Geomeetriline kujundi hulknurk. Hulknurgad ja nende omadused Mis on vähima nurkade arvuga hulknurga nimi

16.05.2022

Hulknurkade tüübid:

Nelinurgad

Nelinurgad, koosnevad vastavalt 4 küljelt ja nurgast.

Neid külgi ja nurki, mis on üksteise vastas, nimetatakse vastupidine.

Diagonaalid jagavad kumerad nelinurgad kolmnurkadeks (vt joonist).

Kumera nelinurga nurkade summa on 360° (kasutades valemit: (4-2)*180°).

rööpkülikuid

Parallelogramm on kumer nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed (joonisel numbriga 1).

Rööpküliku vastasküljed ja nurgad on alati võrdsed.

Ja ristumiskohas olevad diagonaalid jagatakse pooleks.

Trapets

Trapets on ka nelinurk ja trapets paralleelsed on ainult kaks külge, mida nimetatakse põhjustel. Teised pooled on küljed.

Joonisel kujutatud trapets on numbritega 2 ja 7.

Nagu kolmnurgas:

Kui küljed on võrdsed, siis on trapets võrdhaarne;

Kui üks nurkadest on õige, siis trapets on õige ristkülikukujuline.

Trapetsi keskjoon on pool aluste summast ja nendega paralleelne.

Romb

Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed.

Lisaks rööpküliku omadustele on rombidel oma eriline omadus - rombi diagonaalid on ristiüksteist ja poolitada rombi nurgad.

Joonisel on romb numbriga 5.

Ristkülikud

Ristkülik- see on rööpkülik, mille iga nurk on õige (vt joonist number 8).

Lisaks rööpküliku omadustele on ristkülikutel oma eriline omadus - ristküliku diagonaalid on võrdsed.

ruudud

Ruut on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed (#4).

Sellel on ristküliku ja rombi omadused (kuna kõik küljed on võrdsed).

Hulknurgaks peetava kohta on erinevaid seisukohti. Kooli geomeetria kursusel kasutatakse ühte järgmistest definitsioonidest.

Definitsioon 1

Hulknurk

on segmentidest koosnev kujund

nii et külgnevad segmendid(st ühise tipuga külgnevad segmendid, näiteks A1A2 ja A2A3) ei asu ühel sirgel ja mittekülgnevatel segmentidel pole ühiseid punkte.

Definitsioon 2

Lihtsat suletud hulknurka nimetatakse hulknurgaks.

punktid

helistas hulknurga tipud, segmendid

— hulknurga küljed.

Kõigi külgede pikkuste summat nimetatakse hulknurga ümbermõõt.

Kutsutakse hulknurka, millel on n tippu (ja seega n külge). n - ruut.

Hulknurka, mis asub ühel tasapinnal, nimetatakse tasane. Hulknurgast rääkides, kui pole öeldud teisiti, mõistetakse, et jutt käib tasasest hulknurgast.

Kutsutakse kahte tippu, mis asuvad hulknurga samal küljel naaber. Näiteks A1 ja A2, A5 ja A6 on külgnevad tipud.

Nimetatakse sirglõiku, mis ühendab kahte mittekõrvuti asuvat tippu hulknurga diagonaal.

Uurige, mitu diagonaali on hulknurgal.

Hulknurga igast n tipust tuleb n-3 diagonaali

(kokku on n tippu. Me ei arvesta tippu ennast ja kahte naabertippu, mis ei moodusta selle tipuga diagonaali. Näiteks tipu A1 puhul ei arvesta me A1 ennast ja naabertippe A2 ja A3 ).

Seega vastab iga n tipp n-3 diagonaalile. Kuna üks diagonaal viitab korraga kahele tipule, siis hulknurga diagonaalide arvu leidmiseks tuleb korrutis n (n-3) jagada pooleks.

Seetõttu on n-gonil

diagonaalid.

Iga hulknurk jagab tasapinna kaheks osaks – hulknurga sise- ja välispiirkonnaks. Hulknurgast ja selle sisemusest koosnevat kujundit nimetatakse ka hulknurgaks.

Hulknurk- see on geomeetriline kujund, mis on piiratud suletud polüliiniga, millel pole iselõikusi.

Katkestatud joone linke nimetatakse hulknurga küljed, ja selle tipud hulknurga tipud.

nurgad hulknurki nimetatakse sisenurkadeks, mille moodustavad külgnevad küljed. Hulknurga nurkade arv on võrdne selle tippude ja külgede arvuga.

Hulknurgad on saanud nimed külgede arvu järgi. Väikseima külgede arvuga hulknurka nimetatakse kolmnurgaks, sellel on ainult kolm külge. Nelja küljega hulknurka nimetatakse nelinurgaks, viie küljega - viisnurgaks jne.

Hulknurga tähistus koosneb selle tippudes olevatest tähtedest, nimetades neid järjekorras (päripäeva või vastupäeva). Näiteks öeldakse või kirjutatakse: viisnurk ABCDE :

Viisnurgas ABCDE punktid A, B, C, D ja E on viisnurga tipud ja lõigud AB, eKr, CD, DE ja EA viisnurga küljed.

Kumer ja nõgus

Hulknurka nimetatakse kumer kui ükski selle sirgjooneni pikendatud külgedest ei ristu sellega. Vastasel juhul nimetatakse hulknurka nõgus:

Perimeeter

Hulknurga kõigi külgede pikkuste summat nimetatakse selle külgedeks ümbermõõt.

Hulknurga perimeeter ABCDE võrdub:

AB + eKr+ CD + DE + EA

Kui hulknurga kõik küljed ja kõik nurgad on võrdsed, siis nimetatakse seda õige. Regulaarsed hulknurgad võivad olla ainult kumerad hulknurgad.

Diagonaal

Hulknurk diagonaal on sirglõik, mis ühendab kahe nurga tippe, millel pole ühist külge. Näiteks lõige AD on diagonaal:

Ainus hulknurk, millel pole ühte diagonaali, on kolmnurk, kuna selles pole nurki, millel pole ühiseid külgi.

Kui hulknurga mis tahes tipust tõmmatakse kõik võimalikud diagonaalid, jagavad need hulknurga kolmnurkadeks:

Kolmnurki on täpselt kaks vähem kui külgi:

t = n - 2

kus t on kolmnurkade arv ja n- külgede arv.

Hulknurga pindala leidmiseks kasutatakse hulknurga jagamist kolmnurkadeks diagonaalide abil, kuna hulknurga pindala leidmiseks peate selle jagama kolmnurkadeks, leidma nende kolmnurkade pindala ja lisama tulemused.

Hulknurk on geomeetriline kujund, mis on igast küljest piiratud suletud katkendjoonega. Sel juhul ei tohiks polüliini linkide arv olla väiksem kui kolm. Igal polüliini segmentide paaril on ühine punkt ja see moodustab nurgad. Nurkade arv koos polüliini segmentide arvuga on hulknurga peamised omadused. Igas hulknurgas on piirava suletud polüliini linkide arv sama kui nurkade arv.

Geomeetrias nimetatakse külgi tavaliselt polüliini linkideks, mis piiravad geomeetrilist objekti. Tipud on kahe külgneva külje kokkupuutepunktid., mille arvu järgi hulknurgad oma nimed saavad.

Kui suletud katkendjoon koosneb kolmest lõigust, nimetatakse seda kolmnurgaks; vastavalt neljast segmendist - nelinurk, viiest - viisnurk jne.

Kolmnurga või nelinurga tähistamiseks kasutage selle tippe tähistavaid suuri ladina tähti. Tähti kutsutakse järjekorras – päripäeva või vastupäeva.

Põhimõisted

Hulknurga määratluse kirjeldamisel tuleks arvesse võtta mõningaid seotud geomeetrilisi mõisteid:

Kui tipud on sama külje otsad, nimetatakse neid naabriteks.
Kui segment ühendab mitte-naabertippe, nimetatakse seda diagonaaliks. Kolmnurgal ei saa olla diagonaale.
Sisenurk on nurk ühes tipus, mis moodustub selle kahe külje koondumisest selles punktis. See asub alati geomeetrilise kujundi sisemises piirkonnas. Kui hulknurk on mittekumer, võib selle suurus ületada 180 kraadi.
Välisnurk teatud tipu juures on nurk, mis külgneb selle sisemise tipuga. Teisisõnu võib välisnurka pidada 180° ja sisenurga väärtuse erinevuseks.
Kõigi segmentide väärtuste summat nimetatakse perimeetriks.
Kui kõik küljed ja nurgad on võrdsed, nimetatakse seda õigeks. Õiged võivad olla ainult kumerad.

Nagu eespool mainitud, põhinevad hulknurksete geomeetriate nimetused tippude arvul. Kui joonisel on neid n, nimetatakse seda n-gon:

Hulknurka nimetatakse tasaseks, kui see piirab tasandi lõplikku osa. Selle geomeetrilise kujundi saab kirjutada ringi või ümber ringi.
N-nurka nimetatakse kumeraks, kui see vastab ühele alltoodud tingimustest.
Joonis asub kahte kõrvuti asetsevat tippu ühendava sirge ühel küljel.
See kujund toimib mitme pooltasandi ühise osana või ristumiskohana.
Diagonaalid asuvad hulknurga sees.
Kui lõigu otsad asuvad punktides, mis kuuluvad hulknurga alla, kuulub kogu lõik sellele.
Figuuri võib nimetada korrapäraseks, kui kõik selle lõigud ja nurgad on võrdsed. Näiteks ruut, võrdkülgne kolmnurk või tavaline viisnurk.
Kui n-nurk on mittekumer, on kõik selle küljed ja nurgad võrdsed ning tipud langevad kokku tavalise n-nurga omadega, nimetatakse seda tähekujuliseks. Sellistel kujunditel võib olla iselõikusi. Näiteks võib tuua pentagrammi või heksagrammi.
Kolmnurka või nelinurka nimetatakse ringi sisse kirjutatud, kui kõik selle tipud asuvad samas ringis. Kui selle kujundi külgedel on kokkupuutepunktid ringiga, on see hulknurk, mis on piiritletud mingi ringi ümber.

Ükskõik milline kumera n-nurga saab jagada kolmnurkadeks. Sel juhul on kolmnurkade arv 2 võrra väiksem kui külgede arv.

Figuuride tüübid

See on hulknurk, millel on kolm tippu ja kolm neid ühendavat sirglõiku. Sel juhul ei asu segmentide ühenduspunktid ühel sirgel.

Segmentide ühenduspunktid on kolmnurga tipud. Lõike endid nimetatakse kolmnurga külgedeks. Iga kolmnurga sisenurkade summa on 180°.

Vastavalt külgede vahekordadele võib kõik kolmnurgad jagada mitut tüüpi:

võrdkülgsed- milles kõigi segmentide pikkus on sama.
Võrdhaarsed Kolmnurgad, millel on kaks võrdset lõiku kolmest.
Mitmekülgne- kui kõigi segmentide pikkus on erinev.

Lisaks on tavaks eristada järgmisi kolmnurki:

Teravnurkne.
Ristkülikukujuline.
nüri.

nelinurkne

Nelinurk on tasane kujund, millel on 4 tippu ja 4 segmenti, mis ühendavad neid järjestikku.

Kui nelinurga kõik nurgad on täisnurgad, nimetatakse joonist ristkülikuks.
Ristkülikut, mille kõik küljed on ühesuurused, nimetatakse ruuduks.
Nelinurka, mille kõik küljed on võrdsed, nimetatakse rombiks.

Kolm nelinurga tippu ei saa asuda samal sirgel.

Video

Lisateavet hulknurkade kohta leiate sellest videost.

Teema: "Polügoonid. Hulknurkade tüübid"

9. klass

SL nr 20

Õpetaja: Kharitonovich T.I. Tunni eesmärk: hulknurkade tüüpide uurimine.

Õppeülesanne: ajakohastada, laiendada ja üldistada õpilaste teadmisi hulknurkade kohta; kujundada ettekujutus hulknurga "komponentidest"; viia läbi korrapäraste hulknurkade (kolmnurgast n-nurgani) moodustavate elementide arvu uuringut;

Arendusülesanne: arendada analüüsi-, võrdlemis-, järelduste tegemise, arvutusoskuste, suulise ja kirjaliku matemaatilise kõne, mälu, samuti iseseisvust mõtlemis- ja õppetegevuses, paaris- ja rühmatöö oskust; arendada teadus- ja õppetegevust;

Hariduslik ülesanne: kasvatada iseseisvust, aktiivsust, vastutust antud ülesande eest, sihikindlust eesmärgi saavutamisel.

Varustus: interaktiivne tahvel (esitlus)

Tundide ajal

Näita esitlust: "Polügonid"

"Loodus räägib matemaatika keelt, selle keele tähti ... matemaatilisi kujundeid." G. Gallilei

Tunni alguses jagatakse klass töörühmadeks (meie puhul jagatakse 3 rühma)

1. Kõne etapp-

a) õpilaste teadmiste täiendamine teemal;

b) huvi äratamine õpitava teema vastu, iga õpilase motiveerimine õppetegevuseks.

Vastuvõtt: mäng "Kas sa usud, et ...", tekstiga töö korraldamine.

Töövormid: frontaalne, rühm.

"Kas sa usud seda..."

1. ... sõna "hulknurk" viitab sellele, et selle perekonna kõigil kujudel on "palju nurki"?

2. … kas kolmnurk kuulub suurde hulknurkade perekonda, mis eristuvad tasapinnal olevate geomeetriliste kujundite hulgast?

3. …kas ruut on tavaline kaheksanurk (neli külge + neli nurka)?

Tänases tunnis räägime hulknurkadest. Saame teada, et seda kujundit piirab suletud katkendjoon, mis omakorda võib olla lihtne, suletud. Räägime sellest, et hulknurgad on tasased, korrapärased, kumerad. Üks tasapinnaline hulknurk on teile juba ammu tuttav kolmnurk (saate näidata õpilastele polügoone, katkendjoont kujutavaid plakateid, näidata nende erinevaid tüüpe, kasutada saab ka TCO-d).

2. Arusaamise staadium

Eesmärk: uue teabe hankimine, selle mõistmine, valik.

Vastuvõtt: siksakiline.

Töövormid: individuaalne->paar->rühm.

Igale rühmale antakse tunniteemaline tekst ja tekst on kujundatud nii, et see sisaldab nii õpilastele juba teadaolevat kui ka täiesti uut teavet. Koos tekstiga saavad õpilased küsimused, millele vastused tuleb leida sellest tekstist.

Hulknurgad. Hulknurkade tüübid.

Kes poleks kuulnud salapärasest Bermuda kolmnurgast, kus laevad ja lennukid jäljetult kaovad? Kuid meile lapsepõlvest tuttav kolmnurk on täis palju huvitavat ja salapärast.

Lisaks meile juba tuntud kolmnurkade tüüpidele, mis on jagatud külgede (mõõtkava, võrdhaarne, võrdkülgne) ja nurkadega (terasnurkne, nürinurkne, täisnurkne), kuulub kolmnurk suurde hulknurkade perekonda, mis eristuvad paljudest. erinevad geomeetrilised kujundid tasapinnal.

Sõna "polügoon" näitab, et selle perekonna kõikidel kujudel on "palju nurki". Kuid sellest ei piisa figuuri iseloomustamiseks.

Katkendjoon A1A2…An on kujund, mis koosneb punktidest A1,A2,…An ja neid ühendavatest lõikudest A1A2, A2A3,…. Punkte nimetatakse polüliini tippudeks ja segmente nimetatakse polüliini lülideks. (JOON 1)

Katkendjoont nimetatakse lihtsaks, kui sellel ei ole iselõikusi (joon. 2,3).

Katkendjoont nimetatakse suletuks, kui selle otsad langevad kokku. Katkendjoone pikkus on selle lülide pikkuste summa (joonis 4)

Lihtsat suletud katkendjoont nimetatakse hulknurgaks, kui selle külgnevad lülid ei asu samal sirgel (joonis 5).

Asenda sõna “hulknurk” osa “paljude” asemel konkreetne arv, näiteks 3. Saad kolmnurga. Või 5. Siis - viisnurk. Pange tähele, et nurki on sama palju kui külgi, seega võiks neid kujundeid nimetada mitmekülgseteks.

Polüliini tippe nimetatakse hulknurga tippudeks ja polüliini linke nimetatakse hulknurga külgedeks.

Hulknurk jagab tasapinna kaheks piirkonnaks: sisemine ja välimine (joonis 6).

Tasapinnaline hulknurk ehk hulknurkne piirkond on hulknurgaga piiratud tasapinna lõplik osa.

Hulknurga kahte tippu, mis on sama külje otsad, nimetatakse naabriteks. Tipud, mis ei ole ühe külje otsad, ei külgne.

Hulknurka, millel on n tippu ja seega n külge, nimetatakse n-nurgaks.

Kuigi hulknurga väikseim külgede arv on 3. Kolmnurgad aga võivad üksteisega ühenduses moodustada teisi kujundeid, mis omakorda on samuti hulknurgad.

Lõike, mis ühendavad hulknurga mitte-naabertippe, nimetatakse diagonaalideks.

Hulknurka nimetatakse kumeraks, kui see asub selle külge sisaldava sirge suhtes ühel pooltasandil. Sel juhul loetakse joon ise POOLTASANDI kuuluvaks

Kumera hulknurga nurk antud tipu juures on nurk, mille moodustavad selle tipus koonduvad küljed.

Tõestame teoreemi (kumera n-nurga nurkade summa kohta): Kumera n-nurga nurkade summa võrdub 1800*(n - 2).

Tõestus. Juhul n=3 teoreem kehtib. Olgu А1А2…А n etteantud kumer hulknurk ja n>3. Joonistame sellesse (ühest tipust) diagonaalid. Kuna hulknurk on kumer, jagavad need diagonaalid selle n - 2 kolmnurgaks. Hulknurga nurkade summa on sama, mis kõigi nende kolmnurkade nurkade summa. Iga kolmnurga nurkade summa on 1800 ja nende kolmnurkade arv on n - 2. Seetõttu on kumera n - nurga A1A2 ... A n nurkade summa 1800 * (n - 2). Teoreem on tõestatud.

Kumera hulknurga välisnurk antud tipus on nurk, mis külgneb selles tipus oleva hulknurga sisenurgaga.

Kumerat hulknurka nimetatakse korrapäraseks, kui kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad on võrdsed.

Seega võib ruutu nimetada erinevalt – tavaliseks nelinurgaks. Ka võrdkülgsed kolmnurgad on korrapärased. Sellised kujundid on hooneid kaunistanud meistritele juba ammu huvi pakkunud. Ilusaid mustreid tegid nad näiteks parketile. Kuid kõiki tavalisi hulknurki ei saanud parketi moodustamiseks kasutada. Parketti ei saa vormida tavalistest kaheksanurkadest. Fakt on see, et nende iga nurk on 1350. Ja kui mõni punkt on kahe sellise kaheksanurga tipp, siis on neil 2700 ja kolmas kaheksanurk ei mahu kuhugi: 3600 - 2700 \u003d 900. ruudu jaoks piisab. Seetõttu on parkett võimalik voltida tavalistest kaheksakandilistest ja ruutudest.

Tähed on õiged. Meie viieharuline täht on tavaline viisnurkne täht. Ja kui pöörate ruutu ümber keskpunkti 450 võrra, saate tavalise kaheksanurkse tähe.

Mis on katkendlik joon? Selgitage, mis on polüliini tipud ja lingid.

Millist katkendlikku joont nimetatakse lihtsaks?

Millist katkendlikku joont nimetatakse suletud?

Mis on hulknurk? Kuidas nimetatakse hulknurga tippe? Mis on hulknurga küljed?

Mis on tasane hulknurk? Too näiteid hulknurkade kohta.

Mis on n-gon?

Selgitage, millised hulknurga tipud on kõrvuti ja millised mitte.

Mis on hulknurga diagonaal?

Mis on kumer hulknurk?

Selgitage, millised hulknurga nurgad on välised ja millised sisemised?

Mis on tavaline hulknurk? Too näiteid regulaarsete hulknurkade kohta.

Kui suur on kumera n-nurga nurkade summa? Tõesta seda.

Õpilased töötavad tekstiga, otsivad vastuseid püstitatud küsimustele, mille järel moodustatakse ekspertrühmad, milles töötatakse samade küsimustega: õpilased tõstavad esile põhilise, koostavad toetava abstrakti, esitavad teavet ühes graafilised vormid. Töö lõppedes naasevad õpilased oma töörühmadesse.

3. Peegelduse staadium –

a) oma teadmiste hindamine, väljakutse teadmiste järgmisele astmele;

b) saadud teabe mõistmine ja omastamine.

Vastuvõtt: uurimistöö.

Töövormid: individuaalne->paar->rühm.

Töörühmad on eksperdid, kes vastavad igale esitatud küsimuste jaotisele.

Naastes töörühma juurde, tutvustab ekspert teistele rühmaliikmetele vastuseid nende küsimustele. Grupis toimub kõigi töörühma liikmete infovahetus. Seega kujuneb igas töörühmas tänu ekspertide tööle üldine ettekujutus uuritavast teemast.

Õpilaste uurimistööd- tabeli täitmine.

Regulaarsed hulknurgad Joonis Külgede arv Tipude arv Kõikide sisenurkade summa Sisenurkade aste. nurk Välisnurga kraadimõõt Diagonaalide arv

A) kolmnurk

B) nelinurk

B) viie auguga

D) kuusnurk

E) n-gon

Huvitavate ülesannete lahendamine tunni teemal.

1) Mitu külge on tavalisel hulknurgal, mille iga sisenurk on võrdne 1350?

2) Teatud hulknurgas on kõik sisenurgad üksteisega võrdsed. Kas selle hulknurga sisenurkade summa võib olla: 3600, 3800?

3) Kas on võimalik ehitada viisnurka, mille nurgad on 100,103,110,110,116 kraadi?

Õppetunni kokkuvõte.

Kodutöö salvestamine: STR66-72 nr 15,17 JA ÜLESANNE: NELINURGAS JOONISTAGE OTSE, NII TA JAGAB SELLE KOLMEKS KOLMNURGAKS.

Peegeldus testide vormis (interaktiivsel tahvlil)