći uvjet čvrstoće:
(182.4)
Uvjet (182.4) vrijedi i za krte i za plastične materijale, jer kada prelazi u Tresca uvjet.
Mora se zapamtiti da je uporaba formule (182.4) opravdana samo za ravno stanje naprezanja, budući da svaka ekstrapolacija linearna formula jer je jednadžba granične krivulje upitna.
Nedostatak Mohrove teorije je što ne uzima u obzir ulogu srednjeg naprezanja. Za plastične materijale, Mohrov uvjet postaje Trescin uvjet, a vidjeli smo da se postizanje plastičnog stanja bolje predviđa pomoću Misesovog uvjeta, koji sadrži sva tri glavna naprezanja. Doista, ako konstruiramo Mohrove krugove za različita granična stanja, ne ograničavajući se na napetost, kompresiju i čisti smik, kao što je prikazano na sl. 266, onda se ispostavlja da je, strogo govoreći, nemoguće nacrtati omotnicu.
Razvijanje iste ideje koja nas je prisilila da se pomaknemo iz stanja plastičnosti. Prema Misesovom uvjetu, može se pretpostaviti da je granično stanje postignuto kada se pojavi nepovoljna kombinacija oktaedarskih tangencijalnih i oktaedarskih normalnih naprezanja. Uvjet (182.1) zamjenjuje se sljedećim:
Ovdje (vidi § 41)
Odgovarajuće teorije razvili su Schleicher (1926), Yu I. Yagn (1931) i P. P. Balandin (1937). Za dobivanje računskih formula preporučljivo je postaviti neki analitički izraz za funkciju, što su učinili spomenuti autori. Čini se da teorije ovog tipa bolje odgovaraju eksperimentalnim podacima nego Mohrova teorija.
Pretpostavimo da možemo provesti eksperiment pod bilo kojim stanjem naprezanja s proporcionalnom promjenom svih komponenti tenzora naprezanja. Izaberimo neko stanje naprezanja i proporcionalno povećavajmo sve komponente dok stanje naprezanja ne postane limitirajuće. Uzorak će ili razviti plastične deformacije ili će propasti. Nacrtajmo to u ravnini 
najveći od Mohrovih krugova. Pretpostavit ćemo da granično stanje ne ovisi o 
. Uzimajući, nadalje, nova stanja naprezanja, konstruirat ćemo krugove 2, 3, 4……… Nacrtat ćemo zajedničku ovojnicu (Sl. 10.6).
Pretpostavimo da je ova omotnica jedina za ovaj materijal. Ako je navedena ovojnica, tada se faktor sigurnosti može postaviti za bilo koje stanje naprezanja. U tom pristupu nisu prihvaćene nikakve hipoteze i Mohrova se teorija temeljila na logičnoj sistematizaciji eksperimentalnih rezultata.
Za određivanje ovojnice važno je pronaći tzv 
, što odgovara troosnoj ravnomjernoj napetosti. Još uvijek ne postoji metoda za određivanje ove točke eksperimentalno. Općenito, nije moguće provoditi pokuse kada su sva tri glavna naprezanja vlačna. Stoga još nije moguće konstruirati granični krug za materijal koji se nalazi desno od graničnog kruga napetosti. Sada je ovojnica aproksimirana tangentom na dvije granične kružnice napetosti i kompresije. Kada je moguće provesti svestrano rastezanje, oblik se može poboljšati (Sl. 10.8).
Odnos između napona 
I 
jer se ravna crta ovojnice može prikazati kao
(10.1)
Nađimo koeficijent 
I 
pomoću graničnih krugova napetosti i kompresije.
Kada se rasteže 
zamjenom u 10.1 nalazimo
,
.
Kada se stisne 
.
Tako:
Ili ćemo ga konačno dobiti
Poglavlje 11. Čvrstoća materijala pod ciklički promjenjivim naprezanjima
11.1. Pojam čvrstoće na zamor
S pojavom prvih strojeva postalo je poznato da se pod utjecajem vremenski promjenjivih naprezanja dijelovi uništavaju pod manjim opterećenjima od onih koji su opasni pod stalnim naprezanjima. Razvojem tehnologije i nastankom vozila za velike brzine počinju se otkrivati lomovi na osovinama automobila i lokomotiva, kotačima, tračnicama, oprugama, raznim vrstama vratila, klipnjača i sl. Lomovi dijelova nisu se dogodili odmah, često nakon dugotrajnog rada stroja. Dijelovi su u pravilu uništeni bez vidljivih zaostalih deformacija, čak i u slučajevima kada su izrađeni od plastičnih materijala. Pojavila se pretpostavka da pod utjecajem izmjeničnih naprezanja materijal s vremenom postupno degenerira, kao da se "umorio" i umjesto da postane plastičan, postaje krt.
Kasnije, usavršavanjem laboratorijskih metoda istraživanja, utvrđeno je da se struktura i mehanička svojstva materijala ne mijenjaju, ali je pojam "zamor", iako ne odgovara fizičkoj prirodi pojave, ostao i široko je uvriježen. koristi se danas.
Otkazivanje materijala uslijed "zamora" dugo je privlačilo pozornost istraživanja. Međutim, priroda ovog uništenja još uvijek je uglavnom nejasna. Najzadovoljavajuće objašnjenje na ovoj razini znanstvenog razvoja je sljedeće.
U zoni povećanih naprezanja uzrokovanih projektno-tehnološkim ili konstrukcijskim čimbenicima mogu nastati mikropukotine. S ponovljenim promjenama naprezanja, kristali koji se nalaze u zoni mikropukotina će se početi urušavati i pukotine će početi prodirati duboko u dio. Dodirne površine u zoni pukotine počet će se trljati jedna o drugu, tvoreći glatku površinu; Tako nastaje jedna od budućih zona površine loma. Kao rezultat razvoja pukotine, presjek je oslabljen. U posljednjoj fazi dolazi do iznenadnog uništenja. Prijelom ima karakterističnu površinu s netaknutim kristalima (slika 11.1).
