Zbrojite razlomke s različitim nazivnicima. Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka

Da biste zbrojili dva razlomka s različitim nazivnicima, morate izvršiti sljedeću operaciju: pretvaranje razlomaka u zajednički nazivnik .

Za ovo:

1) pronađite LCM - najmanji zajednički višekratnik 2 nazivnika.

2) pomnožite brojnik svakog razlomka s vrijednošću: LCM / originalni nazivnik.

3) nazivnik svakog razlomka bit će = LCM.

4) nakon toga vršimo zbrajanje prema pravilu za zbrajanje razlomaka sa isti nazivnici.

Primjer- izvoditi zbrajanje 1/2 i 2/3.

1) Od 2 i 3 - primarni brojevi, tada je LCM = 2*3 = 6.

2) Faktori koji nedostaju: za prvi razlomak: 6/2 = 3, za drugi razlomak: 6/3 = 2.

3) Nakon množenja brojnika faktorom koji nedostaje, dobivamo razlomke: 3/6 i 4/6.

4) Kada zbrajate 2 razlomka s istim nazivnicima, zbrojite brojnike, a nazivnik će biti isti kao i članovi.

Kao rezultat, dobivamo: 3/6 + 4/6 = 7/6.

Druga opcija: ako se dva razlomka mogu prikazati kao konačni razlomci decimale, tada možete izvesti zbrajanje u obliku decimalnih razlomaka, a zatim rezultat pretvoriti natrag u obični razlomak.

Na primjer, 1/5 + 1/2 = 0,2 + 0,5 = 0,7 = 7/10.

Moramo svesti razlomke na zajednički nazivnik.

(a/b) + (c/d) = (ad/bd) + (bc/bd) = (ad + bc)/bd

Da biste zbrojili razlomke s različitim nazivnicima, morate ih svesti na zajednički nazivnik. Pronađite broj koji je djeljiv s oba nazivnika.

Recimo da trebamo dodati 2/3 na 3/4.

nalazimo zajednički nazivnik, broj koji bi bio djeljiv i sa 3 i sa 4. Taj broj je 12.

Podijelimo 12 s 3. Dobivamo 4. Pomnožimo 2 s 4 i dobijemo 8. Dobiveni razlomak je 8/12.

Podijelimo 12 s 4. Dobit ćemo 3. Pomnožimo 3 s 3 i dobijemo 9. Drugi razlomak je 9/12.

Sada zbrojite 8/12 i 9/12 da biste dobili 17/12.

Možete zbrojiti dva razlomka koji imaju različite nazivnike samo tako da ova dva postojeća razlomka dovedete do zajedničkog nazivnika. Prije svega, moramo odlučiti o zajedničkom višekratniku rastavljanjem razlomaka na faktore. Nakon toga, brojnike također treba pomnožiti s dodatnim faktorima kako bi se zadržao udio u razlomku. Primjer:

treba dovesti pod zajednički nazivnik. U našem slučaju jest bd, zatim tražimo dodatne faktore za prvi i drugi razlomak: za 1. - d, do 2. - b. Množimo brojnik dodatnim faktorom i na kraju dobijemo razlomak - ad+cb/bd

Nije teško, najvažnije je pronaći zajednički nazivnik, a da biste ga pronašli, pogledajte ovaj savjet.



Pronalazimo zajednički nazivnik, zbrajamo brojnike i dobivamo rezultat.



Glavna stvar je pronaći najmanji nazivnik, a za to morate znati tablicu množenja, tada će se primjeri s razlomcima riješiti vrlo brzo, i što je najvažnije - ispravno.

Prvi korak je pretvoriti dva razlomka tako da im nazivnici budu identični.

Primjer: 1/5 + 4/2

Kao što vidite, najmanji broj kojim se dijele nazivnici dvaju gornjih razlomaka, naime 5 i 2, bit će broj 10.

Dobivamo 2/10 + 20/10 = 22/10 ili 2 cijela 2/10 ili 2 cijela 1/5.

Da bismo mogli zbrojiti dva obična razlomka, potrebno ih je dovesti na zajednički nazivnik i tada ostaje samo zbrojiti brojnike tih razlomaka i, ako je moguće, izvršiti naknadno svođenje. Doći do zajedničkog nazivnika nije teško. Ili tražimo minimalne faktore za oba nazivnika, dovodeći ih do istog broja, na primjer, za nazivnike 3 i 9 to će biti 6 odnosno 2, što će dati broj 18 u nazivniku, ili jednostavno množimo zajedno ih i pomnožite s istim brojevima prema tome i brojnicima tih razlomaka.

3/7 +7/9 = 3*9/7*9 + 7*7/7*9 = 18/63 + 49/63 = 67/63 ili 1 + 4/63

Dobar dan, ovdje trebate dati nazivnik, a nakon toga možete početi. Na primjer, želite zbrojiti 1/3 + 1/2, za njih će zajednički nazivnik biti šest, tada trebate pomnožiti prvi razlomak s. dva, a drugi za šest, tada dobivamo: 2/6+3/6, a odgovor će biti 5/6.

Da biste zbrojili dva razlomka s različitim nazivnicima, prvo trebate pronaći njihov zajednički nazivnik. A onda, nakon što imaju isti nazivnik, možete dodati njihove brojnike. Sada je nova frakcija spremna.

Djetetu je teško razumjeti razlomke. Većina ljudi ima poteškoća s. Prilikom proučavanja teme "zbrajanje razlomaka s cijelim brojevima", dijete pada u stupor, teško mu je riješiti problem. U mnogim primjerima, prije izvođenja radnje mora se izvršiti niz izračuna. Na primjer, pretvorite razlomke ili pretvorite nepravi razlomak u pravi razlomak.

Objasnimo to jasno djetetu. Uzmimo tri jabuke od kojih će dvije biti cijele, a treću isjeći na 4 dijela. Od izrezane jabuke odvojite jednu krišku, a preostale tri stavite uz dvije cijele voćke. S jedne strane dobijemo ¼ jabuke, a s druge 2 ¾. Ako ih spojimo, dobit ćemo tri jabuke. Pokušajmo 2 ¾ jabuke smanjiti za ¼, odnosno maknemo još jednu krišku, dobivamo 2 2/4 jabuke.

Pogledajmo pobliže operacije s razlomcima koji sadrže cijele brojeve:

Prvo, prisjetimo se pravila izračuna za frakcijske izraze sa zajedničkim nazivnikom:

Na prvi pogled sve je lako i jednostavno. Ali to se odnosi samo na izraze koji ne zahtijevaju pretvorbu.

Kako pronaći vrijednost izraza u kojem su nazivnici različiti

U nekim zadacima treba pronaći značenje izraza u kojem su nazivnici različiti. Pogledajmo konkretan slučaj:
3 2/7+6 1/3

Pronađimo vrijednost ovog izraza pronalaženjem zajedničkog nazivnika za dva razlomka.

Za brojeve 7 i 3 to je 21. Cijele dijelove ostavljamo istima, a razlomke dovodimo do 21, za to prvi razlomak množimo s 3, drugi sa 7, dobivamo:
6/21+7/21, ne zaboravite da se cijeli dijelovi ne mogu pretvoriti. Kao rezultat toga dobivamo dva razlomka s istim nazivnikom i izračunavamo njihov zbroj:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Što ako je rezultat zbrajanja nepravi razlomak koji već ima cjelobrojni dio:
2 1/3+3 2/3
U ovom slučaju zbrajamo cijele dijelove i razlomke, dobivamo:
5 3/3, kao što znate, 3/3 je jedan, što znači 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Pronalaženje zbroja je jasno, pogledajmo oduzimanje:

Iz svega rečenog, pravilo radnje gotovo mješoviti brojevi, koji zvuči ovako:

• Ako trebate oduzeti cijeli broj od frakcijskog izraza, ne morate predstaviti drugi broj kao razlomak; dovoljno je izvršiti operaciju samo na cijelim dijelovima.

Pokušajmo sami izračunati značenje izraza:

Pogledajmo pobliže primjer pod slovom "m":

4 5/11-2 8/11, brojnik prvog razlomka manji je od drugog. Da bismo to učinili, posuđujemo jedan cijeli broj iz prvog razlomka, dobivamo,
3 5/11+11/11=3 cijelo 16/11, oduzmite drugi od prvog razlomka:
3 16/11-2 8/11=1 cijeli 8/11

• Budite oprezni pri izvršavanju zadatka, ne zaboravite pretvoriti neprave razlomke u mješovite razlomke, ističući cijeli dio. Da biste to učinili, trebate podijeliti vrijednost brojnika s vrijednošću nazivnika, tada ono što se događa zauzima mjesto cijelog dijela, ostatak će biti brojnik, na primjer:

19/4=4 ¾, provjerimo: 4*4+3=19, nazivnik 4 ostaje nepromijenjen.

Rezimirati:

Prije nego počnete rješavati zadatak vezan uz razlomke, morate analizirati o kakvom se izrazu radi, koje transformacije je potrebno napraviti na razlomku da bi rješenje bilo točno. Tražite više racionalan način rješenja. Nemojte ići težim putem. Isplanirajte sve radnje, riješite ih prvo u obliku nacrta, a zatim ih prenesite u svoju školsku bilježnicu.

Kako biste izbjegli zabunu pri rješavanju frakcijskih izraza, morate slijediti pravilo dosljednosti. Sve odlučite pažljivo, bez žurbe.

Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodnih brojeva koji su nazivnici zadanih razlomaka.

Brojnicima zadanih razlomaka potrebno je dodati dodatne faktore jednake omjeru LCM i odgovarajućeg nazivnika.

Brojnici zadanih razlomaka množe se njihovim dodatnim faktorima, što rezultira brojnicima razlomaka s jednim zajedničkim nazivnikom. Znakovi radnje (“+” ili “-”) u zapisu razlomaka svedenih na zajednički nazivnik pohranjuju se prije svakog razlomka. Za razlomke sa zajedničkim nazivnikom, znakovi radnji se čuvaju ispred svakog smanjenog brojnika.

Tek sada možete zbrojiti ili oduzeti brojnike i ispod rezultata potpisati zajednički nazivnik.

Pažnja! Ako u dobivenom razlomku brojnik i nazivnik imaju zajedničke faktore, tada se razlomak mora smanjiti. Preporučljivo je nepravi razlomak pretvoriti u mješoviti razlomak. Ostavljanje rezultata zbrajanja ili oduzimanja bez poništavanja razlomka gdje je to moguće je nepotpuno rješenje primjera!

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Pravilo. Do zbrajati ili oduzimati razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na najmanji zajednički nazivnik, a zatim izvršiti zbrajanje ili oduzimanje kao kod razlomaka s istim nazivnicima.

Postupak zbrajanja i oduzimanja razlomaka s različitim nazivnicima

1. pronaći LCM svih nazivnika;
2. dodati dodatne faktore svakom razlomku;
3. pomnožite svaki brojnik dodatnim faktorom;
4. uzmite dobivene umnoške kao brojnike, potpisujući zajednički nazivnik ispod svakog razlomka;
5. zbrajati ili oduzimati brojnike razlomaka potpisujući zajednički nazivnik ispod zbroja ili razlike.

Razlomci se također mogu zbrajati i oduzimati ako u brojniku ima slova.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Započnimo s pogledom na jednostavan primjer- zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima. U ovom slučaju samo trebate izvršiti operacije s brojnicima - dodati ih ili oduzeti.

Pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima, nazivnik se ne mijenja!

Glavna stvar je ne izvoditi nikakve operacije zbrajanja ili oduzimanja u nazivniku, ali neki školarci zaboravljaju na to. Da bismo bolje razumjeli ovo pravilo, poslužimo se principom vizualizacije, odnosno govorenja jednostavnim riječima, pogledajmo primjer iz stvarnog života:

Imate pola jabuke - to je ½ cijele jabuke. Daju vam drugu polovicu, odnosno još ½. Očito, sada imate cijelu jabuku (ne računajući činjenicu da je izrezana :)). Stoga je ½ + ½ = 1, a ne nešto drugo poput 2/4. Ili vam se ova polovica oduzima: ½ - ½ = 0. U slučaju oduzimanja s jednakim nazivnicima nastaje posve poseban slučaj - kada oduzimamo jednake nazivnike, dobivamo 0, ali ne možemo dijeliti s 0, pa će taj razlomak nema smisla.

Navedimo posljednji primjer:

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Što učiniti ako su nazivnici različiti? Da bismo to učinili, najprije moramo svesti razlomke na isti nazivnik, a zatim postupiti kako sam gore naznačio.

Postoje dva načina svođenja razlomka na zajednički nazivnik. Sve metode koriste jedno pravilo - Kad se brojnik i nazivnik pomnože istim brojem, razlomak se ne mijenja .

Postoje dva načina. Prvi je najjednostavniji - takozvani "križani". Sastoji se u tome da prvi razlomak pomnožimo nazivnikom drugog razlomka (i brojnik i nazivnik), a drugi razlomak pomnožimo nazivnikom prvog (slično, brojnik i nazivnik). Nakon toga postupamo kao u slučaju s identičnim nazivnicima - sada su stvarno isti!

Prethodna metoda je univerzalna, ali u većini slučajeva mogu se pronaći nazivnici razlomaka najmanji zajednički višekratnik - broj koji dijeli i prvi nazivnik i drugi, i to najmanji. U ovoj metodi morate biti u mogućnosti vidjeti takve LOC-ove, jer je njihova posebna pretraga prilično prostrana i inferiorna u brzini od metode "ukršteno". Ali u većini slučajeva, NOC su prilično vidljivi ako držite oči otvorene i dovoljno vježbate.

Nadam se da ste sada tečni u zbrajanju i oduzimanju razlomaka!

Obični frakcijski brojevi prvi put se susreću sa školskom djecom u 5. razredu i prate ih cijeli život, budući da je u svakodnevnom životu često potrebno razmatrati ili koristiti predmet ne kao cjelinu, već u zasebnim dijelovima. Počnite proučavati ovu temu - dionice. Udjeli su jednaki dijelovi, u koji je podijeljen ovaj ili onaj objekt. Uostalom, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, duljinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj, treba uzeti u obzir dijelove ili razlomke neke mjere. Nastala od glagola "razdvojiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, sama riječ "frakcija" nastala je u ruskom jeziku u 8. stoljeću.

U kontaktu s

Kolege

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežom granom matematike. U 17. stoljeću, kada su se pojavili prvi udžbenici matematike, nazivali su ih "razbijeni brojevi", što je ljudima bilo vrlo teško razumjeti.

Suvremeni oblik jednostavnih frakcijskih ostataka, čiji su dijelovi odvojeni vodoravnom crtom, prvi je promovirao Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegovi radovi datiraju iz 1202. godine. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako se množe mješoviti razlomci s različitim nazivnicima.

Množenje razlomaka s različitim nazivnicima

U početku je vrijedno odrediti vrste razlomaka:

• ispravan;
• netočno;
• mješoviti.

Zatim se morate sjetiti kako se množe razlomački brojevi s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa nije teško samostalno formulirati: rezultat množenja jednostavnih razlomaka s identičnim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik je umnožak nazivnika tih razlomaka. . To jest, zapravo, novi nazivnik je kvadrat jednog od prvobitno postojećih.

Pri množenju jednostavni razlomci s različitim nazivnicima za dva ili više faktora pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod razlomačke crte biti proizvod različitih brojeva i, naravno, ne može se nazvati kvadratom jednog numeričkog izraza.

Vrijedno je razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

U primjerima se koriste metode redukcije frakcijskih izraza. Brojeve brojnika možete smanjiti samo brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se smanjiti.

Uz jednostavne razlomke postoji i pojam mješovitih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog i razlomka, odnosno zbroj je ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako radi množenje?

Navedeno je nekoliko primjera za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primjer koristi množenje broja s obični razlomački dio, pravilo za ovu radnju može se napisati kao:

a* b/c = a*b /c.

Zapravo, takav umnožak je zbroj identičnih frakcijskih ostataka, a broj članova to pokazuje prirodni broj. Poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedno rješenje za množenje broja ostatkom u razlomku. Samo trebate podijeliti nazivnik ovim brojem:

d* e/f = e/F D.

Ova tehnika je korisna za korištenje kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, cijelim brojem.

Mješovite brojeve pretvorimo u neprave razlomke i dobijemo umnožak na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje način predstavljanja mješovitog razlomka kao nepravog razlomka, a može se također predstaviti kao opća formula:

a bc = a*b+ c / c, gdje se nazivnik novog razlomka formira množenjem cijelog dijela s nazivnikom i njegovim zbrajanjem s brojnikom izvornog ostatka razlomka, a nazivnik ostaje isti.

Ovaj proces također funkcionira u obrnuta strana. Da biste razdvojili cijeli dio i razlomak, morate brojnik nepravilnog razlomka podijeliti s njegovim nazivnikom pomoću "kuta".

Množenje nepravi razlomci proizvedeni na općeprihvaćen način. Kada pišete ispod jedne crte razlomka, trebate smanjiti razlomke koliko je potrebno kako biste smanjili brojeve ovom metodom i olakšali izračun rezultata.

Na internetu postoji mnogo pomoćnika za rješavanje čak i složenih problema. matematički problemi u raznim varijantama programa. Dovoljan broj takvih servisa nudi svoju pomoć u izračunavanju množenja razlomaka s različitim brojevima u nazivnicima - tzv. online kalkulatori za izračunavanje razlomaka. U stanju su ne samo množiti, već i izvoditi sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Nije teško raditi; ispunite odgovarajuća polja na web stranici, odaberite znak matematičke operacije i kliknite "izračunaj". Program izračunava automatski.

Tema aritmetičkih operacija s razlomcima aktualna je u cijelom obrazovanju učenika srednjih i srednjih škola. U srednjoj školi više ne razmatraju najjednostavnije vrste, već cjelobrojni frakcijski izrazi, ali znanje o pravilima za transformaciju i izračune dobiveno ranije primjenjuje se u izvornom obliku. Dobro savladana osnovna znanja daju potpunu sigurnost u uspješnom rješavanju najsloženijih problema.

Zaključno, ima smisla citirati riječi Lava Nikolajeviča Tolstoja koji je napisao: “Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojnik - svoje zasluge - ali svako može smanjiti svoj nazivnik - svoje mišljenje o sebi, i tim smanjenjem se približiti svom savršenstvu.