Üldistatud homogeenne võrrand. Esimest järku homogeensed diferentsiaalvõrrandid Teist järku üldistatud homogeensed võrrandid

13.07.2020

def 1 DU tüüp

helistas esimest järku homogeenne diferentsiaalvõrrand(ODU).

Th 1 Olgu funktsiooni jaoks täidetud järgmised tingimused:

1) pidev kl

Siis on ODE-l (1) üldine integraal, mis saadakse valemiga:

kus on mõni funktsiooni antiderivaat Koos on suvaline konstant.

Märkus 1 Kui mõne tingimuse puhul on täidetud, siis ODE (1) lahendamise käigus võib selliseid juhtumeid käsitleda hoolikamalt ja igaüht eraldi kontrollida.

Seega teoreemist Th1 peaks üldine algoritm ODE lahendamiseks (1):

1) Tehke asendus:

2) Nii saadakse eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand, mis tuleks integreerida;

3) naasmine vanade muutujate juurde;

4) Kontrollige väärtusi nende kaasamise kohta lahendusse originaal kaugjuhtimispult, mille korral tingimus on täidetud

5) Kirjutage vastus üles.

Näide 1 Lahenda DE (4).

Lahendus: DE (4) on homogeenne diferentsiaalvõrrand, kuna sellel on vorm (1). Teeme muudatuse (3), see toob võrrandi (4) vormile:

Võrrand (5) on DE (4) üldine integraal.

Pange tähele, et muutujate eraldamisel ja jagamisel võivad lahendid kaduma minna, kuid see ei ole DE (4) lahendus, mida on lihtne kontrollida otsese asendamisega võrdsusega (4), kuna see väärtus ei sisaldu definitsiooni valdkonnas. originaal DE.

Vastus:

Märkus 2 Mõnikord saate ODE-sid kirjutada muutujate diferentsiaalide järgi X Ja u. Soovitatav on liikuda sellelt kaugjuhtimispuldi tähistusest tuletise kaudu avaldisele ja alles seejärel teostada asendus (3).

Diferentsiaalvõrrandid, mille tulemuseks on homogeensed.

def 2 Funktsiooni kutsutakse astme k homogeenne funktsioon piirkonnas, mille puhul täidetakse võrdsus:

Siin on kõige levinumad diferentsiaalvõrrandite tüübid, mida saab pärast erinevaid teisendusi taandada vormiks (1).

1) kus on funktsioon on homogeenne, nullkraad, see tähendab, et võrdsus kehtib: DE (6) on kergesti taandatav vormiks (1), kui paneme , mis on veelgi integreeritud asendusega (3).

2) (7), kus funktsioonid on samal määral homogeensed k . Vormi (7) DE on samuti integreeritud asendusega (3).

Näide 2 Lahenda DE (8).

Lahendus: Näitame, et DE (8) on homogeenne. Jagagem võimalikuga, kuna see ei ole DE (8) lahendus.

Teeme muudatuse (3), see toob võrrandi (9) vormile:

Võrrand (10) on DE (8) üldine integraal.

Pange tähele, et muutujate eraldamisel ja jagamisel võivad ja väärtustele vastavad lahendused kaduda. Kontrollime neid väljendeid. Asendame need DE-ga (8):

Vastus:

Huvitav on märkida, et selle näite lahendamisel ilmub funktsioon, mida nimetatakse numbri "märgiks". X(loeb " märk x"), mis on määratletud väljendiga:

Märkus 3 DE (6) või (7) taandamine vormile (1) ei ole vajalik, kui on ilmne, et DE on homogeenne, saate kohe asendada

3) Vormi (11) DE integreeritakse ODE-na, kui , ja algselt tehakse asendus:

(12), kus on süsteemi lahendus: (13), ja seejärel kasutage funktsiooni jaoks asendust (3) Pärast üldise integraali saamist pöörduvad nad tagasi muutujate juurde X Ja juures.

Kui , siis võrrandis (11) oletades saame eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandi.

Näide 3 Lahendage Cauchy ülesanne (14).

Lahendus: Näitame, et DE (14) taandatakse homogeenseks DE-ks ja integreeritakse vastavalt ülaltoodud skeemile:

Lahendame lineaarse ebahomogeense süsteemi algebralised võrrandid(15) Crameri meetodil:

Teeme muutujate muudatuse ja integreerime saadud võrrandi:

(16) – DE üldine integraal (14). Muutujate jagamisel võivad avaldisega jagamisel lahendid kaduda, mille saab selgesõnaliselt pärast lahendamist ruutvõrrand. Neid võetakse aga arvesse üldises integraalis (16) at

Leiame lahenduse Cauchy probleemile: asendame väärtused ja üldise integraaliga (16) ja leiame Koos.

Seega saadakse osaline integraal valemiga:

Vastus:

4) Uue, veel tundmatu funktsiooni jaoks on võimalik taandada mõned diferentsiaalvõrrandid homogeenseteks, kui rakendame vormi asendust:

Sel juhul number m valitakse tingimuse hulgast, et saadud võrrand muutub võimaluse korral mingil määral homogeenseks. Kui seda aga teha ei saa, siis ei saa vaadeldavat DE-d sel viisil homogeenseks taandada.

Näide 4 Lahendage DE. (18)

Lahendus: Näitame, et DE (18) redutseeritakse homogeenseks DE-ks, kasutades asendust (17) ja integreeritakse edasi, kasutades asendust (3):

Otsime üles Koos:

Seega on DE (24) konkreetne lahendus selline

Eraldatavate muutujatega 1. järku diferentsiaalvõrrandid.

Definitsioon. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand on vormi (3.1) võrrand või vormi (3.2) võrrand.

Selleks, et eraldada võrrandis (3.1) olevad muutujad, s.o. taandada see võrrand nn eraldatud muutuja võrrandiks, tehke järgmist. ;

Nüüd peame võrrandi lahendama g(y) = 0. Kui sellel on reaalne lahendus y=a, See y=a on ka võrrandi (3.1) lahendus.

Võrrand (3.2) taandatakse eraldatud võrrandiks, jagades korrutisega:

, mis võimaldab meil saada võrrandi (3.2) üldintegraali: . (3.3)

Integraalkõveraid (3.3) täiendatakse lahendustega , kui sellised lahendused on olemas.

I järku homogeensed diferentsiaalvõrrandid.

Definitsioon 1. Esimest järku võrrandit nimetatakse homogeenseks, kui selle parem pool rahuldab seost , mida nimetatakse kahe nullmõõtmega muutuja funktsiooni homogeensuse tingimuseks.

Näide 1. Näidake, et funktsioon on nullmõõtmega homogeenne.

Lahendus. ,

Q.E.D.

Teoreem. Iga funktsioon on homogeenne ja vastupidi, iga nullmõõtmega homogeenne funktsioon taandatakse kujule .

Tõestus. Teoreemi esimene väide on ilmne, sest . Tõestame teist väidet. Paneme siis homogeense funktsiooni jaoks , mida oli vaja tõestada.

2. definitsioon. Võrrand (4.1), milles M Ja N– sama astme homogeensed funktsioonid, s.o. on vara kõigile , mida nimetatakse homogeenseks. Ilmselgelt saab selle võrrandi alati taandada kujule (4.2), kuigi see ei pruugi selle lahendamiseks vajalik olla. Homogeenne võrrand taandatakse eraldatavate muutujatega võrrandiks, asendades soovitud funktsiooni y valemi järgi y=zx, Kus z(x)– uus vajalik funktsioon. Pärast seda asendust võrrandis (4.2) saame: või või .

Integreerimisel saame võrrandi üldise integraali funktsiooni suhtes z(x) , mis pärast korduvat asendamist annab algvõrrandi üldintegraali. Lisaks, kui on võrrandi juured, siis on funktsioonid antud homogeense võrrandi lahendid. Kui , siis võrrand (4.2) võtab kuju

Ja sellest saab eraldatavate muutujatega võrrand. Selle lahendused on poolotsesed: .

kommenteerida. Mõnikord on soovitatav kasutada asendust ülaltoodud asendamise asemel x=zy.

Üldistatud homogeenne võrrand.

Võrrand M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 nimetatakse üldistatud homogeenseks, kui sellist arvu on võimalik valida k, et selle võrrandi vasak pool muutub mingil määral homogeenseks funktsiooniks m suhteliselt x, y, dx Ja dy tingimusel, et x peetakse esimese mõõtme väärtuseks, y – k- th mõõtmised ,dx Ja dy – vastavalt null ja (k-1) th mõõtmised. Näiteks oleks see võrrand . (6.1) Kehtib mõõtmiste kohta tehtud eeldusel x, y, dx Ja dy liikmed vasakpoolne ja dy on mõõtmetega vastavalt -2, 2 k Ja k-1. Võrdsutades need, saame tingimuse, millele vajalik arv peab vastama k: -2 = 2k=k-1. See tingimus on täidetud, kui k= -1 (sellega k kõigi vaadeldava võrrandi vasakul küljel olevate terminite mõõde on -2). Järelikult on võrrand (6.1) üldistatud homogeenne.

Klõpsates nupul "Laadi arhiiv alla", laadite teile vajaliku faili täiesti tasuta alla.
Enne selle faili allalaadimist pidage meeles häid esseesid, teste, kursusetöid, teesid, artiklid ja muud dokumendid, mis asuvad teie arvutis taotlemata. See on teie töö, see peaks osalema ühiskonna arengus ja tooma inimestele. Otsige üles need tööd ja esitage need teadmistebaasi.
Oleme teile väga tänulikud meie ja kõik üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös.

Dokumendiga arhiivi allalaadimiseks sisestage allolevale väljale viiekohaline number ja klõpsake nuppu "Laadi arhiiv alla"

Sarnased dokumendid

Cauchy ülesanded diferentsiaalvõrrandite jaoks. Esimest järku diferentsiaalvõrrandi lahenduse graafik. Eraldatavate muutujatega võrrandid ja taandamine homogeenseks võrrandiks. Esimest järku homogeensed ja mittehomogeensed lineaarvõrrandid. Bernoulli võrrand.

loeng, lisatud 18.08.2012

Tavaliste diferentsiaalvõrrandite teooria põhimõisted. Võrrandi märk summaarsetes diferentsiaalides, üldintegraali konstrueerimine. Integreeriva teguri leidmise lihtsaimad juhud. Ainult X-st ja ainult Y-st sõltuva kordaja juhtum.

kursusetöö, lisatud 24.12.2014

Diferentsiaalvõrrandite tunnused funktsioonide ja nende tuletiste vaheliste seostena. Lahenduse olemasolu ja kordumatuse teoreemi tõestus. Näited ja algoritm summaarsete diferentsiaalide võrrandite lahendamiseks. Integreeriv tegur näidetes.

kursusetöö, lisatud 11.02.2014

Riccati diferentsiaalvõrrandid. Lineaarvõrrandi üldlahend. Kõigi leidmine võimalikud lahendused Bernoulli diferentsiaalvõrrand. Eraldatavate muutujatega võrrandite lahendamine. Clairaut diferentsiaalvõrrandi üld- ja erilahendused.

kursusetöö, lisatud 26.01.2015

Võrrand eraldatavate muutujatega. Homogeensed ja lineaarsed diferentsiaalvõrrandid. Integraalkõverate geomeetrilised omadused. Kahe muutuja funktsiooni täielik diferentsiaal. Integraali määramine Bernoulli meetoditega ja suvalise konstandi variatsioonid.

abstraktne, lisatud 24.08.2015

Lihtsamate diferentsiaalvõrrandite ja suvalise järjestusega diferentsiaalvõrrandite mõisted ja lahendused, sh konstantse analüütilise koefitsiendiga. Lineaarvõrrandisüsteemid. Mõnede lineaarsete süsteemide lahenduste asümptootiline käitumine.

lõputöö, lisatud 10.06.2010

Võrrandi üldintegraal, Lagrange'i meetodi rakendamine tundmatu funktsiooniga mittehomogeense lineaarvõrrandi lahendamiseks. Diferentsiaalvõrrandi lahendamine parameetrilisel kujul. Euleri tingimus, esimest järku võrrand kogudiferentsiaalides.

test, lisatud 02.11.2011

Võrrand M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 nimetatakse üldistatud homogeenseks, kui sellist arvu on võimalik valida k, et selle võrrandi vasak pool muutub mingil määral homogeenseks funktsiooniks m suhteliselt x, y, dx Ja dy tingimusel, et x loetakse esimese mõõtme väärtuseks, y – k‑ th mõõtmised , dx Ja dy – vastavalt null ja (k-1) th mõõtmised. Näiteks oleks see võrrand. (6.1)

Kehtib mõõtmiste kohta tehtud eelduste alusel

x, y, dx Ja dy vasaku poole liikmed
Ja dy on mõõtmetega vastavalt -2, 2 k Ja k-1. Võrdsutades need, saame tingimuse, millele vajalik arv peab vastama k: -2 = 2k = k-1. See tingimus on täidetud, kui k = -1 (sellega k kõigi vaadeldava võrrandi vasakul küljel olevate terminite mõõde on -2). Järelikult on võrrand (6.1) üldistatud homogeenne.

Üldistatud homogeenne võrrand taandatakse asendust kasutades eraldatavate muutujatega võrrandiks
, Kus z– uus tundmatu funktsioon. Integreerime võrrandi (6.1) näidatud meetodil. Sest k = -1, siis
, mille järel saame võrrandi.

Selle integreerimisel leiame
, kus
. See on võrrandi (6.1) üldlahendus.

§ 7. I järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid.

Esimest järku lineaarvõrrand on võrrand, mis on soovitud funktsiooni ja selle tuletise suhtes lineaarne. See näeb välja nagu:

, (7.1)

Kus P(x) Ja K(x) – antud pidevad funktsioonid x. Kui funktsioon
, siis on võrrandi (7.1) vorm:
(7.2)

ja muidu nimetatakse seda lineaarseks homogeenseks võrrandiks
seda nimetatakse lineaarseks mittehomogeenseks võrrandiks.

Lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand (7.2) on eraldatavate muutujatega võrrand:

(7.3)

Avaldis (7.3) on võrrandi (7.2) üldlahend. Leida võrrandile (7.1) üldlahend, milles funktsioon P(x) tähistab sama funktsiooni nagu võrrandis (7.2), rakendame tehnikat, mida nimetatakse suvalise konstandi variatsioonimeetodiks ja mis koosneb järgmisest: proovime funktsiooni valida C=C(x) nii et lineaarse homogeense võrrandi (7.2) üldlahendus oleks mittehomogeense lineaarvõrrandi (7.1) lahendus. Seejärel saame funktsiooni (7.3) tuletise jaoks:

Asendades leitud tuletise võrrandiga (7.1), saame:

või
.

Kus
, Kus - suvaline konstant. Selle tulemusena on ebahomogeense lineaarvõrrandi (7.1) üldlahend (7.4)

Selle valemi esimene liige tähistab lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi (7.2) üldlahendit (7.3) ja valemi (7.4) teine liige on lineaarse ebahomogeense võrrandi (7.1) erilahend, mis on saadud üldisest ( 7.4) koos
. Toome selle olulise järelduse teoreemi kujul välja.

Teoreem. Kui on teada lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üks konkreetne lahendus
, siis on kõigil muudel lahendustel vorm
, Kus
- vastava lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Siiski tuleb märkida, et 1. järku (7.1) lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks kasutatakse sagedamini teist meetodit, mida mõnikord nimetatakse ka Bernoulli meetodiks. Võrrandile (7.1) otsime lahendust kujul
. Siis
. Asendame leitud tuletise algse võrrandiga:
.

Kombineerime näiteks viimase avaldise teise ja kolmanda liikme ning eraldame funktsiooni u(x) klambri taga:
(7.5)

Nõuame sulgude tühistamist:
.

Lahendame selle võrrandi suvalise konstandi määramisega C võrdne nulliga:
. Leitud funktsiooniga v(x) Pöördume tagasi võrrandi (7.5) juurde:
.

Selle lahendades saame:
.

Järelikult on võrrandi (7.1) üldlahend kujul.

.
Diferentsiaalvõrrandid.

§ 1. Põhimõisted tavalistest diferentsiaalvõrranditest.

Definitsioon 1. Tavaline diferentsiaalvõrrand n– funktsiooni järjekord y argument x nimetatakse vormi seoseks

Kus F– selle argumentide antud funktsioon. Selle matemaatiliste võrrandite klassi nimes rõhutab termin "diferentsiaal", et need hõlmavad tuletisi
(diferentseerumise tulemusena tekkinud funktsioonid); termin "tavaline" näitab, et soovitud funktsioon sõltub ainult ühest reaalsest argumendist.

Tavaline diferentsiaalvõrrand ei pruugi sisaldada selgesõnalist argumenti x, vajalik funktsioon
ja mis tahes selle tuletis, kuid kõrgeim tuletis
tuleb võrrandisse kaasata n- järjekorras. Näiteks

A)
– esimest järku võrrand;

b)
- kolmandat järku võrrand.

Tavaliste diferentsiaalvõrrandite kirjutamisel kasutatakse sageli tuletisi diferentsiaalide tähistusi:

V)
– teist järku võrrand;

G)
- esimest järku võrrand,

generaator pärast jagamist dx võrrandi täpsustamise samaväärne vorm:
.

Funktsioon
nimetatakse tavalise diferentsiaalvõrrandi lahendiks, kui sellega asendamisel muutub see identiteediks.

Näiteks 3. järku võrrand

On lahendus
.

Ühe võrrandit rahuldava funktsiooni leidmine ühel või teisel meetodil, näiteks valikul, ei tähenda selle lahendamist. Tavalise diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab leidmist Kõik funktsioonid, mis võrrandiga asendamisel moodustavad identiteedi. Võrrandi (1.1) jaoks moodustatakse selliste funktsioonide perekond suvaliste konstantide abil ja seda nimetatakse tavalise diferentsiaalvõrrandi üldlahenduseks n järku ja konstantide arv langeb kokku võrrandi järjekorraga: Üldlahend võib olla, kuid ei ole selgesõnaliselt lahendatud. y(x) : Sel juhul nimetatakse lahendust tavaliselt võrrandi (1.1) üldintegraaliks.

Näiteks diferentsiaalvõrrandi üldlahendus
on järgmine avaldis: , ja teise liikme saab kirjutada ka kujul
, kuna suvaline konstant , jagatud 2-ga, saab asendada uue suvalise konstandiga .

Määrates üldlahenduses või üldises integraalis kõigile suvalistele konstantidele mõned lubatud väärtused, saame teatud funktsiooni, mis ei sisalda enam suvalisi konstante. Seda funktsiooni nimetatakse võrrandi (1.1) osalahendiks või osaintegraaliks. Suvaliste konstantide väärtuste ja seega ka konkreetse lahenduse leidmiseks kasutatakse võrrandile (1.1) erinevaid lisatingimusi. Näiteks nn algtingimused saab määrata punktis (1.2)

Algtingimuste (1.2) paremal küljel on toodud funktsiooni ja tuletiste arvväärtused ning koguarv algtingimused võrdub defineeritud suvaliste konstantide arvuga.

Ülesannet võrrandile (1.1) algtingimustel põhineva konkreetse lahenduse leidmiseks nimetatakse Cauchy probleemiks.

§ 2. I järku harilikud diferentsiaalvõrrandid - põhimõisted.

Esimest järku tavaline diferentsiaalvõrrand ( n=1) on kujul:
või kui seda saab tuletisinstrumenti arvesse võtta:
. Ühine otsus y= y(x,KOOS) või üldine integraal
Esimest järku võrrandid sisaldavad ühte suvalist konstanti. Ainus 1. järku võrrandi algtingimus
võimaldab määrata konstandi väärtust üldlahendist või üldintegraalist. Seega leitakse konkreetne lahendus või, mis on sama, lahendatakse Cauchy probleem. Cauchy probleemi lahenduse olemasolu ja kordumatuse küsimus on tavadiferentsiaalvõrrandite üldteoorias üks keskseid küsimusi. Eelkõige 1. järku võrrandi puhul kehtib teoreem, mis on siin ilma tõestuseta aktsepteeritud.

Teoreem 2.1. Kui võrrandis on funktsioon
ja selle osaline tuletis
mõnes piirkonnas pidev D lennuk XOY, ja selles piirkonnas on määratud punkt
, siis on olemas ainulaadne lahendus, mis rahuldab nii võrrandit kui ka algtingimust
.

Geomeetriliselt on 1. järku võrrandi üldlahend tasapinnal kõverate perekond XOY, millel pole ühiseid punkte ja mis erinevad üksteisest ühe parameetri poolest - konstandi väärtus C. Neid kõveraid nimetatakse antud võrrandi integraalkõverateks. Integraalvõrrandi kõverad on ilmsed geomeetriline omadus: igas punktis on kõvera puutuja puutuja võrdne võrrandi parema külje väärtusega selles punktis:
. Teisisõnu, võrrand on antud tasapinnal XOY integraalkõverate puutujate suundade väli. Kommentaar: Tuleb märkida, et võrrand.
võrrand ja nn võrrand on antud sümmeetrilisel kujul
.

§ 3. Eraldatavate muutujatega 1. järku diferentsiaalvõrrandid.

Definitsioon. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand
(3.1)

või võrrand kujul (3.2)

Selleks, et eraldada võrrandis (3.1) olevad muutujad, s.o. taandada see võrrand nn eraldatud muutuja võrrandiks, tehke järgmist.

;

Nüüd peame võrrandi lahendama g(y)= 0 . Kui sellel on reaalne lahendus y= a, See y= a on ka võrrandi (3.1) lahendus.

Võrrand (3.2) taandatakse korrutisega jagamise teel eraldatud muutuja võrrandiks
:

, mis võimaldab meil saada võrrandi (3.2) üldintegraali:
. (3.3)

Integraalkõveraid (3.3) täiendatakse lahendustega
, kui sellised lahendused on olemas.

Lahendage võrrand:.

Eraldame muutujad:

Integreerimine, saame

Võrranditest edasi
Ja
leiame x=1, y=-1. Need lahendused on eralahendused.

§ 4. I järku homogeensed diferentsiaalvõrrandid.

Definitsioon 1. Esimest järku võrrandit nimetatakse homogeenseks, kui selle parempoolne on ükskõik milline
suhe kehtib
, mida nimetatakse kahe nullmõõtmega muutuja funktsiooni homogeensuse tingimuseks.

Näide 1. Näidake seda funktsiooni
- homogeenne nullmõõde.

Lahendus.

Q.E.D.

Teoreem. Mis tahes funktsioon
- homogeenne ja vastupidi, mis tahes homogeenne funktsioon
nullmõõde taandatakse vormile
.

Tõestus.

Teoreemi esimene väide on ilmne, sest
. Tõestame teist väidet. Paneme
, siis homogeense funktsiooni jaoks
, mida oli vaja tõestada.

2. definitsioon. Võrrand (4.1)

milles M Ja N– sama astme homogeensed funktsioonid, s.o. omada vara kõigile , nimetatakse homogeenseks.

Ilmselgelt saab selle võrrandi alati vormile taandada
(4.2), kuigi selle lahendamiseks ei pea te seda tegema.

Homogeenne võrrand taandatakse eraldatavate muutujatega võrrandiks, asendades soovitud funktsiooni y valemi järgi y= zx, Kus z(x) – uus vajalik funktsioon. Pärast seda asendust võrrandis (4.2) saame:
või
või
.

Integreerimisel saame võrrandi üldise integraali funktsiooni suhtes z(x)
, mis pärast korduvat asendamist
annab algvõrrandi üldintegraali. Veelgi enam, kui - võrrandi juured
, seejärel funktsioonid
- homogeense etteantud võrrandi lahendamine. Kui
, siis saab võrrand (4.2) kuju

ja muutub eraldatavate muutujatega võrrandiks. Selle lahendused on poolotsesed:
.

kommenteerida. Mõnikord on soovitatav kasutada asendust ülaltoodud asendamise asemel x= zy.

§ 5. Diferentsiaalvõrrandid taandatud homogeenseteks.

Vaatleme vormi võrrandit
. (5.1)

Kui
, siis see on asendust kasutav võrrand, kus Ja – uued muutujad ja - mõned süsteemist määratud konstantsed arvud

Taandatud homogeenseks võrrandiks

Kui
, siis saab võrrand (5.1) kuju

Uskudes z= kirves+ kõrval, jõuame võrrandini, mis ei sisalda sõltumatut muutujat.

Vaatame näiteid.

Näide 1.

Integreeri võrrand

ja tõsta esile punkte läbiv integraalkõver: a) (2;2); b) (1;-1).

Lahendus.

Paneme y= zx. Siis dy= xdz+ zdx Ja

Lühendame selle võrra ja koguda liikmeid kl dx Ja dz:

Eraldame muutujad:

.

Integreerides saame ;

või
,
.

Asendamine siin z peal , saame antud võrrandi üldintegraali kujul (5.2)
või

.

See on ringide perekond
, mille keskpunktid asuvad sirgel y = x ja mis lähtepunktis on joone puutujad y + x = 0. See riday = - x omakorda võrrandi konkreetne lahendus.

Nüüd Cauchy probleemi režiim:

A) üldise integraali panemine x=2, y=2, leiame C=2, seega on vajalik lahendus
.

B) ükski ring (5.2) ei läbi punkti (1;-1). Aga see on poolsirge y = - x,
läbib punkti ja annab soovitud lahenduse.

Näide 2. Lahendage võrrand:.

Lahendus.

Võrrand on võrrandi (5.1) erijuht.

Determinant
selles näites
, seega peame lahendama järgmise süsteemi

Lahendades saame selle
. Esineb sisse antud võrrand asendamine
, saame homogeense võrrandi. Selle integreerimine asendamise abil
, leiame
.

Naastes vanade muutujate juurde x Ja y valemite järgi
, meil on .

§ 6. Üldistatud homogeenne võrrand.

Võrrand M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 nimetatakse üldistatud homogeenseks, kui sellist arvu on võimalik valida k, et selle võrrandi vasak pool muutub mingil määral homogeenseks funktsiooniks m suhteliselt x, y, dx Ja dy tingimusel, et x peetakse esimese mõõtme väärtuseks, y – k th mõõtmised , dx Ja dy – vastavalt null ja (k-1) th mõõtmised. Näiteks oleks see võrrand
. (6.1)

Kehtib mõõtmiste kohta tehtud eelduste alusel

x, y, dx Ja dy vasaku poole liikmed
Ja dy on mõõtmetega vastavalt -2, 2 k Ja k-1. Võrdsutades need, saame tingimuse, millele vajalik arv peab vastama k: -2 = 2k=k-1. See tingimus on täidetud, kui k= -1 (sellega k kõigi vaadeldava võrrandi vasakul küljel olevate terminite mõõde on -2). Järelikult on võrrand (6.1) üldistatud homogeenne.

Selle integreerimisel leiame
, kus
. See on võrrandi (6.1) üldlahendus.

§ 7. I järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid.

Esimest järku lineaarvõrrand on võrrand, mis on soovitud funktsiooni ja selle tuletise suhtes lineaarne. See näeb välja nagu:

, (7.1)

Kus P(x) Ja K(x) – antud pidevad funktsioonid x. Kui funktsioon
, siis on võrrand (7.1) järgmine:
(7.2)

ja muidu nimetatakse seda lineaarseks homogeenseks võrrandiks
seda nimetatakse lineaarseks mittehomogeenseks võrrandiks.

Lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand (7.2) on eraldatavate muutujatega võrrand:

(7.3)

Asendades leitud tuletise võrrandiga (7.1), saame:

või
.

Kus
, kus on suvaline konstant. Selle tulemusena on ebahomogeense lineaarvõrrandi (7.1) üldlahend (7.4)

Kombineerime näiteks viimase avaldise teise ja kolmanda liikme ning eraldame funktsiooni u(x) klambri taga:
(7.5)

Nõuame sulgude tühistamist:
.

Lahendame selle võrrandi suvalise konstandi määramisega C võrdne nulliga:
. Leitud funktsiooniga v(x) Pöördume tagasi võrrandi (7.5) juurde:
.

Selle lahendades saame:
.

Seetõttu on võrrandi (7.1) üldlahendus järgmine:

§ 8. Bernoulli võrrand.

Definitsioon.

Vormi diferentsiaalvõrrand
, Kus
, nimetatakse Bernoulli võrrandiks.

Eeldades et
, jagage Bernoulli võrrandi mõlemad pooled arvuga . Selle tulemusena saame:
(8.1)

Tutvustame uus funktsioon
. Siis
. Korrutame võrrandi (8.1) arvuga
ja läheme funktsiooni juurde z(x) :
, st. funktsiooni jaoks z(x) saadi 1. järku lineaarne mittehomogeenne võrrand. See võrrand lahendatakse eelmises lõigus käsitletud meetodite abil. Asendagem selle asemel selle üldlahendusega z(x) väljendus
, saame Bernoulli võrrandi üldise integraali, mis on kergesti lahendatav y. Kell
lisatakse lahus y(x)=0 . Bernoulli võrrandit saab lahendada ka ilma üleminekut tegemata lineaarvõrrand asendamise teel
ja kasutades Bernoulli meetodit, mida on üksikasjalikult käsitletud § 7. Vaatleme selle meetodi kasutamist Bernoulli võrrandi lahendamiseks konkreetse näite abil.

Näide. Leidke võrrandi üldlahendus:
(8.2)

Lahendus.

Seetõttu on selle võrrandi üldlahendus järgmine:
, y(x)=0.

§ 9. Diferentsiaalvõrrandid summaarsetes diferentsiaalides.

Definitsioon. Kui võrrandis M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 (9.1) vasak pool on mõne funktsiooni kogudiferentsiaal U(x, y) , siis nimetatakse seda diferentsiaalvõrrandiks. Selle võrrandi saab ümber kirjutada kujul du(x, y)=0 , seega on selle üldine integraal u(x, y)= c.

Näiteks võrrand xdy+ ydx=0 summaarsetes diferentsiaalides on võrrand, kuna selle saab kujul ümber kirjutada d(xy)=0. Üldine integraal on xy= c- suvaline diferentseeritav funktsioon. Diferentseerime (9.3) u suhtes
§ 10. Integreeriv tegur.

Kui võrrand M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 ei ole täielik diferentsiaalvõrrand ja on olemas funktsioon µ = µ(x, y) , nii et pärast võrrandi mõlema poole korrutamist sellega saame võrrandi

µ(Mdx + Ndy) = 0 summaarsetes erinevustes, s.o. µ (Mdx + Ndy)du, siis funktsioon µ(x, y) nimetatakse võrrandi integreerivaks teguriks. Juhul, kui võrrand on juba summaarsete diferentsiaalide võrrand, eeldame µ = 1.

Kui integreeriv tegur leitakse µ , siis taandatakse selle võrrandi integreerimine selle mõlema külje korrutamisele µ ja saadud võrrandi üldise integraali leidmine kogudiferentsiaalides.

Kui µ on pidevalt diferentseeruv funktsioon x Ja y, See
.

Sellest järeldub, et integreeriv tegur µ rahuldab järgmist esimest järku osadiferentsiaalvõrrandit:

(10.1).

Kui on ette teada, et µ= µ(ω) , Kus ω – antud funktsioon alates x Ja y, siis taandub võrrand (10.1) tundmatu funktsiooniga tavaliseks (ja pealegi lineaarseks) võrrandiks µ sõltumatul muutujal ω :

(10.2),

Kus
, st murd on ainult funktsioon ω .

Lahendades võrrandi (10.2), leiame integreeriva teguri

, Koos = 1.

Eelkõige võrrand M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 on integreeriv tegur, mis sõltub ainult x(ω = x) või ainult alates y(ω = y), kui järgmised tingimused on vastavalt täidetud:

,
.