Razlomci. Dijeljenje razlomaka
Množenje i dijeljenje razlomaka.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Ova operacija je puno ljepša od zbrajanja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećamo, da biste razlomak pomnožili s razlomkom, morate pomnožiti brojnike (to će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti nazivnik). To je:
Na primjer:
Sve je krajnje jednostavno. I nemojte, molim vas, tražiti zajednički nazivnik! Nema potrebe za njim ovdje...
Da biste podijelili razlomak s razlomkom, morate obrnuti drugi(ovo je važno!) razlomak i pomnožite ih, tj.:
Na primjer:
Ako naiđete na množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima, u redu je. Kao i kod zbrajanja, pravimo razlomak od cijelog broja s jedinicom u nazivniku - i samo naprijed! Na primjer:
U srednjoj školi često se morate baviti trokatnim (ili čak četverokatnim!) razlomcima. Na primjer:
Kako mogu učiniti da ovaj razlomak izgleda pristojno? Da, vrlo jednostavno! Koristite podjelu u dvije točke:
Ali ne zaboravite na redoslijed podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali lako je pogriješiti u trokatnici. Imajte na umu na primjer:
U prvom slučaju (izraz lijevo):
U drugom (izraz desno):
Osjećate li razliku? 4 i 1/9!
Što određuje redoslijed podjele? Ili sa zagradama, ili (kao ovdje) s duljinom vodoravnih linija. Razvijte svoje oko. A ako nema zagrada ili crtica, na primjer:
zatim podijeli i pomnoži redom, s lijeva na desno!
I još jedna vrlo jednostavna i važna tehnika. U akcijama sa stupnjevima, bit će vam tako korisno! Podijelimo jedan s bilo kojim razlomkom, na primjer s 13/15:
Snimak se preokrenuo! A ovo se uvijek događa. Kada 1 dijelite bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo naopako.
To je to za operacije s razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Bilješka praktične savjete, i bit će ih manje (grešaka)!
Praktični savjeti:
1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost! Nije uobičajene riječi, nisu dobre želje! Ovo je krajnja potreba! Izvršite sve izračune na Jedinstvenom državnom ispitu kao punopravni zadatak, fokusiran i jasan. Bolje je napisati dva dodatna retka u nacrtu nego zabrljati dok radite mentalne izračune.
2. U primjerima s različitim vrstama razlomaka prelazimo na obične razlomke.
3. Smanjujemo sve razlomke dok ne stanu.
4. Višerazinske frakcijske izraze reduciramo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (vodimo redoslijed dijeljenja!).
5. Podijelite jedinicu s razlomkom u glavi, jednostavno okrećući razlomak.
Evo zadataka koje svakako morate izvršiti. Nakon svih zadataka daju se odgovori. Koristite materijale o ovoj temi i praktične savjete. Procijenite koliko ste primjera uspjeli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...
Upamtite - točan odgovor je primljeno iz drugog (pogotovo trećeg) puta se ne računa! Takav je surov život.
Tako, riješiti u ispitnom načinu ! Usput, ovo je već priprema za Jedinstveni državni ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeći. Sve smo odlučili - ponovno provjerili od prvog do zadnjeg. Ali samo Zatim pogledajte odgovore.
Izračunati:
Jesi li odlučio?
Tražimo odgovore koji odgovaraju vašima. Namjerno sam ih zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, ispisanih točkom i zarezom.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo, sretan sam zbog tebe! Osnovni izračuni s razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...
Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješiv Problemi.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
) i nazivnik po nazivnik (dobivamo nazivnik umnoška).
Formula za množenje razlomaka:
Na primjer:
Prije nego počnete množiti brojnike i nazivnike, morate provjeriti može li se razlomak smanjiti. Ako možete smanjiti razlomak, bit će vam lakše napraviti daljnje izračune.
Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.
Dijeljenje razlomaka s prirodnim brojevima.
Nije tako strašno kao što se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, cijeli broj pretvaramo u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:
Množenje mješovitih razlomaka.
Pravila za množenje razlomaka (mješovito):
- pretvarati mješovite razlomke u neprave razlomke;
- množenje brojnika i nazivnika razlomaka;
- smanjiti frakciju;
- Ako dobijete nepravi razlomak, tada nepravi razlomak pretvaramo u mješoviti razlomak.
Bilješka! Da biste pomnožili mješoviti razlomak drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate pretvoriti u oblik nepravih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu množenja obični razlomci.
Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.
Možda bi bilo prikladnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.
Bilješka! Da biste pomnožili razlomak prirodnim brojem, morate nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.
Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka podijeli bez ostatka s prirodnim brojem.
Višekatni razlomci.
U srednjoj školi često se susreću trokatni (ili više) razlomci. Primjer:
Da biste takav razlomak doveli u uobičajeni oblik, upotrijebite dijeljenje kroz 2 točke:
Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako zbuniti.
Bilješka, Na primjer:
Kada dijelite jedan bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnut:
Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:
1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost. Sve izračune izvodite pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati nekoliko dodatnih redaka u svoj nacrt nego se izgubiti u mentalnim proračunima.
2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka prijeći na vrstu običnih razlomaka.
3. Sve razlomke reduciramo dok više nije moguće reducirati.
4. Višerazinske frakcijske izraze pretvaramo u obične koristeći dijeljenje kroz 2 točke.
5. Podijelite jedinicu s razlomkom u glavi, jednostavno okrećući razlomak.
S razlomcima možete učiniti sve, uključujući dijeljenje. Ovaj članak prikazuje dijeljenje običnih razlomaka. Dat će se definicije i raspravljati o primjerima. Osvrnimo se detaljno na dijeljenje razlomaka prirodnim brojevima i obrnuto. Razmotrit ćemo dijeljenje običnog razlomka s mješoviti broj.
Dijeljenje razlomaka
Dijeljenje je obrnuto množenju. Pri dijeljenju se nepoznati faktor nalazi na poznato djelo i drugi faktor, gdje je njegovo dano značenje sačuvano s običnim razlomcima.
Ako je potrebno podijeliti obični razlomak a b sa c d, tada za određivanje takvog broja trebate pomnožiti s djeliteljem c d, što će na kraju dati dividendu a b. Uzmimo broj i napišimo ga a b · d c , gdje je d c inverz c d broja. Jednakosti se mogu napisati pomoću svojstava množenja, naime: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, gdje je izraz a b · d c kvocijent dijeljenja a b sa c d.
Odavde dobivamo i formuliramo pravilo za dijeljenje običnih razlomaka:
Definicija 1
Da biste podijelili obični razlomak a b s c d, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednošću djelitelja.
Zapišimo pravilo u obliku izraza: a b: c d = a b · d c
Pravila dijeljenja svode se na množenje. Da biste ga se držali, morate dobro razumjeti množenje razlomaka.
Prijeđimo na razmatranje dijeljenja običnih razlomaka.
Primjer 1
Podijeli 9 7 sa 5 3. Rezultat zapiši kao razlomak.
Riješenje
Broj 5 3 je recipročni razlomak 3 5. Potrebno je koristiti pravilo za dijeljenje običnih razlomaka. Ovaj izraz zapisujemo na sljedeći način: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Odgovor: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Kod sažimanja razlomaka odvojite cijeli dio ako je brojnik veći od nazivnika.
Primjer 2
Podijeli 8 15: 24 65. Napiši odgovor kao razlomak.
Riješenje
Da biste riješili, morate prijeći s dijeljenja na množenje. Zapišimo to u ovom obliku: 8 15 : 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Potrebno je izvršiti smanjenje, a to se radi na sljedeći način: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Odaberite cijeli dio i dobijete 13 9 = 1 4 9.
Odgovor: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Dijeljenje izvanrednog razlomka prirodnim brojem
Koristimo se pravilom dijeljenja razlomka prirodnim brojem: da biste a b podijelili prirodnim brojem n, trebate samo nazivnik pomnožiti s n. Odavde dobivamo izraz: a b: n = a b · n.
Pravilo dijeljenja je posljedica pravila množenja. Stoga prezentacija prirodni broj u obliku razlomka dat će jednakost ovog tipa: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .
Razmotrite ovu podjelu razlomka brojem.
Primjer 3
Razlomak 16 45 podijelite s brojem 12.
Riješenje
Primijenimo pravilo dijeljenja razlomka brojem. Dobivamo izraz oblika 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Skratimo razlomak. Dobivamo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Odgovor: 16 45: 12 = 4 135 .
Dijeljenje prirodnog broja razlomkom
Pravilo podjele je slično O pravilo dijeljenja prirodnog broja običnim razlomkom: da bismo prirodni broj n podijelili običnim razlomkom a b, potrebno je broj n pomnožiti recipročnom vrijednošću razlomka a b.
Na temelju pravila imamo n: a b = n · b a, a zahvaljujući pravilu množenja prirodnog broja običnim razlomkom, dobivamo naš izraz u obliku n: a b = n · b a. Ovu podjelu potrebno je razmotriti na primjeru.
Primjer 4
Podijeli 25 sa 15 28.
Riješenje
Moramo prijeći s dijeljenja na množenje. Zapišimo to u obliku izraza 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Skratimo razlomak i dobijemo rezultat u obliku razlomka 46 2 3.
Odgovor: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Dijeljenje razlomka mješovitim brojem
Kada obični razlomak dijelite mješovitim brojem, lako možete početi dijeliti obične razlomke. Morate pretvoriti mješoviti broj u nepravi razlomak.
Primjer 5
Razlomak 35 16 podijelite s 3 1 8.
Riješenje
Kako je 3 1 8 mješoviti broj, predstavimo ga kao nepravi razlomak. Tada dobivamo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Sada podijelimo razlomke. Dobivamo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Odgovor: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Dijeljenje mješovitog broja vrši se na isti način kao i običnih brojeva.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Pojavljuje se podjela. U ovom članku ćemo govoriti o dijeljenje običnih razlomaka. Prvo ćemo dati pravilo za dijeljenje običnih razlomaka i pogledati primjere dijeljenja razlomaka. Zatim ćemo se usredotočiti na dijeljenje običnog razlomka prirodnim brojem i brojeva razlomkom. Na kraju, pogledajmo kako obični razlomak podijeliti mješovitim brojem.
Navigacija po stranici.
Dijeljenje običnog razlomka običnim razlomkom
Poznato je da je dijeljenje radnja obratna od množenja (vidi vezu između dijeljenja i množenja). To jest, dijeljenje uključuje pronalaženje nepoznatog faktora kada su umnožak i drugi faktor poznati. Isto značenje dijeljenja zadržava se i kod dijeljenja običnih razlomaka.
Pogledajmo primjere dijeljenja običnih razlomaka.
Imajte na umu da ne smijemo zaboraviti na smanjivanje razlomaka i odvajanje cijelog dijela od nepravog razlomka.
Dijeljenje običnog razlomka prirodnim brojem
Odmah ćemo ga dati pravilo dijeljenja razlomka prirodnim brojem: da biste razlomak a/b podijelili prirodnim brojem n, potrebno je ostaviti brojnik isti, a nazivnik pomnožiti s n, tj.
Ovo pravilo dijeljenja izravno slijedi iz pravila dijeljenja običnih razlomaka. Doista, predstavljanje prirodnog broja kao razlomka dovodi do sljedećih jednakosti 
.
Pogledajmo primjer dijeljenja razlomka brojem.
Primjer.
Razlomak 16/45 podijelimo s prirodnim brojem 12.
Riješenje.
Prema pravilu dijeljenja razlomka brojem imamo 
. Napravimo kraticu: . Ova je podjela završena.
Odgovor:
.
Dijeljenje prirodnog broja razlomkom
Pravilo za dijeljenje razlomaka je slično pravilo dijeljenja prirodnog broja razlomkom: da biste prirodni broj n podijelili običnim razlomkom a/b, trebate broj n pomnožiti recipročnom vrijednošću razlomka a/b.
Prema navedenom pravilu, , a pravilo za množenje prirodnog broja običnim razlomkom dopušta da se prepiše u obliku .
Pogledajmo primjer.
Primjer.
Prirodni broj 25 podijelite s razlomkom 15/28.
Riješenje.
Prijeđimo s dijeljenja na množenje, imamo 
. Nakon smanjivanja i odabira cijelog dijela, dobivamo .
Odgovor:
.
Dijeljenje razlomka mješovitim brojem
Dijeljenje razlomka mješovitim brojem lako se svodi na dijeljenje običnih razlomaka. Da biste to učinili, dovoljno je izvršiti
Zadnji put smo naučili zbrajati i oduzimati razlomke (vidi lekciju “Zbrajanje i oduzimanje razlomaka”). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.
Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije još jednostavnije od zbrajanja i oduzimanja. Prvo, razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez odvojenog cijelog broja.
Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj bit će brojnik novog razlomka, a drugi nazivnik.
Da biste podijelili dva razlomka, morate pomnožiti prvi razlomak s "obrnutim" drugim razlomkom.
Oznaka:
Iz definicije proizlazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste "okrenuli" razlomak, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Stoga ćemo kroz lekciju uglavnom razmatrati množenje.
Kao rezultat množenja može nastati (i često nastaje) reducibilni ulomak - on se, naravno, mora smanjiti. Ako se nakon svih redukcija razlomak pokaže netočnim, potrebno je istaknuti cijeli dio. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički nazivnik: nema unakrsnih metoda, najveći faktori i najmanji zajednički višekratnici.
Po definiciji imamo:
Množenje razlomaka s cijelim dijelovima i negativnim razlomcima
Ako razlomci sadrže cijeli broj, moraju se pretvoriti u neprave - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.
Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, može se izbaciti iz množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:
- Plus za minus daje minus;
- Dvije negativne riječi čine potvrdnu.
Do sada su se ova pravila susrela samo kod zbrajanja i oduzimanja negativnih razlomaka, kada se trebalo riješiti cijelog dijela. Za djelo se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko nedostataka odjednom:
- Prekrižimo negative u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnim slučajevima može preživjeti jedan minus – onaj za koji nije bilo para;
- Ako nema preostalih minusa, operacija je završena - možete započeti množenje. Ako zadnji minus nije prekrižen jer za njega nije bilo para, iznosimo ga izvan granica množenja. Rezultat je negativan razlomak.
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Sve razlomke pretvaramo u neprave, a zatim iz množenja izbacujemo minuse. Ono što ostane umnožimo prema uobičajenim pravilima. Dobivamo:
Još jednom podsjećam da se minus ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na cijeli njegov dio (ovo se odnosi na zadnja dva primjera).
Također imajte na umu negativni brojevi: Kod množenja se nalaze u zagradama. To je učinjeno kako bi se odvojili minusi od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.
Smanjenje razlomaka u hodu
Množenje je vrlo radno intenzivna operacija. Pokazalo se da su brojevi ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili problem, možete pokušati dodatno smanjiti razlomak prije množenja. Doista, u biti, brojnici i nazivnici razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu reducirati korištenjem osnovnog svojstva razlomka. Pogledajte primjere:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Po definiciji imamo:
U svim primjerima crvenom bojom označeni su brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo.
Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Na njihovom mjestu ostaju jedinice koje, općenito govoreći, ne treba pisati. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpuno smanjenje, ali se ukupni iznos izračuna ipak smanjio.
Međutim, nikada ne koristite ovu tehniku kada zbrajate i oduzimate razlomke! Da, ponekad postoje slični brojevi koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledajte:
Ne možete to učiniti!
Pogreška se javlja jer pri zbrajanju brojnik razlomka daje zbroj, a ne umnožak brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, budući da u ovom svojstvu govorimo o konkretno o množenju brojeva.
Drugih razloga za smanjivanje razlomaka jednostavno nema, pa ispravno rješenje prethodnog zadatka izgleda ovako:
Točno rješenje:
Kao što vidite, ispostavilo se da točan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.
