A3 Kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine sirge, millel asuvad kõik nende tasandite ühised punktid. Kolmel erineval tasapinnal on ühine punkt

21.02.2024

Planimeetrias on tasapind üks põhifiguure, seetõttu on väga oluline sellest selge arusaam. See artikkel loodi selle teema käsitlemiseks. Esiteks antakse tasandi mõiste, selle graafiline esitus ja näidatakse tasandite tähistusi. Järgmisena vaadeldakse tasapinda koos punkti, sirge või mõne muu tasapinnaga ning valikud tulenevad suhtelisest asukohast ruumis. Artikli teises ja kolmandas ja neljandas lõigus analüüsitakse kõiki kahe tasandi, sirge ja tasandi, aga ka punktide ja tasandite suhtelise asukoha valikuid, on toodud põhiaksioomid ja graafilised illustratsioonid. Kokkuvõtteks on toodud peamised meetodid tasandi määratlemiseks ruumis.

Leheküljel navigeerimine.

Lennuk – põhimõisted, sümbolid ja kujundid.

Lihtsamad ja elementaarsemad geomeetrilised kujundid kolmemõõtmelises ruumis on punkt, sirgjoon ja tasapind. Meil on juba ettekujutus punktist ja sirgest tasapinnal. Kui asetada tasapind, millel punktid ja sirged on kujutatud kolmemõõtmelises ruumis, siis saame punktid ja jooned ruumis. Idee tasapinnast ruumis võimaldab meil saada näiteks laua või seina pinda. Laual või seinal on aga lõplikud mõõtmed ja tasapind ulatub üle oma piiride lõpmatuseni.

Punkte ja jooni ruumis tähistatakse samamoodi nagu tasapinnal - vastavalt suurte ja väikeste ladina tähtedega. Näiteks punktid A ja Q, sirged a ja d. Kui on antud kaks joonel asuvat punkti, siis saab joont tähistada kahe neile punktidele vastava tähega. Näiteks sirge AB või BA läbib punkte A ja B. Tasapindu tähistatakse tavaliselt väikeste kreeka tähtedega, näiteks lennukid või.

Ülesannete lahendamisel muutub vajalikuks tasapindade kujutamine joonisel. Tasapinda kujutatakse tavaliselt rööpkülikuna või suvalise lihtsa suletud piirkonnana.

Tasapinda vaadeldakse tavaliselt koos punktide, sirgete või muude tasanditega ning nende suhteliste positsioonide osas tekivad erinevad võimalused. Liigume edasi nende kirjelduse juurde.

Tasapinna ja punkti suhteline asukoht.

Alustame aksioomiga: igas tasapinnas on punkte. Sellest tuleneb tasandi ja punkti suhtelise asukoha esimene variant - punkt võib kuuluda tasapinnale. Teisisõnu, lennuk võib punkti läbida. Et näidata, et punkt kuulub tasapinnale, kasutatakse sümbolit “”. Näiteks kui tasapind läbib punkti A, siis saab lühidalt kirjutada .

Tuleb mõista, et antud ruumitasandil on lõpmatult palju punkte.

Järgmine aksioom näitab, mitu punkti ruumis tuleb märkida, et need määratleksid kindla tasandi: läbi kolme punkti, mis ei asu samal sirgel, läbib tasapind ja ainult üks. Kui on teada kolm tasapinnas asuvat punkti, siis saab tasapinda tähistada kolme neile punktidele vastava tähega. Näiteks kui tasapind läbib punkte A, B ja C, saab seda tähistada kui ABC.

Sõnastame veel ühe aksioomi, mis annab tasandi ja punkti suhtelise asukoha teise versiooni: on vähemalt neli punkti, mis ei asu samas tasapinnas. Seega ei pruugi ruumipunkt kuuluda tasapinnale. Tõepoolest, eelmise aksioomi kohaselt läbib tasapind kolme ruumipunkti ja neljas punkt võib sellel tasapinnal asuda, aga ei pruugi. Lühidalt kirjutades kasutage sümbolit "", mis on samaväärne fraasiga "ei kuulu".

Näiteks kui punkt A ei asu tasapinnal, siis kasuta lühikest tähistust.

Sirge ja tasapind ruumis.

Esiteks võib sirgjoon asuda tasapinnal. Sel juhul asuvad tasapinnal vähemalt kaks selle sirge punkti. See on kindlaks tehtud aksioomiga: kui sirge kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kõik selle sirge punktid asuvad tasapinnal. Teatud joone kuuluvuse antud tasapinnale lühiajaliseks fikseerimiseks kasutage sümbolit "". Näiteks tähistus tähendab, et sirgjoon a asub tasapinnal.

Teiseks võib sirgjoon ristuda tasapinnaga. Sel juhul on sirgel ja tasapinnal üks ühine punkt, mida nimetatakse sirge ja tasandi lõikepunktiks. Lühidalt kirjutades tähistan ristmikku sümboliga “”. Näiteks tähistus tähendab, et sirge a lõikub tasapinnaga punktis M. Kui tasapind lõikub teatud sirgega, tekib sirge ja tasandi vahelise nurga mõiste.

Eraldi tasub keskenduda sirgele, mis lõikub tasapinnaga ja on risti mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgega. Sellist sirget nimetatakse tasapinnaga risti. Perpendikulaarsuse lühiajaliseks salvestamiseks kasutage sümbolit "". Materjali põhjalikumaks uurimiseks võite viidata artiklile sirge ja tasandi risti.

Tasapinnaga seotud ülesannete lahendamisel on eriti oluline tasapinna nn normaalvektor. Tasapinna normaalvektor on mis tahes nullist erinev vektor, mis asub selle tasapinnaga risti asetseval sirgel.

Kolmandaks võib sirge olla tasapinnaga paralleelne, see tähendab, et sellel ei pruugi olla ühiseid punkte. Samaaegsuse lühidalt kirjutamisel kasutage sümbolit "". Näiteks kui sirge a on paralleelne tasapinnaga, siis võime kirjutada . Soovitame seda juhtumit lähemalt uurida, viidates artiklile sirge ja tasandi paralleelsus.

Olgu öeldud, et tasapinnas paiknev sirgjoon jagab selle tasandi kaheks pooltasandiks. Sirget nimetatakse sel juhul pooltasapindade piiriks. Kõik kaks sama pooltasandi punkti asuvad joone samal küljel ja kaks erineva pooltasandi punkti asuvad piirjoone vastaskülgedel.

Lennukite vastastikune paigutus.

Kaks tasandit ruumis võivad kokku langeda. Sel juhul on neil vähemalt kolm ühist punkti.

Kaks tasandit ruumis võivad ristuda. Kahe tasandi ristumiskoht on sirge, mis määratakse aksioomiga: kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine sirge, millel asuvad kõik nende tasandite ühised punktid.

Sel juhul tekib ristuvate tasandite vahelise nurga mõiste. Eriti huvitav on juhtum, kui tasapindade vaheline nurk on üheksakümmend kraadi. Selliseid tasapindu nimetatakse risti. Me rääkisime neist artiklis lennukite perpendikulaarsus.

Lõpuks võivad kaks ruumitasandit olla paralleelsed, st neil ei ole ühiseid punkte. Soovitame teil lugeda artiklit Tasapindade paralleelsus, et saada täielik ülevaade sellest tasandite suhtelise paigutuse võimalusest.

Tasapinna määratlemise meetodid.

Nüüd loetleme peamised viisid konkreetse tasandi ruumis määratlemiseks.

Esiteks saab tasapinna määratleda, fikseerides ruumis kolm punkti, mis ei asu samal sirgel. See meetod põhineb aksioomil: mis tahes kolme punkti kaudu, mis ei asu samal sirgel, on üks tasapind.

Kui tasand on fikseeritud ja täpsustatud kolmemõõtmelises ruumis, märkides selle kolme erineva punkti koordinaadid, mis ei asu samal sirgel, siis saame kirjutada kolme antud punkti läbiva tasandi võrrandi.

Kaks järgmist tasapinna määratlemise meetodit on eelmise tagajärg. Need põhinevad kolme punkti läbiva tasapinna aksioomi tagajärgedel:

tasapind läbib sirget ja sellel mitteasetsevat punkti ning ainult ühte (vt ka sirget ja punkti läbiva tasapinna artiklivõrrandit);
Kaht lõikuvat sirget läbib ainult üks tasapind (soovitame lugeda artiklis sisalduvat materjali: kahte ristuvat joont läbiva tasapinna võrrand).

Neljas viis tasandi määratlemiseks ruumis põhineb paralleelsete joonte määratlemisel. Tuletage meelde, et kahte ruumi sirget nimetatakse paralleelseks, kui need asuvad samal tasapinnal ega ristu. Seega, näidates ruumis kahte paralleelset sirget, määrame ainsa tasapinna, millel need sirged asuvad.

Kui kolmemõõtmelises ruumis ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi suhtes on tasapind ette nähtud näidatud viisil, siis saame luua võrrandi kahte paralleelset sirget läbivale tasapinnale.

Gümnaasiumi geomeetriatundides tõestatakse teoreem: läbi ruumi kindla punkti läbib üks tasapind, mis on antud sirgega risti. Seega saame tasandi defineerida, kui määrame punkti, mida see läbib, ja sellega risti oleva sirge.

Kui ristkülikukujuline koordinaatsüsteem on fikseeritud kolmemõõtmelises ruumis ja tasapind on määratud viisil, siis on võimalik konstrueerida võrrand tasapinnale, mis läbib antud punkti, mis on risti antud sirgega.

Tasapinnaga risti oleva sirge asemel saab määrata ühe selle tasandi normaalvektoritest. Sel juhul on võimalik kirjutada

Teema: "Stereomeetria aksioomid ja nende tagajärjed." 2. võimalus. 1. Mida saab öelda kahe tasandi suhtelise asukoha kohta, millel on kolm ühist

punktid, mis ei asu samal sirgel? a) ristuvad; b) midagi ei saa öelda; c) ei ristu; d) langevad kokku; e) neil on kolm ühist punkti.

2. Milline järgmistest väidetest on tõene? a) Kui ringjoone kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kogu ringjoon asub sellel tasapinnal; b) kolmnurga tasapinnal asuv sirge lõikub selle kahte külge; c) kahel tasapinnal on ainult üks ühine punkt; d) tasapind läbib kahte punkti ja ainult ühte; e) sirge asub antud kolmnurga tasapinnal, kui see lõikub kahte sirget, mis sisaldavad kolmnurga külgi.

3. Kas kahel erineval tasapinnal võib olla ainult kaks ühist punkti? a) mitte kunagi; b) saan, kuid lisatingimustel; c) alati olema; d) küsimusele ei ole võimalik vastata; d) teine vastus.

4. Punktid K, L, M asuvad samal sirgel, punkt N ei asu sellel. Iga kolme punkti kaudu tõmmatakse üks tasapind. Mitu erinevat lennukit selle tulemusel tekkis? a) 1; b) 2; kell 3; d) 4; d) lõpmatult palju.

5. Valige õige väide. a) Tasapind läbib mis tahes kolme punkti ja ainult ühte; b) kui sirge kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kõik sirge punktid asuvad sellel tasapinnal; c) kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis nad ei ristu; d) tasapind, ja ainult üks, läbib sirget ja sellel asuvat punkti; e) tasapinda on võimatu joonistada läbi kahe ristuva sirge.

6. Nimetage tasandite PBM ja MAB ühine sirge. a) PM; b) AB; c) PB; d) BM; e) ei ole võimalik kindlaks määrata.

7. Sirged a ja b lõikuvad punktis M. Sirge c, mis ei läbi punkti M, lõikab sirgeid a ja b. Mida saab öelda sirgete a, b ja c suhteliste asukohtade kohta? a) kõik sirged asuvad eri tasapindadel; b) sirged a ja b asuvad samal tasapinnal; c) kõik sirged asuvad samal tasapinnal; d) midagi ei saa öelda; e) sirge c ühtib ühega sirgest: kas a või b.

8. Sirged a ja b lõikuvad punktis O. A € a, B € b, Y € AB. Valige õige väide. a) punktid O ja Y ei asu samal tasapinnal; b) sirged OY ja a on paralleelsed; c) sirged a, b ja punkt Y asuvad samal tasapinnal; d) punktid O ja Y langevad kokku; e) punktid Y ja A langevad kokku.

2. võimalus.

1. Mida saab öelda kahe tasandi suhtelise asukoha kohta, millel on kolm ühist punkti, mis ei asu samal sirgel?
a) ristuvad; b) midagi ei saa öelda; c) ei ristu; d) langevad kokku; e) neil on kolm ühist punkti.

2. Milline järgmistest väidetest on tõene?
a) Kui ringjoone kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kogu ringjoon asub sellel tasapinnal; b) kolmnurga tasapinnal asuv sirge lõikub selle kahte külge; c) mis tahes kahel tasapinnal on ainult üks ühine punkt; d) tasapind läbib kahte punkti ja ainult ühte; e) sirge asub antud kolmnurga tasapinnal, kui see lõikub kahte sirget, mis sisaldavad kolmnurga külgi.

3. Kas kahel erineval tasapinnal võib olla ainult kaks ühist punkti?
a) mitte kunagi; b) saan, kuid lisatingimustel; c) alati olema; d) küsimusele ei ole võimalik vastata; d) teine vastus.

5. Valige õige väide.
a) Tasapind läbib mis tahes kolme punkti ja ainult ühte; b) kui sirge kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kõik sirge punktid asuvad sellel tasapinnal; c) kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis nad ei ristu; d) tasapind, ja ainult üks, läbib sirget ja sellel asuvat punkti; e) tasapinda on võimatu joonistada läbi kahe ristuva sirge.

6. Nimetage tasandite PBM ja MAB ühine sirge.
a) PM; b) AB; c) PB; d) BM; e) ei ole võimalik kindlaks määrata.

7. Millist loetletud tasapindadest ristub sirge RM (joonis 1)?
a) DD1C; b) D1PM; c) B1PM; d) ABC; e) CDA.
B1 C1

8.Kaks tasapinda lõikuvad sirgjoonel c. Punkt M asub ainult ühel tasapinnal. Mida saab öelda punkti M ja sirge c suhtelise asukoha kohta?
a) Järeldusi ei saa teha; b) sirge c läbib punkti M; c) punkt M asub sirgel c; d) sirge c ei läbi punkti M; d) teine vastus.

9. Sirged a ja b lõikuvad punktis M. Sirge c, mis ei läbi punkti M, lõikab sirgeid a ja b. Mida saab öelda sirgete a, b ja c suhteliste asukohtade kohta?
a) kõik sirged asuvad eri tasapindadel; b) sirged a ja b asuvad samal tasapinnal; c) kõik sirged asuvad samal tasapinnal; d) midagi ei saa öelda; e) sirge c ühtib ühega sirgest: kas a või b.

10. Sirged a ja b lõikuvad punktis O. A € a, B € b, Y € AB. Valige õige väide.
a) punktid O ja Y ei asu samal tasapinnal; b) sirged OY ja a on paralleelsed; c) sirged a, b ja punkt Y asuvad samal tasapinnal; d) punktid O ja Y langevad kokku; e) punktid Y ja A langevad kokku.

PALUN SELETAGE VASTUSED, SUUR TÄNU ETTE!) Punkt A asub kahetahulise nurga serval. 1. Kas vastab tõele, et nurk BAC on kahetahulise nurga lineaarnurk, kui

Kas kiired AB ja AC on selle servaga risti? 2. Kas on tõsi, et lineaarnurk BAC on kahetahuline nurk, kui kiired AB ja AC asuvad kahetahulise nurga külgedel? 3. Kas on tõsi, et nurk BAC on kahetahulise nurga lineaarnurk, kui kiired AB ja AC on selle servaga risti ning punktid E ja C asuvad nurga tahkudel? 4. Dihedraalnurga lineaarnurk on 80 kraadi. Kas nurga ühes küljes on sirgjoon, mis on risti teise küljega? 5. Nurk ABC on kahetahulise nurga lineaarnurk alfa-servaga. Kas sirge alfa on ABC-tasandiga risti? Kas on tõsi, et kõik sirged, mis on antud tasapinnaga risti ja ristuvad antud sirgega, asuvad samal tasapinnal?

Stereomeetria aksioomid.

A1. Läbi mis tahes kolme punkti, mis ei asu antud sirgel, läbib tasapind ja ainult üks;

Sl.1. Läbi sirgjoone ja punkti, mis sellel ei asu, möödub tasapind ja ainult üks;

Sl.2. Tasapind läbib kahte ristuvat sirget ja ainult ühte;

Sl.3. Tasapind läbib kahte paralleelset sirget ja ainult ühte.

A2.Kui sirge kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kõik sirge punktid asuvad sellel tasapinnal;

A3 Kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine sirge, millel asuvad kõik nende tasandite ühised punktid.

Stereomeetria põhifiguurid- punktid (A, B, C...), sirge (a, b, c...), lennuk ( …) , hulktahukad ja pöördekehad.

Under lõiketasand Kolmemõõtmelise kujundi all mõistetakse tasapinda, mille mõlemal küljel on selle kujundi punktid.

Taga kauguse mõõt punkti, sirge ja tasandi vahel võtame nende ühise risti pikkuse.

2. Joonte suhteline asukoht ruumis.

Ruumis saab kaks rida olema paralleelsed, lõikuvad või ristuvad.

1A	Def. Paralleelselt Ruumi jooned on sirged, mis asuvad samal tasapinnal ega ristu. Vastavalt järgmisele 3. Tasapind läbib kahte paralleelset sirget ja ainult ühte.
1B		T 1 (transitiivsuse kohta). Kaks kolmandaga paralleelset sirget on üksteisega paralleelsed.
2A	Vastavalt järgmisele 2. Pärast kahte ristuvad tasapind läbib sirgeid ja ainult üks
3A	Def. Nimetatakse kahte sirget ristumine, kui need ei asu samas tasapinnas.
	T 2 (Ületusjoonte märk). Kui üks kahest sirgest asub teatud tasapinnal ja teine sirge lõikub selle tasandiga punktis, mis ei kuulu esimesele sirgele, siis on sellised sirged viltu.
3B		Def. Nurk ristuvate joonte vahel nimetatakse nurgaks lõikuvate paralleelsete sirgete vahel.
3B		Def. Kahe kaldjoone ühine risti on lõik, millel on otsad nendel sirgel ja mis on nendega risti (vahemaa ristumisjoonte vahel).

Sirgete ja tasandite suhteline asukoht ruumis.

Ruumis võivad sirge ja tasapind olla paralleelne, ristuvad või otse võib lamada täielikult lennukis.

1A	Def. Otse helistas paralleelselt tasapinnaga, kui see on paralleelne mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgega.
1B		T 3 (Sirge ja tasandi paralleelsuse märk). Tasapinnas mitteasuv sirge on paralleelne tasapinnaga, kui see on paralleelne mõne sellel tasapinnal asuva sirgega.
2A	Def. Sirget nimetatakse tasapinnaga risti, kui see on risti mis tahes sellel tasapinnal asuvate ristuvate joontega.
2B		T 4 (joone ja tasandi risti olemise märk) Kui tasapinda lõikuva sirge on risti mis tahes kahe sellel tasapinnal asuva lõikuva sirgega, siis on see ka risti iga kolmanda sellel tasapinnal asuva sirgega.
2B		T 5 (umbes kaks paralleelset sirget, mis on risti kolmandaga). Kui üks kahest paralleelsest sirgest on tasapinnaga risti, siis on ka teine sirge selle tasapinnaga risti.
2G		Def. Nurk sirge ja tasapinna vahel on nurk antud sirge ja selle tasapinnale projektsiooni vahel.
2D	Def. nimetatakse mis tahes muud sirget, mis erineb risti ja ristub tasapinnaga kaldu sellele tasapinnale (vt joonist allpool). Def. Kaldtasandi projektsioon nimetatakse lõiguks, mis ühendab risti ja kaldsuuna alust. T 6 (umbes risti ja kalde pikkus). 1) risti, mis on tõmmatud tasandiga, mis on lühem kui selle tasandi suhtes kaldu; 2) Võrdsed kalded vastavad võrdsetele projektsioonidele; 3) Kahest kaldsuunalisest on suurem see, mille projektsioon on suurem.
2E		T 7 (umbes kolm risti). Sirge, mis on tõmmatud tasapinnale läbi selle projektsiooniga risti oleva kaldtasandi aluse, on samuti risti kaldpinna endaga. T 8 (tagurpidi). Kaldtasandi aluse läbival tasapinnal tõmmatud ja sellega risti olev sirgjoon on samuti risti kaldtasandi projektsiooniga sellele tasapinnale.
3A		Aksioomi 2 järgi. Kui sirge kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kõik sirge punktid asuvad sellel tasapinnal

Tasapindade vastastikune paigutus ruumis.

Kosmoses võivad lennukid olla paralleelselt või rist.

1A	Def. Kaks lennuk kutsutakse paralleelselt, kui need ei ristu.
		T 9 (paralleelsete tasandite märk). Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandi kahe sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed.
1B		T 10 Kui kahte paralleelset tasandit lõikub kolmas tasapind, siis lõikesirged on paralleelsed (paralleeltasandite 1 omadus).
1B		T 11 Paralleelsete tasandite vahele jäävate paralleeljoonte lõigud on võrdsed (paralleeltasandite 2 omadus).
2A		Vastavalt aksioomile 3. Kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine joon, millel asuvad kõik nende tasandite ühised punktid ( tasapinnad lõikuvad sirgjooneliselt).
2B		T 12 (tasapindade perpendikulaarsuse märk). Kui tasapind läbib teise tasapinnaga risti olevat sirget, siis on need tasapinnad risti.
2B		Def. Dihedraalne nurk on kujund, mille moodustavad kaks ühelt sirgelt väljuvat pooltasandit. Kahe nurga servaga risti olev tasapind lõikab selle tahke piki kahte kiirt. Nende kiirte poolt moodustatud nurka nimetatakse kahetahulise nurga lineaarnurk. Taga kahetahulise nurga mõõtmine võetakse vastava lineaarnurga mõõt.

Kolmel tasapinnal ei pruugi olla ühte ühist punkti (kui vähemalt kaks neist on paralleelsed ja ka siis, kui nende lõikejooned on paralleelsed), neil võib olla lõpmatu arv ühiseid punkte (kui need kõik läbivad ühte sirget) või on ainult

üks ühine punkt. Esimesel juhul võrrandisüsteem

pole lahendusi, teises on lugematu arv lahendusi, kolmandas on ainult üks lahendus. Uurimiseks on kõige mugavam kasutada determinante (§ 183, 190), kuid saad ka elementaaralgebra vahendeid kasutades.

Näide 1. Lennukid

puuduvad ühised punktid, kuna tasapinnad (1) ja (2) on paralleelsed (§ 125). Võrrandisüsteem on ebajärjekindel (võrrandid (1) ja (2) on vastuolus).

Näide 2. Uurige, kas kolmel tasapinnal on ühised punktid

Otsime lahendust süsteemile (4)-(6). Elimineerides 2 väärtusest (4) ja (6), saame need kaks võrrandit. See tähendab, et kolmel tasapinnal pole ühiseid punkte. Kuna nende hulgas pole paralleelseid tasapindu, on kolm sirget, mida mööda tasapinnad paarikaupa ristuvad, paralleelsed.

Näide 3. Uurige, kas tasapindadel on ühiseid punkte

Toimides nagu näites 2, saame mõlemad ajad, st tegelikult mitte kaks, vaid üks võrrand. Sellel on lugematu arv lahendusi. See tähendab kolme