Derivacija implicitno navedene funkcije.
Derivacija parametarski definirane funkcije

U ovom ćemo članku pogledati još dva tipični zadaci, koji se često nalaze u testovi u višoj matematici. Da biste uspješno svladali gradivo, morate znati pronaći izvedenice barem na srednjoj razini. Možete naučiti pronaći izvedenice praktički od nule u dvije osnovne lekcije i Derivacija složene funkcije. Ako su tvoje vještine razlikovanja u redu, onda idemo.

Derivacija implicitno navedene funkcije

Ili, ukratko, izvod implicitne funkcije. Što je implicitna funkcija? Prvo se prisjetimo same definicije funkcije jedne varijable:

Funkcija jedne varijable je pravilo prema kojem svakoj vrijednosti nezavisne varijable odgovara jedna i samo jedna vrijednost funkcije.

Varijabla se zove neovisna varijabla ili argument.
Varijabla se zove zavisna varijabla ili funkcija .

Do sada smo gledali funkcije definirane u eksplicitan oblik. Što to znači? Provedimo debriefing koristeći konkretne primjere.

Razmotrite funkciju

Vidimo da s lijeve strane imamo usamljenog "igrača", a s desne - samo "X". Odnosno funkcija eksplicitno izražen kroz nezavisnu varijablu.

Pogledajmo još jednu funkciju:

Ovdje su varijable pomiješane. Štoviše nemoguće nikako izražavati “Y” samo kroz “X”. Koje su to metode? Prenošenje članova iz dijela u dio s promjenom predznaka, premještanje iz zagrade, bacanje faktora prema pravilu proporcije itd. Prepišite jednakost i pokušajte eksplicitno izraziti “y”: . Možete vrtjeti i vrtjeti jednadžbu satima, ali nećete uspjeti.

Dopustite da vam predstavim: – primjer implicitna funkcija.

Tijekom matematičke analize dokazano je da implicitna funkcija postoji(međutim, ne uvijek), ima grafikon (baš kao "normalna" funkcija). Implicitna funkcija je potpuno ista postoji prvi izvod, drugi izvod itd. Kako kažu, poštuju se sva prava seksualnih manjina.

U ovoj lekciji naučit ćemo kako pronaći derivaciju implicitno navedene funkcije. Nije to tako teško! Sva pravila diferenciranja i tablica derivacija elementarnih funkcija ostaju na snazi. Razlika je u jednom osebujnom trenutku, koji ćemo sada pogledati.

Da, i reći ću vam dobru vijest - zadaci o kojima se govori u nastavku izvode se prema prilično strogom i jasnom algoritmu bez kamena ispred tri staze.

Primjer 1

1) U prvoj fazi pričvršćujemo poteze na oba dijela:

2) Koristimo pravila linearnosti derivacije (prva dva pravila lekcije Kako pronaći izvedenicu? Primjeri rješenja):

3) Izravna diferencijacija.
Kako razlikovati potpuno je jasno. Što učiniti tamo gdje su "igre" ispod udaraca?

- samo do sramote, derivacija funkcije jednaka je njezinoj derivaciji: .

Kako razlikovati
Evo imamo složena funkcija. Zašto? Čini se da ispod sinusa postoji samo jedno slovo "Y". Ali činjenica je da postoji samo jedno slovo "y" - SAM JE FUNKCIJA(vidi definiciju na početku lekcije). Dakle, sinus je vanjska funkcija i unutarnja je funkcija. Koristimo pravilo za diferenciranje složene funkcije :

Proizvod razlikujemo prema uobičajenom pravilu :

Imajte na umu da je – također složena funkcija, svaka "igra na zvona i zviždaljke" složena je funkcija:

Samo rješenje bi trebalo izgledati otprilike ovako:


Ako postoje zagrade, proširite ih:

4) Na lijevoj strani skupljamo članove koji sadrže "Y" s primenom. Pomaknite sve ostalo na desnu stranu:

5) Na lijevoj strani izvodimo izvod iz zagrade:

6) I prema pravilu proporcije, ove zagrade stavljamo u nazivnik desne strane:

Izvedenica je pronađena. Spreman.

Zanimljivo je primijetiti da se svaka funkcija može prepisati implicitno. Na primjer, funkcija može se prepisati ovako: . I razlikovati ga pomoću algoritma o kojem smo upravo govorili. Zapravo, fraze "implicitna funkcija" i "implicitna funkcija" razlikuju se u jednoj semantičkoj nijansi. Fraza "implicitno navedena funkcija" je općenitija i točnija, – ova je funkcija navedena implicitno, ali ovdje možete izraziti "igru" i eksplicitno predstaviti funkciju. Riječi “implicitna funkcija” češće označavaju “klasičnu” implicitnu funkciju, kada se “igra” ne može izraziti.

Također treba napomenuti da "implicitna jednadžba" može implicitno specificirati dvije ili čak više funkcija odjednom, na primjer, jednadžba kruga implicitno definira funkcije , , koje definiraju polukrugove, ali u okviru ovog članka mi Neću raditi posebnu razliku između pojmova i nijansi, to je bila samo informacija za opći razvoj.

Drugo rješenje

Pažnja! S drugom metodom možete se upoznati samo ako znate kako pouzdano pronaći parcijalne derivacije. Početnici učiti matematička analiza i čajnike molim nemojte čitati i preskočite ovu točku, inače će vam glava biti potpuni nered.

Pronađimo izvod implicitne funkcije pomoću druge metode.

Sve pojmove premještamo na lijevu stranu:

I razmotrite funkciju dviju varijabli:

Tada se naš izvod može pronaći pomoću formule
Nađimo parcijalne derivacije:

Tako:

Drugo rješenje omogućuje provjeru. No nije preporučljivo da pišu konačnu verziju zadatka, jer se parcijalne derivacije svladavaju kasnije, a student koji uči temu “Derivacija funkcije jedne varijable” još ne bi trebao znati parcijalne derivacije.

Pogledajmo još nekoliko primjera.

Primjer 2

Pronađite izvod implicitno zadane funkcije

Dodajte poteze na oba dijela:

Koristimo pravila linearnosti:

Pronalaženje derivata:

Otvaranje svih zagrada:

Sve članove pomičemo s na lijevu stranu, a ostale na desnu stranu:

Konačan odgovor:

Primjer 3

Pronađite izvod implicitno zadane funkcije

Potpuno rješenje i ogledni dizajn na kraju lekcije.

Nije neuobičajeno da razlomci nastaju nakon diferencijacije. U takvim slučajevima morate se riješiti razlomaka. Pogledajmo još dva primjera.

Primjer 4

Pronađite izvod implicitno zadane funkcije

Oba dijela stavljamo pod crte i koristimo pravilo linearnosti:

Razlikovati pomoću pravila za razlikovanje složene funkcije te pravilo diferenciranja kvocijenata :

Proširivanje zagrada:

Sada se moramo riješiti razlomka. To se može učiniti kasnije, ali je racionalnije to učiniti odmah. Nazivnik razlomka sadrži . Pomnožiti na . Detaljno, to će izgledati ovako:

Ponekad se nakon diferencijacije pojavljuju 2-3 frakcije. Da imamo još jedan razlomak, na primjer, tada bi trebalo ponoviti operaciju - množenje svaki izraz svakog dijela na

Na lijevoj strani stavljamo ga izvan zagrada:

Konačan odgovor:

Primjer 5

Pronađite izvod implicitno zadane funkcije

Ovo je primjer za neovisna odluka. Jedina stvar je da prije nego što se riješite frakcije, prvo ćete se morati riješiti trokatnice same frakcije. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Derivacija parametarski definirane funkcije

Nemojmo naglašavati, sve u ovom paragrafu također je vrlo jednostavno. Možete zapisati opća formula parametarski definirana funkcija, ali ću odmah zapisati da bi bilo jasno konkretan primjer. U parametarskom obliku funkcija je dana s dvije jednadžbe: . Često se jednadžbe ne pišu u vitičastim zagradama, već u nizu: , .

Varijabla se naziva parametar i može uzeti vrijednosti od "minus beskonačno" do "plus beskonačno". Razmotrimo, na primjer, vrijednost i zamijenimo je u obje jednadžbe: . Ili ljudskim rječnikom rečeno: "ako je x jednako četiri, onda je y jednako jedan." Na koordinatna ravnina možete označiti točku, a ta će točka odgovarati vrijednosti parametra. Slično, možete pronaći točku za bilo koju vrijednost parametra "te". Što se tiče "obične" funkcije, za američke Indijance parametarski definirane funkcije također se poštuju sva prava: možete izgraditi graf, pronaći derivacije itd. Usput, ako trebate iscrtati graf parametarski definirane funkcije, možete koristiti moj program.

U najjednostavnijim slučajevima moguće je eksplicitno prikazati funkciju. Izrazimo parametar: – iz prve jednadžbe i zamijenimo ga u drugu jednadžbu: . Rezultat je obična kubna funkcija.

U "težim" slučajevima ovaj trik ne pali. Ali to nije važno, jer postoji formula za pronalaženje derivacije parametarske funkcije:

Nalazimo izvod "igre s obzirom na varijablu te":

Sva pravila razlikovanja i tablica izvedenica vrijede, naravno, za slovo, dakle, nema novosti u procesu pronalaženja izvedenica. Samo mentalno zamijenite sve "X" u tablici slovom "Te".

Pronalazimo izvod od “x u odnosu na varijablu te”:

Sada sve što preostaje je zamijeniti pronađene derivacije u našu formulu:

Spreman. Derivacija, kao i sama funkcija, također ovisi o parametru.

Što se notacije tiče, umjesto da se upisuje u formulu, može se jednostavno pisati bez indeksa, budući da je ovo "regularna" derivacija "u odnosu na X". Ali u literaturi uvijek postoji opcija, pa neću odstupati od standarda.

Primjer 6

Koristimo formulu

U ovom slučaju:

Tako:

Posebnost nalaženja derivacije parametarske funkcije je činjenica da u svakom koraku korisno je pojednostaviti rezultat što je više moguće. Dakle, u razmatranom primjeru, kada sam ga pronašao, otvorio sam zagrade ispod korijena (iako to možda nisam učinio). Postoji velika vjerojatnost da će se zamjenom u formulu mnoge stvari dobro smanjiti. Iako, naravno, ima primjera s nespretnim odgovorima.

Primjer 7

Naći derivaciju funkcije specificirane parametarski

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti.

U članku Najjednostavniji tipični problemi s izvedenicama pogledali smo primjere u kojima je trebalo pronaći drugu derivaciju funkcije. Za parametarski definiranu funkciju možete pronaći i drugu derivaciju, a ona se nalazi pomoću sljedeće formule: . Sasvim je očito da da biste pronašli drugu derivaciju, prvo morate pronaći prvu derivaciju.

Primjer 8

Odredite prvu i drugu derivaciju parametarski zadane funkcije

Prvo, pronađimo prvu derivaciju.
Koristimo formulu

U ovom slučaju:

Naučit ćemo pronaći derivacije funkcija zadanih implicitno, odnosno zadanih određenim jednadžbama koje povezuju varijable x I g. Primjeri implicitno navedenih funkcija:

,

Derivati ​​implicitno navedenih funkcija, ili derivati ​​implicitnih funkcija, nalaze se vrlo jednostavno. Sada pogledajmo odgovarajuće pravilo i primjer, a zatim saznajmo zašto je to uopće potrebno.

Kako biste pronašli derivaciju implicitno navedene funkcije, trebate diferencirati obje strane jednadžbe s obzirom na x. Oni članovi u kojima je prisutan samo X pretvorit će se u uobičajenu derivaciju funkcije iz X. I pojmovi s igrom moraju se razlikovati pomoću pravila za razlikovanje složene funkcije, budući da je igra funkcija X. Pojednostavljeno rečeno, rezultirajuća derivacija člana s x trebala bi rezultirati: derivacijom funkcije iz y pomnoženom s derivacijom iz y. Na primjer, izvedenica pojma bit će napisana kao , izvedenica pojma bit će napisana kao . Dalje, iz svega ovoga, trebate izraziti ovaj "udarac igre" i dobit će se željena derivacija implicitno navedene funkcije. Pogledajmo ovo na primjeru.

Primjer 1.

Riješenje. Razlikujemo obje strane jednadžbe s obzirom na x, pretpostavljajući da je i funkcija od x:

Odavde dobivamo derivat koji je potreban u zadatku:

Sada nešto o dvosmislenom svojstvu funkcija specificiranih implicitno, i zašto su potrebna posebna pravila za njihovo razlikovanje. U nekim slučajevima možete provjeriti je li zamjena u dana jednadžba(vidi primjere iznad) umjesto y, njegov izraz kroz x dovodi do činjenice da ova jednadžba postaje identitet. Tako. Gornja jednadžba implicitno definira sljedeće funkcije:

Nakon zamjene izraza za igru ​​na kvadrat kroz x u izvornu jednadžbu, dobivamo identitet:

.

Izrazi koje smo zamijenili dobili smo rješavanjem jednadžbe za igru.

Ako bismo razlikovali odgovarajuću eksplicitnu funkciju

tada bismo dobili odgovor kao u primjeru 1 - iz implicitno navedene funkcije:

Ali ne može se svaka implicitno navedena funkcija prikazati u obliku g = f(x) . Tako, na primjer, implicitno navedene funkcije

ne izražavaju se kroz elementarne funkcije, odnosno ove se jednadžbe ne mogu riješiti u odnosu na igrača. Dakle, postoji pravilo za razlikovanje funkcije navedeno implicitno, koje smo već proučavali i dalje ćemo dosljedno primjenjivati ​​u drugim primjerima.

Primjer 2. Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije:

.

Izražavamo prost i - na izlazu - izvod implicitno navedene funkcije:

Primjer 3. Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije:

.

Riješenje. Razlikujemo obje strane jednadžbe s obzirom na x:

.

Primjer 4. Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije:

.

Riješenje. Razlikujemo obje strane jednadžbe s obzirom na x:

.

Izražavamo i dobivamo izvod:

.

Primjer 5. Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije:

Riješenje. Članove s desne strane jednadžbe premjestimo na lijevu stranu i ostavimo nulu s desne strane. Razlikujemo obje strane jednadžbe s obzirom na x.

Funkcija Z= f(x; y) naziva se implicitnom ako je dana jednadžbom F(x,y,z)=0 nerazriješenom u odnosu na Z. Nađimo parcijalne derivacije funkcije Z dane implicitno. Da bismo to učinili, zamjenom funkcije f(x;y) u jednadžbu umjesto Z, dobivamo identitet F(x,y, f(x,y))=0. Parcijalne derivacije funkcije identično jednake nuli u odnosu na x i y također su jednake nuli.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (smatra se konstantom)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xsmatra se konstantom)

Gdje
I

Primjer: Pronađite parcijalne derivacije funkcije Z dane jednadžbom
.

Ovdje je F(x,y,z)=
;
;
;
. Prema gore navedenim formulama imamo:

I

1. Izvodnica smjera

Neka je u određenoj okolini točke M (x,y) dana funkcija dviju varijabli Z= f(x; y). Razmotrimo neki smjer definiran jediničnim vektorom
, Gdje
(vidi sliku).

Na ravnoj liniji koja prolazi u ovom smjeru kroz točku M, uzimamo točku M 1 (
) tako da duljina
segmentMM 1 je jednak
. Prirast funkcije f(M) određen je relacijom, gdje je
povezani odnosima. Granica omjera na
nazvat ćemo izvod funkcije
u točki
prema i biti određen .

=

Ako je funkcija Z diferencijabilna u točki
, zatim njegov prirast u ovoj točki uzimajući u obzir odnose za
može se napisati u sljedećem obliku.

dijeleći oba dijela po

i prelazeći do granice na
dobivamo formulu za derivaciju funkcije Z= f(x; y) u smjeru:

1. Gradijent

Promotrimo funkciju triju varijabli
diferencijabilan u nekom trenutku
.

Gradijent ove funkcije
u točki M je vektor čije su koordinate redom jednake parcijalnim izvodnicama
u ovom trenutku. Za označavanje gradijenta koristite simbol
.
=
.

.Gradijent označava smjer najbržeg rasta funkcije u određenoj točki.

Budući da jedinični vektor ima koordinate (
), tada se derivacija po smjeru za slučaj funkcije triju varijabli zapisuje u obliku, tj. ima formulu za skalarni produkt vektora I
. Prepišimo posljednju formulu na sljedeći način:

, Gdje - kut između vektora I
. Jer
, onda slijedi da derivacija funkcije u smjeru poprima najveću vrijednost pri =0, tj. kada smjer vektora I
podudarati se. pri čemu
To jest, zapravo, gradijent funkcije karakterizira smjer i veličinu maksimalne stope povećanja ove funkcije u točki.

1. Ekstrem funkcije dviju varijabli

Pojmovi max, min, ekstremuma funkcije dviju varijabli slični su odgovarajućim pojmovima funkcije jedne varijable. Neka je funkcija Z= f(x; y) definirana u nekoj domeni D itd. M
pripada ovom području. Točka M
naziva se max točka funkcije Z= f(x; y) ako postoji takva δ-okolina točke
, da je za svaku točku iz ove okoline nejednakost
. Točka min se određuje na sličan način, samo će se promijeniti znak nejednakosti
. Vrijednost funkcije u točki max(min) naziva se maksimum (minimum). Maksimum i minimum funkcije nazivaju se ekstremima.

1. Nužni i dovoljni uvjeti za ekstrem

Teorema:(Potrebni uvjeti za ekstrem). Ako je u točki M
diferencijabilna funkcija Z= f(x; y) ima ekstrem, tada su njezine parcijalne derivacije u ovoj točki jednake nuli:
,
.

Dokaz: Nakon što smo fiksirali jednu od varijabli x ili y, transformiramo Z = f(x; y) u funkciju jedne varijable, za čiji ekstrem moraju biti zadovoljeni gornji uvjeti. Geometrijske jednakosti
I
znači da je u točki ekstrema funkcije Z= f(x; y), ravnina tangente na površinu koja predstavlja funkciju f(x,y)=Z paralelna s ravninom OXY, jer jednadžba tangentne ravnine je Z = Z 0. Točka u kojoj su parcijalne derivacije prvog reda funkcije Z = f (x; y) jednake nuli, tj.
,
, nazivaju se stacionarna točka funkcije. Funkcija može imati ekstrem u točkama u kojima ne postoji barem jedna od parcijalnih derivacija. Na primjerZ=|-
| ima max u točki O(0,0), ali nema izvodnica u ovoj točki.

Stacionarne točke i točke u kojima ne postoji barem jedna parcijalna derivacija nazivaju se kritične točke. U kritičnim točkama funkcija može i ne mora imati ekstremum. Jednakost parcijalnih derivacija nuli je nužan, ali ne i dovoljan uvjet za postojanje ekstrema. Na primjer, kada je Z=xy, točka O(0,0) je kritična. Međutim, funkcija Z=xy u sebi nema ekstrem. (Jer u I i III kvartalu Z>0, a u II i IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorema: (Dovoljan uvjet za ekstreme). Neka u stacionarnoj točki
au određenoj okolini funkcija f(x; y) ima kontinuirane parcijalne derivacije do 2. reda uključivo. Računajmo u točki
vrijednosti
,
I
. Označimo

Ako
, ekstrem u točki
Može i ne mora biti. Potrebno je više istraživanja.

Kao što je poznato, implicitno dana funkcija jedne varijable definirana je na sljedeći način: funkcija y nezavisne varijable x naziva se implicitnom ako je dana jednadžbom koja nije razriješena u odnosu na y:

Primjer 1.11.

Jednadžba

implicitno navodi dvije funkcije:

I jednadžba

ne navodi nikakvu funkciju.

Teorem 1.2 (postojanje implicitne funkcije).

Neka su funkcija z =f(x,y) i njezine parcijalne derivacije f"x i f"y definirane i kontinuirane u nekoj okolini UM0 točke M0(x0y0). Osim toga, f(x0,y0)=0 i f"(x0,y0)≠0, tada jednadžba (1.33) definira u blizini UM0 implicitnu funkciju y= y(x), kontinuiranu i diferencijabilnu u nekom intervalu D sa središtem u točki x0, i y(x0)=y0.

Nema dokaza.

Iz teorema 1.2 slijedi da je na ovom intervalu D:

odnosno postoji identitet u

gdje se "ukupna" derivacija nalazi prema (1.31)

To jest, (1.35) daje formulu za pronalaženje derivacije implicitno zadane funkcije jedne varijable x.

Slično se definira implicitna funkcija dviju ili više varijabli.

Na primjer, ako u nekom području V Oxyz prostora vrijedi jednadžba:

tada pod određenim uvjetima na funkciju F implicitno definira funkciju

Štoviše, po analogiji s (1.35), njegove parcijalne derivacije nalaze se kako slijedi:

Primjer 1.12. Uz pretpostavku da jednadžba

implicitno definira funkciju

pronaći z"x, z"y.

dakle, prema (1.37), dobivamo odgovor.

11.Primjena parcijalnih derivacija u geometriji.

12. Ekstremumi funkcije dviju varijabli.

Koncepti maksimuma, minimuma i ekstrema funkcije dviju varijabli slični su odgovarajućim konceptima funkcije jedne nezavisne varijable (vidi odjeljak 25.4).

Neka je funkcija z = ƒ(x;y) definirana u nekoj domeni D, točka N(x0;y0) O D.

Točka (x0;y0) se zove maksimalna točka funkcije z=ƒ(x;y) ako postoji d-okolica točke (x0;y0) takva da za svaku točku (x;y) različitu od (xo;yo), iz ove okoline vrijedi nejednakost ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

A Minimalna točka funkcije određena je na sličan način: za sve točke (x; y) osim (x0; y0), iz d-okoline točke (xo; yo) vrijedi nejednakost: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

Na slici 210: N1 je točka maksimuma, a N2 točka minimuma funkcije z=ƒ(x;y).

Vrijednost funkcije u točki maksimuma (minimuma) naziva se maksimum (minimum) funkcije. Maksimum i minimum funkcije nazivamo njezinim ekstremima.

Primijetite da, po definiciji, točka ekstrema funkcije leži unutar domene definicije funkcije; maksimum i minimum imaju lokalni (lokalni) karakter: vrijednost funkcije u točki (x0; y0) uspoređuje se s njezinim vrijednostima u točkama dovoljno blizu (x0; y0). U području D funkcija može imati nekoliko ekstrema ili niti jedan.

46.2. Nužni i dovoljni uvjeti za ekstrem

Razmotrimo uvjete postojanja ekstrema funkcije.

Teorem 46.1 (nužni uvjeti za ekstrem). Ako u točki N(x0;y0) diferencijabilna funkcija z=ƒ(x;y) ima ekstrem, tada su njezine parcijalne derivacije u toj točki jednake nuli: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Popravimo jednu od varijabli. Recimo, na primjer, y=y0. Tada dobivamo funkciju ƒ(x;y0)=φ(x) jedne varijable, koja ima ekstrem u x = x0. Prema tome, prema nužnom uvjetu za ekstremum funkcije jedne varijable (vidi odjeljak 25.4), φ"(x0) = 0, tj. ƒ"x(x0;y0)=0.

Slično, može se pokazati da je ƒ"y(x0;y0) = 0.

Geometrijski, jednakosti ƒ"x(x0;y0)=0 i ƒ"y(x0;y0)=0 znače da je u točki ekstrema funkcije z=ƒ(x;y) ravnina tangente na površinu koja predstavlja funkcija ƒ(x;y) ), paralelna je s Oxy ravninom, budući da je jednadžba tangentne ravnine z=z0 (vidi formulu (45.2)).

Z Bilješka. Funkcija može imati ekstrem u točkama u kojima ne postoji barem jedna od parcijalnih derivacija. Na primjer, funkcija ima maksimum u točki O(0;0) (vidi sliku 211), ali nema parcijalne derivacije u ovoj točki.

Točka u kojoj su parcijalne derivacije prvog reda funkcije z ≈ ƒ(x; y) jednake nuli, tj. f"x=0, f"y=0, naziva se stacionarna točka funkcije z.

Stacionarne točke i točke u kojima ne postoji barem jedna parcijalna derivacija nazivamo kritičnim točkama.

U kritičnim točkama funkcija može, ali i ne mora imati ekstrem. Jednakost parcijalnih derivacija nuli je nužan, ali ne i dovoljan uvjet za postojanje ekstrema. Promotrimo, na primjer, funkciju z = xy. Za nju je točka O(0; 0) kritična (u njoj z"x=y i z"y - x nestaju). Međutim, funkcija z=xy u sebi nema ekstrem, jer u dovoljno maloj okolini točke O(0; 0) postoje točke za koje je z>0 (točke prve i treće četvrtine) i z< 0 (точки II и IV четвертей).

Dakle, da bi se pronašli ekstremi funkcije u određenom području, potrebno je svaku kritičnu točku funkcije dodatno istražiti.

Teorem 46.2 (dovoljan uvjet za ekstrem). Neka funkcija ƒ(x;y) u stacionarnoj točki (xo; y) i neka njezina okolina imaju kontinuirane parcijalne derivacije do uključivo drugog reda. Izračunajmo u točki (x0;y0) vrijednosti A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Označimo

1. ako je Δ > 0, tada funkcija ƒ(x;y) u točki (x0;y0) ima ekstrem: maksimum ako je A< 0; минимум, если А > 0;

2. ako je Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

U slučaju Δ = 0, može, ali i ne mora postojati ekstrem u točki (x0;y0). Potrebno je više istraživanja.

ZADACI

1.

Primjer. Odredite intervale rastuće i opadajuće funkcije. Riješenje. Prvi korak je pronalaženje domene definicije funkcije. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao ići na nulu, dakle, . Prijeđimo na funkciju izvoda: Da bismo odredili intervale rasta i opadanja funkcije na temelju dovoljnog kriterija, rješavamo nejednadžbe na domeni definicije. Poslužimo se generalizacijom metode intervala. Jedini pravi korijen brojnika je x = 2, a nazivnik ide na nulu na x = 0. Te točke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo te točke na brojevnom pravcu. Intervale u kojima je derivacija pozitivna ili negativna konvencionalno označavamo plusevima i minusima. Donje strelice shematski prikazuju porast ili pad funkcije na odgovarajućem intervalu. Tako, I . U točki x = 2 funkcija je definirana i kontinuirana, pa je treba dodati i rastućim i opadajućim intervalima. U točki x = 0 funkcija nije definirana, pa ovu točku ne uključujemo u tražene intervale. Predstavljamo graf funkcije kako bismo usporedili rezultate dobivene njome. Odgovor: funkcija se povećava sa , smanjuje se na intervalu (0; 2] .

2.

Primjeri.

Postavite intervale konveksnosti i konkavnosti krivulje g = 2 – x 2 .

Naći ćemo g"" i odredi gdje je druga derivacija pozitivna, a gdje negativna. g" = –2x, g"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

g = e x. Jer g"" = e x > 0 za bilo koje x, tada je krivulja posvuda konkavna.

g = x 3 . Jer g"" = 6x, To g"" < 0 при x < 0 и g"" > 0 pri x> 0. Prema tome, kada x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 je konkavan.

3.

4. Dana je funkcija z=x^2-y^2+5x+4y, vektor l=3i-4j i točka A(3,2). Nađite dz/dl (kako ja razumijem, derivaciju funkcije u odnosu na smjer vektora), gradz(A), |gradz(A)|. Nađimo parcijalne derivacije: z(u odnosu na x)=2x+5 z(u odnosu na y)=-2y+4 Nađimo vrijednosti derivacija u točki A(3,2): z(s u odnosu na x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(po y)(3,2)=-2*2+4=0 Odakle, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Derivacija funkcije z u smjeru vektora l: dz/dl=z(in x)*cosa+z(in y) *cosb, a, b-kutovi vektora l s koordinatnim osima. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

Vrlo često se prilikom rješavanja praktičnih problema (npr. u višoj geodeziji ili analitičkoj fotogrametriji) pojavljuju složene funkcije više varijabli, tj. x, y, z jedna funkcija f(x,y,z) ) same su funkcije novih varijabli U, V, W ).

To se, primjerice, događa pri kretanju iz fiksnog koordinatnog sustava Oxyz u mobilni sustav O 0 UVW i natrag. Pritom je važno znati sve parcijalne derivacije u odnosu na “fiksne” - “stare” i “pokretne” - “nove” varijable, budući da te parcijalne derivacije obično karakteriziraju položaj objekta u tim koordinatnim sustavima , a posebno utječu na korespondenciju fotografija iz zraka sa stvarnim objektom . U takvim slučajevima primjenjuju se sljedeće formule:

Odnosno, dana je složena funkcija T tri "nove" varijable U, V, W kroz tri "stare" varijable x, y, z, Zatim:

Komentar. Mogu postojati varijacije u broju varijabli. Na primjer: ako

Konkretno, ako z = f(xy), y = y(x) , tada dobivamo takozvanu formulu "ukupne derivacije":

Ista formula za "ukupnu derivaciju" u slučaju:

poprimit će oblik:

Moguće su i druge varijante formula (1.27) - (1.32).

Napomena: formula "ukupne derivacije" koristi se u kolegiju fizike, odjeljak "Hidrodinamika" pri izvođenju temeljnog sustava jednadžbi gibanja fluida.

Primjer 1.10. dano:

Prema (1.31):

§7 Parcijalne derivacije implicitno zadane funkcije više varijabli

Kao što je poznato, implicitno određena funkcija jedne varijable definirana je na sljedeći način: funkcija nezavisne varijable x naziva se implicitnim ako je dan jednadžbom koja nije razriješena u odnosu na g :

Primjer 1.11.

Jednadžba

implicitno navodi dvije funkcije:

I jednadžba

ne navodi nikakvu funkciju.

Teorem 1.2 (postojanje implicitne funkcije).

Neka funkcija z =f(x,y) i njegove parcijalne derivacije f" x I f" g definiran i kontinuiran u nekom susjedstvu U M0 bodova M 0 (x 0 g 0 ) . Osim, f(x 0 ,y 0 )=0 I f"(x 0 ,y 0 )≠0 , tada jednadžba (1.33) definira u susjedstvu U M0 implicitna funkcija y=y(x) , kontinuirana i diferencijabilna u određenom intervalu D centriran u točki x 0 , i y(x 0 )=y 0 .

Nema dokaza.

Iz teorema 1.2 slijedi da je na ovom intervalu D :

odnosno postoji identitet u

gdje se "ukupna" derivacija nalazi prema (1.31)

To jest, (1.35) daje formulu za pronalaženje derivacije implicitno zadane funkcije jedne varijable x .

Slično se definira implicitna funkcija dviju ili više varijabli.

Na primjer, ako u nekom području V prostor Oxyz vrijedi sljedeća jednadžba:

zatim pod nekim uvjetima na funkciju F ona implicitno definira funkciju

Štoviše, po analogiji s (1.35), njegove parcijalne derivacije nalaze se kako slijedi:

Primjer 1.12. Uz pretpostavku da jednadžba

implicitno definira funkciju

pronaći z" x , z" g .

dakle, prema (1.37), dobivamo odgovor.

§8 Parcijalne derivacije drugog i višeg reda

Definicija 1.9 Parcijalne derivacije funkcije drugog reda z=z(x,y) definiraju se na sljedeći način:

Bilo ih je četvero. Štoviše, pod određenim uvjetima na funkcije z(x,y) jednakost vrijedi:

Komentar. Parcijalne derivacije drugog reda također se mogu označiti na sljedeći način:

Definicija 1.10 Parcijalne derivacije trećeg reda su osam (2 3).