Aritmeetiline progressioon (9. klass): valemid, näited. Algebratund "Aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid" (9. klass) III

Paljude matemaatika ja füüsika teemade mõistmine on seotud teadmistega arvuridade omadustest. 9. klassi kooliõpilased peavad ainet "Algebra" õppides üheks oluliseks numbrijadaks - aritmeetiliseks progressiooniks. Esitame aritmeetilise progressiooni põhivalemid (9. klass), samuti näiteid nende kasutamisest ülesannete lahendamisel.

Algebraline või aritmeetiline progressioon

Selles artiklis käsitletavaid numbriseeriaid nimetatakse kahel erineval viisil, mis on esitatud selle lõigu pealkirjas. Seega peame matemaatikas aritmeetilise progressiooni all silmas arvurida, milles kaks kõrvutiasetsevat arvu erinevad sama palju, mida nimetatakse erinevuseks. Sellises seerias olevaid numbreid tähistatakse tavaliselt väiksema täisarvu indeksiga tähtedega, näiteks 1, 2, 3 ja nii edasi, kus indeks tähistab seeria elemendi numbrit.

Võttes arvesse ülaltoodud aritmeetilise progressiooni definitsiooni, saame kirjutada järgmise võrrandi: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, siin d on algebralise progressiooni erinevus ja n on suvaline täisarv . Kui d>0, siis võime eeldada, et seeria iga järgmine liige on eelmisest suurem, sel juhul räägime kasvavast progresseerumisest. Kui d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Aritmeetilised progressioonivalemid (9-klassiline kool)

Kuna kõnealune numbrite seeria on järjestatud ja järgib mõnda matemaatilist seadust, on sellel kaks selle kasutamise jaoks olulist omadust:

1. Esiteks, teades ainult kahte arvu a 1 ja d, võite leida jada mis tahes liikme. Seda tehakse järgmise valemi abil: a n = a 1 +(n-1)*d.
2. Teiseks, esimese n liikme summa arvutamiseks ei ole vaja neid järjekorras liita, kuna saab kasutada järgmist valemit: S n = n*(a n +a 1)/2.

Esimest valemit on lihtne mõista, kuna see on otsene tagajärg asjaolule, et vaadeldava seeria iga liige erineb oma naabrist sama erinevusega.

Aritmeetilise progressiooni teise valemi võib saada, kui märkida, et summa a 1 +a n osutub samaväärseks summadega a 2 +a n-1, a 3 +a n-2 ja nii edasi. Tõepoolest, kuna a 2 = d+a 1, a n-2 = -2*d+a n, a 3 = 2*d+a 1 ja a n-1 = -d+a n, asendades need avaldised vastavad summad, leiame, et need on samad. Tegur n/2 2. valemis (S n puhul) ilmneb tänu sellele, et a i+1 +a n-i tüüpi summad osutuvad täpselt n/2, siin on i täisarv vahemikus 0 kuni n /2 -1.

Säilinud ajalooliste tõendite kohaselt sai S n summa valemi esmakordselt Carl Gauss (kuulus saksa matemaatik), kui ta sai kooliõpetajalt ülesandeks liita esimesed 100 arvu.

Näideprobleem nr 1: leidke erinevus

Ülesanded, milles küsimus esitatakse järgmiselt: aritmeetilise progressiooni valemite tundmine, d (d) leidmine, on kõige lihtsamad, mis ainult selle teema puhul olla saavad.

Toome näite: kui antud arvjada -5,-2, 1, 4, ..., on vaja määrata selle erinevus, see tähendab d.

Seda saab teha võimalikult lihtsalt: peate võtma kaks elementi ja lahutama väiksema suuremast. Sel juhul on meil: d = -2 - (-5) = 3.

Saadud vastuses veendumiseks on soovitatav kontrollida ülejäänud erinevusi, kuna esitatud jada ei pruugi rahuldada algebralise progressiooni tingimust. Meil on: 1-(-2)=3 ja 4-1=3. Need andmed näitavad, et saime õige tulemuse (d = 3) ja tõestasime, et ülesande avalduses olevad arvud esindavad tõesti algebralist progressiooni.

Näidisülesanne nr 2: leidke erinevus, teades progressiooni kahte liiget

Mõelgem veel ühele huvitavale probleemile, mis küsib, kuidas erinevust leida. Sel juhul tuleb n-nda liikme jaoks kasutada aritmeetilise progressiooni valemit. Niisiis, ülesanne: kui on antud näiteks algebralise progressiooni kõikidele omadustele vastava jada esimene ja viies arv, on need arvud a 1 = 8 ja a 5 = -10. Kuidas leida erinevust d?

Selle ülesande lahendamist tuleks alustada n-nda elemendi valemi üldkuju kirjutamisest: a n = a 1 +d*(-1+n). Nüüd saate minna kahel viisil: kas asendada kohe numbrid ja töötada nendega või väljendada d ja seejärel liikuda konkreetse 1 ja 5 juurde. Viimast meetodit kasutades saame: a 5 = a 1 +d*(-1+5) või a 5 = 4*d+a 1, mis tähendab, et d = (a 5 -a 1)/4. Nüüd saate teadaolevad andmed tingimusest ohutult asendada ja saada lõpliku vastuse: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Pange tähele, et sel juhul osutus progresseerumise erinevus negatiivseks, see tähendab, et arvude jada on kahanev. Probleemide lahendamisel tuleb sellele asjaolule tähelepanu pöörata, et mitte segi ajada märke “+” ja “-”. Kõik ülaltoodud valemid on universaalsed, seega tuleks neid alati järgida, sõltumata numbrite märgist, millega toiminguid tehakse.

Näide ülesande nr 3 lahendamisest: leia a1, teades erinevust ja elementi

Muudame pisut probleemipüstitust. Olgu kaks arvu: vahe d=6 ja progressiooni 9. element a 9 = 10. Kuidas leida a1? Aritmeetilise progressiooni valemid jäävad muutumatuks, kasutame neid. Arvu a 9 jaoks on meil järgmine avaldis: a 1 +d*(9-1) = a 9. Kust saame kergesti seeria esimese elemendi: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.

Näide ülesande nr 4 lahendamisest: leia a1, teades kahte elementi

Probleemi käesolev versioon on eelmise keerulisem versioon. Sisuliselt on sama, on vaja arvutada 1, kuid nüüd pole erinevus d teada ja selle asemel on antud progressiooni teine ​​element.

Seda tüüpi ülesande näide on järgmine: leidke jada esimene arv, mis teadaolevalt on aritmeetiline progressioon ja mille 15. ja 23. element on vastavalt 7 ja 12.

See ülesanne on vaja lahendada, kirjutades iga tingimusest teadaoleva elemendi jaoks n-nda liikme avaldise, saame: a 15 = d*(15-1)+a 1 ja a 23 = d*(23-1) +a 1. Nagu näete, on meil kaks lineaarset võrrandit, mis tuleb 1 ja d jaoks lahendada. Teeme nii: lahutame teisest võrrandist esimene, siis saame järgmise avaldise: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d. Viimase võrrandi tuletamisel jäeti a 1 väärtused välja, kuna need tühistatakse lahutamisel. Teadaolevaid andmeid asendades leiame erinevuse: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Jada esimese liikme saamiseks tuleb d väärtus asendada mis tahes tuntud elemendi valemis: a 15 = 14*d+a 1, millest: a 1 =a 15 -14*d = 7-14* 0,625 = -1,75.

Kontrollime saadud tulemust, leiame 1 kuni teise avaldise kaudu: a 23 = d*22+a 1 või a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Näide ülesande nr 5 lahendamisest: leia n elemendi summa

Nagu näete, kasutati kuni selle hetkeni lahenduse jaoks ainult ühte aritmeetilise progressiooni valemit (9. klass). Nüüd esitame ülesande, mille lahendamine eeldab teise valemi tundmist, see tähendab summa S n jaoks.

Seal on järgmine järjestatud arvude jada -1,1, -2,1, -3,1,..., peate arvutama selle esimese 11 elemendi summa.

Sellest seeriast on selge, et see väheneb ja a 1 = -1,1. Selle erinevus on võrdne: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Nüüd defineerime 11. liikme: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Pärast ettevalmistavate arvutuste tegemist saate summa jaoks kasutada ülaltoodud valemit, meil on: S 11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Kuna kõik liikmed olid negatiivsed arvud, on ka nende summal vastav märk.

Näide ülesande nr 6 lahendamisest: leida elementide summa n-st m-ni

Võib-olla on seda tüüpi probleem enamiku koolilaste jaoks kõige raskem. Toome tüüpilise näite: kui on antud arvude jada 2, 4, 6, 8..., tuleb leida summa 7. kuni 13. liikme vahel.

Valemid aritmeetiline progressioon(9. klass) kasutatakse täpselt samamoodi nagu kõigis varasemates ülesannetes. Soovitatav on see probleem samm-sammult lahendada:

1. Esmalt leidke standardvalemi abil 13 liikme summa.
2. Seejärel arvutage see summa esimese 6 elemendi kohta.
3. Pärast seda lahutage 1. summast teine.

Asume lahenduseni. Nii nagu eelmisel juhul, teeme ettevalmistavad arvutused: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.

Arvutame kaks summat: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Võtame vahe ja saame soovitud vastuse: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Pange tähele, et selle väärtuse saamisel kasutati alamlahendina progressiooni 6 elemendi summat, kuna 7. liige sisaldub summas S 7-13.

Arvjada, mille iga liige alates teisest on võrdne antud jada puhul samale arvule lisatud eelmisega, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Helistatakse iga kord eelmisele numbrile lisatud numbrile aritmeetilise progressiooni erinevus ja on tähistatud tähega d.

Seega on numbrijada 1; a 2; a 3; a 4; a 5; ... ja n on aritmeetiline progressioon, kui a 2 = a 1 + d;

a3 = a2 + d;

Nad ütlevad, et on antud ühise terminiga aritmeetiline progressioon a n. Kirjutage üles: antakse aritmeetiline progressioon (a n).

Aritmeetiline progressioon loetakse määratletuks, kui selle esimene liige on teada a 1 ja erinevus d.

Aritmeetilise progressiooni näited

Näide 1. 1; 3; 5; 7; 9;...Siin a 1 = 1; d = 2.

Näide 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;... Siin a 1 = 8; d =-3.

Näide 3.-16; -12; -8; -4;... Siin a 1 = -16; d = 4.

Pange tähele, et progressiooni iga liige, alates teisest, on võrdne tema naaberliikmete aritmeetilise keskmisega.

1 näites teine ​​ametiaeg 3 =(1+5): 2 ; need. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; kolmas liige 5 =(3+7): 2;

st a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Seega on valem kehtiv:

Kuid tegelikult on aritmeetilise progressiooni iga liige, alates teisest, võrdne mitte ainult selle naaberliikmete aritmeetilise keskmisega, vaid ka võrdsel kaugusel tema liikmetelt, s.o.

Pöördume poole näide 2. Number -1 on aritmeetilise progressiooni neljas liige ja on võrdselt kaugel esimesest ja seitsmendast liikmest (a 1 = 8 ja 7 = -10).

Vastavalt valemile (**) on meil:

Tuletame valemi n- aritmeetilise progressiooni liige.

Seega saame aritmeetilise progressiooni teise liikme, kui lisame erinevuse esimesele d; kolmanda liikme saame, kui lisame erinevuse teisele d või lisage esimesele liikmele kaks erinevust d; saame neljanda liikme, kui lisame erinevuse kolmandale d või lisage esimesele kolm erinevust d ja nii edasi.

Arvasite ära: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

Saadud valem a n = a 1 + (n-1) d (***)

helistas valemnaritmeetilise progressiooni liige.

Nüüd räägime sellest, kuidas leida aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa. Tähistame seda summat tähega S n.

Terminite kohtade ümberpaigutamine ei muuda summa väärtust, seega saab selle kirjutada kahel viisil.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n ja

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Lisame need kaks võrdsust termini kaupa:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …

Sulgudes olevad väärtused on üksteisega võrdsed, kuna need on seeria võrdsete vahedega liikmete summad, mis tähendab, et saame kirjutada: 2S n = n· (a 1 + a n).

Saame valemi esimese summadnaritmeetilise progressiooni terminid.

Kui asendame n väärtusega a 1 + (n-1) d, kasutades valemit (***), saame teise valemi esimese summa jaoks n aritmeetilise progressiooni terminid.

Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidi pealdised:

Eelvaade:

Teema

Aritmeetiline progressioon

SIHT:

• õpetada ära tundma aritmeetilist progressiooni selle definitsiooni ja märgi abil;
• õpetab lahendama ülesandeid, kasutades definitsiooni, märki, progresseerumise üldtermini valemit.

TUNNI EESMÄRGID:

anda aritmeetilise progressiooni definitsioon, tõestada aritmeetilise progressiooni märk ja õpetada neid kasutama ülesannete lahendamisel.

ÕPPEMEETODID:

õpilaste teadmiste täiendamine, iseseisev töö, individuaalne töö, probleemolukorra loomine.

KAASAEGSED TEHNOLOOGIAD:

IKT, probleemõpe, diferentseeritud õpe, tervist säästvad tehnoloogiad.

TUNNIPLAAN

	Tunni etapid.	Rakendamise aeg.
	Aja organiseerimine.	2 minutit
	Käsitletu kordamine	5 minutit
	Uue materjali õppimine	15 minutit
	Kehalise kasvatuse minut	3 minutit
	Teemakohaste ülesannete täitmine	15 minutit
	Kodutöö	2 minutit
	Kokkuvõtteid tehes	3 minutit

TUNNIDE AJAL:

1. Viimases tunnis tutvustati meile mõistet “Järjestus”.

Täna jätkame numbrijadade uurimist, defineerime mõned neist ning tutvume nende omaduste ja omadustega.

1. Vasta küsimustele: Mis on jada?

Millised järjestused seal on?

Millisel viisil saate järjestust määrata?

Mis on numbrijada?

Milliseid arvujada määramise meetodeid teate? Millist valemit nimetatakse korduvaks?

1. Antud numbrilised jadad:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Leidke iga jada muster ja nimetage igaühe kolm järgmist liiget.

1. a n = a n -1 +1
2. a n = a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n = a n -1 + 0,5

Esitage iga jada kordumise valem.

Slaid 1

Arvjada, mille iga liige alates teisest on võrdne samale arvule liidetud eelmise liikmega, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.

Arvu d nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks.

Aritmeetiline progressioon on numbriline jada, seega võib see olla kasvav, kahanev või konstantne. Tooge selliste jadade näiteid, nimetage iga edenemise erinevus ja tehke järeldus.

Tuletagem aritmeetilise progressiooni üldliikme valem.

Tahvlil: olgu a 1 on progressiooni esimene liige, d on selle erinevus, siis

a 2 =a 1 + d

a 3 = (a 1 + d) + d = a 1 + 2 d

a 4 =(a 1 +2d)+d=a 1 +3d

a 5 =(a 1 +3d)+d=a 1 +4d

a n =a 1 + d (n-1) - aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem.

Lahendage ülesanne: Aritmeetilises progressioonis on esimene liige 5 ja erinevus 4.

Leidke selle progressiooni 22. liige.

Õpilane otsustab juhatuses: a n =a 1 + d(n-1)

A 22 =a 1 +21d=5+21*4=89

Kehalise kasvatuse minut.

Tõusime üles.

Käed vööl. Kallutab vasakule, paremale, (2 korda);

Painutage ette, taha (2 korda);

Tõstke käed üles, hingake sügavalt sisse, langetage käed alla, hingake välja. (2 korda)

Nad surusid käsi. Aitäh.

Istusime maha. Jätkame õppetundi.

Ülesandeid lahendame aritmeetilise progressiooni üldliikme valemi abil.

Õpilastele pakutakse järgmisi ülesandeid:

1. Aritmeetilises progressioonis on esimene liige -2, d=3, a n = 118.

Leia n.

1. Aritmeetilises progressioonis on esimene liige 7, viieteistkümnes liige –35. Leia erinevus.
2. On teada, et aritmeetilises progressioonis d=-2, a39=83. Leidke progressiooni esimene liige.

Õpilased jagunevad rühmadesse. Ülesandeks antakse 5 minutit. Järgmisena lahendavad need tahvlil 3 esimest ülesandeid lahendanud õpilast. Lahendus dubleeritakse slaididel.

Vaatleme aritmeetilise progressiooni iseloomulikke omadusi.

Aritmeetilises progressioonis

a n -d=a (n-1)

a n +d=a (n+1)

Liidame need kaks võrdsust termini haaval, saame: 2a n =a (n+1) +a (n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1 ))/2

See tähendab, et aritmeetilise progressiooni iga liige, välja arvatud esimene ja viimane, on võrdne eelneva ja järgneva liikme aritmeetilise keskmisega.

TEOREEM:

Arvjada on aritmeetiline progressioon siis ja ainult siis, kui selle iga liige, välja arvatud esimene (ja lõpliku jada puhul viimane), on võrdne eelneva ja järgnevate liikmete aritmeetilise keskmisega (jada iseloomulik omadus). aritmeetiline progressioon).

Teema: Aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid

Klass: 9

Koolitussüsteem: materjal algebra teemade õppe ettevalmistamiseks ja ettevalmistusetapp OGE eksami sooritamiseks

Sihtmärk: aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni mõistete kujunemine

Ülesanded: õpetada eristama progresseerumise liike, õpetama õigesti, kasutama valemeid

Aritmeetiline progressioon nimeta numbrijada (edenemise tingimused)

milles iga järgnev liige erineb eelmisest uue liikme võrra, mida nimetatakse ka astmeks või progressi erinevuseks.

Seega, määrates edenemise sammu ja selle esimese liikme, saate valemi abil leida mis tahes selle elemendi

1) Iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest arvust, on progressiooni eelmise ja järgmise liikme aritmeetiline keskmine

Ka vastupidine on tõsi. Kui progressiooni külgnevate paaritute (paaris) liikmete aritmeetiline keskmine on võrdne nende vahel oleva liikmega, siis on see arvujada aritmeetiline progressioon. Seda väidet kasutades on mis tahes järjestust väga lihtne kontrollida.

Samuti saab aritmeetilise progressiooni omaduse järgi ülaltoodud valemit üldistada järgmiseks

Seda on lihtne kontrollida, kui kirjutate terminid võrdusmärgist paremale

Praktikas kasutatakse seda sageli ülesannete arvutuste lihtsustamiseks.

2) Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutatakse valemi abil

Pidage hästi meeles aritmeetilise progressiooni summa valem, mis on arvutustes asendamatu ja seda leidub üsna sageli lihtsates elusituatsioonides.

3) Kui teil on vaja leida mitte kogu summa, vaid osa jadast alates selle k-ndast liikmest, on teile kasulik järgmine summa valem

4) Praktilist huvi pakub k-ndast arvust algava aritmeetilise progressiooni n liikme summa leidmine. Selleks kasutage valemit

Leidke aritmeetilise progressiooni 4;7 neljakümnes liige;...

Lahendus:

Vastavalt meie seisukorrale

Määrame edenemise etapi

Tuntud valemit kasutades leiame progressiooni neljakümnenda liikme

Aritmeetiline progressioon antakse selle kolmanda ja seitsmenda liikmega. Leidke progressiooni esimene liige ja kümne summa.

Lahendus:

Kirjutame valemite abil üles progressiooni antud elemendid

Aritmeetilise progressiooni annab nimetaja ja üks selle terminitest. Leidke progressiooni esimene liige, selle 50 liikme summa alates 50-st ja esimese 100 summa.

Lahendus:

Kirjutame üles progressiooni sajanda elemendi valemi

ja leia esimene

Esimese põhjal leiame progressiooni 50. liikme

Progressiooni osa summa leidmine

ja esimese 100 summa

Progressiooni summa on 250. Leidke aritmeetilise progressiooni liikmete arv, kui:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Lahendus:

Kirjutame võrrandid esimese liikme ja progressiooniastme järgi ning määrame need

Asendame saadud väärtused summa valemiga, et määrata summas olevate terminite arv

Teostame lihtsustusi

ja lahendage ruutvõrrand

Kahest leitud väärtusest sobib probleemtingimustele ainult number 8. Seega on progressiooni esimese kaheksa liikme summa 111.

Lahenda võrrand

1+3+5+...+x=307.

Lahendus:

See võrrand on aritmeetilise progressiooni summa. Kirjutame välja selle esimese liikme ja leiame progressiooni erinevuse

Asendame leitud väärtused progressi summa valemisse, et leida terminite arv

Nagu eelmises ülesandes, teeme lihtsustusi ja lahendame ruutvõrrandi

Valime kahest väärtusest loogilisema. Meil on, et antud väärtustega a1=1, d=2 progressiooni 18 liikme summa on võrdne Sn=307.

Näiteid ülesannete lahendamisest: Aritmeetiline progressioon

Probleem 1

Tudengite meeskond sõlmis lepingu 288 m2 suuruse pinnaga noorteklubi saali põrandale keraamiliste plaatide paigaldamiseks eelmisel päeval ja nende varudest piisas täpselt 11 tööpäevaks. Planeerides, et samamoodi tõuseb tööviljakus, tegi töödejuhataja kindlaks, et töö tegemiseks kulub veel 5 päeva. Mitu kasti plaate peaks ta tellima, kui 1,2 m2 põrandale piisab 1 kastist ja ebakvaliteetsete plaatide asendamiseks on vaja 3 kasti?

Lahendus

Ülesande tingimuste järgi on selge, et jutt käib aritmeetilisest progressioonist, milles las

а1=х, Sn=288, n=16

Seejärel kasutame valemit: Sn= (2a1+d(n-1))*n/0,86=200mmHg. Art.

288=(2x+2*15)*16/2

Arvutame välja, mitu m2 õpilast 11 päeva jooksul välja panevad: S11=(2*3+2*10)*11,2=143m2

288-143=145m2 jäi peale 11 päeva tööd, s.o. 5 päevaks

145/1,2=121 (umbes) karpi tuleb tellida 5 päevaks.

121+3=124 kasti tuleb tellida arvestades defekte

Vastus: 124 kasti

Probleem 2

Pärast vaakumpumba kolvi iga liikumist eemaldatakse anumast 20% selles olevast õhust. Määrake õhurõhk anuma sees pärast kuut kolvi liigutust, kui algrõhk oli 760 mm Hg. Art.

Lahendus

Kuna pärast iga kolvi liigutust eemaldatakse anumast 20% olemasolevast õhust, jääb 80% õhust alles. Et teada saada õhurõhku anumas pärast kolvi järgmist liikumist, peate korrutama kolvi eelmise liikumise rõhu 0,8-ga.

Meil on geomeetriline progressioon, mille esimene liige on 760 ja nimetaja on 0,8. Arv, mis väljendab õhurõhku anumas (mm Hg) pärast kuut kolvi liigutust, on selle progressi seitsmes liige. See võrdub 760 * 0,86 = 200 mmHg. Art.

Vastus: 200 mmHg.

Antakse aritmeetiline progressioon, kus viies ja kümnes liige on vastavalt 38 ja 23. Leidke progressiooni viieteistkümnes liige ja selle kümne esimese liikme summa.

Lahendus:

Leidke aritmeetilise progressiooni liikmete arv 5,14,23,...,, kui selle liige on 239.

Lahendus:

Otsi aritmeetilise progressiooni liikmete arv on 9,12,15,...,, kui selle summa on 306.

Lahendus:

Leidke x, mille jaoks arvud x-1, 2x-1, x2-5 moodustavad aritmeetilise progressiooni

Lahendus:

Leiame erinevuse progressiooni 1 ja 2 liikme vahel:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Leiame erinevuse progresseerumise 2 ja 3 liikme vahel:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

Sest erinevus on sama, siis võib progresseerumise tingimusi võrdsustada:

Mõlemal juhul kontrollimisel saadakse aritmeetiline progressioon

Vastus: x=-1 ja x=4

Aritmeetiline progressioon on antud selle kolmanda ja seitsmenda liikmega a3=5; a7=13. Leidke progressiooni esimene liige ja kümne summa.

Lahendus:

Lahutame teisest võrrandist esimese, mille tulemusena leiame progresseerumisastme

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, siis d=2

Asendame leitud väärtuse mis tahes võrrandiga, et leida aritmeetilise progressiooni esimene liige

Arvutame progressiooni esimese kümne liikme summa

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Vastus: a1=1; S10 = 100

Leidke viies ja üheteistkümnes liige aritmeetilises progressioonis, mille esimene liige on -3,4 ja mille erinevus on 3.

Seega teame, et a1 = -3,4; d = 3. Leia: a5, a11-.

Lahendus. Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme leidmiseks kasutame valemit: an = a1+ (n – 1)d. Meil on:

a5 = a1 + (5 – 1)d = -3,4 + 4 3 = 8,6;

a11 = a1 + (11 – 1)d = -3,4 + 10 3 = 26,6.

Nagu näete, pole antud juhul lahendus keeruline.

Aritmeetilise progressiooni kaheteistkümnes liige on 74 ja erinevus on -4. Leidke selle progressiooni kolmekümne neljas liige.

Meile öeldakse, et a12 = 74; d = -4 ja me peame leidma a34-.

Selles ülesandes ei ole võimalik kohe rakendada valemit an = a1 + (n – 1)d, sest Esimene liige a1 on teadmata. Seda probleemi saab lahendada mitme sammuga.

1. Kasutades terminit a12 ja n-nda liikme valemit, leiame a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, nüüd lihtsustame ja asendame d: a12 = a1 + 11 · (-4). Sellest võrrandist leiame a1: a1 = a12 – (-44);

Kaheteistkümnendat liiget teame ülesandepüstitusest, nii et saame hõlpsasti arvutada a1

a1 = 74 + 44 = 118. Liigume edasi teise sammu juurde – a34 arvutamine.

2. Jällegi, kasutades valemit an = a1 + (n – 1)d, kuna a1 on juba teada, määrame a34-,

a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14.

Vastus: Aritmeetilise progressiooni kolmekümne neljas liige on -14.

Nagu näete, on teise näite lahendus keerulisem. Vastuse saamiseks kasutatakse sama valemit kaks korda. Aga kõik on nii keeruline. Lahendust saab lühendada täiendavate valemite abil.

Nagu juba märgitud, kui ülesandes on a1 teada, on aritmeetilise progressiooni n-nda liikme määramise valemit väga mugav kasutada. Aga kui tingimus ei määra esimest liiget, siis võib appi tulla valem, mis ühendab meile vajaliku n-nda liikme ja ülesandes määratud termini ak.

an = ak + (n – k)d.

Lahendame teise näite, kuid kasutades uut valemit.

Antud: a12 = 74; d = -4. Leia: a34-.

Kasutame valemit an = ak + (n – k)d. Meie puhul on see:

a34 = a12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14.

Probleemile saadi vastus palju kiiremini, sest puudus vajadus teha lisatoiminguid ja otsida progressiooni esimest tähtaega.

Ülaltoodud valemeid kasutades saate lahendada aritmeetilise progressiooni erinevuse arvutamise ülesandeid. Seega, kasutades valemit an = a1 + (n – 1)d, saate väljendada d:

d = (an – a1) / (n – 1). Antud esimese liikmega seotud probleeme ei kohta aga nii sageli ja neid saab lahendada meie valemiga an = ak + (n – k)d, millest on selge, et d = (an – ak) / (n – k). Vaatame seda probleemi.

Leia aritmeetilise progressiooni erinevus, kui on teada, et a3 = 36; a8 = 106.

Saadud valemi abil saab ülesande lahenduse kirjutada ühele reale:

d = (a8 – a3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14.

Ilma selle valemita oleks probleemi lahendamine võtnud palju kauem aega, sest tuleks lahendada kahe võrrandi süsteem.

Geomeetrilised progressioonid

1. th liikme valem (progressiooni ühine liige).
2. Progressiooni esimeste liikmete summa valem: . Kui on kombeks rääkida koonduvast geomeetrilisest progressioonist; sel juhul saate valemi abil arvutada kogu edenemise summa.
3. "Geomeetrilise keskmise" valem: kui , , on geomeetrilise progressiooni kolm järjestikust liiget, siis definitsiooni järgi on meil järgmised seosed: kas või .

Klass: 9

Tunni tüüp: õppetund uue materjali õppimiseks.

Tunni eesmärk: Aritmeetilise jada kui ühe jadaliigi mõiste kujundamine, n-nda liikme valemi tuletamine, aritmeetilise progressiooni liikmete iseloomulike omadustega tutvumine. Probleemi lahendamine.

Tunni eesmärgid:

• Hariduslik- tutvustada aritmeetilise progressiooni mõisteid; n-nda liikme valemid; iseloomulik omadus, mis aritmeetilise progressiooni liikmetel on.
• Arendav- arendada matemaatika mõistete võrdlemise, sarnasuste ja erinevuste leidmise, vaatlemise, mustrite märkamise ja analoogia põhjal arutlemise oskust; arendada oskust ehitada ja tõlgendada mõne reaalse olukorra matemaatilist mudelit.
• Hariduslik- edendada huvi matemaatika ja selle rakenduste vastu, aktiivsust, suhtlemisoskust ja oma seisukohtade mõistlikku kaitsmist.

Varustus: arvuti, multimeediaprojektor, esitlus (lisa 1)

Õpikud: Algebra 9, Yu.N. Makarychev, K.N. Neshkov, toimetanud S.A. Telyakovsky, OJSC, 2010.

Tunniplaan:

1. Organisatsioonimoment, ülesannete seadmine
2. Teadmiste täiendamine, suuline töö
3. Uue materjali õppimine
4. Esmane konsolideerimine
5. Õppetunni kokkuvõte
6. Kodutöö

Selguse ja materjaliga töötamise lihtsuse suurendamiseks kaasneb tunniga esitlus. See aga ei ole nõue ja sama õppetundi saab läbi viia ka klassiruumides, mis pole varustatud multimeediaseadmetega. Selleks saab vajalikud andmed koostada tahvlile või tabelite ja plakatite kujul.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment, probleemipüstitus.

Tervitused.

Tänase tunni teemaks on aritmeetiline progressioon. Selles tunnis saame teada, mis on aritmeetiline progressioon, milline on selle üldkuju, saame teada, kuidas eristada aritmeetilist jada teistest jadadest ja lahendada ülesandeid, mis kasutavad aritmeetilise progressiooni omadusi.

II. Teadmiste täiendamine, suuline töö.

Jada () saadakse valemiga: =. Mis arvu on selle jada liikmel, kui see on 144? 225? 100? Kas arvud 48 on selle jada liikmed? 49? 168?

Järjestuse () kohta on teada, et . Kuidas nimetatakse seda jada määramise meetodit? Leidke selle jada neli esimest liiget.

Jada () kohta on teada, et . Kuidas nimetatakse seda jada määramise meetodit? Leia, kas?

III. Uue materjali õppimine.

Progressioon on suuruste jada, millest iga järgmine on teatud sõltuvuses eelmisest, mis on ühine kogu progresseerumisele. Mõiste on nüüdseks suures osas vananenud ja seda leidub ainult kombinatsioonides "aritmeetiline progressioon" ja "geomeetriline progressioon".

Mõiste "edenemine" on ladina päritolu (progression, mis tähendab "edasiliikumist") ja selle võttis kasutusele Rooma autor Boethius (6. sajand). Seda terminit kasutati matemaatikas mis tahes arvujada kohta, mis on konstrueeritud vastavalt seadusele, mis võimaldab seda jada lõputult ühes suunas jätkata. Praegu ei kasutata mõistet "edenemine" selle algselt laiemas tähenduses. Kaks olulist konkreetset progressioonitüüpi – aritmeetiline ja geomeetriline – on säilitanud oma nimed.

Mõelge numbrite jadadele:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

Mis on esimese jada kolmas liige? Järgmine liige? Eelmine liige? Mis vahe on teisel ja esimesel terminil? Kolmas ja teine ​​liige? Neljas ja kolmas?

Kui jada on konstrueeritud sama seaduse järgi, siis järeldage, mis vahe on esimese jada kuuenda ja viienda liikme vahel? Seitsme ja kuue vahel?

Nimetage iga jada kaks järgmist terminit. Miks sa nii arvad?

(Õpilaste vastused)

Mis ühisomadus neil jadadel on? Märkige see vara.

(Õpilaste vastused)

Numbrijadasid, millel on see omadus, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Paluge õpilastel proovida definitsioon ise sõnastada.

Aritmeetilise progressiooni definitsioon: aritmeetiline progressioon on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, mis on lisatud samale arvule:

( - aritmeetiline progressioon, kui , kus on mõni arv.

Number d, mis näitab, kui palju jada järgmine liige erineb eelmisest, nimetatakse progresseerumise erinevuseks: .

Vaatame uuesti järjestusi ja räägime erinevustest. Millised omadused on igal järjestusel ja millega need seotud on?

Kui aritmeetilise progressiooni erinevus on positiivne, siis progressioon kasvab: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Kui aritmeetilises progressioonis on erinevus negatiivne ( , siis progressioon väheneb: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Kui erinevus on null () ja kõik progressiooni liikmed on võrdsed sama arvuga, nimetatakse jada statsionaarseks: 5, 5, 5, 5, :.

Kuidas määrata aritmeetilist progressiooni? Vaatleme järgmist probleemi.

Ülesanne. 1. laos oli kivisütt 50 tonni. Kuu aega iga päev jõuab lattu veoauto 3 tonni kivisöega. Kui palju kivisütt on laos 30. kuupäeval, kui selle aja jooksul laost sütt ei tarbitud.

Kui kirjutame iga numbri kohta üles laos oleva kivisöe koguse, saame aritmeetilise progressiooni. Kuidas seda probleemi lahendada? Kas söe kogust tuleb tõesti arvutada iga kuu igal päeval? Kas ilma selleta saab kuidagi hakkama? Märkame, et 30. kuupäevaks jõuab lattu 29 autot kivisöega. Seega on 30. kuupäeval laos 50 + 329 = 137 tonni kivisütt.

Seega, teades ainult aritmeetilise progressiooni esimest liiget ja erinevust, võime leida jada mis tahes liikme. Kas see on alati nii?

Analüüsime, kuidas jada iga liige sõltub esimesest liikmest ja erinevusest:

Seega oleme saanud aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemi.

Näide 1. Jada () on aritmeetiline progressioon. Otsige, kas ja.

Kasutame n-nda liikme valemit ,

Vastus: 260.

Kaaluge järgmist probleemi:

Aritmeetilises progressioonis kustutati paarisliikmed: 3, :, 7, :, 13: Kas kadunud arve on võimalik taastada?

Tõenäoliselt arvutavad õpilased esmalt edenemise erinevuse ja seejärel leiavad progressiooni tundmatud tingimused. Seejärel võite paluda neil leida seos jada tundmatu liikme, eelmise ja järgmise vahel.

Lahendus: Kasutame ära asjaolu, et aritmeetilises progressioonis on naaberliikmete erinevus konstantne. Olgu jada soovitud liige. Siis

.

kommenteerida. See aritmeetilise progressiooni omadus on sellele iseloomulik omadus. See tähendab, et mis tahes aritmeetilises progressioonis on iga liige, alates teisest, võrdne eelmise ja järgnevate aritmeetilise keskmisega ( . Ja vastupidi, iga jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne eelmise ja järgneva aritmeetilise keskmisega, on aritmeetiline progressioon.

IV. Esmane konsolideerimine.

• Nr 575 ab - suuliselt
• Nr 576 avd - suuliselt
• Nr 577b - iseseisvalt koos taatlusega

Jada (on aritmeetiline progressioon. Leia, kas ja

Kasutame n-nda liikme valemit,

Vastus: -24.2.

Leia aritmeetilise progressiooni -8 23. ja n liige; -6,5; :

Lahendus: Aritmeetilise progressiooni esimene liige on -8. Leiame aritmeetilise progressiooni erinevuse, peame lahutama jada järgnevast liikmest eelmise: -6,5-(-8) = 1,5.

Kasutame n-nda liikme valemit:

Leidke aritmeetilise progressiooni () esimene liige, kui .

Meenutagem oma tunni algust, poisid. Kas sul õnnestus tänase tunni jooksul midagi uut õppida või avastusi teha? Millised tunnieesmärgid me endale seadsime? Kas arvate, et suutsime oma eesmärgid saavutada?

Kodutöö.

Punkt 25, nr 578a, nr 580b, nr 582, nr 586a, nr 601a.

Loovülesanne tugevatele õpilastele: Tõesta, et aritmeetilises progressioonis mis tahes arvude puhul, nii et k võrdsused kehtivad Ja .

Aitäh õppetunni eest, poisid. Sa tegid täna head tööd.