Jednadžba kx b. Funkcija y=kx, njena svojstva i graf
Funkcija oblika y = kx + b zove se linearna. Graf linearne funkcije je pravac. Za konstrukciju pravca potrebne su i dovoljne dvije točke.
Funkcija oblika y = kx
Funkcija oblika y = kx naziva se pravac proporcionalnost.
Graf je ravna linija koja prolazi kroz ishodište i nalazi se u 1. i 3. četvrtini, ako je k > 0, u 2. i 4. četvrtini, ako je k< 0.
k - naziva se koeficijent proporcionalnosti i određuje kut nagiba ravne linije prema pozitivnom smjeru osi OX. k = tan b
Pravac y = x je simetrala 1 i 3 koordinatnih kutova, a pravac y = x je simetrala 1 i 4 koordinatnih kutova.
Primjer. Konstruirajte grafove funkcija y = 2x, y = x, y = 2x.
Funkcija je izravno proporcionalna veza, grafovi su ravne linije.
Budući da grafovi prolaze kroz ishodište, jedna od točaka ima koordinate (0; 0), pa možemo uzeti drugu točku.
y = x, y = 2x, y = 2x,
x = 1, y = 1; x = 1, y = 2; x = 1, y = 2.
Funkcija oblika y = kx + b
Graf funkcije je pravac, y = kx, pomaknut paralelnom translacijom duž Y osi za b jedinica, u stranu prema predznaku b.
Konstrukcija se može izvesti pomoću dvije točke ili paralelnog pomaka.
Primjer. Konstruirajte graf funkcije y = 3x4.
Funkcija je linearna, graf je ravna linija.
Konstrukcija se može izvesti paralelnom translacijom ravne linije y = 3x za 2 jedinice prema dolje duž Y osi.
Funkcija oblika y = b
Graf funkcije je pravac paralelan s osi X koji prolazi točkom s koordinatama (0; b).
Konstruirajte graf funkcije y = 3.
Funkcija je linearna, graf je ravna linija paralelna s osi OX koja prolazi kroz točku (0;3)
Jednadžba pravca x = c
Pravac x = c nije funkcija. Međutim, grafikon je ravna linija paralelna s osi OY i prolazi točkom s koordinatama (c; 0).
Linearna funkcija je funkcija forme
x-argument (neovisna varijabla),
y-funkcija (ovisna varijabla),
k i b su neki konstantni brojevi
Graf linearne funkcije je ravno.
Za izradu grafikona dovoljno je dva bodova, jer kroz dvije točke možete nacrtati ravnu liniju i, štoviše, samo jednu.
Ako je k˃0, tada se graf nalazi u 1. i 3. koordinatnoj četvrtini. Ako je k˂0, tada se graf nalazi u 2. i 4. koordinatnoj četvrtini.
Broj k naziva se nagib pravog grafa funkcije y(x)=kx+b. Ako je k˃0, tada je kut nagiba pravca y(x)= kx+b na pozitivan smjer Ox šiljast; ako je k˂0, onda je ovaj kut tup.
Koeficijent b pokazuje točku sjecišta grafa s osi op-amp (0; b).
y(x)=k∙x-- poseban slučaj Tipična funkcija naziva se izravna proporcionalnost. Graf je ravna linija koja prolazi kroz ishodište, pa je dovoljna jedna točka za konstrukciju ovog grafa.
Graf linearne funkcije
Gdje je koeficijent k = 3, dakle
Graf funkcije će rasti i imati oštar kut s osi Ox jer koeficijent k ima predznak plus.
OOF linearna funkcija
OPF linearne funkcije
Osim u slučaju kada
Također linearna funkcija forme
Je funkcija opći pogled.
B) Ako je k=0; b≠0,
U ovom slučaju, grafikon je ravna linija paralelna s osi Ox i prolazi kroz točku (0; b).
B) Ako je k≠0; b≠0, tada linearna funkcija ima oblik y(x)=k∙x+b.
Primjer 1 . Grafički nacrtajte funkciju y(x)= -2x+5
Primjer 2 . Nađimo nule funkcije y=3x+1, y=0;
– nule funkcije.
Odgovor: ili (;0)
Primjer 3 . Odredite vrijednost funkcije y=-x+3 za x=1 i x=-1
y(-1)=-(-1)+3=1+3=4
Odgovor: y_1=2; y_2=4.
Primjer 4 . Odredite koordinate njihove sjecišne točke ili dokažite da se grafovi ne sijeku. Neka su zadane funkcije y 1 =10∙x-8 i y 2 =-3∙x+5.
Ako se grafovi funkcija sijeku, tada su vrijednosti funkcija u ovoj točki jednake
Zamijenite x=1, tada je y 1 (1)=10∙1-8=2.
Komentar. Također možete zamijeniti dobivenu vrijednost argumenta u funkciju y 2 =-3∙x+5, tada ćemo dobiti isti odgovor y 2 (1)=-3∙1+5=2.
y=2- ordinata presječne točke.
(1;2) - točka presjeka grafova funkcija y=10x-8 i y=-3x+5.
Odgovor: (1;2)
Primjer 5 .
Konstruirajte grafove funkcija y 1 (x)= x+3 i y 2 (x)= x-1.
Možete primijetiti da je koeficijent k=1 za obje funkcije.
Iz navedenog slijedi da ako su koeficijenti linearne funkcije jednaki, tada su njihovi grafikoni u koordinatnom sustavu smješteni paralelno.
Primjer 6 .
Izgradimo dva grafa funkcije.
Prvi graf ima formulu
Drugi graf ima formulu
U ovom slučaju imamo graf dviju linija koje se sijeku u točki (0;4). To znači da koeficijent b, koji je odgovoran za visinu uspona grafa iznad Ox osi, ako je x = 0. To znači da možemo pretpostaviti da je b koeficijent oba grafa jednak 4.
Urednice: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
U ovom članku ćemo pogledati linearna funkcija, graf linearne funkcije i njezina svojstva. I, kao i obično, riješit ćemo nekoliko problema na ovu temu.
Linearna funkcija naziva funkcija oblika
U jednadžbi funkcije, broj s kojim množimo naziva se koeficijent nagiba.
Na primjer, u jednadžbi funkcije ;
u jednadžbi funkcije;
u jednadžbi funkcije;
u jednadžbi funkcije.
Graf linearne funkcije je pravac.
1 . Za iscrtavanje funkcije, potrebne su nam koordinate dviju točaka koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije vrijednosti x, zamijeniti ih u jednadžbi funkcije i pomoću njih izračunati odgovarajuće vrijednosti y.
Na primjer, za iscrtavanje grafa funkcije prikladno je uzeti i , tada će ordinate tih točaka biti jednake i .
Dobivamo točke A(0;2) i B(3;3). Spojimo ih i dobijemo graf funkcije:
2 . U jednadžbi funkcije, koeficijent je odgovoran za nagib grafa funkcije:
Title="k>0">!}
Koeficijent je odgovoran za pomicanje grafa duž osi:
Title="b>0">!}
Donja slika prikazuje grafove funkcija; ;
Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent Iznad nule pravo. Štoviše, što je vrijednost veća, to je ravna linija strmija.
U svim funkcijama - vidimo da svi grafovi sijeku os OY u točki (0;3)
Sada pogledajmo grafove funkcija; ;
Ovaj put u svim funkcijama koeficijent manje od nule, a svi grafici funkcija su nagnuti lijevo.
Imajte na umu da što je veći |k|, to je ravna linija strmija. Koeficijent b je isti, b=3, a grafovi kao i u prethodnom slučaju sijeku os OY u točki (0;3)
Pogledajmo grafove funkcija; ;
Sada su koeficijenti u svim jednadžbama funkcije jednaki. I dobili smo tri paralelne crte.
Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafikoni sijeku os OY u različitim točkama:
Graf funkcije (b=3) siječe os OY u točki (0;3)
Graf funkcije (b=0) siječe os OY u točki (0;0) - ishodištu.
Graf funkcije (b=-2) siječe os OY u točki (0;-2)
Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda odmah možemo zamisliti kako izgleda graf funkcije.
Ako k<0 и b>0 , tada graf funkcije izgleda ovako:
Ako k>0 i b>0, tada graf funkcije izgleda ovako:
Ako k>0 i b<0 , tada graf funkcije izgleda ovako:
Ako k<0 и b<0 , tada graf funkcije izgleda ovako:
Ako k=0, tada se funkcija pretvara u funkciju i njezin graf izgleda ovako:
Ordinate svih točaka na grafu funkcije su jednake
Ako b=0, tada graf funkcije prolazi kroz ishodište:
Ovaj graf izravne proporcionalnosti.
3. Želio bih posebno zabilježiti graf jednadžbe. Graf ove jednadžbe je pravac paralelan s osi čije sve točke imaju apscisu.
Na primjer, graf jednadžbe izgleda ovako:
Pažnja! Jednadžba nije funkcija, jer različite vrijednosti argumenta odgovaraju istoj vrijednosti funkcije, koja ne odgovara.
4 . Uvjet paralelnosti dviju linija:
Graf funkcije paralelno s grafom funkcije, Ako
5. Uvjet okomitosti dviju ravnih linija:
Graf funkcije okomito na graf funkcije, ja za
6. Točke presjeka grafa funkcije s koordinatnim osima.
S osi OY. Apscisa bilo koje točke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku sjecišta s osi OY, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto x. Dobivamo y=b. To jest, točka sjecišta s osi OY ima koordinate (0; b).
S osi OX: Ordinata bilo koje točke koja pripada osi OX jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku sjecišta s osi OX, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto y. Dobivamo 0=kx+b. Odavde. To jest, točka sjecišta s osi OX ima koordinate (;0):
Pogledajmo rješavanje problema.
1 . Konstruirajte graf funkcije ako je poznato da ona prolazi točkom A(-3;2) i paralelna je s pravcem y=-4x.
Jednadžba funkcije ima dva nepoznata parametra: k i b. Stoga tekst zadatka mora sadržavati dva uvjeta koji karakteriziraju graf funkcije.
a) Iz činjenice da je graf funkcije paralelan s pravcem y=-4x, slijedi k=-4. Odnosno, jednadžba funkcije ima oblik
b) Samo moramo pronaći b. Poznato je da graf funkcije prolazi točkom A(-3;2). Ako točka pripada grafu funkcije, tada zamjenom njezinih koordinata u jednadžbu funkcije dobivamo ispravnu jednakost:
dakle b=-10
Dakle, moramo iscrtati funkciju
Znamo točku A(-3;2), uzmimo točku B(0;-10)
Stavimo ove točke u koordinatnu ravninu i spojimo ih ravnom crtom:
2. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke A(1;1); B(2;4).
Ako pravac prolazi kroz točke sa zadanim koordinatama, dakle, koordinate točaka zadovoljavaju jednadžbu pravca. To jest, ako koordinate točaka zamijenimo u jednadžbu ravne linije, dobit ćemo ispravnu jednakost.
Zamijenimo koordinate svake točke u jednadžbi i dobijemo sustav linearnih jednadžbi.
Od druge jednadžbe sustava oduzmite prvu i dobijete . Zamijenimo vrijednost k u prvoj jednadžbi sustava i dobijemo b=-2.
Dakle, jednadžba pravca.
3. Grafički nacrtajte jednadžbu 
Da biste saznali pri kojim je vrijednostima nepoznatog umnožak nekoliko faktora jednak nuli, potrebno je svaki faktor izjednačiti s nulom i uzeti u obzir svaki množitelj.
Ova jednadžba nema ograničenja za ODZ. Faktorizirajmo drugu zagradu i postavimo svaki faktor na nulu. Dobivamo skup jednadžbi:
Konstruirajmo grafove svih jednadžbi skupa u jednoj koordinatnoj ravnini. Ovo je graf jednadžbe :
4 . Konstruirajte graf funkcije ako je ona okomita na pravac i prolazi točkom M(-1;2)
Nećemo graditi graf, samo ćemo pronaći jednadžbu pravca.
a) Budući da je graf funkcije, ako je okomit na pravac, dakle, dakle. Odnosno, jednadžba funkcije ima oblik
b) Znamo da graf funkcije prolazi točkom M(-1;2). Zamijenimo njegove koordinate u jednadžbu funkcije. Dobivamo:
Odavde.
Stoga naša funkcija izgleda ovako: .
5 . Grafikirajte funkciju 
Pojednostavimo izraz na desnoj strani jednadžbe funkcije.
Važno! Prije pojednostavljenja izraza, pronađimo njegov ODZ.
Nazivnik razlomka ne može biti nula, stoga title="x1">, title="x-1">.!}
Tada naša funkcija ima oblik:
Title="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}
Odnosno, trebamo izgraditi graf funkcije i na njemu izrezati dvije točke: s apscisama x=1 i x=-1:
Naučiti izvoditi funkcije. Derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenoj točki koja leži na grafu ove funkcije. U ovom slučaju, grafikon može biti ravna ili zakrivljena linija. To jest, derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenom trenutku u vremenu. Zapamtiti Opća pravila, kojim se uzimaju izvedenice, a tek onda prijeći na sljedeći korak.
- Pročitaj članak.
- Kako uzeti najjednostavnije izvedenice, na primjer, izvod eksponencijalna jednadžba, opisano. Izračuni predstavljeni u sljedećim koracima temeljit će se na tamo opisanim metodama.
Naučite razlikovati probleme u kojima se nagib mora izračunati kroz derivaciju funkcije. Problemi ne traže uvijek da pronađete nagib ili derivaciju funkcije. Na primjer, od vas se može tražiti da pronađete brzinu promjene funkcije u točki A(x,y). Od vas se također može tražiti da pronađete nagib tangente u točki A(x,y). U oba slučaja potrebno je uzeti izvod funkcije.
Uzmite derivat funkcije koja vam je dana. Ovdje nema potrebe za izgradnjom grafikona - potrebna vam je samo jednadžba funkcije. U našem primjeru uzmite derivaciju funkcije f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Uzmite derivat prema metodama navedenim u gore spomenutom članku:
Zamijenite koordinate točke koju ste dobili u pronađenu derivaciju da biste izračunali nagib. Derivacija funkcije jednaka je nagibu u određenoj točki. Drugim riječima, f"(x) je nagib funkcije u bilo kojoj točki (x,f(x)). U našem primjeru:
Ako je moguće, provjerite svoj odgovor na grafikonu. Zapamtite da se nagib ne može izračunati u svakoj točki. Ispituje diferencijalni račun složene funkcije i složeni grafikoni, gdje se nagib ne može izračunati u svakoj točki, au nekim slučajevima točke uopće ne leže na grafikonima. Ako je moguće, upotrijebite grafički kalkulator da provjerite je li nagib funkcije koja vam je dana točan. U suprotnom, nacrtajte tangentu na grafikon u točki koja vam je dana i razmislite odgovara li vrijednost nagiba koju ste pronašli onom što vidite na grafikonu.
- Tangenta će imati isti nagib kao i graf funkcije u određenoj točki. Da biste nacrtali tangentu u određenoj točki, pomaknite se lijevo/desno na osi X (u našem primjeru, 22 vrijednosti udesno), a zatim prema gore na osi Y, označite točku i zatim je povežite s bod koji vam je dan. U našem primjeru spojite točke s koordinatama (4,2) i (26,3).
