Algebraliste polünoomide arvutamisel kasutage arvutuste lihtsustamiseks lühendatud korrutusvalemid . Selliseid valemeid on kokku seitse. Peate neid kõiki peast teadma.

Samuti tuleb meeles pidada, et a ja b asemel võivad valemites olla kas arvud või mis tahes muud algebralised polünoomid.

Ruudude erinevus

Kahe arvu ruutude erinevus võrdub nende arvude ja nende summa erinevuse korrutisega.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Summa ruut

Kahe arvu summa ruut on võrdne esimese arvu ruuduga pluss esimese arvu kahekordne korrutis ja teine ​​pluss teise arvu ruut.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Pange tähele, et selle lühendatud korrutamisvalemiga on see lihtne leida suurte arvudega ruudud ilma kalkulaatorit või pikka korrutamist kasutamata. Selgitame näitega:

Leidke 112 2.

Lagundame 112 arvude summaks, mille ruudud me hästi mäletame.2
112 = 100 + 1

Kirjutage sulgudesse numbrite summa ja asetage ruut sulgude kohale.
112 2 = (100 + 12) 2

Kasutame summa ruudu valemit:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Pidage meeles, et ruutsumma valem kehtib ka kõigi algebraliste polünoomide puhul.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Hoiatus!!!

(a + b) 2 ei ole võrdne a 2 + b 2

Ruuduline vahe

Kahe arvu erinevuse ruut võrdub esimese arvu ruuduga, millest on lahutatud esimese ja teise arvu kahekordne korrutis pluss teise arvu ruut.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Samuti tasub meeles pidada väga kasulikku teisendust:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Ülaltoodud valemit saab tõestada lihtsalt sulgude avamisega:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Summa kuubik

Kahe arvu summa kuup võrdne kuubikuga esimene arv pluss kolmekordne esimese arvu ruudu korrutis ja teine ​​pluss kolmekordne esimese numbri korrutis ja teise ruut pluss teise kuup.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Seda "hirmutava" välimusega valemit on üsna lihtne meeles pidada.

Õppige, et 3 tuleb alguses.

Kahe keskel oleva polünoomi koefitsiendid on 3.

INpidage meeles, et mis tahes arv nulli astmeni on 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Lihtne on märgata, et valemis on astme a vähenemine ja astme b tõus. Saate seda kontrollida:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Hoiatus!!!

(a + b) 3 ei ole võrdne a 3 + b 3

Erinevuskuubik

Kahe arvu erinevuse kuup võrdub esimese arvu kuubiga, millest on lahutatud esimese arvu ruudu kolm korda ja teise numbri ruudu korrutis pluss kolm korda esimese arvu ja teise arvu ruudu korrutis, millest on lahutatud kuup teisest.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Seda valemit mäletatakse nagu eelmist, kuid võttes arvesse ainult märkide "+" ja "-" vaheldumist. Esimesele liikmele a 3 eelneb “+” (matemaatika reeglite järgi me seda ei kirjuta). See tähendab, et järgmisele terminile eelneb "-", seejärel jälle "+" jne.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

kuubikute summa ( Mitte segi ajada summa kuubikuga!)

Kuubikute summa võrdub kahe arvu summa ja erinevuse osalise ruudu korrutisega.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Kuubikute summa on kahe sulu korrutis.

Esimene sulg on kahe arvu summa.

Teine sulg on arvude erinevuse mittetäielik ruut. Erinevuse mittetäielik ruut on avaldis:

A 2 - ab + b 2
See ruut on mittetäielik, kuna keskel on topeltkorrutise asemel tavaline arvude korrutis.

Kuubikute erinevus (mitte segi ajada erinevuse kuubikuga!!!)

Kuubikute vahe on võrdne kahe arvu erinevuse ja summa osalise ruudu korrutisega.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Olge märkide üleskirjutamisel ettevaatlik.Tuleb meeles pidada, et kõiki ülaltoodud valemeid kasutatakse ka paremalt vasakule.

Lihtne viis lühendatud korrutusvalemite või... Pascali kolmnurga meeldejätmiseks.

Kas teil on probleeme lühendatud korrutamisvalemite meeldejätmisega? Põhjust on lihtne aidata. Peate lihtsalt meeles pidama, kuidas on kujutatud sellist lihtsat asja nagu Pascali kolmnurk. Siis jäävad need valemid alati ja kõikjal meelde, õigemini mitte meelde jätta, vaid taastada.

Mis on Pascali kolmnurk? See kolmnurk koosneb koefitsientidest, mis sisenevad vormi binoomi mis tahes astme laiendamisse polünoomiks.

Laiendame näiteks:

Selles kirjes on lihtne meeles pidada, et esimese numbri kuup on alguses ja teise numbri kuup on lõpus. Kuid seda, mis on keskel, on raske meeles pidada. Ja isegi asjaolu, et igal järgneval terminil ühe teguri aste väheneb ja teine ​​suureneb - koefitsientide ja märkide meeldejätmisega pole olukord raskem (kas see on pluss või miinus; ?).

Esiteks, koefitsiendid. Neid pole vaja pähe õppida! Joonistame kiiresti märkmiku servadesse Pascali kolmnurga ja siin nad on - koefitsiendid, juba meie ees. Alustame joonistamist kolme ühikuga, üks üleval, kaks alla, paremale ja vasakule - jah, see on juba kolmnurk:

Esimene rida, kus üks on 1, on null. Siis tuleb esimene, teine, kolmas ja nii edasi. Teise rea saamiseks peate servadele uuesti määrama ühed ja kirjutama keskele arv, mis on saadud kahe numbri lisamisel selle kohale:

Kirjutame kolmanda rea: jälle mööda ühiku servi ja jällegi, et uuele reale järgmine arv saada, liidame selle kohal olevad numbrid eelmisele reale:

Nagu võite arvata, saame igal real koefitsiendid binoomarvu laiendamisest polünoomiks:

Noh, märke on veelgi lihtsam meeles pidada: esimene on sama, mis laiendatud binoomil (laiendame summat - see tähendab pluss, erinevus - see tähendab miinust) ja siis märgid vahelduvad!

See on nii kasulik asi – Pascali kolmnurk. Kasuta seda!

Polünoomi korrutamine polünoomiga

! To polünoomi korrutamine polünoomiga, peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise polünoomi iga liikmega ja liitma saadud korrutised.

Ole ettevaatlik! Igal terminil on oma märk.

Lühendatud korrutusvalemid Polünoomid on üldiselt 7 (seitse) levinud polünoomide korrutamise juhtumit.

Mõisted jaLühendatud korrutusvalemid. Tabel

Kolm ruutude lühendatud korrutamisvalemit

1. Ruutsumma valem.

Summa ruut kaks avaldist võrdub esimese avaldise ruuduga pluss esimese avaldise kahekordne korrutis ja teine ​​pluss teise avaldise ruut.

Valemi paremaks mõistmiseks lihtsustame esmalt avaldist (laiendame summa ruudu valemit)

Nüüd faktoriseerime (ahendame valem)

Toimingute jada faktoringu puhul:

1. määrake, millised monooomid olid ruudus ( 5 Ja 3 m);
2. kontrollige, kas nende topeltkorrutis on valemi keskel (2 5 3m = 30 m);
3. kirjuta vastus üles (5 + 3 m) 2.

2. Ruuduvahe valem

Ruuduline vahe kaks avaldist võrdub esimese avaldise ruuduga, millest on lahutatud esimese avaldise kahekordne korrutis ja teine ​​pluss teise avaldise ruut.

Esiteks lihtsustame väljendit (laiendame valemit):

Ja siis vastupidi, faktoriseerime selle (ahendame valem):

3. Ruuduvahe valem

Kahe avaldise ja nende erinevuse summa korrutis on võrdne nende avaldiste ruutude erinevusega.

Ahendame valemi (sooritame korrutamist)

Laiendame nüüd valemit (tegurit)

Neli kuubikute lühendatud korrutamisvalemit

4. Kahe arvu summa kuubi valem

Kahe avaldise summa kuup võrdub esimese avaldise kuubiga pluss kolmekordne esimese avaldise ruudu korrutis ja teise pluss kolmekordne esimese avaldise ruudu korrutis ja teise avaldise ruudu korrutis pluss avaldise kuup. teine ​​väljend.

Toimingute jada valemi "ahendamisel":

1. leidke kuubitud monomiaalid (siin 4x Ja 1 );
2. kontrollige keskmisi tingimusi valemile vastavuse osas;
3. kirjuta vastus üles.

5. Kahe arvu erinevuse kuubi valem

Kahe avaldise erinevuse kuup võrdub esimese avaldise kuubiga, millest on lahutatud esimese avaldise ruudu korrutis ja teise avaldise ruudu korrutis ja teise avaldise ruudu korrutis ning teise avaldise ruudu korrutis, millest on lahutatud avaldise kuup. teine ​​väljend.

6. Kuubikute summa valem

Kahe avaldise kuubikute summa võrdub esimese ja teise avaldise summa ning nende avaldiste erinevuse mittetäieliku ruudu korrutisega.

Ja tagasi:

7. Kuubikute erinevuse valem

Kahe avaldise kuubikute vahe on võrdne esimese ja teise avaldise erinevuse ja nende avaldiste summa osalise ruudu korrutisega.

Lühendatud korrutusvalemite rakendamine. Tabel

Näide valemite kasutamisest praktikas (suuline arvutamine).

Ülesanne: Leidke ruudu pindala, mille külg on a = 71 cm.

Lahendus: S = a2. Kasutades ruutsumma valemit, saame

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 * 70 * 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2

Vastus: 5041 cm2

Üks esimesi algebrakursusel õpitavaid teemasid on lühendatud korrutusvalemid. 7. klassis kasutatakse neid kõige lihtsamates olukordades, kus avaldises on vaja ära tunda üks valemitest ja tegureerida polünoomi või vastupidi kiiresti summa või vahe ruut või kuup. Tulevikus kasutatakse FSU-d kiireks võrratuste ja võrrandite lahendamiseks ning isegi mõne arvulise avaldise arvutamiseks ilma kalkulaatorita.

Kuidas valemite loend välja näeb?

Seal on 7 põhivalemit, mis võimaldavad sulgudes olevaid polünoome kiiresti korrutada.

Mõnikord sisaldab see loend ka neljanda astme laiendust, mis tuleneb esitatud identiteetidest ja millel on vorm:

a⁴ — b⁴ = (a - b) (a + b) (a² + b²).

Kõigil võrdustel on paar (summa - vahe), välja arvatud ruutude erinevus. Ruudude summa valemit ei ole antud.

Ülejäänud võrdsusi on lihtne meeles pidada:

Tuleb meeles pidada, et FSU-d töötavad igal juhul ja mis tahes väärtuste jaoks a Ja b: need võivad olla suvalised arvud või täisarvulised avaldised.

Olukorras, kus te äkki ei mäleta, milline märk on valemis konkreetse termini ees, saate avada sulud ja saada sama tulemuse, mis pärast valemi kasutamist. Näiteks kui erinevuse kuubi FSU rakendamisel tekkis probleem, peate üles kirjutama algse avaldise ja sooritage korrutamine ükshaaval:

(a - b)³ = (a - b) (a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² – b³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Selle tulemusena saadi pärast kõigi sarnaste terminite toomist sama polünoom, mis tabelis. Samu manipuleerimisi saab teha ka kõigi teiste FSU-dega.

FSU rakendamine võrrandite lahendamiseks

Näiteks peate lahendama võrrandi, mis sisaldab 3. astme polünoom:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Kooli õppekavas ei käsitleta universaalseid kuupvõrrandite lahendamise tehnikaid ja selliseid ülesandeid lahendatakse enamasti lihtsamate meetoditega (näiteks faktoriseerimine). Kui märkame, et identiteedi vasak pool meenutab summa kuupi, siis saab võrrandi kirjutada lihtsamal kujul:

(x + 1)³ = 0.

Sellise võrrandi juur arvutatakse suuliselt: x = -1.

Ebavõrdsust lahendatakse sarnaselt. Näiteks saate ebavõrdsuse lahendada x³ – 6x² + 9x > 0.

Kõigepealt peate arvestama väljendiga. Esmalt tuleb sulguda x. Pärast seda pange tähele, et sulgudes oleva avaldise saab teisendada erinevuse ruuduks.

Seejärel peate leidma punktid, kus avaldis võtab nullväärtusi, ja märkima need arvureale. Konkreetsel juhul on need 0 ja 3. Seejärel määrake intervallmeetodi abil, millistes intervallides x vastab ebavõrdsuse tingimusele.

FSU-d võivad täitmisel kasulikud olla mõned arvutused ilma kalkulaatori abita:

703²–203² = (703 + 203) (703–203) = 906 ∙ 500 = 453 000.

Lisaks saate avaldiste faktoriseerimisega hõlpsalt murde vähendada ja erinevaid algebralisi avaldisi lihtsustada.

Ülesannete näited 7.-8. klassile

Kokkuvõtteks analüüsime ja lahendame kaks ülesannet lühendatud korrutusvalemite kasutamise kohta algebras.

Ülesanne 1. Lihtsusta väljendit:

(m + 3)² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).

Lahendus. Ülesande tingimus eeldab avaldise lihtsustamist ehk sulgude avamist, korrutamise ja astendamise tehte sooritamist ning ka kõigi sarnaste terminite toomist. Jagame avaldise tinglikult kolmeks osaks (vastavalt terminite arvule) ja avame sulud ükshaaval, kasutades võimalusel FSU-d.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(summa ruut);
• (3m + 1) (3m - 1) = 9m² - 1(ruutude erinevus);
• Viimasel terminil peate korrutama: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Asendame saadud tulemused algse avaldisega:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Võttes arvesse märke, avame sulgud ja esitame sarnased terminid:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Ülesanne 2. Lahenda võrrand, mis sisaldab tundmatut k 5. astmeni:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Lahendus. Sel juhul on vaja kasutada FSU-d ja rühmitamismeetodit. Viimane ja eelviimane termin on vaja nihutada identiteedi paremale poole.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Ühine tegur tuletatakse paremalt ja vasakult küljelt (k² + 4k +4):

k³ (k² + 4 k + 4) = k (k² + 4 k + 4).

Kõik kantakse võrrandi vasakule poolele nii, et 0 jääb paremale:

k³ (k² + 4 k + 4) - k (k² + 4 k + 4) = 0.

Jällegi on vaja välja võtta ühine tegur:

(k³ - k) (k² + 4k + 4) = 0.

Esimesest saadud tegurist saame tuletada k. Lühikese korrutamisvalemi kohaselt on teine ​​tegur identne (k+2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0.

Kasutades ruutude erinevuse valemit:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.

Kuna korrutis on 0, kui vähemalt üks selle teguritest on null, pole võrrandi kõigi juurte leidmine keeruline:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Visuaalsete näidete põhjal saate aru, kuidas meeles pidada valemeid, nende erinevusi ja ka mitut lahendada praktilisi probleeme kasutades FSU-d. Ülesanded on lihtsad ja nende täitmine ei tohiks olla raskusi.

Kasutatakse arvutuste lihtsustamiseks ja polünoomide faktooreerimiseks, kiire korrutamine polünoomid. Enamiku lühendatud korrutusvalemeid saab Newtoni binoomist – seda näete varsti.

Valemid ruutude jaoks kasutatakse arvutustes sagedamini. Neid hakatakse kooli õppekavas õppima alates 7. klassist ja kuni õppetöö lõpuni peavad koolilapsed teadma peast ruutude ja kuubikute valemeid.

Kuubikute valemid ei ole väga keerulised ja polünoomide standardvormile redutseerimisel peate neid teadma, et lihtsustada muutuja ja arvu summa või erinevuse tõstmist kuubiks.

Punasega märgitud valemid saadakse eelmistest sarnaste terminite rühmitamise teel.

Neljanda ja viienda astme valemid V koolikursus Vähesed inimesed leiavad, et see on kasulik, kuid kõrgema matemaatika õppimisel, kus peate arvutama võimsuste koefitsiente, on probleeme.

Kraadi valemid n kirjutatakse binoomkoefitsientide kaudu, kasutades järgmisi faktoriaale

Näited lühendatud korrutusvalemite kasutamisest

Näide 1. Arvutage 51^2.

Lahendus.

Kui teil on kalkulaator, leiate selle probleemideta.

Tegin nalja - kalkulaatoriga on kõik targad, ilma selleta... (kurbadest asjadest ärme räägi).

Ilma kalkulaatorita ja ülaltoodud reegleid teades leiame reegli abil arvu ruudu

Näide 2. Leidke 99^2.

Näide 3: Avaldis ruudukujuliseks
(x+y-3).

Lahendus. Peame mõtteliselt kahe esimese liikme summat üheks liikmeks ja kasutades teist lühendatud korrutamise valemit, saame

Näide 4. Leia ruutude erinevus
11^2-9^2.

Lahendus.

Kuna arvud on väikesed, saate ruutude väärtused lihtsalt asendada

Kuid meie eesmärk on täiesti erinev – õppida kasutama lühendatud korrutusvalemeid arvutuste lihtsustamiseks. Selle näite puhul rakendame kolmandat valemit
17^2-3^2 .

Näide 5. Leia ruutude erinevus

Lahendus.

Selles näites soovite juba reegleid uurida, et arvutused ühele reale vähendada
Nagu näete, ei teinud me midagi üllatavat.

Näide 6: avaldise lihtsustamine

(x-y)^2-(x+y)^2.

Lahendus.
Saate ruudud välja panna ja hiljem sarnaseid termineid rühmitada. Küll aga saab ruutude erinevust otse rakendada

Lihtne ja ilma pikkade lahendusteta.

Näide 7. Kuubik polünoomi
x^3-4.
Lahendus. Rakendame 5 lühendatud korrutamisvalemit

Näide 8. Kirjuta ruutude erinevusena või nende summana

a) x^2-8x+7

b) x^2+4x+29 Lahendus. a) Pane tingimused ümber

b) Lihtsustage eelnevate argumentide põhjal

Näide 9. Laienda

ratsionaalne murd

Lahendus.

Rakendame ruutude erinevuse valemit

Loome konstantide määramiseks võrrandisüsteemi
Liidame teise kolmekordsele esimesele võrrandile. Asendame leitud väärtuse esimese võrrandiga

Lagunemine võtab lõpuks vormi

Ratsionaalse murdosa laiendamine on sageli vajalik enne integreerimist, et nimetaja võimsust vähendada.

Näide 10. Kasutades Newtoni binoom, kirjuta

avaldis (x-a)^7.

Lahendus. Tõenäoliselt teate juba, mis on Newtoni binoom. Kui ei, siis allpool on binoomkoefitsiendid a + b Need moodustatakse järgmiselt: ühikud lähevad mööda serva, nendevahelised koefitsiendid alumisel real moodustatakse külgnevate ülemiste summeerimisel. Kui me mingilgi määral otsime erinevust, siis graafikus on märgid vahelduvad plussist miinusesse. Seega saame seitsmenda tellimuse jaoks järgmise paigutuse Vaata ka tähelepanelikult, kuidas näitajad muutuvad – esimese muutuja puhul vähenevad need igal järgneval liikmel vastavalt ühe võrra, teisel suurenevad ühe võrra. Kokku peavad näitajad olema alati võrdsed lagunemisastmega (=7). Arvan, et ülaltoodud materjali põhjal saate Newtoni binoomide abil probleeme lahendada. Õppige lühendatud korrutamisvalemeid ja rakendage neid kõikjal, kus need võimaldavad arvutusi lihtsustada ja ülesande täitmisel aega säästa. a Ja b Väljend ( a + ba + b)(a + b). Seega saame summa ruudust järeldada, et

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

see tähendab, et kahe arvu summa ruut võrdub esimese arvu ruuduga, millele on lisatud esimese ja teise arvu kahekordne korrutis, pluss teise arvu ruut.

ruutsumma valem

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Polünoom a 2 + 2ab + b 2 nimetatakse ruutsumma laienemiseks.

Sest a Ja b tähistada mis tahes numbreid või avaldisi, siis annab reegel meile võimaluse otseteel ruudustada mis tahes avaldis, mida võib pidada kahe liikme summaks.

Näide. Ruudukujuline avaldis 3 x 2 + 2xy.

Lahendus: Et mitte teha täiendavaid teisendusi, kasutame summa ruudu valemit. Peaksime saama esimese numbri ruudu summa, esimese ja teise arvu kahekordse korrutise ning teise arvu ruudu:

(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2

Nüüd, kasutades monomiaalide korrutamise ja eksponentsimise reegleid, lihtsustame saadud avaldist:

(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2

Ruuduline vahe

Lahendus. Tõenäoliselt teate juba, mis on Newtoni binoom. Kui ei, siis allpool on binoomkoefitsiendid a - b Need moodustatakse järgmiselt: ühikud lähevad mööda serva, nendevahelised koefitsiendid alumisel real moodustatakse külgnevate ülemiste summeerimisel. Kui me mingilgi määral otsime erinevust, siis graafikus on märgid vahelduvad plussist miinusesse. Seega saame seitsmenda tellimuse jaoks järgmise paigutuse ruudus vahe Arvan, et ülaltoodud materjali põhjal saate Newtoni binoomide abil probleeme lahendada. Õppige lühendatud korrutamisvalemeid ja rakendage neid kõikjal, kus need võimaldavad arvutusi lihtsustada ja ülesande täitmisel aega säästa. a Ja b. Väljend ( a - b) 2 on kahe polünoomi ( a - b)(a - b). Seetõttu võime vahe ruudust järeldada, et

(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,

see tähendab, et kahe arvu erinevuse ruut võrdub esimese arvu ruuduga, millest on lahutatud esimese ja teise arvu kahekordne korrutis, pluss teise arvu ruut.

Reeglist tuleneb, et kokku ruudu vahe valem, ilma vahepealsete teisendusteta, näeb välja selline:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Polünoom a 2 - 2ab + b 2 nimetatakse ruudu erinevuse laienemiseks.

See reegel kehtib kahe arvu erinevusena väljendatavate avaldiste lühendatud ruudustamisel.

Näide. Esitage erinevuse ruut kolmikuna:

(2a 2 - 5ab 2) 2

Lahendus: Kasutades ruudu vahe valemit, leiame:

(2a 2 - 5ab 2) 2 = (2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2

Nüüd teisendame avaldise standardseks polünoomiks:

(2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4a 4 - 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4

Ruudude erinevus

Väljendus a 2 - b 2 on ruutude erinevus Arvan, et ülaltoodud materjali põhjal saate Newtoni binoomide abil probleeme lahendada. Õppige lühendatud korrutamisvalemeid ja rakendage neid kõikjal, kus need võimaldavad arvutusi lihtsustada ja ülesande täitmisel aega säästa. a Ja b. Väljendus a 2 - b 2 on stenogramm kahe arvu summa korrutamiseks nende erinevusega:

(a + b)(a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2 ,

see tähendab, et kahe arvu ja nende erinevuse summa korrutis on võrdne nende arvude ruutude erinevusega.

Reeglist tuleneb, et kokku ruudu erinevuse valem näeb välja selline:

a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

See reegel kehtib avaldiste lühendamisel, mida saab esitada: üks kahe arvu summana ja teine ​​samade arvude erinevusena.

Näide. Teisendage toode binoomseks:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3)

Lahendus:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3) = (5a 2) 2 - 3 2 = 25a 4 - 9

Näites rakendasime ruutude erinevuse valemit paremalt vasakule, see tähendab, et meile anti valemi parem pool ja teisendasime selle vasakule:

(a + b)(a - b) = a 2 - b 2

Praktikas rakendatakse kõiki kolme käsitletud valemit sõltuvalt olukorrast vasakult paremale ja paremalt vasakule.