Esimese tuletise geomeetriline ja mehaaniline tähendus. Teist järku tuletise mehaaniline tähendus I ja 2. järku tuletise mehaaniline tähendus

Tuletis(funktsioonid punktis) - diferentsiaalarvutuse põhimõiste, mis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust (antud punktis). See on määratletud kui funktsiooni juurdekasvu ja selle argumendi juurdekasvu suhte piir, kuna argumendi juurdekasv kipub olema null, kui selline piir on olemas. Funktsiooni, millel on (mingil hetkel) lõplik tuletis, nimetatakse diferentseeruvaks (sellel hetkel).

Tuletis. Vaatleme mõnda funktsiooni y = f (x ) kahes punktis x 0 ja x 0 + : f (x 0) ja f (x 0+). Siin tähistab läbi mõnd väikest muudatust argumendis, mida nimetatakse argumentide juurdekasv; vastavalt kahe funktsiooni väärtuse erinevus: f (x 0 + )  f (x 0 ) nimetatakse funktsiooni juurdekasv.Tuletis funktsioonid y = f (x ) punktis x 0 nimetatakse piiriks:

Kui see piir on olemas, siis funktsioon f (x ) nimetatakse eristatav punktis x 0 . Funktsiooni tuletis f (x ) on tähistatud järgmiselt:

Tuletise geomeetriline tähendus. Vaatleme funktsiooni graafikut y = f (x ):

Jooniselt 1 on selge, et funktsiooni graafiku mis tahes kahe punkti A ja B korral:

kus on sekandi AB kaldenurk.

Seega on vahesuhe võrdne sekandi kaldega. Kui fikseerida punkt A ja nihutada punkti B selle poole, siis see väheneb piiramatult ja läheneb 0-le ning sekant AB läheneb puutujale AC. Seetõttu on erinevuse suhte piir võrdne puutuja kaldega punktis A. Sellest järeldub: Funktsiooni tuletis punktis on selle funktsiooni graafiku puutuja tõus selles punktis. See on mis geomeetriline tähendus tuletis.

Tangensi võrrand. Tuletame funktsiooni graafiku puutuja võrrandi punktis A ( x 0 , f (x 0 )). Üldiselt sirge võrrand kaldeteguriga f ’(x 0 ) on kujul:

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Et leida b, Kasutame ära asjaolu, et puutuja läbib punkti A:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,

siit, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , ja selle avaldise asemele b, me saame puutuja võrrand:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x – x 0 ) .

Tuletise mehaaniline tähendus. Vaatleme lihtsaimat juhtumit: materiaalse punkti liikumine mööda koordinaattelge ja on antud liikumisseadus: koordinaat x liikuv punkt – tuntud funktsioon x (t) aeg t. Ajaintervalli jooksul alates t 0 kuni t 0 + punkt liigub kaugusele: x (t 0 + )  x (t 0) = , ja tema keskmine kiirus on võrdne: v a =  . 0 korral kaldub keskmine kiirus teatud väärtuseni, mida nimetatakse hetkeline kiirus v ( t 0 ) oluline punkt ajahetkel t 0 . Kuid tuletise määratluse järgi on meil:

siit, v (t 0 ) = x' (t 0 ), s.t. kiirus on koordinaadi tuletis poolt aega. See on mis mehaaniline tunne tuletis . Samamoodi kiirendus on kiiruse tuletis aja suhtes: a = v' (t).

8. Tuletiste ja diferentseerimisreeglite tabel

Sellest, mis on tuletis, rääkisime artiklis "Tuletise geomeetriline tähendus". Kui funktsioon on antud graafikuga, on selle tuletis igas punktis võrdne funktsiooni graafiku puutuja puutujaga. Ja kui funktsioon on antud valemiga, siis on abiks tuletiste tabel ja diferentseerimisreeglid ehk tuletise leidmise reeglid.

Tuletis. Vaatleme mõnda funktsiooni y= f (x) kahes punktis x 0 ja x 0 + : f(x 0) ja f (x 0+). Siin tähistab läbi mõnd väikest muudatust argumendis, mida nimetatakse argumentide juurdekasv; vastavalt kahe funktsiooni väärtuse erinevus: f(x 0 + ) - f (x 0) helistas funktsiooni juurdekasv. Tuletis funktsioonid y= f (x) punktis x 0 nimetatakse piiriks:

Kui see piir on olemas, siis funktsioon f (x) nimetatakse eristatav punktis x 0 . Funktsiooni tuletis f (x) on tähistatud järgmiselt:

Tuletise geomeetriline tähendus. Vaatleme funktsiooni graafikut y= f (x):

Jooniselt 1 on selge, et funktsiooni graafiku mis tahes kahe punkti A ja B korral:

Kus on sekandi AB kaldenurk.

Seega on erinevuse suhe võrdne sekandi kaldega. Kui fikseerida punkt A ja nihutada punkti B selle poole, siis see väheneb piiramatult ja läheneb nullile ning sekant AB läheneb puutujale AC. Seetõttu on erinevuse suhte piir võrdne puutuja kaldega punktis A. Sellest järeldub: Funktsiooni tuletis punktis on selle funktsiooni graafiku puutuja tõus selles punktis. See on mis geomeetriline tähendus tuletis.

Tangensi võrrand. Tuletame funktsiooni graafiku puutuja võrrandi punktis A ( x 0 , f (x 0)). Üldiselt sirge võrrand kaldeteguriga f ’(x 0) on kujul:

y = f ’(x 0) · x + b .

Et leida b,kasutame ära asjaolu, et puutuja läbib punkti A:

f (x 0) = f ’(x 0) · x 0 + b,

siit, b = f (x 0) – f ’(x 0) · x 0 ja asendades selle avaldise asemel b, me saame puutuja võrrand:

y =f (x 0) + f ’(x 0) · ( x – x 0) .

Tuletise mehaaniline tähendus. Vaatleme lihtsaimat juhtumit: materiaalse punkti liikumine mööda koordinaattelge ja on antud liikumisseadus: koordinaat x liikuv punkt – tuntud funktsioon x (t) aeg t. Ajaintervalli jooksul alates t 0 kuni t 0 + punkt liigub kauguse järgi: x (t 0 + ) -x (t 0) = , ja tema keskmine kiirus on võrdne: v a = / . 0 korral kaldub keskmine kiirus teatud väärtuseni, mida nimetatakse hetkkiirus v(t 0) materiaalne punkt ajahetkel t 0 . Kuid tuletise määratluse järgi on meil:

siit, v(t 0)= x'(t 0), st. kiirus on koordinaadi tuletis aja suhtes. See on mis mehaaniline tunne tuletis . Samamoodi kiirendus on kiiruse tuletis aja suhtes: a = v'(t).

Näidisprobleemid

Ülesanne 1. Kirjutage funktsioonide ja graafikute ühise puutuja võrrand.

Sirge on funktsioonide graafikute ühine puutuja ja kui see puudutab nii üht kui ka teist graafikut, kuid mitte tingimata samas punktis.

- funktsiooni y=x2 graafiku puutuja võrrand punktis, mille abstsiss on x0

- funktsiooni y=x3 graafiku puutuja võrrand punktis abstsissga x1

Jooned langevad kokku, kui nende kalded ja vabad liikmed on võrdsed. Siit

Süsteemi lahendus saab olema

Üldised puutujavõrrandid on kujul:

16. Eristamise reeglid. Kompleks-, pöörd- ja kaudsete funktsioonide tuletised.
Eristamise reeglid
Diferentseerimisel võib konstandi välja võtta tuletisena:

Funktsioonide summa eristamise reegel:

Funktsioonide erinevuse eristamise reegel:

Funktsioonide korrutise eristamise reegel (Leibnizi reegel):

Jagatisfunktsioonide eristamise reegel:

Reegel funktsiooni eristamiseks teise funktsiooni astmest:

Keerulise funktsiooni eristamise reegel:

Funktsiooni eristamise logaritmi reegel:

Kompleksfunktsiooni tuletis

"Kahekihiline" kompleksfunktsioon kirjutatakse kujul, kus u = g(x) on sisemine funktsioon, mis omakorda on välisfunktsiooni f argument. Kui f ja g on diferentseeruvad funktsioonid, siis on ka kompleksfunktsioon x suhtes diferentseeruv ja selle tuletis on See valem näitab, et kompleksfunktsiooni tuletis on võrdne välisfunktsiooni tuletise ja funktsiooni tuletise korrutisega. sisemine funktsioon. Oluline on aga see, et sisefunktsiooni tuletis arvutatakse punktis x, välisfunktsiooni tuletis aga punktis u = g(x)! Seda valemit saab hõlpsasti üldistada juhuks, kui keeruline funktsioon koosneb mitmest hierarhiliselt üksteise sees pesastatud "kihist". Vaatame mitmeid näiteid, mis illustreerivad kompleksfunktsiooni tuletise reeglit. Seda reeglit kasutatakse laialdaselt paljudes teistes jaotises Diferentseerimine toodud probleemides.

Näide 1

Leia funktsiooni tuletis.

Lahendus. Kuna , siis kompleksfunktsiooni tuletise reegliga saame keskmine kiirus Olgu antud materiaalne punkt tasapinnal. Selle piki koordinaattelge liikumise seadust kirjeldab seadus $ x(t) $, kus $ t $ määrab aja. Siis ajavahemikus $ t_0 $ kuni $ t_0 + \Delta t $ läbib punkt tee $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Selgub, et

Kui $ \Delta t $ kipub olema null, siis keskmise kiiruse väärtus kaldub väärtusele nn. hetkeline kiirus punktis $t_0$:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Defineerides tuletise piiri kaudu, saame seose kiiruse ja materiaalse punkti teekonna liikumisseaduse vahel:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Näited lahendustest

Näide 1

Arvuta materiaalse punkti hetkkiirus ajahetkel $ t_0 = 1 $, liikudes vastavalt seadusele $ x(t) = t^2+3t-1 $

Lahendus

Defineerides tuletise mehaanilise tähenduse, saame materiaalse punkti kiiruse seaduse: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ Teades probleemitingimustest ajahetke $ t_0 = 1 $, leiame kiiruse sellel ajahetkel: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ Leidsime, et punkti hetkekiirus hetkel $ t_0 = 1 $ võrdub $ v = 5 $ Kui te ei saa oma probleemi lahendada, saatke see meile. Pakume üksikasjalikku lahendust. Saate vaadata arvutuse edenemist ja saada teavet. See aitab teil õpetajalt hinde õigeaegselt kätte saada!

Vastus

$$ v(t_0) = 5 $$

Näide 2

Materiaalse punkti liikumine on antud seadusega $ x(t)=t^2-t+3 $. Leidke, millisel ajahetkel $ t_0 $ on selle punkti kiirus null.

Lahendus

Kuna kiirus on liikumistee seaduse tuletis:

Tuletise mehaaniline tähendus

Tuletise mehaanilise tõlgenduse andis esimesena I. Newton. See on järgmine: materiaalse punkti liikumiskiirus antud ajahetkel on võrdne tee tuletisega aja suhtes, s.o. Seega, kui materiaalse punkti liikumisseadus on antud võrrandiga, siis punkti hetkekiiruse leidmiseks igal konkreetsel ajahetkel tuleb leida tuletis ja asendada sellega vastav väärtus t.

Teist järku tuletis ja selle mehaaniline tähendus

Saame (võrrandi õpikus Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. “matemaatika” lk 240 tehtust):

Seega keha sirgjoonelise liikumise kiirendus antud hetkel on võrdne teekonna teise tuletisega aja suhtes, mis on arvutatud antud hetkel. See on teise tuletise mehaaniline tähendus.

Diferentsiaali definitsioon ja geomeetriline tähendus

4. definitsioon. Funktsiooni juurdekasvu põhiosa, mis on lineaarne funktsiooni juurdekasvu suhtes, lineaarne sõltumatu muutuja juurdekasvu suhtes, nimetatakse diferentsiaal funktsioon ja seda tähistatakse d-ga, st. .

Funktsiooni diferentsiaal on geomeetriliselt esitatud punktis M (x; y) tõmmatud puutuja ordinaadi juurdekasvuga antud väärtuste x ja?x korral.

Arvutamine diferentsiaal - .

Diferentsiaali rakendamine ligikaudsetes arvutustes - , funktsiooni juurdekasvu ligikaudne väärtus langeb kokku selle diferentsiaaliga.

1. teoreem.Kui diferentseeritav funktsioon antud intervallis suureneb (väheneb), siis ei ole selle funktsiooni tuletis selles intervallis negatiivne (pole positiivne).

2. teoreem.Kui tuletisfunktsioon on teatud intervallis positiivne (negatiivne), siis funktsioon selles intervallis monotoonselt suureneb (monotooniliselt väheneb).

Sõnastame nüüd funktsiooni monotoonsuse intervallide leidmise reegli

1. Arvutage selle funktsiooni tuletis.

2. Leidke punktid, kus see on null või seda pole olemas. Neid punkte nimetatakse kriitiline funktsiooni jaoks

3. Leitud punkte kasutades jagatakse funktsiooni definitsioonipiirkond intervallideks, millest igaühe juures säilitab tuletis oma märgi. Need intervallid on monotoonsuse intervallid.

4. Uurige igal leitud intervallil olevat märki. Kui vaadeldaval intervallil, siis sellel intervallil see suureneb; kui, siis sellisel intervallil see väheneb.

Sõltuvalt ülesande tingimustest saab monotoonsuse intervallide leidmise reeglit lihtsustada.

Definitsioon 5. Punkti nimetatakse funktsiooni maksimaalseks (minimaalseks) punktiks, kui ebavõrdsus kehtib mis tahes punkti mõnes naabruses asuva x kohta.

Kui on funktsiooni maksimaalne (minimaalne) punkt, siis nad ütlevad seda (minimaalne) punktis. Maksimaalne ja minimaalne funktsioon ühendab nime äärmus funktsioonid ning kutsutakse maksimum- ja miinimumpunkte äärmuspunktid (äärmuspunktid).

3. teoreem.(vajalik ekstreemumi märk). Kui on funktsiooni äärmuspunkt ja tuletis on selles punktis olemas, siis on see võrdne nulliga: .

4. teoreem.(piisav märk ekstreemumist). Kui tuletis muudab märki, kui x läbib a, siis on a funktsiooni äärmuspunkt.

Tuletisuuringute põhipunktid:

1. Leia tuletis.

2. Leia funktsiooni definitsioonipiirkonnast kõik kriitilised punktid.

3. Seadke kriitiliste punktide läbimisel funktsiooni tuletise märgid ja kirjutage üles ekstreemumipunktid.

4. Arvutage funktsiooni väärtused igas äärmises punktis.

Funktsioon on kompleksne, kui seda saab esitada funktsioonina funktsioonist y = f[φ(x)], kus y = f(u), аu = φ(x), kus u on vaheargument. Iga kompleksfunktsiooni saab esitada elementaarfunktsioonide kujul (lihtne), mis on selle vaheargumendid.

Näited:

Lihtfunktsioonid: keerulised funktsioonid:

y = x2 y = (x+1)2;u= (x+1); y = u2;

y = sinx; y = sin2x;u = 2x; y = siinus;

y = e x y = e 2x u = 2x; y = e u;

y = lnx y = ln(x+2); y =lnu.

Üldreegli kompleksfunktsiooni eristamiseks annab ülaltoodud teoreem ilma tõestuseta.

Kui funktsioonil u=φ(x) on punktis x tuletis u" x =φ"(x) ja funktsioonil y =f(u) on tuletis u" u =f " (u) vastavas punktis, siis kompleksfunktsiooni y =f[φ(x)] tuletis punktis x leitakse valemiga: y" x =f " (u) u"(x).

Sageli kasutatakse selle teoreemi vähem täpset, kuid lühemat sõnastust : kompleksfunktsiooni tuletis võrdub tuletise korrutisega vahemuutuja ja vahemuutuja tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Näide: y = sin2x2; u = 2x2; y = siinus;

y" x = (sinu)" u · (2x 2)" x = cosu · 4x = 4x · cos2x 2.

3. Teist järku tuletis. Teise tuletise mehaaniline tähendus.

Funktsiooni y =f(x) tuletist nimetatakse funktsiooni esimest järku tuletiseks või lihtsalt funktsiooni esimeseks tuletiseks. See tuletis on x-i funktsioon ja seda saab teist korda eristada. Tuletise tuletist nimetatakse teist järku tuletiseks või teiseks tuletiseks. See on tähistatud: y" xx - (mängija kaks lööki peale x);f"(x) – ( ef kahetaktiline x);d 2 y/dx 2 – (de kaks yrek kohta de x kaks korda);d 2 f/dx 2 – (de kaks ef kohta de x kaks korda).

Teise tuletise määratluse põhjal võime kirjutada:

y" xx = (y" x)" x; f" (x) = " x d 2 y/dx 2 = d/dx (dу/dx).

Teine tuletis on omakorda x-i funktsioon ja seda saab diferentseerida, et saada kolmandat järku tuletis jne.

Näide: y = 2x3 +x2;

y" xx = [(2x 3 +x 2)" x ]" x = (6x 2 +2x)" x = 12x+2;

Teise tuletise mehaanilist tähendust selgitatakse vahelduvat liikumist iseloomustava hetkkiirenduse alusel. Kui S=f(t) on liikumisvõrrand, siis=S" t ; A

Kui S=f(t) on liikumisvõrrand, siis=S" t ; kolmap =;
Kui S=f(t) on liikumisvõrrand, siis=S" t ; vahetu =
keskmine = Kui S=f(t) on liikumisvõrrand, siis=S" t ;=" t ;

vahetu

Näide: Olgu materiaalse punkti sirgjooneline liikumine aset leidnud seaduse S = t 3 /3 järgi. Materiaalse punkti kiirendus määratakse teise tuletisena S"tt: Kui S=f(t) on liikumisvõrrand, siis=S" t ;= S"tt = (t 3 /3)" = 2t.

4. Diferentsiaalfunktsioon.

Tuletise mõistega on tihedalt seotud funktsiooni diferentsiaali mõiste, millel on olulised praktilised rakendused.

Funktsioon f( X) on tuletis
=f " (X);

Vastavalt teoreemile (me ei arvesta teoreemiga) seose kohta lõpmata väikese suuruse α(∆х)(
α(∆х)=0) tuletisega: =f " (x)+ α (∆x), kust ∆f = f " (x) ∆х+α(∆х) · ∆х.

Viimasest võrrandist järeldub, et funktsiooni juurdekasv koosneb summast, mille iga liige on ∆x→ 0 lõpmatult väike väärtus.

Määrame selle summa iga lõpmatu väikese väärtuse väiksuse järgu lõpmatu väikese ∆x suhtes:

Järelikult lõpmata väike f (x) ∆x ja ∆х neil on sama väiksuse järjekord.

Järelikult on lõpmatu väikese väärtuse α(∆x)∆x väiksus suurem kui lõpmata väiksel väärtusel ∆x. See tähendab, et ∆f avaldistes kipub teine ​​liige α(∆х)∆х olema 0 kiiremini kui ∆х→0 kui esimene liige f " (x)∆x.

See on esimene termin f " (x)∆x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks punktis x. See on määratud dy (de igrek) või df (de ef). Seega dy=df= f " (x)∆х ordy= f " (x)dx, sest argumendi diferentsiaal dх on võrdne selle juurdekasvuga ∆х (kui valemis df = f " (x)dx oletame, et f(x)=x, siis saame df=dx=x" x ∆x, butx" x =1, st dx=∆x). Seega on funktsiooni diferentsiaal võrdne selle funktsiooni ja argumendi diferentsiaali korrutisega.

Diferentsiaali analüütiline tähendus seisneb selles, et funktsiooni diferentsiaal on põhiosa funktsiooni ∆f juurdekasvust, argumendi ∆x suhtes lineaarne. Funktsiooni diferentsiaal erineb funktsiooni juurdekasvust lõpmata väikese väärtusega α(∆х)∆х suuremat väiksusastet kui ∆x. Tõepoolest ∆f=f " (x)∆x+α(∆x)∆x või ∆f=df+α(∆x)∆x; wherecedf= ∆f- α(∆х)∆х.

Näide: y = 2x 3 +x 2;dу =?dу = y"dx = (2x 3 +x 2)" x dx= (6x 2 +2x)dx.

Kõrgemat järku lõpmatu väikese väärtuse α(∆х)∆х tähelepanuta jätmine natuke rohkem kui ∆X, saame df≈ ∆f≈ f " (x)dх st. Funktsiooni diferentsiaali saab kasutada funktsiooni juurdekasvu ligikaudseks määramiseks, kuna diferentsiaali on tavaliselt lihtsam arvutada. Diferentsiaali saab rakendada ka funktsiooni väärtuse ligikaudseks arvutamiseks. Saame teada funktsiooni y = f(x) ja selle tuletise punktis x. Vajalik on leida funktsiooni f(x+∆x) väärtus mingis lähipunktis (x+∆x). Selleks kasutame ligikaudset võrdsust ∆у ≈dyor ∆у ≈f " (x) ∆x. Arvestades, et ∆у=f(х+∆х)-f(х), saame f(х+∆х)-f (х) ≈f " (x) dх , kustf(x+∆x) = f(x)+f " (x) dx. Saadud valem lahendab probleemi.