Läbipainete ja pöördenurkade määramine mora meetodil. Läbipainete ja pöördenurkade määramine mora meetodil Kivimite tugevus
Mohri (kahekümnenda sajandi alguses) välja pakutud piiravate pingeseisundite tugevusteooria põhineb eeldusel, et materjalide tugevus pingeseisundi üldjuhul sõltub peamiselt suurima s 1 suurusest ja märgist. ja põhipingete väikseim s 3. Keskmine põhipinge mõjutab tugevust vaid veidi.
Kui antud väärtuste s 1 ja s 3 juures rikutakse materjali tugevust, nimetatakse nendele pingetele rajatud ringi piiravaks. Piirpinge oleku muutmisel saame antud materjali jaoks piirringide perekonna (joonis 39):
Katsed näitavad, et kui liigume pingepiirkonnast survepiirkonda, siis tugevus suureneb. See vastab piirringide läbimõõdu suurenemisele vasakule liikumisel. Piirringide perekonna mähisjoon ABCD piirab tugevuspiirkonda.
Piirava ümbriku olemasolul on tugevuse arvutamine väga lihtne. Kasutades leitud põhipingete s 1 ja s 3 väärtusi, konstrueerime ringi. Tugevus on tagatud, kui see asub täielikult ümbrises. Ümbris määratakse eksperimentaalsete andmete põhjal mitme ringi konstrueerimisega erinevatel põhipingete kombinatsioonidel.
Ühe või teise tugevusteooria praktilisteks arvutusteks rakendatavuse kohta võib öelda järgmist. Materjalide hävimine toimub tõmbepingetest tingitud rebenemise ja suurimate tangentsiaalsete pingete põhjustatud nihke tõttu. Sel juhul võib purunemine eraldumise teel tekkida väga väikeste jääkdeformatsioonidega või ilma nendeta (habras murd). Nihkemurd tekib alles pärast mõningast jääkdeformatsiooni (plastiline murd). Sellest on selge, et esimest ja teist tugevuse teooriat, mis kajastavad purunemist rebenemise tõttu, tuleks rakendada rabedas olekus materjalidele. Kolmandat ja neljandat tugevuse teooriat, mis kajastavad saagise ja nihkega purunemise algust, tuleks rakendada plastilises olekus materjalidele. Mohri tugevusteooria on universaalne ja rakendatav kõikidele materjalidele.
Kuna esimesel ja teisel tugevusteoorial on olulisi puudujääke, on üha enam kinnistunud arvamus, et nende kasutamine on ebasoovitav.
Seega on praktiliste arvutuste jaoks soovitatav:
a) kolmas teooria (või neljas) - materjalide jaoks, mis on pingele ja survele võrdselt vastupidavad;
b) Mohri teooria – materjalide puhul, millel on erinev vastupidavus pingele ja survele.
Tuleb rõhutada, et materjali rabeda või plastilise oleku ei määra mitte ainult selle olemus, vaid ka pinge tüüp, temperatuur ja koormusaste. Nagu katsed näitavad, plastmaterjalid kui teatud tingimused koormuse ja temperatuuri mõjul käituvad nad rabedana, samal ajal kui rabedad materjalid teatud pingeseisundites plastsena.
Nii näiteks käituvad plastmaterjalid pingelistes seisundites, kui kõik kolm peamist pinget on tõmbejõulised ja lähedased, käituvad nagu rabedad.
Pingeseisundites, mis on lähedal igakülgsele kokkusurumisele, võivad rabedad materjalid käituda nagu plastilised. Täielikult kokkusurutuna taluvad materjalid kokkuvarisemata väga kõrget rõhku.
Mohri integraal võimaldab integraalarvutuse abil määrata tala antud lõigu läbipainde ja pöördenurgad. Kuigi see meetod on eelistatavam algparameetrite meetodile, on see integraali arvutamise vajaduse tõttu ebamugav. Mohri integraalist saime mugava lahenduse praktilise rakendamise Vereštšagini reegel, mille puhul pole vaja integraale arvutada, vaid tuleb leida vaid diagrammide pindala ja raskuskese.
Mohri integraali valemi saamine
Mõelge joonisel fig. 15.6, a. Tähistame vastavalt paindemomenti ja ristjõudu, mis tulenevad antud talas sellele mõjuvatest koormustest P. Olgu nõutav tala () läbipainde määramine punktis K.
Võtame arvesse abitala (sama tala, kuid koormatud ainult ühikulise jõu või ühikulise paindemomendiga). Laadime seda ainult ühe jõuga (joon. 15.6, b). Rakendame ühikjõudu punktis K, kus peame määrama läbipainde.
Tähistame abitalas tekkivaid sisejõude ja .
Kasutame nüüd töö vastastikkuse teoreemi, mille järgi töö välised jõud abitalale rakendatud tala vastavatel nihetel on võrdne vastupidise märgiga tehtud tööga sisemised jõud antud tala abitala vastavatel liikumistel. Siis 
.
Tala nihke määramisel võib reeglina jätta tähelepanuta põikjõu mõju (teisest terminist tähelepanuta jätta).
Siis, võttes arvesse seda, saame lõpuks Mohri integraalvalem: 
.
Tihti nimetatakse nihkete määramist Mohri integraali valemi abil nihkete määramine Mohri meetodil ja valem ise – Mohri integraali järgi.
Mohri integraalis sisalduvad paindemomendid on võetud suvalises ristlõikes ja seega esindavad analüütilised funktsioonid praegusest z-koordinaadist.
Pange tähele, et kui tahame määrata ristlõike () pöördenurka samas punktis K, siis peame rakendama abitalale mitte ühikulist jõudu, vaid ühikmomenti (joonis 15.6, c).
nihke arvutamise protseduur Mohri meetodil:
· rakendada abitalale ühikjõudu kohas, kus on vaja määrata nihe. Läbipainde määramisel rakendame ühikjõudu ja pöördenurga määramisel ühikmomenti;
· iga tala lõigu kohta koostame avaldised antud () ja abitalade () paindemomentide jaoks;
· arvutada Mohri integraal kogu tala vastavates lõikudes;
· kui arvutatud nihkel on positiivne märk, tähendab see, et selle suund langeb kokku ühikjõu suunaga. Negatiivne märk näitab, et soovitud nihke tegelik suund on vastupidine ühikjõu suunale.
Mohri integraali näite arvutamine
Oletame, et konstantse paindejäikusega, pikkusega l lihtsalt toestatud tala jaoks, mis on koormatud ühtlaselt jaotatud intensiivsusega q koormusega (joon. 15.7, a), on vaja määrata läbipaine avause keskel () ja pöördenurk vasakul toel ().
läbipainde määramine Mohri integraali abil
Kohas, kus peame määrama läbipainde, rakendame abitalale ühikulist jõudu (joon. 15.7, b).
Kirjutame üles paindemomentide avaldised antud ja abitala mõlema sektsiooni () jaoks:
.
Seda teooriat kasutatakse pingele ja survele ebavõrdselt vastupidavatest materjalidest valmistatud konstruktsioonielementide tugevuse arvutamisel. Ohtliku seisundi esinemise tingimus on kirjutatud järgmisel kujul:
Kus To =
Kaheteljelise pingeseisundi erijuhul (o x = o, Oy = 0, x^ = x, c z = x xz = x yz= 0) tugevustingimus piirseisundi meetodil valemi (11.35) abil saab kuju Materjalide puhul, mis on pingele ja survele võrdselt vastupidavad, To= 1 ja arvutusvalemid Mohri teooria järgi langevad kokku maksimaalsete tangentsiaalsete pingete teooria sarnaste valemitega. Mohri tugevusteooria on eksperimentaalselt hästi kinnitatud nii plastiliste kui ka rabedate materjalide puhul, eriti kui a, > 0, a 3 Kokkuvõtteks märgime, et anisotroopsetest materjalidest, näiteks viimasel ajal laialdaselt kasutatud klaaskiudplastist valmistatud konstruktsioonide tugevuse hindamiseks on välja pakutud uusi tugevusteooriaid. Need teooriad nõuavad aga täiendavat selgitamist ja eksperimentaalset kontrolli. Näide 11.10. Kontrollime joonisel fig. näidatud I-tala 130 tugevust. 11.34, A. Arvutustes võtame L = 210 MPa = 21 kN/cm 2, R s = 130 MPa = 13 kN/cm 2 (projekteeritud nihketugevus), y c = 1.0. Me loeme koormuse väärtuse arvutatavaks. Määrame tugireaktsioonid ja koostame diagramme K Ja M(joonis 11.34, A). Ohtlik lõik on C, kus rakendatakse kontsentreeritud jõudu. Valtsitud I-tala 130 jaoks (joon. 11.34, 6)
meil on: h = 30 cm, b= 13,5 cm, d= 0,65 cm, t= 1,02 cm, J z= 7080 cm 4, W z= 472 cm 3, Sj 1= 268 cm 3 (staatiline poollõikemoment). Tala tugevust kontrollime kõige suuremate normaalpingete järgi äärmistes kiududes ja suurimate nihkepingete järgi neutraaltelje tasandil: Tagatud on tala tugevus kõige suuremate pingete korral. Siiski on vaja kontrollida tugevust I-tala seina punktides kohtades, kus see sobib riiulitega (tase y = h/2 – t –= 15 - 1,02 = 13,98 cm). Määrake pinge alumises ristmikupunktis M ( riis. 11.34, b) ohtlik osa: Kus S™- I-tala ääriku ristlõikepinna staatiline moment telje suhtes Oz. Selle määramisel peetakse riiuli ristlõiget ligikaudu ristkülikukujuliseks: Sest hetkel M normaal- ja nihkepinged on üsna suured, et tala tugevust kontrollida, on vaja kasutada vastavat tugevusteooriat. Eeldusel, et I-tala sein on kaheteljelises pingeseisundis kell = 0 (joonis 11.34, V), ja kasutades tugevuse energiateooriat, saame valemi (11.42) abil Tala tugevus punktis M samuti ette nähtud. Näide 11.11. Ringikujulise ristlõikega teraskonsooliga katkise varda jaoks, mis allub väändega painutamisele (joon. 11.35, A), Määrame läbimõõt tugevustingimusest maksimaalsete tangentsiaalsete pingete teooria järgi. Arvutustes aktsepteerime [o] = 160 MPa = 16 kN/cm2. Koostame skeemid normaal- ja tangentsiaalsete pingete kohta ohtlikul lõigul. Vertikaalne jõud põhjustab varraste paindumist AB Ja Päike lennukis Ohoo ja varda väändumine AB. Horisontaalne jõud põhjustab varda lõigu paindumist AB lennukis Oxz. Pange tähele, et varraste arvutamisel AB Ja Päike kasutati liikuvat koordinaatide süsteemi. Koostame paindemomentide skeeme Mz Ja M ja pöördemoment M k(vt joonis 11.35, A). Momentide mõõtmed on antud kNcm. Kõik kolm punkti on negatiivsed. Varda ristlõige on ohtlik AB kapis, kus hetked M z , M a Ja M k on kõrgeimad väärtused. Arvutame kogu paindemomendi väärtuse kinnises: Kogu paindemoment põhjustab kokkusurumise koordinaatsüsteemi esimese veerandi lõikepunktides. Ohtlikud punktid on ristlõike kontuuri punktid, kus painutuspinged ja väändest tulenevad nihkepinged on suurimad. Kasutades suurimate tangentsiaalsete pingete tugevusteooriat ja valemeid (11.19) ja (11.22) suurima ai jaoks, saame, võttes arvesse võrdsust fV p = 2 W M järgmine tingimus: Kasutades valemit (11.20) F ja ümmarguse tahke sektsiooni jaoks, määrame varda vajaliku läbimõõdu: Me nõustume D= 4,8 cm ja määrake lõigu normaal- ja tangentsiaalsete pingete suurimad väärtused V: Diagrammi koostamiseks umbes jaotises A määrame nulljoone kaldenurga telje suhtes Oz Arvestades seda ringikujulise lõigu jaoks J z = J y , leiame: Asetage nurga telg 0 teljest kõrvale Oz vastupäeva ja koostage diagrammid o ja t ristlõikes A(Joonis 11.35, b).
Selle teooria kohaselt toimub tugevuse purunemine siis, kui teatud kohas tekib normaalse ja nihkepinge kõige ebasoodsam kombinatsioon.
Mohri teooria algses sõnastuses jääb lahtiseks küsimus hävingu olemusest; sõltuvalt sellest, milline see ebasoodne kombinatsioon on, võime rääkida voolavuse või hävingu algusest sõna otseses mõttes sõnad. Kirjutame Mohri tugevustingimuse järgmiselt:
Tasapinnal on seda võrrandit kujutatud mingi kõveraga (joonis 265). Tugevuse hindamiseks on vaja arvestada igasuguste läbivate platvormidega see punkt, ja kontrollige, kas võrdsus (182.1) on vähemalt ühel neist täidetud.
Iga sait vastab punktile, mille koordinaadid on joonise tasapinnal, nende punktide kogum täidab teatud joonise. Näitame, et selle joonise väliskülge piirav kõver on pingetele ehitatud Mohri ring. Tõepoolest, selle ringi punktid kujutavad pingeseisundeid teljega paralleelsetel aladel ja kuuluvad seetõttu soovitud kujundisse. Nüüd piisab, kui näitame, et pingetele ehitatud punkt M, mis asub väljaspool Mohri ringi, ei saa kujutada pingeseisundit ühelgi alal.
Selle tõestamiseks oletame vastupidist. Siis on segment MC suurem kui Mohri ringi raadius ja meil on järgmine ebavõrdsus:
Siin on punkti M koordinaadid.
Pärast elementaarseid teisendusi on see ebavõrdsus järgmine:
Eeldusel on need normaalsed ja nihkepinged teatud piirkonnas. Olgu tema normaalkoosinused põhitelgede suhtes Siis vastavalt § 39 valemitele
Kui need avaldised s-i ja ebavõrdsuse (181.2) jaoks kasutusele võtta, saame:
Kuid suunakoosinused on seotud tingimusega
Seetõttu on esimene sulg võrdne . Seda väärtust vähendades jõuame lõpuks järgmise ebavõrdsuseni:
Kuid see ebavõrdsus on võimatu. Tõepoolest, vasak pool on ruuttrinoom selle trinoomi juurte suhtes. Kuna kolmik on võrdne siis at ja kolmik on positiivne, peab see at , olema negatiivne ja definitsiooni järgi on see keskmine pinge.
Järelikult osutub tugevuse kontrollimise meetod samaks, mis eelmises lõigus: pingete abil konstrueeritakse Mohri ring, tugevus on tagatud juhul, kui see ring ei ristu piirkõveraga.
Piirkõvera kuju on leitud kogemusest. Erinevate pingeseisundite jaoks, mis vastavad rikkeseisundile, konstrueeritakse Mohri ringid. Piirkõver on nende ümbris. Nagu on juba korduvalt märgitud, on katseandmed murdude kohta peamiselt seotud tasapinnalise pinge olekuga. Kui on teada purunemispinged tõmbe-, surve- ja puhasnihkes, saame piisava usaldusväärsusega konstrueerida piirkõvera lõigu, mis võimaldab hinnata tugevust kõigil tasapinnalise pingeseisundi juhtudel. Tõepoolest, tasapinnalise pingeseisundiga, kui muidu poleks pingeseisund tasapinnaline; juhul, kui , on võimatu, siis . Seetõttu tasapinnalise pingeseisundi korral pingetele ehitatud Mohri ring kas sisaldab koordinaatide alguspunkti või läbib seda.
Ehitame Mohri ringid, mis vastavad pinge, surve ja puhta nihke piirolekule, nagu on näidatud joonisel fig. 266. Nende ringide AB mähisjoon on piirkõvera osa, mis on seega üsna usaldusväärselt määratud. Mohri piirringid kõigi võimalike tasapinnaliste pingeseisundite jaoks puudutavad vastavalt ülaltoodule piirkõverat jaotises AB. Piirkõvera jätkamiseks vasakule on vaja eksperimentaalseid katseandmeid ühtlase kokkusurumise all. Selliseid katseid on tehtud korduvalt ja vastavad tulemused on olemas. Kõvera jätk punktist B paremale on hüpoteetiline, tuleks eeldada, et see lõikub teljega punktis .
Selle punkti abstsiss näitab vastupidavust rebenemisele igakülgse pinge korral, st plastilise deformatsiooni täieliku puudumise korral. Punkti D lähedal oleva kõvera kuju on täiesti tundmatu.
Hapratel materjalidel on tavaliselt suurem survetugevus kui tõmbetugevus, vastavad väärtused on kogemustest kõige lihtsamad. Tasapinnalise pinge oleku tingimustes tugevuse arvutamiseks võite kõvera asendada pinge ja surve Mohri piirringe puudutava sirgjoonega. Tegelik kõver, nagu on näidatud joonisel fig. 266, on suunatud kumeralt ülespoole, nii et tehtud eeldus läheb ohutusvaru.
Arvestades kõiki võimalikke Mohri ringjooni, mis puutuvad sirgega AB (joonis 267), leiame, et nende ringide väärtused on seotud lineaarse seosega. Tõepoolest, kolmnurkade OAB ja KSV sarnasusest järeldub:
Kuna - Mohri ringi raadius, lõigud AO, OB ja AB on fikseeritud piirjoone määramisega, on ülaltoodud proportsioon järgmine:
Kuid see on lineaarne suhe a ja vahel, mille saab kirjutada järgmiselt:
(182.3)
Pinges ja piirseisundis ajutine tõmbetugevus); Sellepärast . Kokkusurumisel ja piirseisundis - ajutine takistus kokkusurumisel); Sellepärast . Piirseisundi (182.3) saavutamise tingimus kirjutatakse järgmiselt:
Ohutusvaru kehtestamisega saame järgmise tugevustingimuse:
(182.4)
Seisukord (182.4) kehtib nii rabedate kui ka plastmaterjalide puhul, millest alates muutub see Tresca seisukorraks.
Tuleb meeles pidada, et valemi (182.4) kasutamine on õigustatud ainult tasapinnalise pingeseisundi puhul, kuna igasugune ekstrapoleerimine lineaarne valem sest piirkõvera võrrand on kaheldav.
Mohri teooria puuduseks on see, et see ei võta arvesse keskmise stressi rolli. Plastmaterjalide puhul muutub Mohri seisund Tresca seisundiks ja oleme näinud, et plastilise oleku saavutamist ennustab paremini Misesi tingimus, mis sisaldab kõiki kolme peamist pinget. Tõepoolest, kui konstrueerime Mohri ringid erinevate piiravate olekute jaoks, mis ei piirdu pinge, surve ja puhta nihkega, nagu on näidatud joonisel fig. 266, siis selgub, et rangelt võttes pole ümbrikut võimalik joonistada.
Sama idee arendamine, mis sundis meid plastilisuse tingimusest välja minema. Mises'i tingimusele võib eeldada, et piirseisund saavutatakse oktaeedriliste tangentsiaalsete ja oktaeedriliste normaalpingete ebasoodsa kombinatsiooni korral. Tingimus (182.1) asendatakse järgmisega:
Siin (vt § 41)
Vastavad teooriad töötasid välja Schleicher (1926), Yu I. Yagn (1931) ja P. P. Balandin (1937). Arvutusvalemite saamiseks on soovitav määrata funktsioonile mõni analüütiline avaldis, mida mainitud autorid tegid. Ilmselt vastavad seda tüüpi teooriad paremini eksperimentaalsetele andmetele kui Mohri teooria.
Oletame, et saame katse läbi viia mis tahes pingeseisundis pingetensori kõigi komponentide proportsionaalse muutusega. Valime mingi pingeseisundi ja suurendame proportsionaalselt kõiki komponente, kuni pingeseisund muutub piiravaks. Proovil tekivad plastilised deformatsioonid või see ebaõnnestub. Joonistame selle lennukile 
Mohri ringkondadest suurim. Eeldame, et piirseisund ei sõltu 
. Võttes edasi uued pingeseisundid, konstrueerime ringid 2, 3, 4……… Joonistame ühise mähisjoone (joonis 10.6).
Oletame, et see ümbrik on selle materjali jaoks ainus. Kui mähis on määratud, saab ohutusteguri määrata mis tahes pingeseisundi jaoks. Selle lähenemisviisi puhul ei aktsepteeritud ühtegi hüpoteese ja Mohri teooria põhines katsetulemuste loogilisel süstematiseerimisel.
Ümbriku määramiseks on oluline leida nn 
, mis vastab kolmeteljelisele ühtlasele pingele. Selle punkti katseliseks määramiseks pole ikka veel meetodit. Üldiselt ei ole katseid võimalik läbi viia, kui kõik kolm põhipinget on tõmbetugevusega. Seetõttu ei ole pingepiiriringist paremal asuva materjali jaoks veel võimalik konstrueerida piirringi. Nüüd on ümbris lähendatud puutujaga kahele pinge ja kokkusurumise piirringile. Kui on võimalik teostada igakülgset venitamist, saab kuju täpsustada (joonis 10.8).
Pingete vaheline seos 
Ja 
ümbriku jaoks võib sirgjoont esitada kui
(10.1)
Leiame koefitsiendi 
Ja 
kasutades pinge ja surve piirringe.
Kui venitatakse 
asendades 10.1 leiame
,
.
Kui kokku surutakse 
.
Seega:
Või saame selle lõpuks kätte
Peatükk 11. Materjalide tugevus tsükliliselt muutuvate pingete korral
11.1. Väsimuse tugevuse mõiste
Esimeste masinate tulekuga sai teatavaks, et ajas muutuvate pingete mõjul hävivad osad koormusel vähem kui need, mis pideva pinge korral ohtlikud. Tehnika arenedes ja kiirsõidukite loomisega hakati avastama autode ja vedurite telgede, rataste, rööbaste, vedrude, erinevat tüüpi võllide, kepsude jms murdumisi. Osade murdumine ei tekkinud kohe, sageli pärast masina pikemaajalist töötamist. Reeglina hävisid osad ilma nähtavate jääkdeformatsioonideta, isegi kui need olid valmistatud plastmaterjalidest. Tekkis oletus, et vahelduvate pingete mõjul laguneb materjal aja jooksul järk-järgult, justkui “väsinuna” ning plastiliseks muutumise asemel muutub see rabedaks.
Hiljem, laboratoorsete uurimismeetodite täiustamisega, tehti kindlaks, et materjali struktuur ja mehaanilised omadused ei muutu, kuid termin "väsimus", kuigi see ei vasta nähtuse füüsikalisele olemusele, jäi alles ja on laialt levinud. tänapäeval kasutusel.
Materjalide "väsimine" on pikka aega pälvinud uurimistöö tähelepanu. Selle hävitamise olemus on aga endiselt suures osas ebaselge. Kõige rahuldavam seletus sellel teaduse arengutasemel on järgmine.
Projekteerimistehnoloogilistest või konstruktsioonilistest teguritest põhjustatud suurenenud pingete tsoonis võivad tekkida mikropraod. Korduvate pingemuutuste korral hakkavad mikropragude tsoonis asuvad kristallid varisema ja praod tungivad sügavale detaili. Pragude tsoonis olevad kontaktpinnad hakkavad üksteise vastu hõõruma, moodustades sileda pinna; Nii moodustub üks tulevastest murdepinna tsoonidest. Pragude tekkimise tulemusena nõrgeneb ristlõige. Viimases etapis toimub äkiline hävitamine. Murd on iseloomuliku tervete kristallidega pinnaga (joon. 11.1).
