Kuidas lahendada polünoomvõrrandeid matemaatikas. Eukleidese algoritmi polünoomide suurima ühise jagaja näited

14.03.2024

1. Eukleidiline algoritm

Kui kumbki kahest polünoomist jagub kolmanda polünoomiga, nimetatakse seda kolmandat polünoomi kahe esimese ühiseks jagajaks.

Kahe polünoomi suurim ühisjagaja (GCD) on nende suurima astme ühisjagaja.

Pange tähele, et iga arv, mis ei võrdu nulliga, on mis tahes kahe polünoomi ühine jagaja. Seetõttu nimetatakse iga arvu, mis ei võrdu nulliga, nende polünoomide triviaalseks ühisjagajaks.

Eukleidiline algoritm pakub välja tegevuste jada, mis kas viib kahe antud polünoomi gcd leidmiseni või näitab, et sellist jagajat esimese või kõrgema astme polünoomi kujul ei eksisteeri.

Eukleidiline algoritm on realiseeritud jaotuste jadana. Esimeses jaotuses käsitletakse suurema astme polünoomi dividendina ja väiksemat jagajana. Kui polünoomidel, mille jaoks GCD leitakse, on samad astmed, siis valitakse dividend ja jagaja meelevaldselt.

Kui järgmise jagamise käigus on jäägi polünoomi aste suurem kui 1 või sellega võrdne, siis jagaja muutub dividendiks ja jääk jagajaks.

Kui polünoomide järgmine jaotus annab jäägi, mis on võrdne nulliga, siis on leitud nende polünoomide gcd. See on viimase jaotuse jagaja.

Kui järgmise polünoomide jagamise käigus osutub jääk arvuks, mis ei ole võrdne nulliga, siis pole nende polünoomide jaoks ühtegi muud gcd-d kui triviaalsed.

Näide nr 1

Vähendage fraktsiooni.

2. GCD arvutuste lihtsustamise võimalused eukleidilises algoritmis

Dividendi korrutamisel arvuga, mis ei võrdu nulliga, korrutatakse jagatis ja jääk sama arvuga.

Tõestus

Olgu P dividend, F jagaja, Q jagatis, R jääk. Siis

Korrutades selle identiteedi arvuga 0, saame

kus polünoomi P võib lugeda dividendiks ning polünoomi Q ja R jagatiseks ja jäägiks, mis saadakse polünoomi P jagamisel polünoomiga F. Seega on dividendi arvuga 0 korrutades ka jagatis ja jääk. korrutatud, h.t

Tagajärg

Jagaja korrutamist arvuga 0 võib mõelda kui dividendi korrutamist arvuga.

Seega, kui jagaja korrutatakse arvuga, on 0 jagatis ja jääk korrutatakse arvuga.

Näide nr 2

Leia polünoomide jagamisel jagatis Q ja jääk R

jagamise polünoomialgoritm Eukleidiline

Dividendi ja jagaja täisarvu koefitsientide juurde minemiseks korrutame dividendi 6-ga, mis toob kaasa soovitud jagatise Q ja jäägi R korrutamise 6-ga. Pärast seda korrutame jagaja 5-ga, mis annab tulemuseks jagatise 6Q ja jäägi 6R korrutamine. Selle tulemusena erinevad täisarvu koefitsientidega polünoomide jagamisel saadud jagatis ja jääk mitu korda nende polünoomide jagamisel saadud jagatise Q ja jäägi R soovitud väärtustest.

Seega, ;

Pange tähele, et kui nende polünoomide suurim ühisjagaja on leitud, siis korrutades selle mis tahes arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, saame ka nende polünoomide suurima jagaja. See asjaolu võimaldab eukleidilise algoritmi arvutusi lihtsustada. Nimelt saab enne järgmist jagamist dividendi ehk jagajat korrutada spetsiaalsel viisil valitud arvudega nii, et jagatis oleva esimese liikme koefitsient on täisarv. Nagu ülal näidatud, toob dividendi ja jagaja korrutamine kaasa vastava muutuse osajäägis, kuid selliselt, et selle tulemusena korrutatakse nende polünoomide GCD mõne arvuga, mis on võrdne nulliga, mis on vastuvõetav.

Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene kasutas võrrandeid iidsetel aegadel ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Polünoom on arvude, muutujate ja nende astmete korrutiste algebraline summa. Polünoomide teisendamine hõlmab tavaliselt kahte tüüpi probleeme. Avaldist tuleb kas lihtsustada või faktoriseerida, s.t. kujutada seda kahe või enama polünoomi või monomi ja polünoomi korrutisena.

Polünoomi lihtsustamiseks esitage sarnased terminid. Näide. Lihtsusta avaldist \ Leia sama täheosaga monomialid. Voldi need kokku. Kirjutage üles saadud avaldis: \ Olete polünoomi lihtsustanud.

Probleemide puhul, mis nõuavad polünoomi faktoriseerimist, määrake antud avaldise ühistegur. Selleks eemaldage esmalt sulgudest need muutujad, mis sisalduvad avaldise kõigis liikmetes. Pealegi peaks neil muutujatel olema madalaim näitaja. Seejärel arvutage polünoomi iga koefitsiendi suurim ühisjagaja. Saadud arvu moodul on ühiskordaja koefitsient.

Näide. Polünoomi kordamine \ Võtke see sulgudest välja \ sest muutuja m sisaldub selle avaldise igas liikmes ja selle väikseim eksponent on kaks. Arvutage välja ühine kordaja. See on võrdne viiega. Seega on selle avaldise ühine tegur \ Seega: \

Kust saab võrgus polünoomvõrrandit lahendada?

Võrrandi saate lahendada meie veebisaidil https://site. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil mõne sekundiga lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandid. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Meie veebisaidil saate vaadata ka videojuhiseid ja õppida võrrandit lahendama. Ja kui teil on veel küsimusi, võite neid esitada meie VKontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.

Eukleidiline algoritm polünoomide jaoks. Eukleidiline algoritm võimaldab leida kahe polünoomi suurima ühisjagaja, s.o. kõrgeima astme polünoom, millega mõlemad antud polünoomid jagatakse ilma jäägita.
Algoritm põhineb asjaolul, et mis tahes kahe sama muutuja polünoomi korral f(x) Ja g(x), selliseid polünoomid on olemas q(x) Ja r(x), mida nimetatakse vastavalt jagatiseks ja jäägiks, mis

f(x) = g(x)∙q(x) + r(x), (*)

sel juhul on jäägi aste väiksem kui jagaja polünoomi aste g(x) ja lisaks nende polünoomide järgi f(x) Ja g(x) jagatis ja jääk leitakse üheselt. Kui võrdusel (*) on jääk r(x) on võrdne nullpolünoomiga (null), siis öeldakse, et polünoom f(x) jagatuna g(x) ilma jäägita.
Algoritm koosneb järjestikusest jagamisest, kusjuures esimese polünoomi jääk on esimene, f(x), teisel, g(x):

f(x) = g(x)∙q 1 (x) + r 1 (x), (1)

siis kui r 1 (x) ≠ 0, – teine antud polünoom, g(x), esimesele jäägile – polünoomile r 1 (x):

g(x) = r 1 (x)∙q 2 (x) + r 2 (x), (2)

r 1 (x) = r 2 (x)∙q 3 (x) + r 3 (x), (3)

siis kui r 3 (x) ≠ 0, – teine jääk kolmandaks:

r 2 (x) = r 3 (x)∙q 4 (x) + r 4 (x), (4)

jne. Kuna igas etapis järgmise jäägi määr väheneb, ei saa protsess lõputult kesta, siis mingil etapil jõuame kindlasti olukorrani, kus järgmine, n+ 1. jääk r n+ 1 võrdub nulliga:

r n–2 (x) = r n–1 (x)∙q n (x) + r n (x),	(n)
r n–1 (x) = r n (x)∙q n+1 (x) + r n+1 (x),	(n+1)
r n+1 (x) = 0.	(n+2)

Siis viimane nullist erinev jääk r n ja on algse polünoomipaari suurim ühisjagaja f(x) Ja g(x).
Tõepoolest, kui võrdsuse tõttu ( n+ 2) asenda 0 asemel r n + 1 (x) võrdsusesse ( n+ 1), siis – saadud võrdsus r n – 1 (x) = r n (x)∙q n + 1 (x) selle asemel r n – 1 (x) – võrdsusesse ( n), selgub, et r n – 2 (x) = r n (x)∙q n + 1 (x) q n (x) + r n (x), st. r n – 2 (x) = r n (x)(q n + 1 (x) q n (x) + 1) jne. Võrdsuses (2) pärast asendust saame selle g(x) = r n (x)∙K(x) ja lõpuks võrdsusest (1) – see f(x) = r n (x)∙S(x), Kus K Ja S- mõned polünoomid. Seega r n (x) on kahe algse polünoomi ühine jagaja ja asjaolu, et see on suurim (st suurim võimalik aste), tuleneb algoritmi protseduurist.
Kui kahe polünoomi suurim ühisjagaja ei sisalda muutujat (st on arv), on algsed polünoomid f(x) Ja g(x) kutsutakse vastastikku prime.

PÕHIANDMED TEOORIAST

Definitsioon 4.1.

P[x] polünoomi j(x) nimetatakse ühine jagaja polünoomid g(x) ja f(x) P[x]-st, kui f(x) ja g(x) jaguvad j(x)-ga ilma jäägita.

Näide 4.1. Antud on kaks polünoomi: (x) g(x)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2x + 2 О R[x]. Nende polünoomide ühised jagajad on: j 1 (x) = x 3 − 4x 2 + 2 = О R[x], j 2 (x) =(x 2 - 2x - 2) О R[x], j 3 (x) =(x − 1) О R[x], j 4 (x) = 1 О R[x]. (Kontrollima!)

Definitsioon 4.2.

Suurim ühine jagajanullpolünoomid f(x) ja g(x) P[x]-st on polünoom d(x) P[x]-st, mis on nende ühine jagaja ja ise jagub nende polünoomide mis tahes muu ühisjagajaga.

Näide 4.2. Näite 4.1 polünoomide jaoks. f(x)= x 4 - 4x 3 + 3x 2 + 2x - 6 О R[x], g(x)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2x + 2 О R[x] suurim ühisjagaja on polünoom d(x) = j 1 (x) = x 3 − 4x 2 + 2 О R[x], kuna see on polünoom d(x) jagatakse kõigi nende teiste ühiste jagajatega j 2 (x), j 3 (x),j4(x).

Suurim ühisjagaja (GCD) on tähistatud sümboliga:

d(x) = (f(x), g(x)).

Kahe polünoomi jaoks on suurim ühine jagaja f(x),g(x) О P[x] (g(x) nr 0). Selle olemasolu määrab Eukleidiline algoritm mis on järgmine.

Me jagame f(x) peal g(x). Jagamisel saadud jääk ja jagatis on tähistatud r 1 (x) Ja q 1 (x). Siis kui r 1 (x)¹ 0, jaga g(x) peal r 1 (x), saame ülejäänu r2(x) ja privaatne q2(x) jne. Saadud jääkide astmed r 1 (x), r 2 (x),... väheneb. Kuid mittenegatiivsete täisarvude jada on altpoolt piiratud arvuga 0. Järelikult on jagamisprotsess lõplik ja me jõuame jäägini r k (x), millesse eelnev jääk jagatakse täielikult r k – 1 (x). Kogu jagamise protsessi saab kirjutada järgmiselt:

f(x)= g(x) × q 1 (x) + r 1 (x), deg r 1 (x)< deg g(x);

g(x)= r 1 (x)× q 2 (x) + r 2 (x), deg r2(x) < deg r1(x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r k – 2 (x)= r k – 1 (x)× qk(x) + r k (x), deg r k (x)< deg r k – 1 (x);

r k – 1 (x) = r k (x) × q k +1 (x).(*)

Tõestame seda r k (x) on polünoomide suurim ühisjagaja f(x) Ja g(x).

1) Näitame seda r k (x) on ühine jagaja andmepolünoomid.

Pöördume eelviimase võrdsuse juurde:

r k –-2 (x)= r k –-1 (x)× qk(x) + r k (x), või r k –-2 (x)= r k (x) × q k +1 (x) × qk(x) + r k (x).

Selle parem külg on jagatud r k (x). Seetõttu on ka vasak pool jagatav r k (x), need. r k –-2 (x) jagatuna r k (x).

r k – 3 (x)= r k – 2 (x)× q k – 1 (x) + r k – 1 (x).

Siin r k – 1 (x) Ja r k – 2 (x) jagunevad r k (x), sellest järeldub, et võrdsuse paremal küljel olev summa jagub arvuga r k (x). See tähendab, et võrdsuse vasak pool on samuti jagatav r k (x), need. r k – 3 (x) jagatuna r k (x). Sel viisil järjest ülespoole liikudes saame, et polünoomid f(x) Ja g(x) jagunevad r k (x). Seega näitasime seda r k (x) on ühine jagaja polünoomilised andmed (definitsioon 4.1.).

2) Näitame seda r k (x) jagatuna keegi teineühine jagaja j(x) polünoomid f(x) Ja g(x), see on suurim ühine jagaja need polünoomid .

Pöördume esimese võrdsuse poole: f(x)=g(x) × q 1 (x) + r 1 (x).

Lase d(x)– mingi ühine jagaja f(x) Ja g(x). Seejärel vastavalt jaguvusomadustele erinevus f(x)–g(x) × q 1 (x) jagatud ka d(x), ehk võrdsuse vasak pool f(x)–g(x) × q 1 (x)= r 1 (x) jagatuna d(x). Siis r 1 (x) jagatakse d(x). Sarnasel viisil arutluskäiku jätkates, laskudes järjestikku läbi võrduste, saame selle r k (x) jagatuna d(x). Siis vastavalt määratlus 4.2.r k (x) saab suurim ühine jagaja polünoomid f(x) Ja g(x): d(x) = (f(x), g(x)) = r k (x).

Polünoomide suurim ühisjagaja f(x) Ja g(x) on ainulaadne kuni tegurini – nullkraadi polünoomini või, võib öelda, kuni assotsiatsioonini(definitsioon 2.2.).

Seega oleme tõestanud teoreemi:

Teoreem 4.1. /Eukleidiline algoritm/.

Kui polünoomide puhul f(x),g(x) О P[x] (g(x)¹ 0) võrdsuse ja ebavõrdsuse süsteem on õige(*), siis viimane nullist erinev jääk on nende polünoomide suurim ühisjagaja.

Näide 4.3. Leia polünoomide suurim ühisjagaja

f(x)= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 ja g(x)= x 3 –2x 2 + x –2.

Lahendus.

1 samm 2.

x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1	x 3 –2x 2 + x –2		x 3 –2x 2 + x –2	7x 2 + 7
–(x 4 – 2 x 3 + x 2 – 2 x)	x+3 = q 1 (x)	–(x 3 + x)	1/7x.–2/7 = q 2 (x)
3x 3 + x 2 + 3x + 1 – ( 3x 3 -6x 2 + 3x -6)		–2x 2 –2 –( -2x 2-2)
7x 2 + 7 = r 1 (x)		0 = r 2 (x)

Kirjutame jagamise sammud võrdsuste ja ebavõrdsuste süsteemi kujul, nagu (*) :

f(x)= g(x) × q1 (x) + r1 (x), kraad r 1 (x)< deg g(x);

g(x)= r 1 (x)× q2(x).

Vastavalt Teoreem 4.1./Eukleidiline algoritm/ viimane nullist erinev jääk r 1 (x) = 7x 2 + 7 on suurim ühisjagaja d(x) need polünoomid :

(f(x), g(x)) = 7x 2 + 7.

Kuna jaguvus polünoomiringis on defineeritud kuni assotsiatsioonini ( Vara 2.11.) , siis GCD-na saame võtta mitte 7x 2 + 7, vaid ( 7x 2 + 7) = x 2 + 1.

Definitsioon 4.3.

Kutsutakse välja suurim ühisjagaja juhtkoefitsiendiga 1 normaliseeritud suurim ühisjagaja.

Näide 4.4. Näites 4.2. leiti suurim ühine jagaja d(x) = (f(x), g(x)) = 7x 2 + 7 polünoomi f(x)= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 ja g(x)= x 3 –2x 2 + x –2. Selle asendamine sellega seotud polünoomiga d1(x)= x 2 + 1, saame nende polünoomide normaliseeritud suurima ühisjagaja( f(x), g(x)) = x 2 + 1.

kommenteerida. Kasutades kahe polünoomi suurima ühisjagaja leidmiseks eukleidilist algoritmi, saame teha järgmise järelduse. Polünoomide suurim ühisjagaja f(x) Ja g(x) ei sõltu sellest, kas me kaalume f(x) Ja g(x)üle põllu P või üle selle laienduse P'.

Definitsioon 4.4.

Suurim ühine jagajapolünoomid f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x),… f n (x) Î P[x] nimetatakse selliseks polünoomiks d(x)Î P[x], mis on nende polünoomide ühine jagaja ja ise jagub kõigi nende polünoomide ühisjagajatega.

Kuna Eukleidise algoritm sobib ainult kahe polünoomi suurima ühisjagaja leidmiseks, siis n polünoomi suurima ühisjagaja leidmiseks peame tõestama järgmist teoreemi.

Olgu antud nullist mittevastavad polünoomid f(x) ja φ(x). Kui f(x) φ(x)-ga jagamise jääk on võrdne nulliga, siis nimetatakse polünoomi φ(x) polünoomi f(x) jagajaks. Kehtib järgmine väide: polünoom φ(x) on polünoomi f(x) jagaja siis ja ainult siis, kui on olemas polünoom ψ(x), mis rahuldab võrdsust f(x)=φ(x)ψ(x) . Polünoomi φ(x) nimetatakse suvaliste polünoomide f(x) ja g(x) ühisjagajaks, kui see on kõigi nende polünoomide jagaja. Jaguvusomaduste järgi hõlmavad polünoomide f(x) ja g(x) ühisjagajad kõik nullkraadiga polünoomid. Kui neil polünoomidel pole muid ühiseid jagajaid, siis nimetatakse neid koaprimeks ja kirjutatakse (f(x), g(x))=1. Üldjuhul võivad polünoomidel f(x) ja g(x) olla ühised jagajad sõltuvalt x-ist.

Nagu täisarvude puhul, võetakse polünoomide puhul kasutusele nende suurima ühise jagaja mõiste. Mittenullpolünoomide f(x) ja g(x) suurim ühisjagaja on nende ühisjagaja d(x), mis jagub nende polünoomide mis tahes ühisjagajaga. Polünoomide f(x) ja g(x) suurimat ühisjagajat tähistatakse gcd sümbolitega d(x), (f(x), g(x)). Pange tähele, et see GCD määratlus kehtib ka täisarvude kohta, kuigi sagedamini kasutatakse teist, kõigile õpilastele teadaolevat määratlust.

See määratlus tekitab mitmeid küsimusi:

1. Kas suvaliste nullist erinevate polünoomide f(x) ja g(x) jaoks on olemas gcd?

2. Kuidas leida polünoomide f(x) ja g(x) GCD?

3. Mitu suurimat ühisjagajat on polünoomidel f(x) ja g(x)? Ja kuidas neid leida?

Täisarvude GCD leidmiseks on võimalus, mida nimetatakse järjestikuse jagamise algoritmiks või Eukleidilise algoritmiks. See kehtib ka polünoomide kohta ja on järgmine.

Eukleidese algoritm. Olgu polünoomid f(x) ja g(x) antud, aste f(x)≥kraad g(x). Jagage f(x) g(x)-ga, saame jäägi r 1 (x). Jagage g(x) r 1 (x)-ga, saame jäägi r 2 (x). Jagage r 1 (x) r 2 (x)-ga. Jätkame sel viisil jagamist, kuni jagamine on lõppenud. See jääk r k (x), millega eelmine jääk r k -1 (x) on täielikult jagatud, on polünoomide f(x) ja g(x) suurim ühisjagaja.

Teeme järgmise märkuse, mis on kasulik näidete lahendamisel. Rakendades GCD leidmiseks polünoomidele Eukleidilise algoritmi, saame murdosakoefitsientide vältimiseks korrutada dividendi või vähendada jagajat mis tahes nullist erineva arvuga, mitte ainult alustades järjestikustest jagamistest, vaid ka protsessi käigus. see jaotus ise. See toob kaasa jagatise moonutamise, kuid meid huvitavad jäägid omandavad ainult teatud nullkraadi kordaja, mis, nagu me teame, on jagajate otsimisel lubatud.

Näide 1. Leidke polünoomide f(x)=x 3 –x 2 –5x–3 gcd,
g(x)=x 2 +x–12. Jagage f(x) g(x)-ga:

R 1 (x) esimene jääk pärast 9 võrra vähendamist on x–3. Jagage g(x) arvuga r 1 (x):

Jaotus oli täielik. Seetõttu on r 1 (x)=x–3 polünoomide x 3 –x 2 –5x–3 ja x 2 +x–12 GCD.

Näide 2. Leidke polünoomide gcd f(x)=3x 3 +2x 2 –4x–1,
g(x)=5x3 –3x2 +2x-4. Korrutage f(x) 5-ga ja jagage 5f(x) g(x-ga):

Esimene jääk r 1 (x) on 19x2 –26x+7. Jagage g(x) esimese jäägiga pärast g(x) korrutamist 19-ga:

Korrutage 19-ga ja jätkake jagamist:

Vähendame 1955. aasta võrra ja saame teise jäägi r 2 (x) = x-1. Jagage r 1 (x) r 2 (x):

Jagamine on lõpetatud, seega r 2 (x) = x-1 on polünoomide f(x) ja g(x) gcd.

Näide 3. Leidke polünoomide f(x)=3x 3 –x 2 +2x–4 gcd,
g(x)=x 3 –2x 2 +1.

. .

Vastus:(f(x), g(x))=x–1.

See GCD leidmise meetod näitab, et kui polünoomidel f(x) ja g(x) on mõlemal ratsionaalne või reaalne koefitsient, siis on ka nende suurima ühisjagaja koefitsiendid ratsionaalsed või vastavalt reaalsed.

Polünoomid f(x), g(x) ja d(x) on seotud järgmise seosega, mida sageli kasutatakse erinevates küsimustes ja mida kirjeldab teoreem.

Kui d(x) on polünoomide f(x) ja g(x) suurim ühisjagaja, siis leiame polünoomid u(x) ja v(x) nii, et f(x)u(x)+g( x)v(x)=d(x). Sel juhul võime eeldada, et kui polünoomide f(x) ja g(x) astmed on suuremad kui null, siis u(x) aste on väiksem kui g(x) aste ja aste v(x) on väiksem kui f(x) aste.

Näitame näite abil, kuidas leida polünoomid u(x) ja v(x) antud polünoomide f(x) ja g(x) jaoks.

Näide 4. Leia polünoomid u(x) ja v(x), nii et f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), kui

A) f(x)=x4-3x3+1, g(x)=x3-3x2+1;

B) f(x)=x4-x3 +3x2-5x+2, g(x)=x3 +x-2.

A. Polünoomide f(x) ja g(x) gcd leiame eukleidilise algoritmi abil, ainult nüüd jagamise protsessis pole võimalik sobivate arvudega taandada ja korrutada, nagu tegime näidetes 1, 2, 3.

(1) (2)

Seega on polünoomide f(x) ja g(x) ühisjagaja –1.

Vastavalt teostatud jaotusele kirjutame võrdused:

f(x)=g(x)x+(–x+1) (1 *)

g(x)=(–x+1)(–x 2 +2x+2)–1. (2*)

Võrdusest (2 *) väljendame d(x)= –1=g(x)–(–x+1)(–x 2 +2x+2). Võrdusest (1 *) leiame –х+1=f(x)–g(x)х ja asendame selle väärtuse võrdsusega (2 *): d(x)= –1=g(x)–(f( x )–g(x)х)(–x 2 +2x+2).

Nüüd rühmitame terminid paremal pool f(x) ja g(x) suhtes:

d(x)= –1=g(x)–f(x)(–x2 +2x+2)+g(x)x(–x2 +2x+2)=f(x)(x2–) 2x-2)+g(x)(1-x 3 +2x 2 +2x)=f(x)(x2-2x-2)+g(x)(-x 3 +2x 2 +2x+1) .

Seetõttu u(x)=x 2 –2x–2, v(x)= –x 3 +2x 2 +2x+1.

Polünoomide f(x) ja g(x) suurim ühisjagaja on 2x-2 polünoom. Väljendame seda võrratuste (1) ja (2) abil:

Vastus:

LABORITÖÖ VÕIMALUSED

valik 1

1. Leidke polünoomide gcd:

a) x 4 –2x 3 –x 2 –4x–6, 2x 4 –5x 3 +8x 2 –10x+8.

b) (x–1) 3 (x+2) 2 (2x+3), (x–1) 4 (x+2)x.

f(x)=x 6 -4x5 +11x4 -27x3 +37x2 -35x+35,

g(x)=x 5 -3x4 +7x3 -20x2 +10x-25.

2. võimalus

1. Leidke polünoomide gcd:

a) x 4 -3x 3 -3x 2 +11x-6, x 4 -5x 3 +6x 2 +x-3.

b) (2x+3) 3 (x-2) 2 (x+1) ja selle tuletis.